2023學(xué)年陜西省渭濱高三下學(xué)期第五次調(diào)研考試數(shù)學(xué)試題含解析

2023年高考數(shù)學(xué)模擬試卷

考生請(qǐng)注意：

1.答題前請(qǐng)將考場(chǎng)、試室號(hào)、座位號(hào)、考生號(hào)、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標(biāo)記。

2.第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號(hào)內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的

位置上。

3.考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.設(shè)復(fù)數(shù)二滿足|z-3|=2,z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為勿，則“不可能為()

A.(2,73)B.(3,2)C.(5,0)D.(4,1)

2.已知點(diǎn)P是雙曲線C:[—==1(。＞00〉0,。=〃7壽)上一點(diǎn)，若點(diǎn)P到雙曲線。的兩條漸近線的距離之積

a~b~

為J。？，則雙曲線。的離心率為()

4

A.y/2B.與C.73D.2

3.設(shè)。={一1,0,1,2},集合A=,則QA=()

A.{0,1,2}B.{-1,1,2}C.{-1,0,2}D.{-1,0,1}

4.已知復(fù)數(shù)二滿足(l—i)z=4i,則忖=()

A.272B.2C.4D.3

5.復(fù)數(shù)4在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為(2,3)/2=-2+。則五=()

18.18,八，8.,8.

A.---1--zB.------1C.-1+—zD.-1——I

555555

6.陀螺是中國(guó)民間較早的娛樂(lè)工具之一，但陀螺這個(gè)名詞，直到明朝劉侗、于奕正合撰的《帝京景物略》一書(shū)中才正

式出現(xiàn).如圖所示的網(wǎng)格紙中小正方形的邊長(zhǎng)均為1,粗線畫出的是一個(gè)陀螺模型的三視圖，則該陀螺模型的表面積為

()

A.(85/5+4V2+4)7rB.(8石+8夜+4卜

C.(86+4夜+16)兀D.卜括+8拒+16)兀

7.兩圓(x+a)-+y=4和f+(y—勾-=1相外切，且,力/(),則三〉的最大值為(）

91

A.-B.9C.-D.1

43

8.已知某幾何體的三視圖如右圖所示，則該幾何體的體積為()

k-2-H

俯視aa

10118

A.3B.—C.—D.—

333

9.在等差數(shù)列｛4｝中，若s“為前〃項(xiàng)和，2%=〃“+12,則S”的值是（）

A.156B.124C.136D.180

10.在正方體AC|中，E是棱CG的中點(diǎn)，尸是側(cè)面8CGg內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，且4尸與平面RAE的垂線垂直，如圖所示,

下列說(shuō)法不正確的是()

A.點(diǎn)尸的軌跡是一條線段B.4尸與BE是異面直線

C.A尸與不可能平行D.三棱錐尸-的體積為定值

11.已知直線產(chǎn)依x+l)30)與拋物線C：y2=4x相交于A,8兩點(diǎn)，尸為C的焦點(diǎn)，^\FA\=2\FB\,則|陽(yáng)=()

A.1B.2C.3D.4

12.已知函數(shù)〃x）=—+2018tanx+f（加＞O,“wl）,若/⑴=3,則/（一。等于（

mx+\

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.在平面直角坐標(biāo)系X0V中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(0,5),點(diǎn)3是直線/：y=gx上位于第一象限內(nèi)的一點(diǎn).已知以A3

為直徑的圓被直線/所截得的弦長(zhǎng)為26，則點(diǎn)B的坐標(biāo).

