高中數(shù)學(xué)導(dǎo)數(shù)知識(shí)點(diǎn)歸納總結(jié)及例題

高中數(shù)學(xué)導(dǎo)數(shù)學(xué)問點(diǎn)歸納總結(jié)及例題導(dǎo)數(shù)考試學(xué)問要點(diǎn)導(dǎo)數(shù)〔導(dǎo)函數(shù)的簡(jiǎn)稱〕的定義：設(shè)x0是函數(shù)yf(x)定義域的一點(diǎn)，假設(shè)自變量x在x0處有增量x，則函數(shù)值y也引起相應(yīng)的增量yf(x0x)f(x0)；比值yf(x0x)f(x0yf(x)在點(diǎn)x0到x0x之間的平均變化率；假設(shè)極限xxf(x0x)f(x0)y存在，則稱函數(shù)yf(x)在點(diǎn)x0處可導(dǎo)，并把這個(gè)極限limx0xx0xlim記作f’(x0)或y’|xx0，即f’(x0)=limyf(x)在x0處的導(dǎo)數(shù)，f(x0x)f(x0)y.limx0xx0x注：①x是增量，我們也稱為“轉(zhuǎn)變量”，由于x可正，可負(fù)，但不為零.②以知函數(shù)yf(xA，yf’(x)的定義域?yàn)锽，A與B系為AB.函數(shù)yf(xx0x0⑴函數(shù)yf(x)在點(diǎn)x0處連續(xù)是yf(x)在點(diǎn)x0處可導(dǎo)的必要不充分條件.可以證明，假設(shè)yf(x)在點(diǎn)x0處可導(dǎo)，那么yf(x)點(diǎn)x0處連續(xù).事實(shí)上，令xx0xxx0x0.1于 是 limf(x)limf(x0x)lim[f(x x0)f(x0)f(x0)] x x0x0x0lim[x0f(x0x)f(x0)f(x0x)f(x0)xlimf(x0)f’(x0)0f(x0)f(x0).x0x0x0xx

