用脈沖響應求傳遞函數(shù)

1.連續(xù)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)

任何一個SISO系統(tǒng)都可以用差分方程來表示。若系統(tǒng)的輸入為函數(shù)，則輸出為脈沖響應函數(shù)g(t)。因為函數(shù)只作用于t=0，而在其他時刻系統(tǒng)的輸入為0，所以系統(tǒng)的輸出是從t=0開始的脈沖響應函數(shù)g(t)。如果采樣間隔時間為T。并設系統(tǒng)可以用n階差分方程表示，則：用脈沖響應來求解傳遞函數(shù)等式中a1,a2…,an為待定的n個常數(shù)。1用脈沖響應求傳遞函數(shù)根據(jù)上式，將時間依次延遲T，可以得到：聯(lián)立求解上述n個方程，就可以得到差分方程的n個系數(shù)a1,a2…,an。2用脈沖響應求傳遞函數(shù)等式中s1,s2…,sn和c1,c2,..,cn為待求的2n個未知數(shù)。對上式求Laplace反變換，得到脈沖響應函數(shù)：任何一個線性定常系統(tǒng)，如果其傳遞函數(shù)G(s)的特征根為s1s2…sn，則其傳遞函數(shù)可以表示為：3用脈沖響應求傳遞函數(shù)要使上式為成立，應令方括號內(nèi)的值為0，即：將上面等式帶入到下列脈沖響應的差分方程中得到：令，則可以得到：4用脈沖響應求傳遞函數(shù)解方程可以得到x的n個解x1,x2,…,xn。設：至此可以得到s1,s2…sn，下面求解c1,c2…cn。5用脈沖響應求傳遞函數(shù)例：有一個三階系統(tǒng)，脈沖響應數(shù)據(jù)如下：t012345g(t)012240試求解該系統(tǒng)的線性定常脈沖傳遞函數(shù)：6用脈沖響應求傳遞函數(shù)等式中。因而有2.離散系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)設系統(tǒng)脈沖傳遞函數(shù)形式為：根據(jù)脈沖傳遞函數(shù)的定義可以得到：7用脈沖響應求傳遞函數(shù)進一步得到:8用脈沖響應求傳遞函數(shù)令上式兩邊z-i的同次項系數(shù)相等，可以得到：9用脈沖響應求傳遞函數(shù)例：設采樣間隔時間為0.5s，系統(tǒng)的脈沖響應序列g(shù)(k)如下表所示，求系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)。t00.050.10.150.200.250.3k0123456g(k)07.5159.4918.5645.9312.8460.14510用脈沖響應求傳遞函數(shù)例：有一個三階系統(tǒng)，脈沖響應數(shù)據(jù)如下：k0123456g(t)0142622試用Hankel矩陣法求解該系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)。11用脈沖響應求傳遞函數(shù)第七章系統(tǒng)階次的辨識系統(tǒng)的階次，對傳遞函數(shù)而言，指極點個數(shù)；對于狀態(tài)空間而言，是指最小實現(xiàn)的狀態(tài)個數(shù)；本章討論單輸入單輸出系統(tǒng)的階次辨識問題，主要介紹F檢驗法和AIC準則這兩種基本的階次辨識方法；階次辨識和參數(shù)估計兩者是互相依賴的，參數(shù)估計時需要已知階次，而辨識階次時又要利用參數(shù)估計值，兩者密不可分。12用脈沖響應求傳遞函數(shù)如何根據(jù)脈沖響應的采樣值來判定模型的階次？7.1.根據(jù)Hankel矩陣判定模型的階次已知系統(tǒng)的脈沖響應序列g(shù)0,g1,…,gN，定義Hankel矩陣H(l,k)為：我們根據(jù)Hankel矩陣的秩來判定系統(tǒng)模型階次。13用脈沖響應求傳遞函數(shù)定理：若Hankel矩陣的維數(shù)l大于系統(tǒng)的階次n，則Hankel矩陣的秩等于系統(tǒng)的階次n。當Hankel矩陣維數(shù)l=n+1時，對于所有的k，Hankel矩陣的行列式為零。當我們對于每個k值以及不同的維數(shù)l值，計算Hankel的行列式，就可以判定模型的階次n。14用脈沖響應求傳遞函數(shù)實際上，由于噪聲存在，當維數(shù)l=n+1時，這些行列式的值并不恒等于零，但會突然變小。我們必須引入某個準則，以確定顯著性水平。有一種方法是對于每一個不同的維數(shù)l值，計算Hankel矩陣的行列式的平均值。然后對于不同的l值，比較行列式比值Dl。Dl值為最大時的維數(shù)l值，就是系統(tǒng)模型的階次。15用脈沖響應求傳遞函數(shù)以自相關(guān)系數(shù)作為Hankel矩陣的元素，再按新的Hankel矩陣來確定矩陣的秩。同樣，由于噪聲的影響，所得的行列式也不恒等于零。另一種方法是根據(jù)脈沖響應序列，求出它們的自相關(guān)序列的估計值，以及自相關(guān)系數(shù)值。16用脈沖響應求傳遞函數(shù){1.0,0.80,0.65,0.54,0.46,0.39,0.35,0.31,0.28,0.26,0.24,0.23,0.22,0.21,0.20,0.19,0.19,0.18,0.18,0.18,0.17,0.17,0.17,0.16,0.16,0.15,0.15,0.15,0.15,0.14,0.14,0.14,0.13,0.13,0.13,0.13,0.12,0.12,0.12,0.12,0.12,0.11,0.11,0.11,0.11,0.10,0.10,0.10}試判定該模型的階次。例：已知系統(tǒng)的脈沖響應序列g(shù)(k)為17用脈沖響應求傳遞函數(shù)第一種方法，求得各Hankel矩陣行列式的平均值，以及行列式比分別為：矩陣H(2,k)行列式的平均值為0.00087872矩陣H(3,k)行列式的平均值為-0.00029311矩陣H(4,k)行列式的平均值為-3.214×10-7矩陣H(5,k)行列式的平均值為-5.709×10-9D2=2.998,D3=913.1,D4=64.2因此，可以確定系統(tǒng)的階數(shù)為3。18用脈沖響應求傳遞函數(shù)第二種方法，求出脈沖響應序列的相關(guān)系數(shù)為：以為元素構(gòu)造Hankel矩陣并計算Hankel矩陣的行列式，得到：detH(2,0)=0.014937detH(3,0)=-1.282×10-5detH(4,0)=-5.8×10-8由行列式的值可知，系統(tǒng)模型的階次可以定為3階，也可以定義為2階。因為detH(3,0)已經(jīng)很小了。19用脈沖響應求傳遞函數(shù)用最小二乘法求出參數(shù)的估值，則目標函數(shù)為：1.階和目標函數(shù)7.2根據(jù)殘差特性判定模型的階次考慮系統(tǒng)模型為：如果系統(tǒng)模型為：則目標函數(shù)為：20用脈沖響應求傳遞函數(shù)當n=1,2,…時，J1(n)和J2(n)隨著n的增加而減小。如果n0為正確的階次，則n=n0-1時，J(n)出現(xiàn)最后一次陡峭的下降，n再增大，則J(n)保持不變或者只有微小的變化。