14.學(xué)校藝術(shù)節(jié)對(duì)同一類的A3,。,。四項(xiàng)參賽作品，只評(píng)一項(xiàng)一等獎(jiǎng)，在評(píng)獎(jiǎng)揭曉前，甲、乙、丙、丁四位同學(xué)對(duì)

這四項(xiàng)參賽作品預(yù)測(cè)如下：甲說(shuō)：“A作品獲得一等獎(jiǎng)”；乙說(shuō)：“。作品獲得一等獎(jiǎng)”；丙說(shuō)：“B,O兩項(xiàng)作品未獲

得一等獎(jiǎng)，，；丁說(shuō)：“是A或。作品獲得一等獎(jiǎng)”，若這四位同學(xué)中只有兩位說(shuō)的話是對(duì)的，則獲得一等獎(jiǎng)的作品是一.

15.已知數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和為S?,q=l,且滿足S“=a”|,則數(shù)列⑸｝的前10項(xiàng)的和為.

22

16.若雙曲線C：A—2=1(。＞0力＞0)的離心率為質(zhì)，則雙曲線C的漸近線方程為.

ab~

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。

17.(12分)在直角坐標(biāo)系中，曲線C的參數(shù)方程為〈(/為參數(shù)).點(diǎn)〃(%,%)在曲線c上，點(diǎn)為肛?cái)?shù)

m=2x0

滿足〈

"=30

(I)以坐標(biāo)原點(diǎn)。為極點(diǎn)，X軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，求動(dòng)點(diǎn)。的軌跡G的極坐標(biāo)方程；

7rli

(2)點(diǎn)A,3分別是曲線G上第一象限，第二象限上兩點(diǎn)，且滿足44。8=工，求；7門+示中的值.

2\OA\-\OB|-

18.(12分)已知函數(shù)/.(x)=x2—2xlnx,函數(shù)g(x)=x+4—(Inx)?,其中aeR,%是g(x)的一個(gè)極值點(diǎn)，且

g（占）=2.

(1)討論/(x)的單調(diào)性

(2)求實(shí)數(shù)與和。的值

0）證明>7777r7>532〃+1）nwN"

A=1-12

19.(12分)在AA3C中，內(nèi)角A,8,C所對(duì)的邊分別為a/,c,已知標(biāo)b,且

cos2A-cos2B=V3sinAcosA-V3sinBcosB*

（I）求角C的大小；

（U）若c=8,求A4BC面積的取值范圍.

x廣=-t肉血.為參數(shù)）'曲線|x=cos0

20.（12分）已知直線/：,為參姒

（1）設(shè)/與G相交于A,6兩點(diǎn)，求|/3|;

（2）若把曲線G上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)壓縮為原來(lái)的，倍，縱坐標(biāo)壓縮為原來(lái)的趙倍，得到曲線設(shè)點(diǎn)P是曲線C,上

22

的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求它到直線/距離的最小值.

x=]+2cosa

21.（12分）在平面直角坐標(biāo)系X。），中，曲線C的參數(shù)方程是c.（a為參數(shù)），以原點(diǎn)。為極點(diǎn)，X軸正

y=2sina

半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，直線/的極坐標(biāo)方程為0cos

（I）求曲線C的普通方程與直線/的直角坐標(biāo)方程；

（II）已知直線/與曲線C交于A,B兩點(diǎn),與X軸交于點(diǎn)P,求|孫卜|。邳.

22.（10分）以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸，且在兩種坐標(biāo)系中取相同的長(zhǎng)度單位，建立極坐標(biāo)系，判斷

x=l+2。_

直線/：《c。為參數(shù)）與圓C：22+22cose—2「sin6=0的位置關(guān)系.

y=l-2t

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.D

【解析】

依題意，設(shè)2=。+罰，由|z—3|=2,得（a—3>+〃=4,再一一驗(yàn)證.

【詳解】

設(shè)2=。+〃，

因?yàn)閨z-3|=2,

所以3-3）2+〃=4,

經(jīng)驗(yàn)證"（4,1）不滿足，

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了復(fù)數(shù)的概念、復(fù)數(shù)的幾何意義，還考查了推理論證能力，屬于基礎(chǔ)題.

