高二文科數學暑期講義第9講導數在研究函數中的簡單應用教師版

第9講導數在研究函數

一中的簡單應用

。滿分晉級

新課標剖析

當前

導數及其應用在近五年北京卷（文）中考查分

形勢13?18

要求層次

內容具體要求

ABC

利用導數研究函數的單調性（其中多項式函數不超過

局考三次）

要求

導數在研究函數中的

應用Y函數的極值、最值（其中多項式函數不超過三次）

“利用導數解決某些實際問題.

北京2008年2009年2010年（新課標）2011年（新課標）2012年（新課標）

高考

解讀第13題5分

第18題14分第18題13分第18題13分第18題13分

第17題13分

108

9.1利用導數分析函數的單調性

利用導數判斷函數的單調性的方法

如果函數y=/(x)在x的某個開區(qū)間內，總有/”(x)>0,則在這個區(qū)間上是增函數;

如果函數y=/(x)在x的某個開區(qū)間內，總有廣。)<0,則在這個區(qū)間上是減函數.

【教師備案】對于函數f(x),若/'(X)>0(1(幻<0),則f(x)為增函數(減函數)：反之，若f(x)為

增函數(減函數)，則r(x)》0(尸(x)W0)恒成立，且尸(x)不恒等于零.

經典精講

考點L函數單調性與其導函數正負的關系

【教師備案】選修2-2A版教材引入方式

1.如下圖，函數圖象的切線的斜率(即導數)的正負可以反映函數的單調性.

導數/'(/)表示函數/(x)在點(%,/(%))處的切線的斜率.在x=x0處，/'伉)>0,

切線是“左下右上”式的，這時，函數/(x)在X。附近單調遞增；在X=X1處，/(苔)<0,

切線是“左上右下”式的，這時，函數/(x)在占附近單調遞減.

2.已知導函數尸(x)的下列信息：

當l<x<4時，f'(x)>0;當x<l或x>4時，f\x)<0;當x=l或x=4時，/'(x)=0.

試畫出函數的大致形狀.

W(x)

【教師備案】選修2-2B版教材引入方式

函數y=/(x)在區(qū)間［x,x+Ar］上的平均變化率為電.

依據函數單調性的定義：

若包>0,則函數在給定區(qū)間上為增函數；若竺<0,則函數在給定區(qū)間上為減函數.

從導數的角度看：lim=lim/(%+Ar)~/(X)=f'(x).

若r(x)>o,則函數在給定區(qū)間上為增函數；若(a)<o,則函數在給定區(qū)間上為減函數.

因此我們可以用導數作工具來研究函數的性質.

【鋪墊】老師可以以此鋪墊給學生講解導函數的正負與原函數單調性的關系

求下列函數的導函數，并畫出導函數的圖象，觀察導函數的正負與原函數單調性的關系

r

1ZJF

卜

/XO|X

(3)

⑴(2)

【解析】導函數的圖象

為：▲

工

(1)/⑵

(3)

從導函數的圖象我們可以看出，當導函數大于零時原函數是單調遞增的；當導函數小于零

時，原函數是單調遞減的.

【例1】★根據導函數圖象判斷原函數圖象

(2010石景山一模文理7)

己知函數f(x)的導函數((X)的圖象如右圖所示，那么函數/(X)的圖象最有可能的是(

2

ABCD

【解析】A

考點2：從導數角度解釋函數增減的快慢

【教師備案】函數圖象如圖1、2所示，由圖3、4可知，當自變量Ar逐次增加一個單位增量Ar時，

函數g(x)的相應增量Ay,Ay2,Ay3，…越來越大；函數/(x)的相應增量Ay,，△為，…

越來越小.

y=fW

110

圖1圖2

圖3圖4

從導數的角度來看：g'（x）＞o,g'（x）為增函數；r（x）＞o,r（x）為減函數.

圖象特點：如果一個函數在某一范圍內導數的絕對值較大，那么函數在這個范圍內變化得

快，函數的圖象就比較“陡峭”（向上或向下）.

如果一個函數在某一區(qū)間內導數的絕對值越來越大，那么對應的函數圖象就越來

越陡峭.反之，就越來越平緩.

【鋪墊】如圖，水以恒速（即單位時間內注水的體積相同）注入下面四種底面積相同的容器中，請分

別找出與各容器對應的水的高度力與時間f的函數關系圖象.