如果階次已給定，估計參數(shù)，則要求J1和J2最小值。如果階次未知，則估計參數(shù)個數(shù)就未知，也要求J1和J2取極小值。那么，當階次遞增時，J1和J2的變化規(guī)律如何呢？對于不同階次，目標函數(shù)為：21用脈沖響應求傳遞函數(shù)假設檢驗與參數(shù)估計區(qū)別參數(shù)估計和假設檢驗都是統(tǒng)計推斷的兩個組成部分，都是利用樣本對總體進行某種推斷，但推斷的角度不同。參數(shù)估計是在總體參數(shù)未知的情況下用樣本統(tǒng)計量估計總體參數(shù)。假設檢驗是先對總體參數(shù)提出一個假設，然后利用樣本信息去檢驗這個假設是否成立，如果成立，就接受這個假設，否則就放棄。22用脈沖響應求傳遞函數(shù)在實際工作中，前人對某些問題得到初步的結(jié)論。這些結(jié)論可能正確、可能錯誤。若視這些結(jié)論為假設，問題在于我們是否應該接受這些假設呢？

例：我們對某產(chǎn)品進行了一些工藝改造，或研制了新的產(chǎn)品。要比較原產(chǎn)品和新產(chǎn)品在某一項指標上的差異，這樣我們面臨選擇是否接受假設“新產(chǎn)品的某一項指標優(yōu)于老產(chǎn)品”。我們必須作一些試驗，也就是抽樣。根據(jù)得到的樣本觀察值來作出決定。

假設檢驗問題就是根據(jù)樣本的信息檢驗關(guān)于總體的某個假設是否正確。假設檢驗的思想23用脈沖響應求傳遞函數(shù)假設檢驗的方法先介紹一條所謂實際推斷原理(小概率原理)。通過大量實踐，人們對小概率事件(即在一次試驗中發(fā)生的概率很小的事情)總結(jié)出一條原理：小概率事件在一次試驗中幾乎不會發(fā)生并稱此為實際推斷原理，其為判斷假設的根據(jù)。在假設檢驗時，若一次試驗中小概率事件發(fā)生了，就認為是不合理的。小概率事件在一次試驗中發(fā)生的概率記為α，一般取在假設檢驗中，稱α為顯著水平、檢驗水平。24用脈沖響應求傳遞函數(shù)

