第67講隨機(jī)抽樣、用樣本估計(jì)總體

第67講 隨機(jī)抽樣、用樣本估計(jì)總體1．某學(xué)校高三年級(jí)一班共有 60名學(xué)生，現(xiàn)采用系統(tǒng)抽樣的方法從中抽取 6名學(xué)生做“早餐與健康”的調(diào)查，為此將學(xué)生編號(hào)為 1,2，，60.選取的這 6名學(xué)生的編號(hào)可能是 (B)A．1,2,3,4,5,6 B．6,16,26,36,46,56C．1,2,4,8,16,32 D．3,9,13,27,36,54系統(tǒng)抽樣是等間隔抽樣，只有

B選項(xiàng)符合．2．(2017·課標(biāo)卷Ⅲ新)某城市為了解游客人數(shù)的變化規(guī)律，提高旅游服務(wù)質(zhì)量，收集并整理了2014

年

1月至

2016年

12月期間月接待游客量

(單位：萬人

)的數(shù)據(jù)，繪制了如圖所示的折線圖．根據(jù)該折線圖，下列結(jié)論錯(cuò)誤的是 (A)．月接待游客量逐月增加B．年接待游客量逐年增加C．各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月D．各年1月至6月的月接待游客量相對(duì)于7月至12月，波動(dòng)性更小，變化比較平穩(wěn)對(duì)于選項(xiàng)A，由圖易知月接待游客量每年7,8月份明顯高于12月份，故A錯(cuò)；對(duì)于選項(xiàng)B，觀察折線圖的變化趨勢(shì)可知年接待游客量逐年增加，故B正確；對(duì)于選項(xiàng)C，D，由圖可知顯然正確．故選A.3．(2015北·京卷)某校老年、中年和青年教師的人數(shù)見下表，采用分層抽樣的方法調(diào)查教師的身體狀況，在抽取的樣本中，青年教師有320人，則該樣本中的老年教師人數(shù)為(C)類別人數(shù)老年教師900中年教師1800青年教師1600合計(jì)4300A.90B．100C．180D．300x＝320，故x＝設(shè)該樣本中的老年教師人數(shù)為x，由題意及分層抽樣的特點(diǎn)得9001600180.4．(2015安·徽卷)若樣本數(shù)據(jù)x1，x2，，x10的標(biāo)準(zhǔn)差為8，則數(shù)據(jù)2x1－1,2x2－1，，2x10－1的標(biāo)準(zhǔn)差為(C)A．8B．15C．16D．32已知樣本數(shù)據(jù)x1，x2，，x10的標(biāo)準(zhǔn)差為s＝8，則s2＝64，數(shù)據(jù)2x1－1,2x2－1，，2x10－1的方差為22s2＝22×64，所以其標(biāo)準(zhǔn)差為22×64＝2×8＝16.5．如圖是某學(xué)校一名籃球運(yùn)動(dòng)員在10場(chǎng)比賽中所得分?jǐn)?shù)的莖葉圖，若這10場(chǎng)比賽得分的眾數(shù)為16，則這10場(chǎng)比賽得分的中位數(shù)為15.0586124x6926916，故x＝6，中位數(shù)為14＋16得分的眾數(shù)為＝15.26．(2017遼·寧月考)從某小學(xué)隨機(jī)抽取100名同學(xué)，將他們身高(單位：厘米)數(shù)據(jù)繪制成頻率分布直方圖(如圖)．若要從身高在[120,130)，[130,140)，[140,150]三組內(nèi)的學(xué)生中，用分層抽樣的方法選取36人參加一項(xiàng)活動(dòng)，則從身高在[140,150]內(nèi)的學(xué)生中選取的人數(shù)應(yīng)為 6 .因?yàn)?.005×10＋0.035×10＋a×10＋0.020×10＋0.010×10＝1，所以a＝0.03.設(shè)身高在[120,130)，[130,140)，[140,150]分別有x，y，z人，x所以100＝0.03×10，所以x＝30.同理y＝20，z＝10，36所以在[140,150]內(nèi)選取的人數(shù)為 ×10＝6.30＋20＋107．(2017·京卷北)某大學(xué)藝術(shù)專業(yè) 400名學(xué)生參加某次測(cè)評(píng)，根據(jù)男女學(xué)生人數(shù)比例，使用分層抽樣的方法從中隨機(jī)抽取了 100名學(xué)生，記錄他們的分?jǐn)?shù)，將數(shù)據(jù)分成 7組：[20,30)，[30,40)，，[80,90]，并整理得到如下頻率分布直方圖：(1)從總體的 400名學(xué)生中隨機(jī)抽取一人，估計(jì)其分?jǐn)?shù)小于 70的概率；(2)已知樣本中分?jǐn)?shù)小于 40的學(xué)生有 5人，試估計(jì)總體中分?jǐn)?shù)在區(qū)間 [40,50)內(nèi)的人數(shù)；(3)已知樣本中有一半男生的分?jǐn)?shù)不小于 70，且樣本中分?jǐn)?shù)不小于 70的男女生人數(shù)相等．試估計(jì)總體中男生和女生人數(shù)的比例．(1)根據(jù)頻率分布直方圖可知，樣本中分?jǐn)?shù)不小于

