二次函數(shù)與冪函數(shù)-高考真題復(fù)習(xí)-高考復(fù)習(xí)課件

§

2.3二次函數(shù)與冪函數(shù)高考理數(shù)

(課標(biāo)Ⅱ?qū)Ｓ?考點(diǎn)

二次函數(shù)與冪函數(shù)(2014大綱全國,16,5分)若函數(shù)f(x)=cos2x+asinx在區(qū)間

是減函數(shù),則a的取值范圍是

.答案(-∞,2]五年高考A組統(tǒng)一命題·課標(biāo)卷題組解析

f(x)=cos2x+asinx=1-2sin2x+asinx,令t=sinx,x∈

,則t∈

,則函數(shù)y=-2t2+at+1在

上是減函數(shù),則

≤

,所以a≤2.解題關(guān)鍵

本題的解題關(guān)鍵在于通過換元,將原函數(shù)轉(zhuǎn)化為二次函數(shù),再結(jié)合復(fù)合函數(shù)單調(diào)性

即可求解.考查轉(zhuǎn)化能力、數(shù)形結(jié)合思想.考點(diǎn)

二次函數(shù)與冪函數(shù)1.(2017浙江,5,5分)若函數(shù)f(x)=x2+ax+b在區(qū)間[0,1]上的最大值是M,最小值是m,則M-m

(

)A.與a有關(guān),且與b有關(guān)

B.與a有關(guān),但與b無關(guān)C.與a無關(guān),且與b無關(guān)

D.與a無關(guān),但與b有關(guān)B組自主命題·?。▍^(qū)、市）卷題組答案

B本題考查二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值,二次函數(shù)的圖象,考查數(shù)形結(jié)合思想和分類

討論思想.解法一:令g(x)=x2+ax,則M-m=g(x)max-g(x)min.故M-m與b無關(guān).又a=1時(shí),g(x)max-g(x)min=2,a=2時(shí),g(x)max-g(x)min=3,故M-m與a有關(guān).故選B.解法二:(1)當(dāng)-

≥1,即a≤-2時(shí),f(x)在[0,1]上為減函數(shù),∴M-m=f(0)-f(1)=-a-1.(2)當(dāng)

≤-

<1,即-2<a≤-1時(shí),M=f(0),m=f

,從而M-m=f(0)-f

=b-

=

a2.(3)當(dāng)0<-

<

,即-1<a<0時(shí),M=f(1),m=f

,從而M-m=f(1)-f

=

a2+a+1.(4)當(dāng)-

≤0,即a≥0時(shí),f(x)在[0,1]上為增函數(shù),∴M-m=f(1)-f(0)=a+1.即有M-m=

∴M-m與a有關(guān),與b無關(guān).故選B.2.(2015四川,9,5分)如果函數(shù)f(x)=

(m-2)x2+(n-8)x+1(m≥0,n≥0)在區(qū)間

上單調(diào)遞減,那么mn的最大值為(

)A.16

B.18

C.25

D.

答案

B當(dāng)m=2時(shí),f(x)=(n-8)x+1在區(qū)間

上單調(diào)遞減,則n-8<0?n<8,于是mn<16,則mn無最大值.當(dāng)m∈[0,2)時(shí),f(x)的圖象開口向下且過點(diǎn)(0,1),要使f(x)在區(qū)間

上單調(diào)遞減,需-

≤

,即2n+m≤18,又n≥0,則mn≤m

=-

m2+9m.而g(m)=-

m2+9m在[0,2)上為增函數(shù),∴m∈[0,2)時(shí),g(m)<g(2)=16,∴mn<16,故m∈[0,2)時(shí),mn無最大值.當(dāng)m>2時(shí),f(x)的圖象開口向上且過點(diǎn)(0,1),要使f(x)在區(qū)間

上單調(diào)遞減,需-

≥2,即2m+n≤12,而2m+n≥2

,所以mn≤18,當(dāng)且僅當(dāng)

即

時(shí),取“=”,此時(shí)滿足m>2.故(mn)max=18.故選B.3.(2015陜西,12,5分)對二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c(a為非零

),四位同學(xué)分別給出下列結(jié)論,其中有且只有一個(gè)結(jié)論是錯(cuò)誤的,則錯(cuò)誤的結(jié)論是

(

)A.-1是f(x)的零點(diǎn)B.1是f(x)的極值點(diǎn)C.3是f(x)的極值

D.點(diǎn)(2,8)在曲線y=f(x)上答案

A由已知得,f'(x)=2ax+b,則f(x)只有一個(gè)極值點(diǎn),若A、B正確,則有

解得b=-2a,c=-3a,則f(x)=ax2-2ax-3a.由于a為非零整數(shù),所以f(1)=-4a≠3,則C錯(cuò).而f(2)=-3a≠8,則D也錯(cuò),與題意不符,故A、B中有一個(gè)錯(cuò)誤,C、D都正確.若A、C、D正確,則有

