高考第一輪復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)-解斜三角形

解斜三角形

?知識(shí)梳理

1.正弦定理：在一個(gè)三角形中，各邊和它所對(duì)角的正弦的比相等，即

a_b_c

“—-，’—,■，’.

sinAsinBsinC

利用正弦定理，可以解決以下兩類有關(guān)三角形的問(wèn)題.

(1)已知兩角和任一邊，求其他兩邊和一角；

(2)已知兩邊和其中一邊的對(duì)角，求另一邊的對(duì)角.(從而進(jìn)一步求出其他的邊和

角)

2.余弦定理：三角形任何一邊的平方等于其他兩邊平方的和減去這兩邊與它們夾角

的余弦的積的兩倍，即

a2=b2+c2-2bccosA;①

b2=c2+a2-2cacosB;②

c2=a2+b2—2abcosC.③

在余弦定理中，令C=90°,這時(shí)cosC=0,所以C2=a2+拉.

由此可知余弦定理是勾股定理的推廣.由①②③可得

cosA=b2+c2-a2；

2bc

cos5=￡l+空一些；

2ca

cosC=a2+h2-c2.

lab

利用余弦定理，可以解決以下兩類有關(guān)三角形的問(wèn)題：

(1)已知三邊，求三個(gè)角；

(2)已知兩邊和它們的夾角，求第三邊和其他兩個(gè)角.

特別提示

兩定理的形式、內(nèi)容、證法及變形應(yīng)用必須引起足夠的重視，通過(guò)向量的數(shù)量積把

三角形和三角函數(shù)聯(lián)系起來(lái)，用向量方法證明兩定理，突出了向量的工具性，是向量知

識(shí)應(yīng)用的實(shí)例.另外，解三角形問(wèn)題可能出現(xiàn)一解、兩解或無(wú)解的情況，這時(shí)應(yīng)結(jié)合“三

角形中大邊對(duì)大角定理及幾何作圖來(lái)幫助理解”.

?點(diǎn)擊雙基

1.（2002年上海）在△ABC中，若2cosBsinA=sinC,則△ABC的形狀一定是

A.等腰直角三角形B.直角三角形

C.等腰三角形D.等邊三角形

解析：由2cos8sinA=sinC得竺土竺二Xa=c,.'.a=b.

ac

答案：C

2.下列條件中，△A5C是銳角三角形的是

1，?

+cosA=_B.AB,BC>0

5

+tanB+tanC>0=3,c=3、G,5=30°

解析：由sinA+cosA=J.

5

得2sinAcosA=—Zi<0,：.A為鈍角.

25

由4方>BC>0,得西,BC<0,.,.COS<BA,BC>VO.,3為鈍角.

由tanA+tanB+tanOO,得tan（A+8）?（1—tanAtanB）+tanC>0.

tanAtanBtanO0,A、B、。都為銳角.

由）_得sinC=3,.?.C=!L或竺.

sin8sinC233

答案：C

3.（2004年全國(guó)IV,理11）ZVIBC中，a、b、c分別為/A、/C的對(duì)邊，

如果a、b、c成等差數(shù)列，ZB=30°,ZVIBC的面積為3,那么b等于

2

A.S+4

2

C.2+E+百

2

解析：???〃、b、c成等差數(shù)列，.?.2A=a+c.平方得。2+°2=4拉一2歐.又△ABC的面積

為2,且NB=30°,故由S-1acsinB=1tzcsin30°=1.ac=-9得〃c=6.「?〃2+C2=4/72

2MBC2242

一12.由余弦定理，得CCW=〃2+C2"2一4〃-12"2一。24_4?解得歷=4+2/.又

lac2x642

b為邊長(zhǎng),:.b=l+￡.

答案：B

4.已知(a+b+c)(b+c—a)=3bc,貝!j/A=.

解析：由已知得(匕+。)2—。2=3歷，/.b2+c2~a2=hc./.b2+c2~a'=1.Z/!=--

2hc23

答案：1

3

5.在銳角△ABC中，邊長(zhǎng)a=l,b=2,則邊長(zhǎng)c的取值范圍是_____.

解析：若。是最大邊，貝iJcosOO.」.“2+/戶-舊>o,：.c<^.Xc>b-a=\,

2ah

：.1<C<75.

答案：(1,J5)

?典例剖析

【例1】ZVIBC的三個(gè)內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別是a、b、c,如果④斗(He),

求證：A=2B.

剖析：研究三角形問(wèn)題一般有兩種思路.一是邊化角，二是角化邊.

證明：用正弦定理,a=2AsinA,b=2RsinB,c=2RsinC,代入ai=b(b+c)中，得sin2A=sinfi

(sinB+sinC)=>sin2A—sin2B=sinBsinC

=>I-cos2A_1-C°s2'=sinBsin(A+8)

22

nJ.(cos25—cos2A)=sin5sin(A+8)

2

=sin(A+B)sin(A—B)=sinBsin(A+B),

因?yàn)锳、B、C為三角形的三內(nèi)角，所以sin(A+B)#0.所以sin(A-B)=sin8.所

以只能有A-8=6,BPA=2B.