即先對所關(guān)心的問題提出原假設H0,然后運用樣本信息看在H0成立的條件下會不會發(fā)生矛盾。最后對H0成功與否作出判斷：若小概率事件發(fā)生了，則否定H0；若不發(fā)生，則接受H0。概率反證法的邏輯是：如果小概率事件在一次試驗中居然發(fā)生，我們就以很大的把握否定原假設。假設檢驗使用的方法是概率論的反證法：25用脈沖響應求傳遞函數(shù)某日開工后為檢驗包裝機是否正常。隨機地抽取它所包裝的糖9袋，稱得凈重為(公斤)：(=0.05)例：某車間用一臺包裝機包裝葡萄糖。包得的袋裝糖重是一個隨機變量X，且。當機器正常時，其均值為μ=0.5公斤，標準差σ=0.015公斤。0.497;0.506;0.518;0.524;0.498;0.511;0.520;0.515;0.512問機器是否正常?那么，如何判斷原假設H0是否成立呢？即看在μ=0.5的條件下會不會產(chǎn)生不合理現(xiàn)象。解：先提出假設26用脈沖響應求傳遞函數(shù)即在μ=0.5的條件下則為X的一個樣本，它們是隨機變量，于是有統(tǒng)計量問Z大到什么程度可以否定H0呢？這就要確定一個否定H0的值為此令：即27用脈沖響應求傳遞函數(shù)0拒絕H0接受H0接受域28用脈沖響應求傳遞函數(shù)假設檢驗的步驟由實際問題提出原假設和備擇假設；確定適當?shù)臋z驗統(tǒng)計量，并在原假設為真的條件下確定該統(tǒng)計量的分布；根據(jù)問題的要求規(guī)定顯著性水平(一般題目中會給定)，從而得到拒絕域；由樣本觀測值計算檢驗統(tǒng)計量的值，看是否屬于拒絕域，從而對原假設作出判斷。29用脈沖響應求傳遞函數(shù)

Astrom(1968)提出的F檢驗法，引入一個假設檢驗，將模型階次的判定問題歸結(jié)為當階次從n1增加到n2時，J2(n2)較J2(n1)下降是否顯著的問題。

Astrom證明，當N足夠大時，若n2>n1>=n成立，則：2.確定階的F檢驗法且J2(n2)和J2(n1)-J2(n2)是相互獨立的隨機變量。30用脈沖響應求傳遞函數(shù)存在顯著性水平，當時，n2>n1>=n成立。否則，n比n1和n2大。這里取，則引入統(tǒng)計量t也就是說，當n2>n1>=n時，統(tǒng)計量t服從自由度分別為2n2-2n1與N-2n2的F分布。31用脈沖響應求傳遞函數(shù)當時，則成立，即為對象的階．令，階次逐漸增加，用F檢驗判斷．階次增加，減少。令例如，取置信度，在100,200,400和∞時，查表可以得到F分布的值：

F(2,100)=3.09;F(2,200)=3.04;F(2,400)=3.02;F(2,∞)=3.00;

因此，當=100時，若統(tǒng)計量，則接受假設，即認為下降也不顯著，判定系統(tǒng)階次為，否則否定假設，繼續(xù)增加階次并考察統(tǒng)計量．32用脈沖響應求傳遞函數(shù)其中表示n階模型未知參數(shù)的個數(shù)，表示參數(shù)的極大似然估計值，為似然函數(shù)，反映擬合精度。稱該準則為AIC準則。Akaika證明了使為極小的階，即系統(tǒng)的階。

Akaika(1972)提出一種具有客觀標準的階次判別方法，所采用階次判定準則為：2.確定階的AIC準則33用脈沖響應求傳遞函數(shù)這里對AIC準則作一個定性的解釋。設系統(tǒng)的階次為n，當階次估計值小于n時，AIC準則中數(shù)值較大，起主導作用，隨著的增大而增大，這時準則隨的增加而下降。當階次估計值達到并超過n時，的增長變慢，而項隨著的增加不斷增大，并起主導作用，這時隨的增大而增大。因此，在處形成一個最小值。分析：34用脈沖響應求傳遞函數(shù)其中為獨立的正態(tài)分布序列，即白噪聲序列。它在條件下的似然函數(shù)為：設SIS