2.A

【解析】

設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（利,〃），代入橢圓方程可得加2一然后分別求出點(diǎn)2到兩條漸近線的距離，由距離之

1,

積為丁L并結(jié)合〃療-A、/人可得到，的齊次方程'進(jìn)而可求出離心率的值.

【詳解】

加2n2

設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（加,〃），有彳-1f得b2m之—a2H之=a2b2.

CL

雙曲線的兩條漸近線方程為法-效=0和云+ay=O,則點(diǎn)P到雙曲線C的兩條漸近線的距離之積為

忙/一八22

\bm—an\\bm+an\_1_ab

\la2+b2-Ja2+h2c'

〃2序i2

所以2-=2c2,貝！14a2（C2—/）=。4,即（。2_2。2）-=0,故c2_2a2=o,即e2=1=2,所以e=0.

c4、/a

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題考查雙曲線的離心率，構(gòu)造〃,》,c的齊次方程是解決本題的關(guān)鍵，屬于中檔題.

3.B

【解析】

先化簡(jiǎn)集合A,再求C°A.

【詳解】

由得：T<x<l,所以A={0},因此24={-1,1,2},故答案為B

【點(diǎn)睛】

本題主要考查集合的化簡(jiǎn)和運(yùn)算，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的掌握水平和計(jì)算推理能力.

4.A

【解析】

由復(fù)數(shù)除法求出z,再由模的定義計(jì)算出模.

【詳解】

4z_4;(l+f)

=-2+2i,\z\=2yf2.

1-z-(l-z)(l+z)

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題考查復(fù)數(shù)的除法法則，考查復(fù)數(shù)模的運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.

5.B

【解析】

z.

求得復(fù)數(shù)4,結(jié)合復(fù)數(shù)除法運(yùn)算，求得」的值.

Z2

【詳解】

z.2+3z(2+3z)(-2-z)(2+3z)(-2-z)-1-8/8.

—z

易知「2+3i,則：H=(-2+i)(-2方=—5-55

故選：B

【點(diǎn)睛】

本小題主要考查復(fù)數(shù)及其坐標(biāo)的對(duì)應(yīng)，考查復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.

6.C

【解析】

根據(jù)三視圖可知，該幾何體是由兩個(gè)圓錐和一個(gè)圓柱構(gòu)成，由此計(jì)算出陀螺的表面積.

【詳解】

最上面圓錐的母線長(zhǎng)為2逝，底面周長(zhǎng)為2兀*2=4兀，側(cè)面積為gx2后X4TT=4后兀，下面圓錐的母線長(zhǎng)為2行，

底面周長(zhǎng)為2兀乂4=8兀，側(cè)面積為1x26x8兀=86兀，沒(méi)被擋住的部分面積為兀x4?—兀x2?=12兀，中間圓柱的

2

側(cè)面積為27rx2x1=4兀.故表面積為(875+472+16)^-,故選C.

【點(diǎn)睛】

本小題主要考查中國(guó)古代數(shù)學(xué)文化，考查三視圖還原為原圖，考查幾何體表面積的計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題.

7.A

【解析】

由兩圓相外切，得出〃=9,結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)，即可得出答案.

【詳解】

因?yàn)閮蓤A(x+af+V=4和f+(),一92=1相外切

所以J/+/=3,即/+/=9

Q2b29

值

取8-1-

224-

aT+4

故選：A

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了由圓與圓的位置關(guān)系求參數(shù)，屬于中檔題.

8.B

【解析】

由三視圖知：幾何體是直三棱柱消去一個(gè)三棱錐，如圖:

1112

直三棱柱的體積為77*2x2x2=4,消去的三棱錐的體積為:;x=x2x1x2=彳，

2323

2IQ

二幾何體的體積V=4-W=T，故選B.

33

點(diǎn)睛：本題考查了由三視圖求幾何體的體積，根據(jù)三視圖判斷幾何體的形狀及相關(guān)幾何量的數(shù)據(jù)是解答此類問(wèn)題的關(guān)

鍵；幾何體是直三棱柱消去一個(gè)三棱錐，結(jié)合直觀圖分別求出直三棱柱的體積和消去的三棱錐的體積，相減可得幾何

體的體積.

