中子擴(kuò)散理論

關(guān)于中子擴(kuò)散理論第1頁，講稿共62頁，2023年5月2日，星期三2反應(yīng)堆物理的核心問題之一：確定堆內(nèi)中子通量密度按空間和能量的分布第二章通過求解中子慢化方程，解決了中子通量密度按能量的分布，φ(E)～E，即中子能譜本章，將研究中子通量密度按空間的分布，即φ(r)～r第2頁，講稿共62頁，2023年5月2日，星期三3Contents引言（輸運(yùn)過程、輸運(yùn)理論及擴(kuò)散現(xiàn)象）單能中子擴(kuò)散方程非增殖介質(zhì)內(nèi)中子擴(kuò)散方程的解擴(kuò)散長度、慢化長度和徙動(dòng)長度第3頁，講稿共62頁，2023年5月2日，星期三4輸運(yùn)過程及輸運(yùn)理論中子狀態(tài)的描述反應(yīng)堆物理與屏蔽計(jì)算的基本方法

一、引言第4頁，講稿共62頁，2023年5月2日，星期三51、輸運(yùn)過程（Transport）以及輸運(yùn)理論對(duì)于自然界的微觀粒子(中子、光子、電子、離子和分子等)，在介質(zhì)中會(huì)發(fā)生無規(guī)則碰撞，使得單個(gè)粒子的運(yùn)動(dòng)形式是雜亂無章的，即某一時(shí)刻、在介質(zhì)中某一位置、具有某種能量與某一運(yùn)動(dòng)方向

的粒子，在稍晚些時(shí)候，將運(yùn)動(dòng)到介質(zhì)中的另一位置、以另一能量和另一運(yùn)動(dòng)方向出現(xiàn)，這一現(xiàn)象稱之為粒子輸運(yùn)過程。對(duì)于大量粒子而言，其運(yùn)動(dòng)形式呈現(xiàn)出一定的統(tǒng)計(jì)規(guī)律，使得人類對(duì)粒子行為的研究成為可能。那么，用于描述粒子在介質(zhì)中遷移的統(tǒng)計(jì)規(guī)律的數(shù)學(xué)理論，就統(tǒng)稱為粒子輸運(yùn)理論。第5頁，講稿共62頁，2023年5月2日，星期三6發(fā)展簡史：最早的粒子輸運(yùn)理論是以Clausius(1857)、Maxwell(1860)、Boltzmann(1868)提出的“分子運(yùn)動(dòng)論”作為基礎(chǔ)發(fā)展起來的；1872年，Boltzmann建立了著名的Boltzmann方程（又稱輸運(yùn)方程），當(dāng)時(shí)是用來描述氣體從非平衡態(tài)到平衡態(tài)的過渡過程；1910年Hilbert論述了Boltzmann方程解的存在性與唯一性，奠定了粒子輸運(yùn)理論的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)；1939年發(fā)現(xiàn)中子后，隨著核反應(yīng)堆和核武器的出現(xiàn)，中子輸運(yùn)理論得到極快發(fā)展；1943年Wick、Marshak、Mark等人提出并發(fā)展了球諧函數(shù)方法，使得高精度地解析求解Boltzmann中子輸運(yùn)方程成為可能；1946年VonNeumann和Ulam等開發(fā)了第一個(gè)用概率論方法（MonteCarlo方法）計(jì)算中子鏈?zhǔn)椒磻?yīng)的程序；1955年Carlson等人提出了離散縱標(biāo)法(即早期SN方法)；在上述方法的基礎(chǔ)上，產(chǎn)生了大批應(yīng)用程序軟件。第6頁，講稿共62頁，2023年5月2日，星期三7中子狀態(tài):位置矢量r(x,y,z)、能量E(或運(yùn)動(dòng)速度v)、運(yùn)動(dòng)方向(θ,φ)、時(shí)間t

：單位矢量，模等于1，方向表示中子的運(yùn)動(dòng)方向，通過極角和方位角來表示2、中子狀態(tài)的描述第7頁，講稿共62頁，2023年5月2日，星期三8中子角密度：在r處單位體積內(nèi)和能量為E的單位能量間隔內(nèi)，運(yùn)動(dòng)方向?yàn)榈膯挝涣Ⅲw角內(nèi)的中子數(shù)目。中子角通量密度：沿方向在單位時(shí)間內(nèi)穿過垂直于這個(gè)方向的單位面積上的中子數(shù)目。