由①②得

代入③中并整理得9a2-4a+

=0,又a為非零整數(shù),則9a2-4a為整數(shù),故方程9a2-4a+

=0無整數(shù)解,故A錯(cuò).若B、C、D正確,則有

解得a=5,b=-10,c=8,則f(x)=5x2-10x+8,此時(shí)f(-1)=23≠0,符合題意.故選A.考點(diǎn)

二次函數(shù)與冪函數(shù)1.(2013課標(biāo)全國Ⅱ,16,5分)若函數(shù)f(x)=(1-x2)(x2+ax+b)的圖象關(guān)于直線x=-2對稱,則f(x)的最大

值為

.C組教師專用題組答案16解析由f(x)=(1-x2)(x2+ax+b)的圖象關(guān)于直線x=-2對稱,有

即

解得a=8,b=15,∴f(x)=(1-x2)(x2+8x+15)=(1-x2)[(x+4)2-1],令x+2=t,則x=t-2,t∈R.∴y=g(t)=[1-(t-2)2][(t-2)2+8(t-2)+15]=(4t-t2-3)·(4t+t2+3)=16t2-(t2+3)2=16t2-t4-6t2-9=16-(t2-5)2,∴當(dāng)t2=5時(shí),ymax=16.2.(2014遼寧,16,5分)對于c>0,當(dāng)非零實(shí)數(shù)a,b滿足4a2-2ab+4b2-c=0且使|2a+b|最大時(shí),

-

+

的最小值為

.答案-2解析設(shè)2a+b=t,則2a=t-b,由已知得關(guān)于b的方程(t-b)2-b(t-b)+4b2-c=0有解,即6b2-3tb+t2-c=0有

解.故Δ=9t2-24(t2-c)≥0,所以t2≤

c,所以|t|max=

,此時(shí)c=

t2,b=

t,2a=t-b=

,所以a=

.故

-

+

=

-

+

=8

=8

-2≥-2.所以

-

+

的最小值為-2.3.(2015浙江,18,15分)已知函數(shù)f(x)=x2+ax+b(a,b∈R),記M(a,b)是|f(x)|在區(qū)間[-1,1]上的最大值.(1)證明:當(dāng)|a|≥2時(shí),M(a,b)≥2;(2)當(dāng)a,b滿足M(a,b)≤2時(shí),求|a|+|b|的最大值.解析(1)證明:由f(x)=

+b-

,得對稱軸為直線x=-

.由|a|≥2,得

≥1,故f(x)在[-1,1]上單調(diào),所以M(a,b)=max{|f(1)|,|f(-1)|}.當(dāng)a≥2時(shí),由f(1)-f(-1)=2a≥4,得max{f(1),-f(-1)}≥2,即M(a,b)≥2.當(dāng)a≤-2時(shí),由f(-1)-f(1)=-2a≥4,得max{f(-1),-f(1)}≥2,即M(a,b)≥2.綜上,當(dāng)|a|≥2時(shí),M(a,b)≥2.(2)由M(a,b)≤2得|1+a+b|=|f(1)|≤2,|1-a+b|=|f(-1)|≤2,故|a+b|≤3,|a-b|≤3,由|a|+|b|=

得|a|+|b|≤3.當(dāng)a=2,b=-1時(shí),|a|+|b|=3,且|x2+2x-1|在[-1,1]上的最大值為2,即M(2,-1)=2.所以|a|+|b|的最大值為3.考點(diǎn)

二次函數(shù)與冪函數(shù)1.(2018海南國興中學(xué)月考)方程|x2-2x|=a2+1(a∈R+)的解的個(gè)數(shù)是

(

)A.1

B.2

C.3

D.4三年模擬A組2016—2018年高考模擬·基礎(chǔ)題組答案

B∵a∈R+,∴a2+1>1.而y=|x2-2x|的圖象如圖,∴y=|x2-2x|的圖象與y=a2+1的圖象總有兩個(gè)交點(diǎn).∴方程有兩個(gè)解.故選B.2.(2018寧夏石嘴山三中模擬,6)若函數(shù)f(x)是冪函數(shù),且滿足

=3,則f

的值為

(

)A.-3

B.-

C.3

D.

