考研數(shù)學(xué)各個科目的考點詳解

考研數(shù)學(xué)各個科目的考點詳解考研數(shù)學(xué)三大科目考點解析

一、高等數(shù)學(xué)

高數(shù)是考研數(shù)學(xué)的重中之重。高數(shù)真題體現(xiàn)出以下規(guī)律：側(cè)重對數(shù)學(xué)(一)、(二)、(三)獨有學(xué)問的考查。多元積分部分的曲線積分、曲面積分及幾大公式(格林、高斯和斯托克斯)是數(shù)學(xué)(一)的獨有內(nèi)容，也是必考內(nèi)容。今年有一道考查三重積分計算的填空題和考查曲線積分的解答題;曲率、形心質(zhì)心和其他物理應(yīng)用是數(shù)學(xué)(二)?？純?nèi)容，今年就考了一道關(guān)于溫度變化的解答題;數(shù)三的特色是經(jīng)濟應(yīng)用建立收益、成本、銷量、價格等經(jīng)濟變量的函數(shù)關(guān)系、邊際收益和邊際成本、彈性問題，今年考了經(jīng)濟應(yīng)用的解答題。

考查考生運用數(shù)學(xué)學(xué)問分析問題、解決問題的力量。上文提到的幾何應(yīng)用、物理應(yīng)用和經(jīng)濟應(yīng)用即為證明。

考點掩蓋較全。上表列出的數(shù)學(xué)(三)的高數(shù)考點即為例證。提示考生不要心存僥幸心理，要全面復(fù)習(xí)。

二、線性代數(shù)

線代的規(guī)律若用兩個關(guān)鍵字概括，為"綜合'和"敏捷'。線代這門學(xué)科的學(xué)問結(jié)構(gòu)是一個網(wǎng)狀結(jié)構(gòu)，學(xué)問點之間的聯(lián)系特別多。請思索一個問題：矩陣可逆有哪些等價條件?從行列式的角度，為矩陣的行列式不等于零;從向量組的角度，是矩陣的行向量組或列向量組線性無關(guān);從線性方程組的角度，是以矩陣為系數(shù)矩陣的齊次線性方程組僅有零解或矩陣為系數(shù)矩陣的非齊次線性方程組有唯一解;從秩的角度，是矩陣滿秩;從特征值的角度，是矩陣的特征值不含零;從二次型的角度，為矩陣的轉(zhuǎn)置乘矩陣這個新矩陣正定。不難看到，從一個核心概念"矩陣可逆'動身，可以把整個線性代數(shù)的五章全串起來。既然學(xué)問點的聯(lián)系如此之多，那么一道題聯(lián)系多個考點或需考生從不同角度考慮就很自然了。這提示考生復(fù)習(xí)線代時，不僅要注意基本學(xué)問點的復(fù)習(xí)，也要重視學(xué)問點之間的聯(lián)系。

三、概率論

概率是三科中題型最固定的：哪考大題哪考小題特別清晰。依據(jù)對歷年真題的分析，不難發(fā)覺，概率常考大題的點有：邊緣分布和條件分布，隨機變量函數(shù)的分布和參數(shù)估量。其他考點考小題或大題的一問，如隨機大事與概率，數(shù)字特征，常用統(tǒng)計量及統(tǒng)計分布。既然概率規(guī)律如此明顯，那考生復(fù)習(xí)時可以在打牢基礎(chǔ)的前提下關(guān)注意點。

考研數(shù)學(xué)通過做題提高成果的三點建議

1.切忌眼高手低

眼高手低是許多考生在復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)時易犯的錯誤，許多考生對基礎(chǔ)性的東西不屑一顧，認為這些內(nèi)容很簡潔，用不著下勁復(fù)習(xí)，還有的考生只是看，認為看懂就行了，很少下筆去做題，結(jié)果在最終的考試中眼熟手生，難以取得好的成果。所以，在復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)時肯定要腳踏實地，一步一個腳印，就像下象棋，要取敵方老帥，就要老狡猾實戰(zhàn)敗全部兵卒，穩(wěn)扎穩(wěn)打，步步為營，這樣的話，才能以不變應(yīng)萬變，在最終的實考中占據(jù)主動!

