北師大初一數(shù)學(xué)《一元一次方程》基礎(chǔ)提高鞏固練習(xí)、知識講解

【鞏固練習(xí)】

—?、選擇題

1.（春?宜陽縣期中）下列方程中，是一元一次方程的為（

A.3x+2y=6B.x2+2x-1=0C.Z-1=總

x2

2.下列變形錯誤的是（

A.由x+7=5得x+7-7=5-7B.由3x—2=2x+1得x=3

2

C.由4-3x=4x-3得4+3=4x+3xD.由-2x=3得x=——

3

2+x

3.某書中一道方程題：-一-+l=x,□處在印刷時被墨蓋住了，查書后面的答案，得知

3

這個方程的解是》=一2.5,那么□處應(yīng)該是數(shù)字（）.

A.-2.5B.2.5C.5D.7

4.將（3x+2）—2（2x—1）去括號正確的是（）.

A3x+2—2x+lB3x+2—4x+1C3x+2—4x—2D3x+2—4x+2

5.當(dāng)x=2時，代數(shù)式ax—2x的值為4,當(dāng)x=-2時，這個代數(shù)式的值為（）.

A.-8B.-4C.-2D.8

6.解方程土==1一土匚」時，去分母正確的是（）.

53

A.3（x+l）=l-5（2xT）B.3x+3=15T0x-5

C.3（x+l）=15-5（2x-l）D.3x+l=15-10x+5

7.某球隊參加比賽，開局11場保持不敗，積23分，按比賽規(guī)則，勝一場得3分，平一場

得1分，則該隊獲勝的場數(shù)為（）.

A.4B.5C.6D.7

8.某超市選用每千克28元的甲種糖3千克，每千克20元的乙種糖2千克，每千克12元的

丙種糖5千克混合成雜拌糖后出售，在總銷售額不變的情況下，這種雜拌糖平均每千克售價

應(yīng)是（）.

A.18元B.18.4元C.19.6元D.20元

二、填空題

9.在0,-1,3中，是方程3x-9=0的解.

10.如果3x5"-2=_6是關(guān)于x的一元一次方程，那么a=,方程的解》=.

11.若x=-2是關(guān)于x的方程4%—2。=3的解，貝Ua=.

12.由3x=2x+l變?yōu)?x—2x=l,是方程兩邊同時加上.

2

13.“代數(shù)式9—x的值比代數(shù)式一x—1的值小6”用方程表示為.

3

14.當(dāng)乂=時，代數(shù)式3上—9上r與上2-」x互為相反數(shù).

------------23

15.（?哈爾濱模擬）把一些圖書分給某班學(xué)生閱讀，如果每人分3本，則剩余20本；如果

每人分4本，則還缺25本，這個班的學(xué)生有人.

16.某商場把彩電按標(biāo)價的8折出售，仍可獲利20%,若該彩電的進(jìn)價為2000元，則標(biāo)價

三、解答題

31

17.（1）-x-0.1=-x+0.35；

42

（2）2x-1（x-l）=|（x+3）.

18.已知代數(shù)式-2y-與1+1的值為0,求代數(shù)式告。-告匚的值.

19.（?南丹縣一模）某水果銷售店用1000元購進(jìn)甲、乙兩種新出產(chǎn)的水果共140千克，這

兩種水果的進(jìn)價、售價如表所示：

進(jìn)價（元/千克）售價（元/千克）

甲種58

乙種913

（1）這兩種水果各購進(jìn)多少千克？

（2）若該水果店按售價銷售完這批水果，獲得的利潤是多少元？

20.學(xué)校校辦工廠需制作一塊廣告牌，請來師徒二人，已知師傅單獨完成需4天，徒弟單獨

完成需6天，現(xiàn)由徒弟先做一天，再兩人合作，完成后共得到報酬450元，如果按各人完成

的工作量計算報酬，那么該如何分配？

【答案與解析】

一、選擇題

1.【答案】C.

2.【答案】D

3

【解析】由—2x=3,得*=一一

2

3.【答案】C

【解析】把x=-2.5代入方程，再把口當(dāng)作未知數(shù)解方程即可.

4.【答案】D

【解析】（3x+2）-2（2x—l）=3x+2-2?2x—2?（一l）=3x+2—4x+2

5.【答案】B

【解析】將x=2代入得：2。-4=4,得2a=8；將x=-2代入得：-2a+4=—8+4=7

6.【答案】C

【解析】去分母時避免漏乘常數(shù)項，當(dāng)分子是多項式時，去分母后給分子加上括號.

7.【答案】C

【解析】設(shè)該隊獲勝x場，則平的場數(shù)為（1隊x）,則3x+（ll-x）=23.解得x=6.故選C.

8.【答案】B

【解析】可設(shè)這種雜拌糖平均每千克的售價是x元.依題意，得（3+2+5）x=28X3+20X2+12

X5,解得x=18.4,故選B.

二、填空題

9.【答案】3；

【解析】代入驗證即可.

