數(shù)學實驗含所有課件及兩套期末試題第六七章

方程求根方法

函數(shù)求極值方法

常微分方程問題

思考題與練習題代數(shù)方程與常微分方程求多項式根(零點)方法:

R=

roots(P)P是多項式P(x)=a1xn

+a2

xn-1

+……+an

x+an+1系數(shù)[a1,a2,···,an+1],R為多項式全部零點。例6.1求解

3

次方程

x3

+

1

=

0

。求數(shù)值解P=[1,0,0,1];R=roots(P)R

=-1.00000.5000

+

0.8660i0.5000

-

0.8660i求符號解sym

x;solve('x^3+1=0')ans

=[ -1][

1/2-1/2*i*3^(1/2)][

1/2+1/2*i*3^(1/2)]ans

=26.314611.8615-8.1761rx例6.3

球體的吃水深度.計算半徑r

=10

cm的球體,密度r

=0.638.浸入水深度x

=?3M

=

4

p

r

3

r解：重量x022體積V

=

x3–30x2p[r

-(r

-

t

)

]dt=0多項式求根方法p=[1

-30

0

2552];

roots(p)求函數(shù)零點方法fun=inline('x.^3-30*x.^2

');x=fzero(fun,10)x

=

11.8615例6.6

還貸問題。從銀行貸款100萬元建生產(chǎn)流水線，一年后建成投產(chǎn)。投產(chǎn)后流水線每年創(chuàng)造利潤30萬元，銀行的年利率

p=10%，計算多少年后公司可以盈利？function

[k,pay]=debt(d)調(diào)用debtK=6第六年盈利5.9969

萬if

nargin==0,d=30;endS=100;p=0.1;S=S*(1+p);pay=S;k=1;while

S>0k=k+1;S=S*(1+p);S=S-d;pay=[pay,S];endpay

=110.

91.

70.1

47.11

21.821 -5.9969求一元函數(shù)最小值方法Xmin=fminbnd(fun，x1，x2)fun是目標函數(shù),[x1，x2]是最小值點搜索區(qū)間,Xmin是目標函數(shù)的最小值點。例6.7求一元函數(shù)f(x)=0.5–x

exp(–

x2)在區(qū)間[0，2]內(nèi)的最小值，并繪出函數(shù)圖形標出最小值點。fun=inline('0.5-x.*exp(-x.^2)');fplot(fun,[0,2]),hold

on[x0,y0]=fminbnd(fun,0,2)plot(x0,y0,'o')x0

=

0.7071y0

=

0.0711溫室例6.9花園靠樓房處有一溫室,溫室伸入花園2米,高3米.溫室上方是樓房窗臺,要將梯子從花園地上放靠在樓房墻上不損壞溫室，用7

米長的梯子是否可行？解:設(shè)梯子長度為L,梯子與地面的夾角為aa2L

sina

=

31L

cosa

=

23cosa

sina2+L(a

)

=a

?

(0

,p

/

2)數(shù)學模型:L=inline('2./cos(alpha)+3./sin(alpha)')[x,Lmin]=fminbnd(L,0.8,0.9)x

=

0.8528Lmin

=

7.0235梯子長度基本可行。MATLAB求常微分方程初值問題

0

0

y(

x

)

=

y

y￠=

f

(

x,

y)數(shù)值方法是先創(chuàng)建函數(shù)文件,用以描述微分方程右端二元函數(shù),然后用ode23()求出數(shù)值解引例

炮彈在飛行過程中,空氣阻力與飛行速度v的平方成正比,如果初始速度v0

,由牛頓第二定律,得v(0)

=

v0

dt

dv

=

-kv

2

,

t

>

0v(t

)

=

v0t

=0f

(t,

v)

=

-kv

2

(t

)一階微分方程主要信息是右端項和初始值:例7.1馬爾薩斯模型,以1994年我國人口為12億為初值，求解常微分方程N(t)表示人口數(shù)量,取人口變化率r

=0.015,微分方程dtdN=

0.015

Nfunction

z=fun1(t,N)z=0.015*N;ode23('fun1',[1994,2020],12)[T,N]=ode23('fun1',[1994,2020],12)181614121990

1995

2000

2005

2010

2015

2020命令窗口編輯窗口N

(1994)

=

12例Logistic模型,以1994年我國人口為12億為初值，求解常微分方程dN

=

0.04

N

(1

-

N

/

16.5)function

z=fun1(t,N)z=0.04*N.*(1-N/16.5);ode23('fun1',[1994:2012],12)[T,N]=

ode23('fun1',[1994:2012],12)命令窗口編輯窗口dtN

(1994)

=

12根據(jù)微分方程右端函數(shù)f(x，y)=u(1–u)，區(qū)域

D={(x,y)|

0≤x

≤6,

0≤y

≤2}內(nèi)未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)值，確定解函數(shù)曲線的切線對應(yīng)單位向量，繪制向量場。[x,y]=meshgrid(0:.25:6,0:.05:2);k=y.*(1-y);d=sqrt(1+k.^2);

px=1./d;py=k./d;quiver(x,y,px,py),hold

onu=dsolve('Du=u*(1-u)','u(0)=.2');v=dsolve('Dv=v*(1-v)','v(0)=1.8');ezplot(u,[0,6])ezplot(v,[0,6])常微分方程組初值問題0

y(t0

)

=

y0一階常微分方程組初值問題數(shù)值求解方法[T,y]=ode23('F

',Tspan,y0)其中,F是函數(shù)文件,表示微分方程右端函數(shù)Tspan=[t0

Tfinal]

——求解區(qū)域;y0

——

初始條件注:函數(shù)F(t,y)

必須返回列向量.數(shù)值解y

的每一行對應(yīng)于列向量T中的每一行數(shù)據(jù)

dt

dy

=

f

(t,

y)

t

?

t捕食者與被捕食者問題海島上有狐貍和野兔,當野兔數(shù)量增多時，狐貍捕食野兔導(dǎo)致狐群數(shù)量增長;大量兔子被捕食使狐群進入饑餓狀態(tài)其數(shù)量下降;狐群數(shù)量下降導(dǎo)致兔子被捕食機會減少,兔群數(shù)量回升。微分方程模型如下

dt

dy

dt=

-

y

+

0.01xy

dx

=

x

-

0.015

xy計算x(t)，y(t)當t∈[0，20]時的數(shù)據(jù)。繪圖并分析捕食者和被捕食者的數(shù)量變化規(guī)律。x(0)=

100y(0)=20創(chuàng)建MATLAB的函數(shù)文件(程序編輯窗口)function

z=fox(t,y)z(1,:)=y(1)-0.015*y(1).*y(2);z(2,:)=-y(2)+0.01*y(1).*y(2);求微分方程數(shù)值解并繪解函數(shù)圖形(命令窗口)Y0=[100,20];[t,Y]=ode23('fox',[0,20],Y0);x=Y(:,1);y=Y(:,2);figure(1),plot(t,x,'b',t,y,'r')figure(2),plot(x,y)------兔子數(shù)量;

------狐貍數(shù)量兔-狐數(shù)量變化相位圖思考題與練習題3cosa

sina2+1.

對“梯子問題”中的數(shù)學模型L(a

)=用均值不等式做分析,其結(jié)論是否與實驗結(jié)論一致？