ABCD

【解析】以容器⑵為例，由于容器上細下粗，所以水以恒速注入時，開始階段高度增加得慢，以后高

度增加得越來越快.反映在圖象上，（A）符合上述變化情況，同理可知其他三種容器的情

況.

⑴1B;⑵-A;⑶-D;⑷-C.

【例2】?★函數的增長速度

⑴汽車經過啟動、加速行駛、勻速行駛、減速行駛之后停車，若把這一過程中汽車的行駛路

程s看作時間/的函數，其圖象可能是（）

⑵如左圖所示，液體從球形漏斗漏入一圓柱形燒杯中，開始時漏斗中盛滿液體，經過3分

鐘漏完，已知燒杯中液面上升的速度是一個常量，H是漏斗中液面下落的距離，則”與

下落時間r（分）的函數關系用圖象表示可能是右圖中的（）.

【解析】⑴A

（2）D

考點3：求函數的單調區(qū)間

【教師備案】求可導函數單調區(qū)間的一般步驟和方法

第一步：確定函數〃x）的定義域；

第二步：求r（x）,令r（x）=0,解此方程，求出它在定義域內的一切實根；

第三步：把函數〃x）在間斷點（即“X）的無定義點）的橫坐標和上面的各實根按由小

到大的順序排列起來，然后用這些點把函數/（x）的定義區(qū)間分成若干個小區(qū)

間；

第四步：確定尸（X）在各個小區(qū)間的符號，根據尸（X）的符號判斷函數“X）在每個相應

小區(qū)間的增減性.

【注意】①函數的單調區(qū)間不能用不等式表示，必須寫成區(qū)間形式；

②當一個函數具有相同單調性的單調區(qū)間不止一個時，這些單調區(qū)間不能用“U”連接，可

用“，”或“和”連接.

提高班學案1

【鋪1】確定函數〃x）=x3-3x在哪個區(qū)間內是增函數？哪個區(qū)間內是減函數？

【解析】已知函數在區(qū)間（1,+8）和（-8,-1）內是增函數；在區(qū)間（-1,1）內是減函數.

尖子班學案1

【鋪2】已知函數/（x）=xe;求函數/（x）的單調區(qū)間.

【解析】〃x）的單調遞增區(qū)間為（-1,+8）,單調遞減區(qū)間為（-8,-1）.

【例3】★求單調區(qū)間

求下列函數的單調區(qū)間

（1）/（x）=Xs-3x2-9x+5；（2）/（x）=x2-21nx.

【解析】⑴函數/（x）的單調遞增區(qū)間為（TO,-1）和（3,+8）;單調遞減區(qū)間為（-1,3）.

（2"（x）的單調遞增區(qū)間為（1,+8）,的單調遞減區(qū)間為（0,1）,

112

目標班學案1

【拓3】已知函數/（x）=￡,求函數〃x）的定義域及單調區(qū)間.

【解析】函數的定義域為{x|xrl}.

/（x）的單調遞增區(qū)間為（2,+oo）,單調遞減區(qū)間為（-8,1）和（1,2）.

求函數/'（X）=21nx-ov（aGR）的單調區(qū)間.

【解析】當々W0時，y=/（x）的單調遞增區(qū)間為（0,+8）;

當a>0時，函數y=f（x）的單調遞增區(qū)間是（0,2],單調遞減區(qū)間是（2,+8）.

提高班學案2

【鋪1】若丁=以與y=-2在（0,+8）上都是減函數，對函數丫=?3+質的單調性描述正確的是

X

（）

A.在（V，+8）上是增函數B.在（0,+8）上是增函數

C.在（YO,+8）上是減函數D.在（-8,0）上是增函數，在（0,+8）上是減函數

【解析】C

【例4】★?已知函數單調性，求參數范圍

已知函數/（*）=也*-；,4一2.4聲0）不存在單調遞減區(qū)間，求〃的取值范圍.

【追問】若改為存在單調遞減區(qū)間，則a的取值范圍是多少.

【解析】a的取值范圍為（YO,-1].

【追問】“的取值范圍為（一1,0）（0,+oo）.

尖子班學案2

已知函數/（工）=℃二

【拓2】2-,xe（0,2],若f（x）在xe（O,l]上是增函數，則a的取值范圍

為_________

【解析】a》一1.