9.A

【解析】

因?yàn)?+41=2%=?！?12,可得%=12,根據(jù)等差數(shù)列前〃項(xiàng)和，即可求得答案.

【詳解】

,/%+4i=2%=4]+12,

%=12,

???3I%"；"")=13%=13x12=156.

故選:A.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了求等差數(shù)列前〃項(xiàng)和，解題關(guān)鍵是掌握等差中項(xiàng)定義和等差數(shù)列前〃項(xiàng)和公式，考查了分析能力和計(jì)

算能力，屬于基礎(chǔ)題.

10.C

【解析】

分別根據(jù)線面平行的性質(zhì)定理以及異面直線的定義，體積公式分別進(jìn)行判斷.

【詳解】

對(duì)于A,設(shè)平面ARE與直線交于點(diǎn)G,連接4G、EG,則G為8C的中點(diǎn)

分別取用3、與。1的中點(diǎn)”、N,連接AM、MN、AN,

QAMIID\E,AMU平面。|AE,QEu平面。1AE,

.?.AM//平面RAE.同理可得肱V//平面2AE,

???AM、MN是平面內(nèi)的相交直線

，平面4MN//平面。由此結(jié)合平面RAE，可得直線APu平面

即點(diǎn)尸是線段"N上上的動(dòng)點(diǎn).正確.

對(duì)于8,?.?平面/MN//平面AAE,和平面相交，

??.4/與BE是異面直線，,8正確.

對(duì)于C,由A知，平面&MN//平面。AE,

.?.AF與0E不可能平行，，C錯(cuò)誤.

對(duì)于O,因?yàn)镸N//EG,則尸到平面ARE的距離是定值，三棱錐尸-ARE的體積為定值，所以。正確；

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題考查了正方形的性質(zhì)、空間位置關(guān)系、空間角、簡(jiǎn)易邏輯的判定方法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題.

11.C

【解析】

方法一：設(shè)P(-1,O),利用拋物線的定義判斷出3是AP的中點(diǎn)，結(jié)合等腰三角形的性質(zhì)求得3點(diǎn)的橫坐標(biāo)，根據(jù)拋

物線的定義求得IFBI，進(jìn)而求得|E4|.

方法二：設(shè)出A,8兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)與，乙，由拋物線的定義，結(jié)合尸求得巧的關(guān)系式，聯(lián)立直線

y=Mx+l)的方程和拋物線方程，寫出韋達(dá)定理，由此求得乙，進(jìn)而求得|E4|.

【詳解】

方法一：由題意得拋物線V=4x的準(zhǔn)線方程為/:x=-1,直線y=-x+1)恒過(guò)定點(diǎn)P(—1,0),過(guò)A,8分別作AM±I

于BN于N,連接QB,由|E4|=2|必|,貝！j|A例|=2|8N],所以點(diǎn)3為AP的中點(diǎn)，又點(diǎn)。是PE的

中點(diǎn)，

貝!J|06|=；|AF|,所以IQ3R6用，又|。用=1

所以由等腰三角形三線合一得點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為!，

2

13

所以|所|=1+—=一，所以|E4|=2|EB|=3.

22

方法二：拋物線V=4x的準(zhǔn)線方程為=直線y=&(x+D

由題意設(shè)A,8兩點(diǎn)橫坐標(biāo)分別為乙,/(%,%>0)，

則由拋物線定義得IFA|=4+1,|FB|=xe+l

又|E4|=2|EBI,xA+l=2(XB+1)x,,=2XB+1①

222

=>kx+(2k—A)x+k~=0=>-xB=1②

.y=Z(x+l)

由得看一/一2=0,=2,\FA\=XA+\=3.