3

10.【答案】-2；

5

3

【解析】5。-2=1=>。=—,3x=—6=>x=—2

5

11.【答案】--；

2

【解析】將X=—2代入得：—8—2a=3na=——

2

12.【答案】-2x；

2

13.【答案】(9一處+6=—1-1；

3

13

14.【答案】—；

8

3-2x2-x13

【解析】土上+—=0,解得：%=H

238

15.【答案】45.

【解析】設(shè)有x名學(xué)生，根據(jù)書的總量相等可得：3x+20=4x-25,解得：x=45.答：這

個班有45名學(xué)生.

16.【答案】3000.

【解析】設(shè)標(biāo)價為x元，則0.8x=2000(l+20%),解得：x=3OOO

三、解答題

17.【解析】

解：(1)去分母,得3x-0.4=2x+1.4.

移項，得3x-2x=1.4+0.4.

合并同類項，得x=1.8.

(2)去分母，得12x-3(xT)=4(x+3).

去括號，得12x-3x+3=4x+12.

移項，得12x-3x-4x=12-3.

合并同類項.得5x=9.

系數(shù)化為1,得x=39.

5

18.【解析】

解：由題意，得—2y—與口+1=0.去分母，得—6y—y+ll+3=O.

移項合并同類項，得—7y=—14.系數(shù)化為1,得y=2.

當(dāng)y=2時，3ZZ1.2ZZ1=3X2-I_2x2-I=l>

43434

即若代數(shù)式—2y—與1+1的值為0,則代數(shù)式立二1■—2號的值為:.

19.【解析】

解：(1)設(shè)購進(jìn)甲種水果x千克，則購進(jìn)乙種水果(140-x)千克，根據(jù)題意得：

5x+9(140-x)=1000,

解得：x=65,

140-x=75.

答：購進(jìn)甲種水果65千克，乙種水果75千克；

（2）3x65+4x75=495（元）

答：利潤為495元.

20.【解析】

解：設(shè)兩人一起做x天，據(jù)題意，得：

—（x+l）+—x=1,解得x=2.

64

師傅應(yīng)得報酬為X2X450=225（元）.

4

徒弟應(yīng)得報酬為450-225=225（元）.

答：師傅應(yīng)得報酬為225元，徒弟應(yīng)得報酬為225元.

《一元一次方程》全章復(fù)習(xí)與鞏固(基礎(chǔ))知識講解

責(zé)編：康紅梅

【學(xué)習(xí)目標(biāo)】

1.經(jīng)歷建立方程模型、解方程和運用方程解決實際問題的過程，體會模型思想；

2.了解一元一次方程、方程的解等基本概念，會解數(shù)字系數(shù)的一元一次方程，感受轉(zhuǎn)化思

想；

3.能運用一元一次方程解決實際問題，能根據(jù)實際意義檢驗方程的合理性.

【知識網(wǎng)絡(luò)】

方程

一元一次方程依據(jù)概念解

r基本概念-

方程的解答相關(guān)問題

解方程

等式性質(zhì)1等式性質(zhì)的

-等式性質(zhì)-

等式性質(zhì)2靈活運用

-去分母

元

去括號

一一元一次方

次移項

方程的解法一程的求解

方合并

程系數(shù)化成1

面積問題以不史應(yīng)萬變

等積變形

消費，方案選擇問題

行程問題

「實際運用-總分問題

工程問題

的解答

配套問題

銷售盈虧問題從埼繁復(fù)雜的

數(shù)量關(guān)系中探

圖共信息問題索等量關(guān)系

【要點梳理】

知識點一、一元一次方程的概念

1.方程：含有未知數(shù)的等式叫做方程.

2.一元一次方程：只含有一個未知數(shù)(元)，未知數(shù)的次數(shù)都是1,這樣的方程叫做一元一

次方程.

要點詮釋：

(1)一元一次方程變形后總可以化為ax+b=O(a#O)的形式，它是一元一次方程的標(biāo)準(zhǔn)形

式.

(2)判斷是否為一元一次方程，應(yīng)看是否滿足：①只含有一個未知數(shù)，未知數(shù)的次數(shù)為1；

②未知數(shù)所在的式子是整式，即分母中不含未知數(shù).

3.方程的解：使方程的左、右兩邊相等的未知數(shù)的值叫做這個方程的解.

4.解方程：求方程的解的過程叫做解方程.

知識點二、等式的性質(zhì)與去括號法則

1.等式的性質(zhì)：

等式的性質(zhì)1:等式兩邊同時加上(或減去)同一個代數(shù)式，所得結(jié)果仍是等式.

等式的性質(zhì)2：等式兩邊乘同一個數(shù)，(或除以同一個不為0的數(shù))，所得結(jié)果仍是等式.

2.合并法則：合并時，把系數(shù)相加(減)作為結(jié)果的系數(shù)，字母和字母的指數(shù)保持不變.

3.去括號法則：

(1)括號外的因數(shù)是正數(shù)，去括號后各項的符號與原括號內(nèi)相應(yīng)各項的符號相同.