答案

D設(shè)f(x)=xα(α為常數(shù)),∵

=3,∴

=3,∴α=log23.∴f(x)=

.則f

=

=

.故選D.3.(2017甘肅天水秦州月考,4)已知函數(shù)f(x)=

x2-x,則f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是

(

)A.(-∞,-1)和(0,+∞)B.(0,+∞)C.(-1,0)和(1,+∞)D.(1,+∞)答案

D函數(shù)f(x)=

x2-x為二次函數(shù),且其圖象的開口方向向上,對稱軸為直線x=-

=1,則f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(1,+∞).故選D.4.(2017陜西漢中4月模擬,7)已知函數(shù)f(x)=ax2-2ax+c(a≠0)滿足f(2017)<f(-2016),則滿足f(m)≤f

(0)的實(shí)數(shù)m的取值范圍是

(

)A.(-∞,0]

B.[0,2]C.(-∞,0]∪[2,+∞)

D.[2,+∞)答案

B函數(shù)f(x)=ax2-2ax+c(a≠0)的圖象關(guān)于直線x=1對稱,由f(2017)<f(-2016),可知函數(shù)f

(x)的圖象開口向上,∴若f(m)≤f(0),則|m-1|≤1,解得m∈[0,2],故選B.5.(2018甘肅武威一中期中,17)若冪函數(shù)y=(m2-3m+3)·

的圖象不經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn),求實(shí)數(shù)m的取值范圍.解析由題意得m2-3m+3=1,解得m=1或m=2,m=1時(shí),y=

,圖象不過原點(diǎn),m=2時(shí),y=x0,圖象不過原點(diǎn),故m=1或2.1.(2018新疆烏魯木齊二模,8)已知點(diǎn)(m,8)在冪函數(shù)f(x)=(m-1)xn的圖象上,設(shè)a=f

,b=f(lnπ),c=f

,則a,b,c的大小關(guān)系為

(

)A.a<c<b

B.a<b<cC.b<c<a

D.b<a<c選擇題（每小題5分，共35分）B組2016—2018年高考模擬·綜合題組(時(shí)間：20分鐘分值：35分)答案

A由點(diǎn)(m,8)在冪函數(shù)f(x)=(m-1)xn的圖象上,可得m-1=1,且mn=8,∴m=2,n=3,則f(x)=x3,∴f(x)在R上遞增,∵0<

<

<1,lnπ>1,∴a<c<b,故選A.思路分析由冪函數(shù)的定義可得m=2,由函數(shù)圖象過(m,8),得n=3,∴f(x)=x3,∴f(x)在R上遞增,結(jié)

合對數(shù)函數(shù)和冪函數(shù)的性質(zhì),即可得到a,b,c的大小關(guān)系.解后反思本題考查了冪函數(shù)概念以及運(yùn)用其性質(zhì)比較大小.2.(2018陜西西安鐵一中學(xué)4月模擬,6)已知f(x)=

若函數(shù)y=f(x)-c的圖象與x軸恰有兩個(gè)公共點(diǎn),則實(shí)數(shù)c的取值集合是

(

)A.{c|c≤-5或c=-1或c=3}B.{c|c<-5或c=-1或c=3}C.{c|2<c<3或c>4}D.{c|2<c≤3或c≥4}答案

B作出函數(shù)f(x)=

的圖象如圖:由y=f(x)-c=0得f(x)=c,由圖象可知要使方程f(x)=c恰有兩個(gè)解,則c=-1或c=3或c<-5.故選B.思路分析作出函數(shù)y=f(x)的圖象,然后根據(jù)圖象確定實(shí)數(shù)c的取值集合.解題方法解決二次函數(shù)的圖象以及兩個(gè)圖象的交點(diǎn)問題,數(shù)形結(jié)合是主要方法.3.(2018海南文昌中學(xué)模擬,7)已知二次函數(shù)f(x)=2ax2-ax+1(a<0),若x1<x2,x1+x2=0,則f(x1)與f(x2)的

大小關(guān)系為

(

)A.f(x1)=f(x2)

B.f(x1)>f(x2)C.f(x1)<f(x2)

D.與a值有關(guān)答案

C

f(x)=2ax2-ax+1(a<0)圖象的對稱軸為x=

,開口向下.∵x1<x2,x1+x2=0,∴x1<0<x2,且x2=-x1,則x1距離對稱軸x=

較遠(yuǎn).易知f(x1)<f(x2),故選C.解題關(guān)鍵有關(guān)二次函數(shù)的對稱性的應(yīng)用問題,解題的關(guān)鍵是確定二次函數(shù)圖象的對稱軸及

開口方向.4.(2018寧夏銀川二中二模,10)已知f(x)為二次函數(shù),對任意的二次函數(shù)f(x)和實(shí)數(shù)t,關(guān)于x的方程

f(|x-t|)=0的解集不可能是

(

)A.{1,2}

B.{1,3}C