對(duì)中子角密度和中子角通量對(duì)所有立體角方向積分，可得前面所定義的中子密度和中子通量密度第8頁，講稿共62頁，2023年5月2日，星期三9中子輸運(yùn)理論的基本問題之一，就是采用中子角密度

（或中子角通量密度

）來描述中子輸運(yùn)過程。為了得到中子角通量密度

，需要建立描述中子輸運(yùn)過程的精確方程，即“玻爾茲曼方程”。它是一個(gè)含有位置r(x,y,z)、能量E(或運(yùn)動(dòng)速度v)、運(yùn)動(dòng)方向(θ,φ)、時(shí)間t七個(gè)自變量的偏微分—積分方程，求解過程非常復(fù)雜，只有在極個(gè)別的簡單情況下，才能求出解析解。第9頁，講稿共62頁，2023年5月2日，星期三確定性方法(Deterministicmethod)數(shù)學(xué)模型用數(shù)學(xué)物理方程表示，然后采用數(shù)值方法求解優(yōu)點(diǎn)：計(jì)算快速缺點(diǎn)：模型簡化不夠精確，大型多維問題需大量計(jì)算時(shí)間及存儲(chǔ)空間等典型方法：離散縱標(biāo)法（SN）非確定性方法(蒙特卡羅方法，MonteCarlomethod)：基于統(tǒng)計(jì)理論，通過計(jì)算機(jī)的隨機(jī)模擬來跟蹤中子在介質(zhì)中的運(yùn)動(dòng)優(yōu)點(diǎn)：計(jì)算精確，可以模擬三維復(fù)雜幾何模型缺點(diǎn)：計(jì)算耗時(shí)，特別是對(duì)于深穿透問題（Deep-penetration）混合方法研究熱點(diǎn)3、反應(yīng)堆物理與屏蔽計(jì)算基本方法10第10頁，講稿共62頁，2023年5月2日，星期三11中子擴(kuò)散理論求出介質(zhì)內(nèi)中子角通量密度的分布,才算對(duì)介質(zhì)內(nèi)中子的分布有了全面了解.要做到這一點(diǎn)，需要研究中子輸運(yùn)理論，求解中子輸運(yùn)方程。這是一個(gè)非常復(fù)雜和困難的任務(wù).在本課程中，我們研究輸運(yùn)理論的簡化形式－中子擴(kuò)散理論。玻爾茲曼輸運(yùn)方程中子擴(kuò)散方程單群中子擴(kuò)散方程假設(shè)中子通量密度角分布各向同性假設(shè)中子具有單一能量本節(jié)內(nèi)容第11頁，講稿共62頁，2023年5月2日，星期三12菲克定律菲克定律的推導(dǎo)菲克定律和擴(kuò)散方程的使用范圍單能中子擴(kuò)散方程的建立擴(kuò)散方程的邊界條件二、單能中子擴(kuò)散方程第12頁，講稿共62頁，2023年5月2日，星期三13分子擴(kuò)散現(xiàn)象香水分子的擴(kuò)散（無風(fēng)狀態(tài)）墨滴在靜水中的擴(kuò)散血液中的養(yǎng)分透過細(xì)胞膜向細(xì)胞內(nèi)擴(kuò)散分子擴(kuò)散是由于分子間的無規(guī)則碰撞產(chǎn)生的，使得分子從密度大的地方向密度小的地方擴(kuò)散，并且分子擴(kuò)散的速率與分子密度的梯度成正比，也就是服從“菲克定律”。同樣，中子的擴(kuò)散現(xiàn)象也服從“菲克定律”。只不過由于中子密度（1016m-3）比介質(zhì)原子核密度（1028m-3）要小得多，因而中子的擴(kuò)散主要是中子與介質(zhì)原子核碰撞的結(jié)果，中子之間的碰撞可以忽略。1、菲克定律(Fick’slaw)第13頁，講稿共62頁，2023年5月2日，星期三14中子從通量高的地方流向通量低的地方，通量差別越大，中子“流量”越大菲克定律：上式中的被稱為中子流密度（簡稱中子流、或流。Current）.

中子流密度是一個(gè)向量,

其方向是通量場的負(fù)梯度方向.