目標班學案2

【拓3】設函數f（x）=lnx+x2+ax在其定義域內為增函數，求a的取值范圍.

【解析】a的取值范圍是[-2及，+8）.

9.2利用導數分析函數的極值與最值

知識點睛

1.利用導數研究函數的極值：

已知函數y=/(x),設/是定義域內任一點，如果對乙附近的所有點x,都有/。)</(不)，則稱函

數/(%)在點與處取極大值,記作y極大=f(x0),并把均稱為函數/(A-)的一個極大值點.

如果在與附近都有f(x)>f(1),則稱函數/(x)在點與處取極小值,記作y極小=/(x0).并把也稱為

函數/(x)的一個極小值點.

極大值與極小值統(tǒng)稱為極值.極大值點與極小值點統(tǒng)稱為極值點.

【教師備案】老師可以借助經典精講中的【鋪墊】來講解函數的極值，先讓學生自己觀察，然后老師

再來總結極值，并總結極值中應注意的方面.

我們可以從以下幾個方面理解概念：

①極值是一個局部性概念，只要在一個小領域內成立即可.要注意極值必須在區(qū)間內的

連續(xù)點取得.一個函數在定義域內可以有許多個極小值和極大值，在某一點的極小值

也可能大于另一點的極大值，也就是說極大值與極小值沒有必然的大小關系.即極大

值不一定比極小值大，極小值也不一定比極大值小.

②函數的極值點的導數為0,但導數為0的點可能不是函數的極值點.也就是說，若

r(c)存在，r(c)=o是/(X)在x=c處取得極值的必要條件，但不是充分條件.比

如在x=0處，/'(0)=0但x=0不是函數的極值點，所以一定要注意點的

左右變化趨勢.

③若在區(qū)間(〃，與內有極值，那么“X)在(〃，切內一定不是單調函數，即在區(qū)間

上單調的函數沒有極值.

④如果函數“X)在［a,可上有極值的話，它的極值點的分布是有規(guī)律的.相鄰兩個極

大值點之間必有一個極小值點，同樣，相鄰兩個極小值點之間必有一個極大值點,一

般地，當函數在［a,句上連續(xù)且有有限個極值點時，函數/(x)在［a,以內的極

大值點、極小值點是交替出現的.

2.求函數y=〃x)的極值的方法

⑴確定函數定義域

⑵求導數/'(x);

⑶求方程((x)=0的根；

⑷檢查了'(X)在方程根左右的值的符號，如果左正右負，那么/(x)在這個根處取得極大值：如果左

負右正，那么f(x)在這個根處取得極小值

【教師備案】①使r(x)無意義的點也要討論.即可先求出尸(x)=0的根和使尸(x)無意義的點，這些

點都稱為可疑點，再用定義去判斷.

②極大值點可以看成是函數單調遞增區(qū)間與遞減區(qū)間的分界點，極大值是極大值點附近

曲線由上升到下降的過渡點的函數值.極小值則是極小值點附近曲線由下降到上升的

過渡點的函數值.

3.求函數y=/(x)在［a,句上的最大值與最小值的步驟如下：

(1)求函數y=/(%)在(a，6)內的極值；

⑵將函數y=的各極值與端點處的函數值八。),/伍)必，其中最大的一個是最大值,最小

的一個是最小值.

【教師備案】老師在講最值時,也可以繼續(xù)以【鋪墊】為例，問學生在一個區(qū)間上的最值，并提出需

114

要注意的幾點.

在理解函數最值時，需要注意以下幾點：

①函數的最大值和最小值是一個整體性概念，最大值必是整個區(qū)間上所有函數值中的最

大者，最小值必是整個區(qū)間上的所有函數值中的最小者.

②函數的最大值、最小值是比較整個定義區(qū)間的函數值得出的，函數的極大值、極小值

是比較極值點附近的函數值得出的.函數的極值可以有多個，但最值只能有一個；極

值只能在區(qū)間內取得，最值可以在端點取得；有極值未必有最值，有最值也未必有極

值；極值有可能成為最值，最值只要不在端點處必定是極值：極值不一定是最值，比

如說，某位同學在班里的成績最好，可以認為是班里的極大值，但在全校不一定是最

好的，即使在全校最好，也不一定在全國最好，所以極大值不一定是最大值，老師也

可以以此為例講解極小值不一定是最小值.