(2)括號外的因數(shù)是負(fù)數(shù)，去括號后各項的符號與原括號內(nèi)相應(yīng)各項的符號相反.

知識點三、一元一次方程的解法

解一元一次方程的一般步驟：

(1)去分母：在方程兩邊同乘以各分母的最小公倍數(shù).

(2)去括號：依據(jù)乘法分配律和去括號法則，先去小括號，再去中括號，最后去大括號.

(3)移項：把含有未知數(shù)的項移到方程一邊，常數(shù)項移到方程另一邊.

(4)合并：逆用乘法分配律，分別合并含有未知數(shù)的項及常數(shù)項，把方程化為ax=b(aWO)

的形式.

b

(5)系數(shù)化為1：方程兩邊同除以未知數(shù)的系數(shù)得到方程的解x=—(aWO).

a

(6)檢驗：把方程的解代入原方程，若方程左右兩邊的值相等，則是方程的解；若方程左右

兩邊的值不相等，則不是方程的解.

知識點四、用一元一次方程解決實際問題的常見類型

1.等積變形：①形狀面積變了，周長沒變；②原體積=變化后體積.

2.利潤問題：商品利潤=商品售價一商品進(jìn)價

3.行程問題：路程=速度X時間

4.和差倍分問題：增長量=原有量X增長率

5.工程問題：工作量=工作效率X工作時間，各部分勞動量之和=總量

6.銀行存貸款問題：本息和=本金+利息，利息=本金X利率X期數(shù)

7.數(shù)字問題：多位數(shù)的表示方法：例如：^^=axlO3+/?xlO2+cxlO+J.

8.方案問題：(1)運用一元一次方程解應(yīng)用題的方法求解兩種方案值相等的情況.

(2)用特殊值試探法選擇方案，取小于(或大于)一元一次方程解的值，比較兩種方案的

優(yōu)劣性后下結(jié)論.

【典型例題】

類型一、一元一次方程的概念

L(?鄲城縣校級模擬)如果方程(k-1)xl"+3=0是關(guān)于x的一元一次方程，那么k

的值是—.

【思路點撥】根據(jù)一元一次方程的定義知|k|=l且未知數(shù)是系數(shù)k-"0,據(jù)此可以求得k的

值.

【答案】7.

【解析】

解：?.?方程(k-1)/1+3=0是關(guān)于x的一元一次方程,

|k|=l,且k-1M,

解得，k=-I；

故答案是：-1.

【總結(jié)升華】本題考查了一元一次方程的概念和解法.一元一次方程的未知數(shù)的指數(shù)為1,

且未知數(shù)的系數(shù)不為零.

舉一反三：

【高清課堂：一元一次方程復(fù)習(xí)393349等式和方程例(1)】

【變式】下列說法中正確的是().

A.22-2=2不是等式B.x2-2x-3是方程C.方程是等式D.等式是方程

【答案】C

C2.若方程3(xT)+8=2x+3與方程土吆==的解相同，求k的值.

53

【答案與解析】

解：解方程方x-l)+8=2x+3,得x=-2.

出2—x..—2+k2+2

將x=-2代入方程----=-----中，得------=-----.

5353

解這個關(guān)于k的方程，得女=竺.

3

所以，k=—.

3

【總結(jié)升華】由于兩個方程的解相同，所以可以將其中一個方程的解代入另一個方程中，從

而求得問題的答案.

舉一反三：

【變式】(春?泉州期中)當(dāng)*=_時，代數(shù)式2x+l與5x-8的值相等.

【答案】3.

解:根據(jù)題意得：2x+l=5x-8,

2x-5x=-8-1,

-3x=-9,

x=3.

類型二、一元一次方程的解法

3.解方程一-^=1

46

【思路點撥】通過方程的同解原理(去分母，去括號，合并同類項，系數(shù)化為1),一步一步

將一個復(fù)雜的方程轉(zhuǎn)化成與它同解的最簡的方程，從而達(dá)到求解的目的.

【答案與解析】

解：去分母，得3(y+2)-2(3-5y)=12

去括號，得3y+6-6+10y=12

合并同類項，得13y=12

未知數(shù)的系數(shù)化為1,得)=彗

13

【總結(jié)升華】轉(zhuǎn)化思想是初中數(shù)學(xué)中一種常見的思想方法，它能將復(fù)雜的問題轉(zhuǎn)化為簡單的

問題，將生疏的問題轉(zhuǎn)化為熟悉的問題，將未知轉(zhuǎn)化為已知.事實上解一元一次方程就是利

用方程的同解原理，將復(fù)雜的方程轉(zhuǎn)化為簡單的方程直至求出它的解.