其數(shù)值等于垂直于梯度方向的單位面積上每秒穿過的凈中子數(shù)目。單位：中子/cm2.S第14頁，講稿共62頁，2023年5月2日，星期三15第15頁，講稿共62頁，2023年5月2日，星期三16中子流密度是向量，可以寫成三個(gè)分量之和其中三個(gè)分量分別稱為該方向的分中子流密度，每個(gè)分量可寫成兩個(gè)分量只差JZ+是沿z軸正方向每秒穿過x-y平面上單位面積的中子數(shù)JZ-是沿z軸負(fù)方向每秒穿過x-y平面上單位面積的中子數(shù)第16頁，講稿共62頁，2023年5月2日，星期三17如果某平面與中子流密度方向不垂直，那么每秒通過該平面上單位面積的凈中子數(shù)是第17頁，講稿共62頁，2023年5月2日，星期三18第18頁，講稿共62頁，2023年5月2日，星期三19中子流密度與中子通量密度的差別:中子流密度用于描述中子的定向運(yùn)動(dòng)，是矢量中子通量密度用于計(jì)算核反應(yīng)率，是標(biāo)量

兩者的量綱相同

當(dāng)所有中子運(yùn)動(dòng)方向相同時(shí)，中子通量與中子流數(shù)量（大?。┫嗟取５?9頁，講稿共62頁，2023年5月2日，星期三20場論知識(shí)數(shù)量場φ的梯度向量場的散度

哈密頓算符

拉普拉斯算符

第20頁，講稿共62頁，2023年5月2日，星期三21考慮穩(wěn)態(tài)情況，同時(shí)假設(shè)：介質(zhì)是無限的、均勻的；在實(shí)驗(yàn)室坐標(biāo)系中散射是各向同性的；介質(zhì)的吸收截面很小，即a<<s(弱吸收介質(zhì))；是隨空間位置緩慢變化的函數(shù)。2、菲克定律的推導(dǎo)第21頁，講稿共62頁，2023年5月2日，星期三22以所研究的點(diǎn)作為坐標(biāo)原點(diǎn)第22頁，講稿共62頁，2023年5月2日，星期三23考慮上半空間發(fā)生的散射使多少中子從上到下穿過dA首先考慮體積元dV中的散射中子有多少由于散射中子各向同性地飛向四面八方,飛向dA的只占一部分.這一份額等于dA的面積與以r為半徑的球面積之比,再乘以cos此外并非所有飛向dA的中子都能夠到達(dá)的dA,沿途的碰撞會(huì)使得部分中子“偏離航向”，此外還有一部分中子會(huì)被介質(zhì)吸收掉第23頁，講稿共62頁，2023年5月2日，星期三24第24頁，講稿共62頁，2023年5月2日，星期三25

把上半空間所有地方的散射中子的貢獻(xiàn)統(tǒng)統(tǒng)考慮進(jìn)來,即對(duì)上半空間積分,就得到從上而下穿過dA的總中子數(shù)目。這個(gè)數(shù)目就是沿負(fù)z方向的分中子流密度乘以dA第25頁，講稿共62頁，2023年5月2日，星期三26由于已經(jīng)假設(shè)中子通量密度是隨空間位置緩慢變化的，將(r)

在原點(diǎn)處按泰勒級(jí)數(shù)展開，取1階項(xiàng)，代入積分可得第26頁，講稿共62頁，2023年5月2日，星期三27

第27頁，講稿共62頁，2023年5月2日，星期三28推導(dǎo)過程由于cosφ和sinφ從0到2π的積分為0，所以含有x，y項(xiàng)的積分將等于0，則可以得到第28頁，講稿共62頁，2023年5月2日，星期三29分步積分洛必達(dá)法則第29頁，講稿共62頁，2023年5月2日，星期三30第30頁，講稿共62頁，2023年5月2日，星期三31