2.基礎(chǔ)是提高的`前提

基礎(chǔ)的重要性已不言而喻，但是只注意基礎(chǔ)，也是不行的。太注意基礎(chǔ)，就會拘泥于書本，難以適應(yīng)考研試題。打好基礎(chǔ)的目的就是為了提高。但太重提高就會基礎(chǔ)不牢，導(dǎo)致頭重腳輕，力不從心?？忌靼谆A(chǔ)與提高的辯證關(guān)系，依據(jù)自身狀況合理支配復(fù)習(xí)進度，處理好打基礎(chǔ)和提高力量兩者的關(guān)系。一般來說，基礎(chǔ)與提高是交叉和分段進行的，在一個時期的某一個階段以基礎(chǔ)為主，基礎(chǔ)扎實了，再行提高。然后又進入了另一個階段，同樣還要先扎實基礎(chǔ)再提高水平，如此反復(fù)循環(huán)。考生在這個過程中簡單遇到這樣的問題，就是感覺自己經(jīng)過基礎(chǔ)復(fù)習(xí)或一段時間的提高后幾乎不再有所進步，甚至感到越學(xué)越退步，遇到這種狀況，考生千萬不要氣餒，要堅信自己的力量，只要復(fù)習(xí)方法沒有問題，就應(yīng)當堅持下去。雖然表面上感到?jīng)]有進步，但實際水平其實已經(jīng)在不知不覺中提高了，由于在這個時期考生已經(jīng)熟悉到了自己的不足，正處于調(diào)整和進步中。這個時候需要的就是考生的意志力，考研原來就是一場意志力的競賽，不僅需要豐富的學(xué)問和較高的力量，更要有頑強的意志力。只要堅持下去，就有勝利的盼望。

3.按題型分類進行

解題訓(xùn)練最好按題型進行分類復(fù)習(xí)，對于任何一個同學(xué)而言，都可能有自己很擅長的某些類型的題，相反的，也有一些不太熟識或者不會做的題型，這在復(fù)習(xí)的過程中也當有所側(cè)重。例如復(fù)習(xí)大全當中的典型例題解析部分，就對各個章節(jié)的題目都進行了細致劃分，且在題目解答部分給出一題多解的多種解題方法，極大程度拓寬同學(xué)們的思路，把握多種解題方法和要領(lǐng)。第一遍復(fù)習(xí)的時候，需要仔細討論各種題型的求解思路和方法，做到心中有數(shù)，同時對自己的強項和薄弱環(huán)節(jié)有清晰的熟悉，其次遍復(fù)習(xí)的時候就可以有針對性地加強自己不擅長的題型的練習(xí)了，經(jīng)過這樣兩邊的系統(tǒng)梳理，信任解題力量肯定會有飛躍性的提高。

考研數(shù)學(xué)必考的4個定理證明

一、求導(dǎo)公式的證明

20xx年真題考了一個證明題：證明兩個函數(shù)乘積的導(dǎo)數(shù)公式。幾乎每位同學(xué)都對這個公式怎么用比較熟識，而對它怎么來的較為生疏。實際上，從授課的角度，這種在20xx年前從未考過的基本公式的證明，一般只會在基礎(chǔ)階段講到。假如這個階段的考生帶焦急功近利的心態(tài)只關(guān)注結(jié)論怎么用，而不關(guān)懷結(jié)論怎么來的，那很可能從未仔細思索過該公式的證明過程，進而在考場上變得很被動。這里給2023考研學(xué)子提個醒：要重視基礎(chǔ)階段的復(fù)習(xí)，那些真題中未考過的重要結(jié)論的證明，有可能考到，不要放過。

當然，該公式的證明并不難。先考慮f(x)*g(x)在點x0處的導(dǎo)數(shù)。函數(shù)在一點的導(dǎo)數(shù)自然用導(dǎo)數(shù)定義考察，可以根據(jù)導(dǎo)數(shù)定義寫出一個極限式子。該極限為"0分之0'型，但不能用洛必達法則，由于分子的導(dǎo)數(shù)不好算(乘積的導(dǎo)數(shù)公式恰好是要證的，不能用!)。利用數(shù)學(xué)上常用的拼湊之法，加一項，減一項。這個"無中生有'的項要和前后都有聯(lián)系，便于提公因子。之后分子的四項兩兩配對，除以分母后考慮極限，不難得出結(jié)果。再由x0的任意性，便得到了f(x)*g(x)在任意點的導(dǎo)數(shù)公式。