【高清課堂：一元一次方程復(fù)習(xí)393349解方程例1(2)】

舉一反三：

_?0.lx+0.050.2%-0.055八

【變式】解方程：解方程：-----------------------+-=0

0.20.54

【答案】解：把方程可化為：葉”一生0+3=()

254

再去分母得：2》=一32

解得：x=-16

▼^4.解方程：3(x+l)--(x-l)=2(x-l)--(x+l)

22

【思路點撥】本題按常規(guī)方法求解，比較繁鎖，如能根據(jù)題目的特點，巧用“整體思維”，

就能算得又快又對，起到事半功倍的效果.

【答案與解析】

解：3(X+1)H—(x+1)=2(x—1)?)—(X—1)

22

75

-(x+l)=-(x-l)

22

7(x+l)=5(x—1)

7x+7=5x-5

2x=-12

x=-6

【總結(jié)升華】直接去括號太繁瑣，若將(x+1)及(X-D看作一個整體，并移項合并同類項，解

答十分巧妙，可免去去分母的步驟及簡化去括號的過程.

類型三、一元一次方程的應(yīng)用

e5.甲車從A地出發(fā)以60km/h的速度沿公路勻速行駛，0.5h后，乙車也從A地出

發(fā)，以80km/h的速度沿該公路與甲車同向勻速行駛，求乙車出發(fā)后幾小時追上甲車.

【答案與解析】

解：設(shè)乙車出發(fā)后x小時追上甲車，依題意得

60X0.5+60x=80x,

解得x=l.5.

答：乙車出發(fā)后1.5小時追上甲車.

【總結(jié)升華】此題的等量關(guān)系為：甲前0.5h的行程+甲后來的行程=乙的行程.

CG.如圖，一個盛有水的圓柱形玻璃容器的內(nèi)底面半徑為10cm,原容器內(nèi)水的高度為

12cm,把一根半徑為2cm的玻璃棒垂直插入水中后，問容器內(nèi)的水將升高多少cm?(圓柱

的體積=底面積X高)

【思路點撥】根據(jù)題意，得等量關(guān)系為：容器的底面積X容器中水的原來高度+玻璃棒的截

面積X(容器中水的高度+水增加的高度)=容器的底面積X(容器中水原來的高度+水增加

的高度).

【答案與解析】

解：解：設(shè)容器內(nèi)的水將升高xcm,據(jù)題意得：

Jt,102X12+n>22(12+x)=n^lO2(12+x),

1200+4(12+x)=100(12+x),

1200+48+4x=1200+100x,

96x=48,

x=0.5.

答：容器內(nèi)的水將升高0.5cm.

【總結(jié)升華】解題關(guān)鍵是要讀懂題目的意思，根據(jù)題目給出的條件，找出合適的等量關(guān)系，

列出方程，再求解.本題也可以根據(jù)水面上升部分的體積等于插入水中玻璃棒的體積來列等

量關(guān)系進(jìn)行求解.

C7.某商品的進(jìn)價為1500元，提高40%后標(biāo)價，若打折銷售，使其利潤為20%,則此商

品是按幾折銷售的？(結(jié)果精確到0.1)

【答案與解析】

解：設(shè)按x折銷售，根據(jù)題意得出：

1500X(1+40%)X—=1500X(1+20%),

10

解得xg8.6,

答：此商品是按8.6折銷售的.

【總結(jié)升華】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用，解此題的關(guān)鍵是弄清“售價=進(jìn)價+利潤”和

打幾折即現(xiàn)價就是原價的百分之幾十.

舉一反三：

【變式】“五一”期間，某商場搞優(yōu)惠促銷活動，決定由顧客抽獎確定折扣，某顧客購買甲、

乙兩種商品，分別抽到七折(按原銷售價70%銷售)和九折，共付款386元，這兩種商品原

銷售價之和為500元，問兩種商品原銷售價分別為多少元？

【答案】

解：設(shè)甲種商品原價X元，則乙種商品原價為(500-X)元，則：

70%x+90%(500-x)=386,

0.7x+450-0.9x=386,

0.2x=64,

x=320；

乙種商品原價為500-320=180(元)；

答：甲種商品原價為320元，乙種商品原價為180元.

【鞏固練習(xí)】

—?、選擇題

1.已知方程（加+1）父""-3=4是關(guān)于*的一元一次方程，則m的值是（）.

A.±1B.1C.-1D.0或1

2.已知x=l是方程2%一2=；*-。)的解，那么關(guān)于y的方程a(y+4)=2ay+4a的解

是().

A.y=lB.y=-lC.y=0D.方程無解

3.已知x+y+2(-x-y+l)=3(l-y-x)-4(y+x-l),則x+y等于().

4.一列火車長100米，以每秒20米的速度通過800米長的隧道，從火車進(jìn)入隧道起，至火

車完全通過所用的時間為（）.