故選：C

【點(diǎn)睛】

本小題主要考查拋物線的定義，考查直線和拋物線的位置關(guān)系，屬于中檔題.

12.D

【解析】

分析：因?yàn)轭}設(shè)中給出了/⑴的值，要求〃-1)的值，故應(yīng)考慮/(x),/(-x)兩者之間滿足的關(guān)系.

x

fn~1

詳解：由題設(shè)有/(-x)=----2018tanx+x2=-------2018tanx+x2,

mx+1mA4-1

故有“x)+/(T)=l+2d,所以+1)=3,

從而/(-1)=0,故選D.

點(diǎn)睛：本題考查函數(shù)的表示方法，解題時(shí)注意根據(jù)問(wèn)題的條件和求解的結(jié)論之間的關(guān)系去尋找函數(shù)的解析式要滿

足的關(guān)系.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.（6,3）

【解析】

依題意畫圖，設(shè)81%%%>0,根據(jù)圓的直徑A3所對(duì)的圓周角為直角，可得AC=2右，

通過(guò)勾股定理得AB=VAC2+CB2，再利用兩點(diǎn)間的距離公式即可求出/=6，進(jìn)而得出B點(diǎn)坐標(biāo).

【詳解】

解:依題意畫圖，設(shè),xo，gx（J,Xo〉0

以AB為直徑的圓被直線/所截得的弦長(zhǎng)為BC,

且BC=2布,

又因?yàn)锳8為圓的直徑，則A3所對(duì)的圓周角ZACB=90,

則ACLCB,則AC為點(diǎn)A（0,5）到直線/：y=的距離.

|0xl-5x2|

所以==2伐r

則AB=\lAC2+CB2=J（2逐『+（26『=2而.

又因?yàn)辄c(diǎn)3在直線/：，上，

解得%=6,則8（6,3）.

故答案為：（6,3）

本題考查了直線與圓的位置關(guān)系，考查了兩點(diǎn)間的距離公式，點(diǎn)到直線的距離公式，是基礎(chǔ)題.

14.C

【解析】

假設(shè)獲得一等獎(jiǎng)的作品，判斷四位同學(xué)說(shuō)對(duì)的人數(shù).

【詳解】

AB,C,D分別獲獎(jiǎng)的說(shuō)對(duì)人數(shù)如下表：

獲獎(jiǎng)作品ABCD

甲對(duì)錯(cuò)錯(cuò)錯(cuò)

乙錯(cuò)錯(cuò)對(duì)錯(cuò)

丙對(duì)錯(cuò)對(duì)錯(cuò)

丁對(duì)錯(cuò)錯(cuò)對(duì)

說(shuō)對(duì)人數(shù)3021

故獲得一等獎(jiǎng)的作品是C.

【點(diǎn)睛】

本題考查邏輯推理，常用方法有：1、直接推理結(jié)果，2、假設(shè)結(jié)果檢驗(yàn)條件.

15.1

【解析】

由S“=a“+i得”22時(shí)，S,i=a,，兩式作差，可求得數(shù)列的通項(xiàng)公式，進(jìn)一步求出數(shù)列的和.

【詳解】

解：數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和為s“，67,=1,且滿足S“=a"+1,①

當(dāng)"N2時(shí)，S“7=a”,②

①-②得：4=凡+1-a”，

整理得：—=2(常數(shù))，

%

故數(shù)列｛q｝是以。2=1為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列,

所以4=卜2"2(首項(xiàng)不符合通項(xiàng))，

附”1(2T)

所以：S=l+-^----^=512，

102-1

故答案為：1.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法及應(yīng)用，數(shù)列的前〃項(xiàng)和的公式，屬于基礎(chǔ)題.

16.y=±3x

【解析】

利用⑶=1+⑶=10,得到。力的關(guān)系式，然后代入雙曲線c的漸近線方程y=±%即可求解.