類似可考慮f(x)+g(x)，f(x)-g(x)，f(x)/g(x)的導(dǎo)數(shù)公式的證明。

二、微分中值定理的證明

這一部分內(nèi)容比較豐富，包括費馬引理、羅爾定理、拉格朗日定理、柯西定理和泰勒中值定理。除泰勒中值定理外，其它定理要求會證。

費馬引理的條件有兩個：1.f(x0)存在2.f(x0)為f(x)的極值，結(jié)論為f(x0)=0?？紤]函數(shù)在一點的導(dǎo)數(shù)，用什么方法?自然想到導(dǎo)數(shù)定義。我們可以根據(jù)導(dǎo)數(shù)定義寫出f(x0)的極限形式。往下如何推理?關(guān)鍵要看其次個條件怎么用。"f(x0)為f(x)的極值'翻譯成數(shù)學(xué)語言即f(x)-f(x0)0(或0)，對x0的某去心鄰域成立。結(jié)合導(dǎo)數(shù)定義式中函數(shù)部分表達式，不難想到考慮函數(shù)部分的正負號。若能得出函數(shù)部分的符號，如何得到極限值的符號呢?極限的保號性是個橋梁。

費馬引理中的"引理'包含著引出其它定理之意。那么它引出的定理就是我們下面要爭論的羅爾定理。若在微分中值定理這部分推舉一個考頻最高的，那羅爾定理當之無愧。該定理的條件和結(jié)論想必各位都比較熟識。條件有三："閉區(qū)間連續(xù)'、"開區(qū)間可導(dǎo)'和"端值相等'，結(jié)論是在開區(qū)間存在一點(即所謂的中值)，使得函數(shù)在該點的導(dǎo)數(shù)為0。該定理的證明不好理解，需仔細體會：條件怎么用?如何和結(jié)論建立聯(lián)系?當然，我們現(xiàn)在爭論該定理的證明是"馬后炮'式的：已經(jīng)有了證明過程，我們看看怎么去理解把握。假如在羅爾生活的時代，證出該定理，那可是十足的創(chuàng)新，是要流芳百世的。

閑言少敘，言歸正傳。既然我們爭論費馬引理的作用是要引出羅爾定理，那么羅爾定理的證明過程中就要用到費馬引理。我們對比這兩個定理的結(jié)論，不難發(fā)覺是全都的：都是函數(shù)在一點的導(dǎo)數(shù)為0。話說到這，可能有同學(xué)要說：羅爾定理的證明并不難呀，由費馬引理得結(jié)論不就行了。大方向?qū)?，但過程沒這么簡潔。起碼要說清一點：費馬引理的條件是否滿意，為什么滿意?

前面提過費馬引理的條件有兩個"可導(dǎo)'和"取極值'，"可導(dǎo)'不難推斷是成立的，那么"取極值'呢?好像不能由條件直接得到。那么我們看看哪個條件可能和極值產(chǎn)生聯(lián)系。留意到羅爾定理的第一個條件是函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)。我們知道閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)有很好的性質(zhì)，哪條性質(zhì)和極值有聯(lián)系呢?不難想到最值定理。那么最值和極值是什么關(guān)系?這個點需要想清晰，由于直接影響下面推理的走向。結(jié)論是：若最值取在區(qū)間內(nèi)部，則最值為極值;若最值均取在區(qū)間端點，則最值不為極值。那么接下來，分兩種狀況爭論即可：若最值取在區(qū)間內(nèi)部，此種狀況下費馬引理條件完全成立，不難得出結(jié)論;若最值均取在區(qū)間端點，留意到已知條件第三條告知我們端點函數(shù)值相等，由此推出函數(shù)在整個閉區(qū)間上的最大值和最小值相等，這意味著函數(shù)在整個區(qū)間的表達式恒為常數(shù)，那在開區(qū)間上任取一點都能使結(jié)論成立。

拉格朗日定理和柯西定理是用羅爾定理證出來的。把握這兩個定理的證明有一箭雙雕的效果：真題中直接考過拉格朗日定理的證明，若再考這些原定理，那自然駕輕就熟;此外，這兩個的定理的證明過程中體現(xiàn)出來的基本思路，適用于證其它結(jié)論。

以拉格朗日定理的證明為例，既然用羅爾定理證，那我們對比一下兩個定理的結(jié)論。羅爾定理的結(jié)論等號右側(cè)為零。我們可以考慮在草稿紙上對拉格朗日定理的結(jié)論作變形，變成羅爾定理結(jié)論的形式，移項即可。接下來，要從變形后的式子讀出是對哪個函數(shù)用羅爾定理的結(jié)果。這就是構(gòu)造幫助函數(shù)的過程看等號左側(cè)的式子是哪個函數(shù)求導(dǎo)后，把x換成中值的結(jié)果。這個過程有點像犯罪現(xiàn)場調(diào)查：依據(jù)這個犯罪現(xiàn)場，反推嫌疑人是誰。當然，構(gòu)造幫助函數(shù)遠比破案要簡潔，簡潔的題目直接觀看;簡單一些的，可以把中值換成x，再對得到的函數(shù)求不定積分。