A.50秒B.40秒C.45秒D.55秒

5.一架飛機(jī)在兩城間飛行，順風(fēng)要5.5小時，逆風(fēng)要6小時，風(fēng)速為24千米/時，求兩城

距離x的方程是（）.

x~24x+24

A.—-24=-+24

5.565.5-6

2xxxx…

C.------=-----24D.------=24

5.5+65.55.56

6.（?永州）永州市雙牌縣的陽明山風(fēng)光秀麗，歷史文化源遠(yuǎn)流長，尤以山頂數(shù)萬畝野生杜

鵑花最為壯觀，被譽為“天下第一杜鵑紅今年"五一"期間舉辦了"陽明山杜鵑花旅游文化

節(jié)”，吸引了眾多游客前去觀光賞花.在文化節(jié)開幕式當(dāng)天，從早晨8：00開始每小時進(jìn)入

陽明山景區(qū)的游客人數(shù)約為1000人，同時每小時走出景區(qū)的游客人數(shù)約為600人，已知陽

明上景區(qū)游客的飽和人數(shù)約為2000人，則據(jù)此可知開幕式當(dāng)天該景區(qū)游客人數(shù)飽和的時間

約為（）

A.10：00B.12：00C.13：00D.16：00

7.某書中一道方程題：2*+x*+l=x,□處在印刷時被墨蓋住了，查書后面的答案，得知

3

這個方程的解是x=-2.5,那么口處應(yīng)該是數(shù)字（）.

A.-2.5B.2.5C.5D.7

8.己知：2+2=22x2,3+-=32X-,4+—=42X—,5+—=52x—）…，

338815152424

若10+2=1（）2X2符合前面式子的規(guī)律，則a+b的值為（).

aa

A.179B.140C.109D.210

二、填空題

9.已知方程依2+3%+5=5%2一2%+2。是關(guān)于x的一元一次方程，則這個方程的解為

10.己知—〃+4|和5—3）2互為相反數(shù)，則加2—〃2=.

11.（?溫州校級自主招生）對于實數(shù)a,b,c,d,規(guī)定一種數(shù)的運算：|a/ad-bc,那

24

么當(dāng)=10時、x=.

-3x

12.一商店把某商品按標(biāo)價的九折出售仍可獲得20%的利潤率，若該商品的進(jìn)價是每件30

元，則標(biāo)價是每件元.

13.某種中草藥含甲、乙、丙、丁四種草藥成分，這四種草藥成分的質(zhì)量比是0.7：1：2：

4.7.現(xiàn)在要配制這種中藥1400克，這四種草藥分別需要多少克？設(shè)每份為x克，根據(jù)題意，

得_____________.

14.有一列數(shù)，按一定的規(guī)律排列：-1,2,-4,8,-16,32,—64,128,…，其中某

三個相鄰數(shù)之和為384,這三個數(shù)分別是.

c」a、.3x+al-5x,

15.已知關(guān)于x的方程3x-2x--=4x和方程不----丁=1有相同的解，

I2）128

則該方程的解為.

16.x表示一個兩位數(shù)，y表示一個三位數(shù)，若把x放在y的左邊組成一個五位數(shù)記作出，把

y放在x的左邊組成一個五位數(shù)記作M2,則Mi-M2是的倍數(shù).

三、解答題

17.解方程：

一、0.4x+0.90.03+0.02xx-5

0.50.032

113

（2）-[x--（x-l）]=-（2x+l）.

（3）I3x-2|-4=0.

18.探究：當(dāng)b為何值時，方程|x-2|=b+l①無解；②只有一個解；③有兩個解.

19.（?海淀區(qū)二模）小明堅持長跑健身.他從家勻速跑步到學(xué)校，通常需30分鐘.某周日，

小明與同學(xué)相約早上八點學(xué)校見，他七點半從家跑步出發(fā)，平均每分鐘比平時快了40米，

結(jié)果七點五十五分就到達(dá)了學(xué)校，求小明家到學(xué)校的距離.

20.商場計劃撥款9萬元，從廠家購進(jìn)50臺電視機(jī)，已知該廠家生產(chǎn)三種不同型號的電視

機(jī)，出場價分別為甲種每臺1500元，乙種每臺2100元，丙種每臺2500元.

（1）若商場同時購進(jìn)其中兩種不同型號的電視機(jī)共50臺，用去9萬元，請你研究一

下商場的進(jìn)貨方案；（2）若商場銷售一臺甲種電視機(jī)可獲利150元，銷售一臺乙種電視機(jī)可

獲利200元，銷售一臺丙種電視機(jī)可獲利250元.在同時購進(jìn)兩種不同型號的電視機(jī)的方案

中，為使銷售時獲利最多，該選擇哪種進(jìn)貨方案？

【答案與解析】

一、選擇題

1.【答案】B

【解析】由題意得|m|=L且m+IWO,所以m=l,故選B.

2.【答案】C

【解析】由x=l是方程2x-2=；(尤—a)的解，可代入求出a的值，然后把a(bǔ)的值代

入方程a(y+4)=2ay+4a中，求出y的值.

3.【答案】D

【解析】由原式可得：(x+y)-2(x+y)+2=3-3(x+y)—4(尤+y)+4,將“x+y”

看作整體，合并化簡即可.