\a)\a)a

【詳解】

因?yàn)殡p曲線C的離心率為e=-=y/lQ,c2=a2+b2,

a

所以c2=Wa2=a2+Z?2,即人=3々，

因?yàn)殡p曲線C的漸近線方程為V=±&X,

a

所以雙曲線C的漸近線方程為y=±3x.

故答案為:y=±3x

【點(diǎn)睛】

本題考查雙曲線的幾何性質(zhì);考查運(yùn)算求解能力;熟練掌握雙曲線的幾何性質(zhì)是求解本題的關(guān)鍵;屬于基礎(chǔ)題.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。

7

17.(1)3p2cos26＞+4p2sin26)=12(一萬(wàn)＜夕＜乃)；(2)—

【解析】

(1)由已知，曲線C的參數(shù)方程消去f后，要注意x的范圍，再利用普通方程與極坐標(biāo)方程的互化公式運(yùn)算即可；

,幾4/"上?13cos2＜9,+4sin26^,,3cos?+X]+4sin?(4+軍]

(2)設(shè)4(門,團(tuán)，盟分4+力，由(1)可得==------------------L,1I12)I2),

12

12)p'萬(wàn)=IT

相加即可得到證明.

【詳解】

i―二-2+J=1**-1）,

1+rvJ

_m

m=2xX。1

02nrni1Z5、

由題可知：＜=＞---1---=l（m工—2）,

〃=30n43

%飛

C,：3p2cos2^+4p2sin20=12Q—兀＜。＜兀＞、

12

＜2）因?yàn)橄?=^~

3cos-6+4sin0

設(shè)A（8，q）,B\p2,Ox+yj,

則，?3cos2G+4sin29、

P\12

]38s2（a+1）+4而2

3sin2仇+4cos24

12

滑12

11117

-----+------=--+---=--

|0臼2尾12-

【點(diǎn)睛】

本題考查參數(shù)方程、普通方程、極坐標(biāo)方程間的互化，考查學(xué)生的計(jì)算能力，是一道容易題.

18.(1).f(x)在區(qū)間(0,+回單調(diào)遞增；⑵/=1，。=1；⑶證明見(jiàn)解析.

【解析】

⑴求出了'（X）,在定義域內(nèi)，再次求導(dǎo)，可得在區(qū)間（0,+。）上/恒成立，從而可得結(jié)論；⑵由g'（x）=O,

可得x：—2xolnxo—a=0,由g（%）=2可得片一天（卜飛）2-2%+4=0,聯(lián)立解方程組可得結(jié)果；（3）由（1）知

/（x）=f-2xlnx在區(qū)間（0,+紇）單調(diào)遞增，可證明瓜一十

〉lnx,取x一,kcN*,可得

2k

庫(kù)_而'序工一但二=■/\，利用裂項(xiàng)相消法，結(jié)合放縮法可得

\2k-l辰TT\2k+l"J

結(jié)果.

【詳解】

（1）由已知可得函數(shù)“X）的定義域?yàn)椋?,+8）,且/'（x）=2x—21nx—2,

令〃(x)=7'(x),則有〃'(x)=2(*°,由力(尤)=0,可得尤=1,

可知當(dāng)x變化時(shí)，〃'（x）,〃（x）的變化情況如下表:

X(0,1)10，+8）

"（X）-0+

心）極小值/

.?.〃⑺之〃⑴=0,即廣（力20,可得“X）在區(qū)間（0,+“）單調(diào)遞增;

1

(2)由已知可得函數(shù)g(x)的定義域?yàn)?0,+8),且g'(x)=l_?-一首，

由已知得g'(x)=0,即xj-2Aoin/-”=0,①

由g(x())=2可得，%o-A^(lnx0)'-2xo+a=O,②

聯(lián)立①②，消去。，可得2x0—(ln%)2—21nxo—2=0,③

A、八八、…-…，/、c21nx22(x—lnx-1)