三、微積分基本定理的證明

該部分包括兩個定理：變限積分求導(dǎo)定理和牛頓-萊布尼茨公式。

變限積分求導(dǎo)定理的條件是變上限積分函數(shù)的被積函數(shù)在閉區(qū)間連續(xù)，結(jié)論可以形式地理解為變上限積分函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為把積分號扔掉，并用積分上限替換被積函數(shù)的自變量。留意該求導(dǎo)公式對閉區(qū)間成立，而閉區(qū)間上的導(dǎo)數(shù)要區(qū)分對待：對應(yīng)開區(qū)間上每一點的導(dǎo)數(shù)是一類，而區(qū)間端點處的導(dǎo)數(shù)屬單側(cè)導(dǎo)數(shù)?；ㄩ_兩朵，各表一枝。我們先考慮變上限積分函數(shù)在開區(qū)間上任意點x處的導(dǎo)數(shù)。一點的導(dǎo)數(shù)仍用導(dǎo)數(shù)定義考慮。至于導(dǎo)數(shù)定義這個極限式如何化簡，筆者就不能剝奪讀者思索的權(quán)利了。單側(cè)導(dǎo)數(shù)類似考慮。

"牛頓-萊布尼茨公式是聯(lián)系微分學(xué)與積分學(xué)的橋梁，它是微積分中最基本的公式之一。它證明白微分與積分是可逆運算，同時在理論上標志著微積分完整體系的形成，從今微積分成為一門真正的學(xué)科。'這段話精彩地指出了牛頓-萊布尼茨公式在高數(shù)中舉足輕重的作用。而多數(shù)考生能嫻熟運用該公式計算定積分。不過，提起該公式的證明，熟識的考生并不多。

該公式和變限積分求導(dǎo)定理的公共條件是函數(shù)f(x)在閉區(qū)間連續(xù)，該公式的另一個條件是F(x)為f(x)在閉區(qū)間上的一個原函數(shù)，結(jié)論是f(x)在該區(qū)間上的定積分等于其原函數(shù)在區(qū)間端點處的函數(shù)值的差。該公式的證明要用到變限積分求導(dǎo)定理。若該公式的條件成立，則不難推斷變限積分求導(dǎo)定理的條件成立，故變限積分求導(dǎo)定理的結(jié)論成立。留意到該公式的另一個條件提到了原函數(shù)，那么我們把變限積分求導(dǎo)定理的結(jié)論用原函數(shù)的語言描述一下，即f(x)對應(yīng)的變上限積分函數(shù)為f(x)在閉區(qū)間上的另一個原函數(shù)。依據(jù)原函數(shù)的概念，我們知道同一個函數(shù)的兩個原函數(shù)之間只差個常數(shù)，所以F(x)等于f(x)的變上限積分函數(shù)加某個常數(shù)C。萬事俱備，只差寫一下。將該公式右側(cè)的表達式結(jié)合推出的等式變形，不難得出結(jié)論。

四、積分中值定理

該定理條件是定積分的被積函數(shù)在積分區(qū)間(閉區(qū)間)上連續(xù)，結(jié)論可以形式地記成該定積分等于把被積函數(shù)拎到積分號外面，并把積分變量x換成中值。如何證明?可能有同學(xué)想到用微分中值定理，理由是微分相關(guān)定理的結(jié)論中含有中值?？梢愿鶕?jù)此思路往下分析，不過更易理解的思路是考慮連續(xù)相關(guān)定理(介值定理和零點存在定理)，理由更充分些：上述兩個連續(xù)相關(guān)定理的結(jié)論中不但含有中值而且不含導(dǎo)數(shù)，而待證的積分中值定理的結(jié)論也是含有中值但不含導(dǎo)數(shù)。

若我們選擇了用連續(xù)相關(guān)定理去證，那么究竟選擇哪個定理呢?這里有個小的技巧看中值是位于閉區(qū)間還是開區(qū)間。介值定理和零點存在定理的結(jié)論中的中值分別位于閉區(qū)間和開區(qū)間，而待證的積分中值定理的結(jié)論中的中值位于閉區(qū)間。那么何去何從，已經(jīng)不言自明白。

若順當選中了介值定理，那么往下如何推理呢?我們可以對比一下介值定理和積分中值定理的結(jié)論：介值定理的結(jié)論的等式一邊為某點處的函數(shù)值，而等號另一邊為常數(shù)A。我們自然想到把積分中值定理的結(jié)論朝以上的形式變形。等式兩邊同時除以區(qū)間長度，就能達到我們的要求。當然，變形后等號一側(cè)含有積分的式子的