藻)經典精

【鋪墊】如圖所示，函數y=〃x)在a,b,c,d,e,f,g,人等點的函數值與這些點附近的函數值有

什么大小關系？y=〃x)在這些點的導數值是多少？在這些點附近，y=〃x)的導數的符號

有什么規(guī)律？

【解析】以“，力兩點為例，我們可以發(fā)現，函數y=/(x)在點x=a的函數值/(“)比它在點x=a附近

其他點的函數值都小，/'(")=();而且在點x=a附

近的左側((x)<0,右側/(x)>0.類似地，函數

)'=f(x)在點x=6的函數值/(〃)比它在點x=》附

近其他點的函數值都大，/修)=0；而且在點》=人

附近的左側r(尤)>0,右側尸(x)<0.

其它的點老師可以自由發(fā)揮，隨便問學生.

考點4：與極值相關的圖象問題

【例5】★與極值相關的圖象問題

⑴函數/(x)的導函數圖象如圖所示，則函數/(x)在圖示區(qū)間上

A.無極大值點，有四個極小值點

B.有三個極大值點，兩個極小值點

C.有兩個極大值點，兩個極小值點

D.有四個極大值點，無極小值點

⑵(2010朝陽二模6)

【解析】(DC

(2)A

考點5：求函數的極值與最值

尖子班學案3

【鋪2】用導數法求函數/(x)=x+2的極值.

X

【解析】/(x)在x=-0時取得極大值-2&,在工=亞時，取得極小值2立.

【例6】?求函數的極值與最值

己知函數/(x)=2x3—3x2+l(xGR).

⑴求〃X)的極值；

⑵求函數/(X)在閉區(qū)間［-1<2］上的最值.

【解析】⑴,f(x)的極小值為了。)=0;極大值為"0)=1.

⑵函數f(x)在閉區(qū)間［-1,2］上的最小值為-4,最大值為5.

提高班學案3

【鋪1】設函數f(x)=，1+3x+2有極值，求。的取值范圍.

【解析】〃的取值范圍為a<0.

【例7】★★已知函數存在極值，求參數范圍

設函數/(X)的導函數為尸(X),若/(*)=加-#+X,aeR.

⑴用a表示:⑴；

⑵若函數在R上存在極值，求。的范圍.

【追問】若函數在R上不存在極值，則。的取值范圍是多少？

【解析】⑴/(l)=2a-2.

(2)0<a<3.

【追問】(-00,o］U［3,4-00)

目標班學案3

116

【拓3】（2010北京卷18）設函數/（司=1寸+芯+6+"（4>0）,且方程f'（x）-9x=0的兩個根分

別為1,4.

（1）當”=3且曲線y=/（x）過原點時，求“X）的解析式；

（2）若/（x）在（YO,+8）內無極值點，求a的取值范圍.

【解析】⑴/（X）=X3-3X2+12X.

（2）a的取值范圍是[1,9].

右圖是導函數y=/'（x）的圖象，試找出函數），=〃x）

的極值點，并指出哪些是極大值點，哪些是極小值點.

【解析】根據導函數的正負，我們可以判斷原函數的單調性，由

此，我們可以得到，函數在x=%處取得極大值，即超

為極大值點；函數在x=x4處取得極大值，即匕為極小

值點.

【點評】一方面，學生在看到此圖時，第一反應會默認為4和與分別為極值點，但是我們要審清題意，

這里給的是導函數的圖象，不是原函數的圖象，我們要根據導函數的圖象畫出原函數的圖象;

另一方面，學生也會誤認為五為函數的一個極值點，我們從圖象上就可以看出原函數在

（工5,+8）一直是單調遞增的，所以人不是函數的極值點.所以原函數的單調性只與導函數的

正負有關，與導函數的單調性無關.

o實戰(zhàn)演練

【演練1】已知函數“X）的導函數/'（X）的圖象如右圖所示，那么函數“X）的圖象最有可能的

【解析】A

【演練2】向高為〃的水瓶中注水，注滿為止，如果注水量V與水深/?的函數關系的圖象如左圖

所示，那么水瓶的形狀是（）.

BCD

【解析】B

【演練3】設（（x）是函數f（x）的導函數，將y=:/（x）和），=/（幻的圖象畫在同一個直角坐標系中，不