數(shù)字信號(hào)處理第一章差分方程、抽樣

§1.3

離散時(shí)間系統(tǒng)的時(shí)域描述––––差分方程一、常系數(shù)線性差分方程的一般表達(dá)式或其中ak，br都是常數(shù)。系統(tǒng)——用方程描述系統(tǒng)輸出輸入之間的關(guān)系。系統(tǒng)——用差分方程描述或研究輸出輸入之間的關(guān)系。1數(shù)字信號(hào)處理第一章差分方程、抽樣說(shuō)明：

1）常系數(shù)：是指ak，br都是常數(shù)，不含變數(shù)n。

2）階數(shù)：差分方程的階數(shù)是由方程y(n-k)項(xiàng)中的k取值最大與最小之差確定的。

3）線性：y（n?k）和x(n?r)項(xiàng)都只有一次冪且不存在相乘項(xiàng)。

2數(shù)字信號(hào)處理第一章差分方程、抽樣二、差分方程的求解時(shí)域經(jīng)典法：類(lèi)似于解微分方程，即求齊次解和特解，過(guò)程繁瑣，應(yīng)用很少，但物理概念比較清楚。迭代法(遞推法)：比較簡(jiǎn)單，且適合于計(jì)算機(jī)求解，但不能直接給出一個(gè)完整的解析式作為解答（也稱(chēng)閉合形式解答）。卷積法：適用于系統(tǒng)起始狀態(tài)為零時(shí)的求解。變換域方法：類(lèi)似于連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的拉普拉斯變換，這里采用Z變換法來(lái)求解差分方程，這在實(shí)際使用上是最簡(jiǎn)單有效的方法。3數(shù)字信號(hào)處理第一章差分方程、抽樣例題：解：（1）令x(n)=δ(n)，y(n)=h(n)=0，n<0根據(jù)初始條件可遞推如下

y(0)=ay(-1)+δ(0)=1

y(1)=ay(0)+δ(1)=a

y(2)=ay(1)+δ(2)=a2……y(n)=ay(n-1)=an因此，h(n)=y(n)=anu(n)，該系統(tǒng)是因果系統(tǒng)。若系統(tǒng)用差分方程y(n)=ay(n-1)+x(n)描述，輸入序列x(n)=δ(n)，求初始條件分別為：（1）h(n)=0，n<0；（2）h(n)=0，n>0時(shí)的單位脈沖響應(yīng)h(n)。δ(n)作用下，輸出y(n)就是

h(n)4數(shù)字信號(hào)處理第一章差分方程、抽樣

已知：y(n)=ay(n-1)+x(n)，求h(n)=0，n>0時(shí)的h(n)

（2）將差分方程改寫(xiě)成y(n-1)=a-1[y(n)-x(n)]根據(jù)初始條件可遞推如下y(0)=a-1[y(1)-δ(1)]=0

y(-1)=a-1[y(0)-δ(0)]=-a-1……

y(n)=ay(n-1)=-an

因此，h(n)=y(n)=-anu(-n-1)，是非因果系統(tǒng)。5數(shù)字信號(hào)處理第一章差分方程、抽樣以上結(jié)果說(shuō)明：（1）一個(gè)常系數(shù)線性差分方程不一定代表一個(gè)因果系統(tǒng)。（2）一個(gè)常系數(shù)線性差分方程，如果沒(méi)有附加的起始條件，不能唯一的確定一個(gè)系統(tǒng)的輸入輸出關(guān)系，并且只有當(dāng)起始條件選擇合適時(shí)，才相當(dāng)于一個(gè)線性時(shí)不變系統(tǒng)。

在以下的討論中，除非特別聲明，我們都假設(shè)常系數(shù)線性差分方程所表示的系統(tǒng)都是指線性時(shí)不變系統(tǒng)，并且多數(shù)是指因果系統(tǒng)。6數(shù)字信號(hào)處理第一章差分方程、抽樣Z-1ax(n)y(n)采用差分方程描述系統(tǒng)簡(jiǎn)便，容易得到系統(tǒng)的運(yùn)算結(jié)構(gòu)差分方程系統(tǒng)結(jié)構(gòu)該式說(shuō)明，系統(tǒng)在某時(shí)刻n的輸出值y(n)不僅與該時(shí)刻的輸入x(n)有關(guān)，還與該時(shí)刻以前的輸出值y(n-1)，y(n-2)等有關(guān)。

7數(shù)字信號(hào)處理第一章差分方程、抽樣§1.4連續(xù)時(shí)間信號(hào)的抽樣前置預(yù)濾波器A/D變換器數(shù)字信號(hào)處理器D/A變換器模擬濾波器模擬xa(t)PrFADCDSPDACPoF模擬ya(t)采樣采樣恢復(fù)8數(shù)字信號(hào)處理第一章差分方程、抽樣一、采樣的基本概念

采樣的原理框圖采樣器連續(xù)信號(hào)采樣脈沖采樣信號(hào)所謂“采樣”，就是利用采樣脈沖序列從連續(xù)時(shí)間信號(hào)中抽取一系列的離散樣值，由此得到的離散時(shí)間信號(hào)通常稱(chēng)為采樣信號(hào)，以表示。9數(shù)字信號(hào)處理第一章差分方程、抽樣兩種采樣方式（a）實(shí)際采樣（b）理想采樣