f(x0)]lim

limy|x|x＞0，xx⑵yf(x)點(diǎn)x0處連續(xù)，那么yf(x)在點(diǎn)x0處可導(dǎo)，是不成立的.例：f(x)|x|在點(diǎn)x00x00處不行導(dǎo)，由于yyy1；當(dāng)x＜01limx0xxx注：①可導(dǎo)的奇函數(shù)函數(shù)其導(dǎo)函數(shù)為偶函數(shù).②可導(dǎo)的偶函數(shù)函數(shù)其導(dǎo)函數(shù)為奇函數(shù).導(dǎo)數(shù)的幾何意義：函數(shù)yf(x)在點(diǎn)x0yf(x)在點(diǎn)(x0,f(x))處的切線的斜率，也就是說，曲線yf(x)在點(diǎn)P(x0,f(x))處的切線的斜率f’(x0)，yy0f’(x)(xx0).求導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則：(u v)’u’v’y f1(x)f2(x)...fn(x)y’f1’(x)f2’(x)...fn’(x)(uv)’vu’v’u(cv)’c’vcv’cv’〔c〕vu’v’uu(v0)2vv’注：①u,v必需是可導(dǎo)函數(shù).②假設(shè)兩個(gè)函數(shù)可導(dǎo)，則它們和、差、積、商必可導(dǎo)；假設(shè)兩個(gè)函數(shù)均不行導(dǎo)，則它們的和、差、積、商不肯定不行導(dǎo).例如：設(shè)f(x)2sinx22，g(x)cosxf(x),g(x)在x0xxf(x)g(x)sinxcosxx0復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則：fx’((x))f’(u)’(x)或y’xy’uu’x復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則可推廣到多個(gè)中間變量的情形.函數(shù)單調(diào)性：⑴函數(shù)單調(diào)性的判定方法：設(shè)函數(shù)yf(x)在某個(gè)區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，假設(shè)f’(x)＞0yf(xf’(x)＜0yf(x)為減函數(shù).⑵常數(shù)的判定方法；假設(shè)函數(shù)yf(xI內(nèi)恒有f’(x)=0，則yf(x)為常數(shù).注：①f(x)0是f〔x〕遞增的充分條件，但不是必要條件，如y2x3在(,)上并不是都有f(x)0，有一個(gè)點(diǎn)例外即x=0時(shí)f〔x〕=0，同樣f(x)0是f〔x〕遞減的充分非必2要條件.②一般地，假設(shè)f〔x〕在某區(qū)間(sinx)cosx(arcsinx)’1x2(xn)’nxn1〔nR〕(cosx)’sinx(arccosx)’1x21’11’(arctanx)II.(lnx)(logax)logaexxx21’(ex)’ex(ax)’axlna(arccotx)’III.求導(dǎo)的常見方法：①常用結(jié)論：(ln|x|)’1x21(xa1)(xa2)...(xan)1.y(xa1)(xa2)...(xanyxb1)(xb2)...(xbn)x邊同取自然對(duì)數(shù)，可轉(zhuǎn)化求代數(shù)和形式.③無理函數(shù)或形如yxx這類函數(shù)，如yxx取自然對(duì)數(shù)之后可變形lnyxlnxy’1lnxxy’ylnxyy’xxlnxxxyx3導(dǎo)數(shù)中的切線問題例題1：切點(diǎn)，求曲線的切線方程曲線yx33x21在點(diǎn)(1，1)處的切線方程為〔〕2：斜率，求曲線的切線方程與直線2xy40的平行的拋物線yx2的切線方程是〔〕留意：此題所給的曲線是拋物線，故也可利用法加以解決，即設(shè)y2xb，代入yx2，得x22xb0，又由于0，得b1，應(yīng)選Ｄ．例題3：過曲線上一點(diǎn)，求切線方程過曲線上一點(diǎn)的切線，該點(diǎn)未必是切點(diǎn)，故應(yīng)先設(shè)切點(diǎn)，再求切點(diǎn)，即用待定切點(diǎn)法．求過曲線yx32x上的點(diǎn)(1，1)的切線方程．例題4：過曲線外一點(diǎn)，求切線方程12，0yx4練習(xí)題：函數(shù)yx33x，過點(diǎn)A(016)，作曲線yf(x)的切線，求此切線方程．看看幾個(gè)高考題1.〔2023Ⅱ〕曲線yx1,12x122.〔2023江西卷〕設(shè)函數(shù)f(x)g(x)x，曲線yg(x)在點(diǎn)(1,g(1))處的切線方程為y2x1yf(x)在點(diǎn)(1,f(1))處切線的斜率為3.〔2023寧夏海南卷〕曲線yxe2x1在點(diǎn)〔0,1〕處的切線方程為。4.〔2023浙江〕〔15分〕f(x)x(1a)xa(a2)xb(a,bR)．〔I〕假設(shè)函數(shù)f(x)的圖象過原點(diǎn)，且在原點(diǎn)處的切線斜率是3，a,b5.〔2023北京〕〔14分〕f(x)x3axb(a0).〔Ⅰ〕假設(shè)曲線yf(x)在點(diǎn)(2,f(x))處與直線y8相切，求a,b的值；332x.1函數(shù)的單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)1．利用導(dǎo)數(shù)的符號(hào)來推斷函數(shù)單調(diào)性:一般地，設(shè)函數(shù)yf(x)在某個(gè)區(qū)間可導(dǎo)，假設(shè)在這個(gè)區(qū)間內(nèi)f(x)0，則yf(x)為這個(gè)區(qū)間內(nèi)的；f(x)0yf(x)為這個(gè)區(qū)間內(nèi)的2．利用導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)性的步驟：確定函數(shù)f(x)的定義域；求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)；解不等式f(x)＞0，得函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；解不等式f(x)＜0，得函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間．5‘‘【例題講解】a)b)確定函數(shù)f(x)=2x3－6x2+7在哪個(gè)區(qū)間(2)y=3x－x3f(x)xlnx，則〔〕A．在(0,)上遞增B．在(0,)上遞減求證：yx1(,0)上是增函數(shù)。311ee32３．函數(shù)f(x)x3x5的單調(diào)遞增區(qū)間是 ．C．在0,上遞增D．在0,上遞減6函數(shù)圖象及其導(dǎo)函數(shù)圖象3函數(shù)yf(x)在定義域(,3)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)殚_區(qū)間(//3,3)，導(dǎo)函數(shù)2yf(x)3f(x)在(,3)〕25.函數(shù)yf(xf’(x)的圖象是如下圖的一條直線，則yf(x)圖象的頂點(diǎn)在〔〕A．第一象限B．其次象限C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限6.(2023f(xf(x)的導(dǎo)函數(shù),yf(x)象如右圖所示，則yf(x)的圖象最有可能的是〔〕yf(x)AB設(shè)函數(shù)f(x)在定義域內(nèi)可導(dǎo)，y=f(x)的圖象如下左圖所示，則導(dǎo)y=f(x)的圖象可能為()7〔安微省合肥市2023年高三其次次教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)文科〕函數(shù)yf(x)的圖像如下右圖所示，則yf(x)的圖像可能是〔〕(20233(x)ax2bxc的圖象如右圖，則知函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)ff(x)的圖象可能是()〔2023年浙江省寧波市高三“十校”聯(lián)考文科〕如右圖所示是某一容器的三視圖，現(xiàn)向容器中勻速注水，容器中水面的高度h隨時(shí)間t〔〕(A)(B)(C)正視圖側(cè)視圖‘(D)(2023廣州二模文、理)二次函數(shù)fx的圖象如圖1所示,則其導(dǎo)函數(shù)f象大致外形是〔〕x8〔2023湖南卷文〕假設(shè)函數(shù)yf(x)的導(dǎo)函數(shù)在區(qū)間[a,b]上是增函數(shù)，則函數(shù)yf(x)．．．在區(qū)間[a,b]上的圖象可能是()A．B．C．D．a(chǎn)baba〔福建卷11〕假設(shè)函數(shù)yf(x)的圖象如右圖，那么導(dǎo)函數(shù)yf(x)的圖象可能是()〔2023年福建卷12)函數(shù)y=f(x),y=g(x)的導(dǎo)函數(shù)的圖象如以下圖，那么y=f(x),y=g(x)的圖象可能是〔〕(2023f’(x)f(x)的導(dǎo)函數(shù)，將yf(x)和yf’(x)的圖像畫在同一個(gè)直角坐標(biāo)系中，不行能正確的選項(xiàng)是〔〕9B．C．D．16.(湖南省株洲市2023屆高三其次次質(zhì)檢)函數(shù)則〔〕yf(xyf(x)的圖像如下，函數(shù)f(x)有1個(gè)極大值點(diǎn)，1f(x22函數(shù)f(x)有3個(gè)極大值點(diǎn)，1個(gè)微小值點(diǎn)函數(shù)f(x)有1個(gè)極大值點(diǎn)，3個(gè)微小值點(diǎn)函數(shù)17.(2023珠海質(zhì)檢理)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?a,bf(x)在(a,b)〕(A).1(B).2(C).3(D).4118.【湛江市·f