4.【答案】C

【解析】相等關(guān)系是：火車所走的路程=火車長度+隧道長度.設(shè)火車完全通過所用時間

為x秒，可得方程20x=100+800,解得x=45.

5.【答案】A

【解析】解：???兩城距離為x,順風(fēng)要5.5小時，逆風(fēng)要6小時，

XX

.??順風(fēng)速度=—,逆風(fēng)速度=一，

5.56

?.?風(fēng)速為24千米/時，

YX

???可列方程為：-——24=—+24

5.56

6.【答案】C.

【解析】設(shè)開幕式當(dāng)天該景區(qū)游客人數(shù)飽和的時間約為x點，則

(x-8)x(1OOO-600)=2000,解得x=13.

即開幕式當(dāng)天該景區(qū)游客人數(shù)飽和的時間約為13：00.

7.【答案】C

【解析】把x=-2.5代入方程，再把□當(dāng)作未知數(shù)解方程即可.

8.【答案】C

【解析】觀察規(guī)律可得b=10,a=b°—1=99,所以a+b=109.

二、填空題

9.【答案】x=l

【解析】首先將原方程整理成(a—5)f+5x+5-2。=。的形式，由一元一次方程的定

義可知，二次項系數(shù)為0,所以a=5,代入方程中即可求出x的值.

10.【答案】-8

【解析】兩數(shù)互為相反數(shù)，則和為0,由非負(fù)數(shù)的性質(zhì)可知m-n+4=0,且『3=0.從而

得m=T,n=3.

11.【答案】-1.

【解析】由題意得，2x+12=10,解得x=-l.故答案為：-1.

12.【答案】40

【解析】解：設(shè)標(biāo)價為X元，則有0.9x=30(l+20%),解得：x=40

13.【答案】0.7x+x+2x+4.7x=1400

14.【答案】128,—256,512

【解析】通過觀察可得：第〃個數(shù)為：(—I)”"，所以第9,10個數(shù)分別為：—256,512,

經(jīng)檢驗滿足題意.

Q1

15.【答案】—

77

【解析】分別解得這兩個關(guān)于x的方程的解為尤=姆，*=士”,由它們相等得

721

27

a=—,代入其中一解可得答案.

11

16.【答案】9

【解析】Mi=1000x+y,M2=100y+x,M.-M2=9(lllx-lly),所以一定是9的倍數(shù).

三、解答題

17.【解析】

解：(1)整理，得生史一生上=0,

532

去分母，得6(4x+9)—10(3+2x)=15(x—5),

去括號，得24x+54—30—20x=15x-75,

移項，得24x—20x—15x=—75—54+30,

合并，得一1lx=—99,

系數(shù)化為1,得x=9.

77

(2)原方程可化為：‘X」

612

解得：x=—

2

(3)原式可化為：I3x-2I=4

2

由3x—2=4,可得：x=2；由3x—2=—4,可得：x——

3

2

所以原方程的解為：x=2,x=--.

3

18.【解析】

解：①當(dāng)。+1<0,即b<-l時，原方程無解；

②當(dāng)b+l=0,即b=T時，原方程只有一個解；

③當(dāng)匕+1>0,即b>T時，原方程有兩個解.

19.【解析】

解：設(shè)小明家到學(xué)校的距離為x米，

由題意，得W+40=工,

3025

解得x=6000.

答：小明家到學(xué)校的距離為6000米.

20.【解析】

解：（1）①解：設(shè)購進(jìn)甲種電視機(jī)x臺，則購進(jìn)乙種電視機(jī)（50—X）臺，根據(jù)題意，得

1500X+2100（50-x）=90000.

解得：x=25,貝?。?0—尤=25.

故第一種進(jìn)貨方案是購甲、乙兩種型號的電視機(jī)各25臺.

②設(shè)購進(jìn)甲種電視機(jī)）臺，則購進(jìn)丙種電視機(jī)（50—y）臺，根據(jù)題意，得

1500^+2500（50-y）=90000.

解得：）=35,則50-y=15.

故第二種進(jìn)貨方案是購進(jìn)甲種電視機(jī)35臺，丙種電視機(jī)15臺.

③設(shè)購進(jìn)乙種電視機(jī)z臺，則購進(jìn)丙種電視機(jī)（50-z）臺，購進(jìn)題意，得

2100z+2500（50-z）=90000.

解得：z=87.5（不合題意）.

故此種方案不可行.

（2）上述的第一種方案可獲利：150X25+200X25=8750元，

第二種方案可獲利：150X35+250X15=9000元，

因為875（X9000,故應(yīng)選擇第二種進(jìn)貨方案.

《一元一次方程》全章復(fù)習(xí)與鞏固(提高)知識講解

責(zé)編：康紅梅

【學(xué)習(xí)目標(biāo)】

1.經(jīng)歷建立方程模型、解方程和運用方程解決實際問題的過程，體會模型思想；

2.了解一元一次方程、方程的解等基本概念，會解數(shù)字系數(shù)的一元一次方程，感受轉(zhuǎn)化思

想；

3.能運用一元一次方程解決實際問題，能根據(jù)實際意義檢驗方程的解的合理性.