令，便完成了菲克定律之推導(dǎo)，得到斐克定律：中子流密度

正比于負(fù)的中子通量密度的梯度，其比例常數(shù)為擴(kuò)散系數(shù)D第31頁，講稿共62頁，2023年5月2日，星期三32介質(zhì)是無限的、均勻的、散射各向同性；有限介質(zhì)內(nèi)，在距離表面幾個(gè)自由程之外的內(nèi)部區(qū)域，斐克定律是近似成立的；在距真空邊界兩三個(gè)自由程以內(nèi)的區(qū)域，不適用。介質(zhì)的吸收截面很小，即a<<s；中子通量密度是隨空間位置緩慢變化的函數(shù)。在強(qiáng)中子源附近，在強(qiáng)吸收體附近，或者兩種擴(kuò)散性質(zhì)顯著不同的交界面附近，斐克定律不適用；在較遠(yuǎn)處，近似成立3、菲克定律/擴(kuò)散理論的適用范圍第32頁，講稿共62頁，2023年5月2日，星期三33在實(shí)驗(yàn)室坐標(biāo)系中散射是各向異性的；利用輸運(yùn)自由程tr來對(duì)各向異性進(jìn)行修正則效果更佳（考慮了實(shí)驗(yàn)室系中散射的各向異性）第33頁，講稿共62頁，2023年5月2日，星期三34原因

第34頁，講稿共62頁，2023年5月2日，星期三35討論左右兩邊通量分布相同,材料散射截面不同,請(qǐng)問:交界面上有無從左到右的凈中子流?據(jù)菲克定律,沒有凈中子流.據(jù)碰撞擴(kuò)散機(jī)理,似乎有凈中子流.

？孰是孰非第35頁，講稿共62頁，2023年5月2日，星期三36

第36頁，講稿共62頁，2023年5月2日，星期三37

中子數(shù)守恒（中子數(shù)平衡）：在一定體積內(nèi)，中子總數(shù)對(duì)時(shí)間的變化率應(yīng)等于在該體積內(nèi)中子的產(chǎn)生率減去該體積內(nèi)中子的吸收率和泄漏率。(3-25)4、單能中子擴(kuò)散方程的建立第37頁，講稿共62頁，2023年5月2日，星期三38中子泄漏的計(jì)算考察右圖，通過平行于平面的兩個(gè)表面逸出體積元的中子泄漏率為沿Z方向單位體積的中子泄漏率是對(duì)和方向可以采用類似的表達(dá)式。第38頁，講稿共62頁，2023年5月2日，星期三39中子泄漏的計(jì)算結(jié)果，每單位體積內(nèi)中子的泄漏率

第39頁，講稿共62頁，2023年5月2日，星期三40產(chǎn)生率：吸收率：(3-28)(3-29)中子連續(xù)方程：(3-31)第40頁，講稿共62頁，2023年5月2日，星期三41利用斐克定律(3-32)如果擴(kuò)散系數(shù)D與空間位置無關(guān)，可得(3-33)因此，如果斐克定律成立，連續(xù)方程可寫為下式，即單能中子擴(kuò)散方程(3-34)假設(shè)中子通量密度不隨時(shí)間變化，可得穩(wěn)態(tài)單能中子擴(kuò)散方程(3-35)第41頁，講稿共62頁，2023年5月2日，星期三42第42頁，講稿共62頁，2023年5月2日，星期三43常用的邊界條件：在擴(kuò)散方程適用范圍內(nèi)，中子通量密度必須為正的、有限的實(shí)數(shù)。在兩種不同擴(kuò)散性質(zhì)的介質(zhì)交界面上，垂直于分界面的中子流密度相等，中子通量密度相等。(3-37)(3-38)(3-39)(3-40)將及表達(dá)式帶入上兩式，然后分別相減、相加可得：5、擴(kuò)散方程的邊界條件第43頁，講稿共62頁，2023年5月2日，星期三44(3)介質(zhì)與真空交界的外表面上，自真空返回介質(zhì)的中子流為零，即(3-41)

這一邊界條件顯然非常嚴(yán)格，但使用起來有時(shí)有些不便，因?yàn)閿U(kuò)散方程中的函數(shù)是通量不是中子流，更不是偏中子流第44頁，講稿共62頁，2023年5月2日，星期三45反應(yīng)堆的外表面可以看作該情況。(3-42)(3-43)直線外推距離d(3-44)

因擴(kuò)散理論在真空邊界處不適用，利用輸運(yùn)理論進(jìn)行修正可得：d=0.7104tr

。在自由表面外推距離d處，中子通量密度等于零。第45頁，講稿共62頁，2023年5月2日，星期三46外推距離處中子通量真為零嗎？Absolutelynot!這個(gè)邊界條件是說，如果按通量在真空邊界上的斜率外推的話，在外推邊界處通量降為零。