70的頻率為

(0.02＋0.04)×10＝0.6，所以樣本中分?jǐn)?shù)小于 70的頻率為1－0.6＝0.4，所以從總體的 400名學(xué)生中隨機(jī)抽取一人，其分?jǐn)?shù)小于 70的概率估計(jì)為 0.4.(2)根據(jù)題意，樣本中分?jǐn)?shù)不小于 50的頻率為(0.01＋0.02＋0.04＋0.02)×10＝0.9，分?jǐn)?shù)在區(qū)間[40,50)內(nèi)的人數(shù)為 100－100×0.9－5＝5，5所以總體中分?jǐn)?shù)在區(qū)間 [40,50)內(nèi)的人數(shù)估計(jì)為 400×100＝20.(3)由題意可知，樣本中分?jǐn)?shù)不小于 70的學(xué)生人數(shù)為(0.02＋0.04)×10×100＝60，1所以樣本中分?jǐn)?shù)不小于 70的男生人數(shù)為 60×2＝30，所以樣本中的男生人數(shù)為 30×2＝60，女生人數(shù)為 100－60＝40，所以樣本中男生和女生人數(shù)的比例為 60∶40＝3∶2，所以根據(jù)分層抽樣原理，估計(jì)總體中男生和女生人數(shù)的比例為 3∶2.8．(2017隆·昌縣月考)某單位有640名職工，現(xiàn)采用系統(tǒng)抽樣方法，抽取32人做問卷調(diào)查，將640人按1,2，，640隨機(jī)編號(hào)，則抽取的32人中，編號(hào)落入?yún)^(qū)間[161,380]的人數(shù)為11.640(方法一)抽樣間隔為32＝20.設(shè)在1,2，，20中抽取號(hào)碼為x00∈[1,20])，(x在[161,380]之間抽取的號(hào)碼記為20k＋x0，則161≤20k＋x0≤380，k∈N*，所以81≤k＋x0≤19，k∈N*.2020因?yàn)閤0∈[1，1]，所以k＝8,9,10，，18.2020所以k值共有18－8＋1＝11(個(gè))，即所求人數(shù)為11.640(方法二)抽樣間隔為32＝20，可將編號(hào)分成32組，每組20個(gè)數(shù)據(jù)．因?yàn)閇161,380]中共有380－161＋1＝220個(gè)數(shù)據(jù)，分在11個(gè)組中，每組取1個(gè)，共取個(gè)．9．某校從參加高二年級(jí)期末考試的學(xué)生中抽出60名學(xué)生，將其成績(jī)(均為整數(shù))分成六段[40,50)，[50,60)，，[90,100]后，畫出如圖所示的頻率分布直方圖．觀察圖形的信息，可知這次考試成績(jī)的平均分為 71 .數(shù)據(jù)落在

[80,90)的頻率為1－(0.1＋0.15×2＋0.3＋0.05)＝1－0.75＝0.25.所以平均分估計(jì)為45×0.1＋55×0.15＋65×0.15＋75×0.3＋85×0.25＋95×0.05＝71.10．(2014新·課標(biāo)卷Ⅱ)某市為了考核甲、乙兩部門的工作情況，隨機(jī)訪問了 50位市民，根據(jù)這50位市民對(duì)這兩部門的評(píng)分 (評(píng)分越高表明市民的評(píng)價(jià)越高 )，繪制莖葉圖如下：(1)分別估計(jì)該市的市民對(duì)甲、乙兩部門評(píng)分的中位數(shù)；(2)分別估計(jì)該市的市民對(duì)甲、乙兩部門的評(píng)分高于90的概率；(3)根據(jù)莖葉圖分析該市的市民對(duì)甲、乙兩部門的評(píng)價(jià)．(1)由所給莖葉圖知，50位市民對(duì)甲部門的評(píng)分由小到大排序，排在第25,26位的是75,75，故樣本中位數(shù)為75，所以該市的市民對(duì)甲部門評(píng)分的中位數(shù)的估計(jì)值是75.50位市民對(duì)乙部門的評(píng)分由小到大排序，排在第25,26位的是66,68，故樣本中位數(shù)為66＋6867.2＝67，所以該市的市民對(duì)乙部門評(píng)分的中位數(shù)的估計(jì)值是58(2)由所給莖葉圖知，50位市民對(duì)甲、乙部門的評(píng)分高于90的比率分別為50＝0.1，50＝0.16，故該市的市民對(duì)甲、乙部門的