令r(x)=2x-(lnx)--21nx-2,貝!Jf(x)=2-------------=-----------------,

xxx

由⑴知,x-lnx-l>0,故.”(X)在區(qū)間(0,+8)單調(diào)遞增,

注意到［1）=0,所以方程③有唯一解，％=1,代入①，可得。=1,

??X。=1,。=1；

(3)證明：由(1)知/(x)=f-2xlnx在區(qū)間(O,+e)單調(diào)遞增,

故當(dāng)X€(1,4W)時(shí)，/(%)>/(1)=1,gG)2H

XX

可得g(x)在區(qū)間(1,+8)單調(diào)遞增,

、2

因此，當(dāng)x>l時(shí)，g(x)>g(l)=2,即x+g—(lnx)2>2,亦即一十>(lnx)2,

7

這時(shí)—7=>0,Inx>0,故可得—7=>Inx,取x="」1,％N*,

y/x42k-\

怪工尸—2

可得、1^^--嚴(yán)1>In(22+1)-ln(2Z-1),

N2k-1y/2k+l以+1一辰口

故宜/:>E(m(2Z+1)-ln(201))=ln(2〃+1)

k=lV4r-1號(hào)T

〃11

???E/,>7ln(2x+1)(〃eN*).

12

【點(diǎn)睛】

本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性以及不等式的證明，屬于難題.不等式證明問(wèn)題是近年高考命題的熱點(diǎn)，利用

導(dǎo)數(shù)證明不等主要方法有兩個(gè)，一是比較簡(jiǎn)單的不等式證明，不等式兩邊作差構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,

求出函數(shù)的最值即可；二是較為綜合的不等式證明，要觀察不等式特點(diǎn)，結(jié)合已解答的問(wèn)題把要證的不等式變形，并

運(yùn)用已證結(jié)論先行放縮，然后再化簡(jiǎn)或者進(jìn)一步利用導(dǎo)數(shù)證明.

19.(I)C=|；(IDSz(o,哈

【解析】

(I)根據(jù)cos?A-cos?3=gsinAcosA-Gsin8cos8,利用二倍角公式得到

一，……人八人一，，.(乃、.門門小一切小―

1+cos2Al+cos2BJ3J3A

--------------------------=——sin2A------sin23,再由輔助角公式得到sin2A-：=sin23-高，然后根據(jù)正

2222II6J

弦函數(shù)的性質(zhì)求解.

(II)根據(jù)(I)由余弦定理得到3=。2+從—必，再利用重要不等式得到"W3,然后由%sc=gaAinc求解.

【詳解】

(I)因?yàn)閏os?A-cos2B=V3sinAcosA-V3sinBcosB,

,1+cos2A1+cos23J3也

所以--------------------=—sin2?A--sin2B,

2222

V3..cos2A石.cr,cos23

——sin2A-------=——sin28--------,

2222

sin(2A-?J=sin(28一1}

2A—工=28—色或2A—工+25-工=%,

6666

97F

A=6或4+8=彳,

因?yàn)樯絙,

所以A+8=g

冗

所以。=7；

3

(II)由余弦定理得：c2=er+b2—labcosC,

所以"+b2=3+ab>2ab>

所以，曲K3,當(dāng)且僅當(dāng)a=力取等號(hào)，

又因?yàn)轲辀,

所以ab<3,

所以Sgsc=^cibsinc=^-abe(0,^^-)

【點(diǎn)睛】

本題主要考查二倍角公式，輔助角公式以及余弦定理，還考查了運(yùn)算求解的能力，屬于中檔題.

20.(1)|AB|=1；(2)2G癡.

4

【解析】

(1)將直線/和曲線G化為普通方程，聯(lián)立直線/和曲線G，可得交點(diǎn)坐標(biāo)，可得|A3|的值；

(2)可得曲線g的參數(shù)方程，利用點(diǎn)到直線的距離公式結(jié)合三角形的最值可得答案.

【詳解】

解：(I)直線/的普通方程為y=6(x-i),G的普通方程f+y2=i.