10數(shù)字信號(hào)處理第一章差分方程、抽樣采樣前后信號(hào)頻譜的變化？研究討論：什么條件下，可以從采樣信號(hào)不失真地恢復(fù)出原信號(hào)？11數(shù)字信號(hào)處理第一章差分方程、抽樣二、理想采樣

1.時(shí)域分析數(shù)學(xué)模型采樣脈沖：理想采樣輸出:12數(shù)字信號(hào)處理第一章差分方程、抽樣2.頻域分析

映射時(shí)域相乘頻域卷積（模擬系統(tǒng)）

13數(shù)字信號(hào)處理第一章差分方程、抽樣2.頻域分析（1)沖激函數(shù)序列δT(t)的頻譜

可求解出:

因?yàn)?4數(shù)字信號(hào)處理第一章差分方程、抽樣

（2）理想采樣信號(hào)的頻譜15數(shù)字信號(hào)處理第一章差分方程、抽樣

（2）理想采樣信號(hào)的頻譜上式表明：

（1）頻譜產(chǎn)生周期延拓。即采樣信號(hào)的頻譜是頻率的周期函數(shù)，其周期為Ωs。

（2）頻譜的幅度是Xa(jΩ)的1/T倍。16數(shù)字信號(hào)處理第一章差分方程、抽樣三、時(shí)域采樣定理

如果信號(hào)xa(t)是帶限信號(hào)，且最高頻率不超過(guò)Ωs/2，即那么采樣頻譜中，基帶頻譜以及各次諧波頻譜彼此是不重疊的。用一個(gè)帶寬為Ωs/2的理想低通濾波器，可以不失真的還原出原來(lái)的連續(xù)信號(hào)。

頻譜混疊現(xiàn)象：如果信號(hào)最高頻率超過(guò)Ωs/2，那么在采樣頻譜中，各次調(diào)制頻譜就會(huì)相互交疊起來(lái)折疊頻率：Ωs/2或fs/217數(shù)字信號(hào)處理第一章差分方程、抽樣采樣信號(hào)的頻譜圖18數(shù)字信號(hào)處理第一章差分方程、抽樣奈奎斯特采樣定理：

若原始信號(hào)是帶限信號(hào)，為使采樣后能不失真的還原出原信號(hào)，抽樣頻率必須大于兩倍信號(hào)最高頻率，即為避免混疊，一般在抽樣器前加入一個(gè)保護(hù)性的前置低通濾波器，將高于折疊頻率的分量濾除掉。工程上一般取19數(shù)字信號(hào)處理第一章差分方程、抽樣四、采樣的恢復(fù)（內(nèi)插）

1.頻域分析20數(shù)字信號(hào)處理第一章差分方程、抽樣2.時(shí)域分析

把輸出看成是與理想低通單位沖激響應(yīng)h(t)的卷積。理想低通H(jΩ)的沖激響應(yīng)為：21數(shù)字信號(hào)處理第一章差分方程、抽樣

根據(jù)卷積公式，低通濾波器的輸出為：22數(shù)字信號(hào)處理第一章差分方程、抽樣采樣內(nèi)插公式

內(nèi)插函數(shù)權(quán)內(nèi)插公式內(nèi)插函數(shù)有一個(gè)重要特點(diǎn)：在抽樣點(diǎn)nT上函數(shù)值為1，在其余抽樣點(diǎn)上函數(shù)值都為0

內(nèi)插結(jié)果使得被恢復(fù)的信號(hào)在采樣點(diǎn)的值就等于xa(nT)，采樣點(diǎn)之間的信號(hào)則是由各采樣值內(nèi)插函數(shù)的波形延伸疊加而成的。

23數(shù)字信號(hào)處理第一章差分方程、抽樣

采樣內(nèi)插公式說(shuō)明，只要采樣頻率高于兩倍信號(hào)最高頻率，則整個(gè)連續(xù)信號(hào)就可以完全用它的采樣值來(lái)代表，而不會(huì)丟掉任何信息。這就是奈奎斯特定理的意義。奈奎斯特定理的意義24數(shù)字信號(hào)處理第一章差分方程、抽樣五、實(shí)際抽樣抽樣脈沖不是沖激函數(shù)，而是一定寬度的矩形周期脈沖其中系數(shù)Ck隨k變化抽樣信號(hào)頻譜25數(shù)字信號(hào)處理第一章差分方程、抽樣抽樣信號(hào)的頻譜是連續(xù)信號(hào)頻譜的周期延拓，周期為Ωs若滿足奈奎斯特抽樣定理，則不產(chǎn)生頻譜混疊失真抽樣后頻譜幅度隨著頻率的增加而下降幅度變化并不影響信號(hào)恢復(fù)26數(shù)字信號(hào)處理第一章差分方程、抽樣

例：模擬信號(hào)，其中

1）求xa(t)的周期，采樣頻率應(yīng)為多少？采樣間隔應(yīng)為多少？

2）若選采樣頻率fs=200Hz，采樣間隔為多少？寫(xiě)出采樣信號(hào)的表達(dá)式。

3）畫(huà)出對(duì)應(yīng)的時(shí)域離散信號(hào)x(n)的波形，并求出x(n)的周期。27數(shù)字信號(hào)處理第一章差分方程、抽樣

解：1）由，可得

2），由，可得28數(shù)字信號(hào)處理第一章差分方程、抽樣