【知識網(wǎng)絡(luò)】

方程

一元一次方程依據(jù)概念解

r基本概念-

方程的解答相關(guān)問題

解方程

等式性質(zhì)1等式性質(zhì)的

-等式性質(zhì)-

等式性質(zhì)2靈活運用

-去分母

元

去括號

一一元一次方

次移項

方程的解法一程的求解

方合并

程系數(shù)化成1

面積問題以不史應(yīng)萬變

等積變形

消費，方案選擇問題

行程問題

「實際運用-總分問題

工程問題

的解答

配套問題

銷售盈虧問題從埼繁復(fù)雜的

數(shù)量關(guān)系中探

圖共信息問題索等量關(guān)系

【要點梳理】

要點一、一元一次方程的概念

1.方程：含有未知數(shù)的等式叫做方程.

2.一元一次方程：只含有一個未知數(shù)(元)，未知數(shù)的次數(shù)都是1,這樣的方程叫做一元一

次方程.

要點詮釋：

(1)一元一次方程變形后總可以化為ax+b=O(a#O)的形式，它是一元一次方程的標(biāo)準(zhǔn)形

式.

(2)判斷是否為一元一次方程，應(yīng)看是否滿足：①只含有一個未知數(shù)，未知數(shù)的次數(shù)為1；

②未知數(shù)所在的式子是整式，即分母中不含未知數(shù).

3.方程的解：使方程的左、右兩邊相等的未知數(shù)的值叫做這個方程的解.

4.解方程：求方程的解的過程叫做解方程.

要點二、等式的性質(zhì)與去括號法則

1.等式的性質(zhì)：

等式的性質(zhì)1:等式兩邊同時加上(或減去)同一個代數(shù)式，所得結(jié)果仍是等式.

等式的性質(zhì)2：等式兩邊乘同一個數(shù)，(或除以同一個不為0的數(shù))，所得結(jié)果仍是等式.

2.合并法則：合并時，把系數(shù)相加(減)作為結(jié)果的系數(shù)，字母和字母的指數(shù)保持不變.

3.去括號法則：

(1)括號外的因數(shù)是正數(shù)，去括號后各項的符號與原括號內(nèi)相應(yīng)各項的符號相同.

(2)括號外的因數(shù)是負(fù)數(shù)，去括號后各項的符號與原括號內(nèi)相應(yīng)各項的符號相反.

要點三、一元一次方程的解法

解一元一次方程的一般步驟：

(1)去分母：在方程兩邊同乘以各分母的最小公倍數(shù).

(2)去括號：依據(jù)乘法分配律和去括號法則，先去小括號，再去中括號，最后去大括號.

(3)移項：把含有未知數(shù)的項移到方程一邊，常數(shù)項移到方程另一邊.

(4)合并：逆用乘法分配律，分別合并含有未知數(shù)的項及常數(shù)項，把方程化為ax=b(aWO)

的形式.

b

(5)系數(shù)化為1：方程兩邊同除以未知數(shù)的系數(shù)得到方程的解x=—(aWO).

a

(6)檢驗：把方程的解代入原方程，若方程左右兩邊的值相等，則是方程的解；若方程左右

兩邊的值不相等，則不是方程的解.

要點四、用一元一次方程解決實際問題的常見類型

1.等積變形：①形狀面積變了，周長沒變；②原體積=變化后體積.

2.利潤問題：商品利潤=商品售價一商品進(jìn)價

3.行程問題：路程=速度X時間

4.和差倍分問題：增長量=原有量X增長率

5.工程問題：工作量=工作效率X工作時間，各部分勞動量之和=總量

6.銀行存貸款問題：本息和=本金+利息，利息=本金X利率X期數(shù)

7.數(shù)字問題：多位數(shù)的表示方法：例如：^^=axlO3+/?xlO2+cxlO+J.

8.方案問題：(1)運用一元一次方程解應(yīng)用題的方法求解兩種方案值相等的情況.

(2)用特殊值試探法選擇方案，取小于(或大于)一元一次方程解的值，比較兩種方案的

優(yōu)劣性后下結(jié)論.

【典型例題】

類型一、一元一次方程的相關(guān)概念

1.已知方程(3111-4)乂2-(5-3111”-4[11=-2111是關(guān)于*的一元一次方程，求m和x的值.

【思路點撥】若一個整式方程經(jīng)過化簡變形后，只含有一個未知數(shù)，并且未知數(shù)的次數(shù)都

是1,系數(shù)不為0,則這個方程是一元一次方程.

【答案與解析】

解：因為方程(3?1-4)*2-(5-301)*-41!)=-2小是關(guān)于乂的一元一次方程，

所以3nr4=0且5-3mW0.

44,4

由3ni-4=0解得根,又〃2=—能使5-3mN0,所以m的值是一.

333

4，4、8區(qū)

將加=一代入原方程，則原方程變?yōu)橐?—3x—卜=—,解得工二一2.