實(shí)際上，堆外中子通量變化并不如外推線所示那樣。我們用外推邊界條件，是為了解出堆內(nèi)的通量分布。第46頁，講稿共62頁，2023年5月2日，星期三47非增殖介質(zhì)內(nèi)中子擴(kuò)散方程無限介質(zhì)內(nèi)點(diǎn)源的情況（球坐標(biāo)系）無限平面源位于有限厚度介質(zhì)內(nèi)的情況包含兩種不同介質(zhì)的情況三、非增殖介質(zhì)內(nèi)中子擴(kuò)散方程的解第47頁，講稿共62頁，2023年5月2日，星期三48穩(wěn)態(tài)單能擴(kuò)散方程為若S(r)=0，即對(duì)于無源區(qū)域，擴(kuò)散方程為（波動(dòng)方程）或其中L稱為中子擴(kuò)散長度(3-46)(3-47)(3-48)(3-49)非增殖介質(zhì)內(nèi)的中子擴(kuò)散方程第48頁，講稿共62頁，2023年5月2日，星期三49常見幾何波動(dòng)方程2±

B

2=0

的解第49頁，講稿共62頁，2023年5月2日，星期三1.無限介質(zhì)內(nèi)點(diǎn)源的情況（球坐標(biāo)系）邊界條件為：除r=0處以外，中子通量密度在各處為正的有限值；中子源條件：引入一個(gè)新的變量u=r

，則(3-50)式可變?yōu)?3-50)推導(dǎo)過程第50頁，講稿共62頁，2023年5月2日，星期三511.無限介質(zhì)內(nèi)點(diǎn)源的情況（球坐標(biāo)系）方程普遍解為可得根據(jù)邊界條件(1)可知，C=0；由邊界條件(2)有因此中子通量密度為(3-51)根據(jù)斐克定律有第51頁，講稿共62頁，2023年5月2日，星期三522.無限平面源位于有限厚度介質(zhì)內(nèi)的情況

設(shè)在厚度為a的無限均勻平板的中心面上有一源強(qiáng)為S的平面源，此時(shí)擴(kuò)散方程為(3-52)邊界條件為：當(dāng)x=±(a/2)時(shí)，(±a/2)=0;中子源條件：當(dāng)x>0時(shí)，(3-52)解為(3-53)由邊界條件(1)可得(3-54)因此根據(jù)邊界條件(2)可以求出(3-55)中子通量密度為(3-56)第52頁，講稿共62頁，2023年5月2日，星期三53(3-57)考慮系統(tǒng)對(duì)稱性，用|x|代替上式中的x，可得對(duì)所有x均適用的表達(dá)式對(duì)于無限厚度平面源，a→，有(3-61)第53頁，講稿共62頁，2023年5月2日，星期三54當(dāng)a/L=3（介質(zhì)厚度為中子擴(kuò)散長度3倍時(shí)）時(shí)，除在邊界附近外，中子通量密度的分布與無限介質(zhì)內(nèi)的分布相差不多。薄板泄露較大，邊界處中子通量密度下降很快；厚板（大于三個(gè)擴(kuò)散長度），大部分中子在到達(dá)邊界以前被散射回來，泄露很小==〉反應(yīng)堆沒有必要采用過厚的反射層第54頁，講稿共62頁，2023年5月2日，星期三553.包含兩種不同介質(zhì)的情況P76第55頁，講稿共62頁，2023年5月2日，星期三56擴(kuò)散長度(diffusionlength)(3-75)大多數(shù)元素的散射截面與能量無關(guān)，當(dāng)熱中子能譜按麥克斯韋譜分布時(shí)，熱中子吸收截面等于(3-76)將上式代入(3-75)式可得(3-77)四、擴(kuò)散長度、慢化長度和徙動(dòng)長度第56頁，講稿共62頁，2023年5月2日，星期三57考慮無限介質(zhì)內(nèi)有一熱中子點(diǎn)源的情況，

在的球殼內(nèi)，第57頁，講稿共62頁，2023年5月2日，星期三58擴(kuò)散長度的物理意義：熱中子擴(kuò)散長度的平方,等于無限大介質(zhì)中的點(diǎn)源放出的熱中子從產(chǎn)生地點(diǎn)到被吸收地點(diǎn)的直線距離的均方值的六分之一.第58頁，講稿共62頁，2023年5月2日，星