3I3J33

.48

所cr以機(jī)=一,x-—.

33

【總結(jié)升華】解答這類問題，一定要嚴(yán)格按照一元一次方程的定義.方程

(3m-4)x2-(5-3m)x-4m=-2m2是關(guān)于x的一元一次方程，就是說x的二次項系數(shù)3m-4=0,

而x的一次項系數(shù)5-3mW0,m的值必須同時符合這兩個條件.

舉一反三：

【高清課堂：一元一次方程復(fù)習(xí)393349等式和方程例31

【變式】下面方程變形中，錯在哪里：

(1)方程2x=2y兩邊都減去x+y,得2x-(x+y)=2y-(x+y),即x-y=-(x-y).

方程x-y=-(x-y)兩邊都除以x-y,得1=T.

3—7x2x+1

(2)-----=------+2x,去分母，得3(3-7x)=2(2x+l)+2x,去括號得：9-21x=4x+2+2x.

23

【答案】(1)答：錯在第二步，方程兩邊不能除以x-y,只有一種可能就是x-y為0了，所

以出現(xiàn)了1=-1的錯誤，也就是說對于等式性質(zhì)來說，如果想要除以式子來說，這個式子一

定是不能為0的.

(2)答：錯在第一步，去分母時2x項沒乘以公分母6.

C2.(秋?營山縣校級期中)對于ax+b=O(a,b為常數(shù))，表述正確的是(>

A.當(dāng)a—0時，方程的解是x=kB.當(dāng)a=0,bxO時，方程有無數(shù)解

a

C.當(dāng)a=0,b=0,方程無解D.以上都不正確

【答案】D.

【解析】

解：A、當(dāng)axO時，方程的解是x=-2故錯誤；

a

B、當(dāng)a=0,bxO時，方程無解，故錯誤；

C、當(dāng)a=0,b=0,方程有無數(shù)解，故錯誤；

D、以上都不正確.

【總結(jié)升華】此題很簡單，解答此題的關(guān)鍵是：正確記憶一元一次方程的一般形式中，一次

項系數(shù)不等于0.

舉一反三：

【變式】已知|x+l|+(y+2x)2=0,則x>'=.

【答案】1

類型二、一元一次方程的解法

3.解方程：解方程3{2xT-[3(2xT)+3]}=5.

【答案與解析】

解：把2x-l看做一個整體.去括號，得：

3(2x-l)-9(2x-l)-9=5.

合并同類項，得-6(2x7)=14.

系數(shù)化為1得：21一1=一7上，

3

2

解得x=--.

3

【總結(jié)升華】把題目中的2xT看作一個整體，從而簡化了計算過程.本題也可以考慮換元

法：設(shè)2xT=a,則原方程化為3[a-(3a+3)]=5.

舉一反三：

AT._x.Tnz+26-7z5-2z2z-5

【變式】解方程z+——+-----=-----

4436

【答案】

解：把方程兩邊含有分母的項化整為零，得

z267z52z2z5

ZH---1---1------=-----------1--

44443366

移項，合并同類項得：-z=-,

22

系數(shù)化為1得：Z=l.

類型三、特殊的一元一次方程的解法

1.解含字母系數(shù)的方程

解關(guān)于X的方程：-m(x-n)=-(x+2m)

34

【思路點撥】這個方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式后，未知數(shù)X的系數(shù)和常數(shù)都是以字母形式出現(xiàn)的，所

以方程的解的情況與X的系數(shù)和常數(shù)的取值都有關(guān)系.

【答案與解析】

解：原方程可化為：(4//J—3)x=4-mn+6m-2m(2n+3)

當(dāng)機(jī)W23時，原方程有唯--解：4/7777+6772;

44/77-3

當(dāng)機(jī)=33,〃=—三3時，原方程無數(shù)個解；

42

33

當(dāng)m=一?nH—時，原方程無解；

42

【總結(jié)升華】解含字母系數(shù)的方程時，一般化為最簡形式奴=〃，再分類討論進(jìn)行求解，

注意最后的解不能合并，只能分情況說明.

2.解含絕對值的方程

5.解方程|x-2|=3.

【答案與解析】

解：當(dāng)x-220時，原方程可化為x-2=3,得x=5.

當(dāng)x-2<0時，原方程可化為-(x-2)=3,得x=T.

所以x=5和x=-l都是方程|x-2|=3的解.

【總結(jié)升華】如圖所示，可以看出點-1與5到點2的距離均為3,所以|x-2|=3的意義為

在數(shù)軸上到點2的距離等于3的點對應(yīng)的數(shù)，即方程|x-2=3的解為x=-l和x=5.

-1012345

舉一反三：

【變式】若關(guān)于x的方程|2x—3|+加=0無解，|3x—4|+〃=0只有一個解，|4%—5|+左=0

有兩個解，

則機(jī),“次的大小關(guān)系為：（）

A.m>n>kB.n>k>mC.k