評(píng)述：利用正弦定理，將命題中邊的關(guān)系轉(zhuǎn)化為角間關(guān)系，從而全部利用三角公式

變換求解.

思考討論

(0該題若用余弦定理如何解決？

解：利用余弦定理，由a2=b(b+c),得C0sAJ2+c2-a2="2+c2)-°(b+c)=j,

2bc2bc2b

COS2B=2COS2B-1=2(a2+c2~b~)2-1="+c)2c2一1=

2ac2b(b+c)c22b

所以cosA=cos28.因?yàn)锳、8是△ABC的內(nèi)角，所以A=28.

(2)該題根據(jù)命題特征，能否構(gòu)造一個(gè)符合條件的三角形，利用幾何知識(shí)解決？

解：由題設(shè)。2=匕(b+C),得，二=2①，

b+ca

作出△ABC,延長(zhǎng)C4到。，使AD=4B=c,連結(jié)80.①式表示的即是空=生，所

DCBC

以△BCOs/VlBC.所以/1=ZD.

又A8=AO,可知/2=/。，所以/1=/2.

因?yàn)?胡。=/2+/。=2/2=2/1,

所以A=2B.

評(píng)述：近幾年的高考題中，涉及到三角形的題目，重點(diǎn)考查正弦、余弦定理，考查

的側(cè)重點(diǎn)還在于三角轉(zhuǎn)換.這是命題者的初衷.

【例2】(2004年全國(guó)n,17)已知銳角AABC中，sin(A+B)=2,sin(A-B)

5

_1

——.

5

(1)求證：tanA=2tanB;

(2)設(shè)AB=3,求A8邊上的高.

剖析：有兩角的和與差聯(lián)想到兩角和與差的正弦公式，結(jié)合圖形，以0)為鋪墊，

解決(2).

(1)證明：Vsin(A+8)=2,sin(A-B)=1,

55

.3

sinAcosB+cosAsin8=一

/..5

sinAcosB-cosAsinB=-

5

si.nAAcosnn="2

5tanAc

=><=>=2.

，.八1tanB

cosAsinB=-

5

.*.tarL4=2tanS.

(2)解：WV4+8V兀,/.sin(A+B)=2.

25

/.tan(A+B)=—2,

4

即JanA+tanB=-2.將tanA=2tanB代入上式整理得2tan23-4tan8-1=0,解得

1-tanAtanB4

tanR=2±K(負(fù)值舍去).得tanB=2+>..-.tanA=2tanB=2+^.

22

設(shè)AB邊上的高為8,貝ljAB=AD+DB=2+旦=由AB=3得CD=2+R,

tanAtanB2+76

所以A8邊上的高為2+?.

評(píng)述：本題主要考查三角函數(shù)概念，兩角和與差的公式以及應(yīng)用，分析和計(jì)算能力.

【例3】（2004年春季北京）在△ABC中，。、仄c分別是/A、/8、NC的對(duì)

邊長(zhǎng)，已知。、b、c成等比數(shù)列，且。2—。2="—兒，求/A的大小及竺噠的值.

C

剖析：因給出的是。、b、c之間的等量關(guān)系，要求/A,需找/A與三邊的關(guān)系，

故可用余弦定理.由岳="可變形為絲=a,再用正弦定理可求bsinB的值.

CC

解法一：???。、b、C成等比數(shù)列，??.b2=ac.

又az-ci=ac—be,：.b^+Ci~^=bc.

在△ABC中，由余弦定理得

cosA=Q_L竺二竺=g=1,???NA=60°.

2bc2hc2

在△ABC中，由正弦定理得sin5="i上i,

,?b2=ac,ZA=60°,

^ing_fe2sin60°=gin6no=&.

cac2

解法二：在△ABC中，

由面積公式得！■》c'sin4=1acsinB.

22

bi=ac,ZA=60°,hcsinA=h^sinB.

???絲gsinA=3.

c2

評(píng)述：解三角形時(shí)，找三邊一角之間的關(guān)系常用余弦定理，找兩邊兩角之間的關(guān)系

常用正弦定理.

?闖關(guān)訓(xùn)練

夯實(shí)基礎(chǔ)

1.(2004年浙江，8)在△ABC中，“4>30°”是—>"!?"的

2

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

解析：在△A8C中，A>30°nOVsinAVlsinA>j.;sinA>j.=>30°<A<150°

22

=>4>30°.

答案：B

2.如圖，4ABC是簡(jiǎn)易遮陽(yáng)棚，A、B是南北方向上兩個(gè)定點(diǎn)，正東方向射出的太

陽(yáng)光線與地面成40°角，為了使遮陰影面A3。面積最大，遮陽(yáng)棚A8C與地面所成的

角為

OOOO

解析：作CE1平面ABD于E,則NC0E是太陽(yáng)光線與地面所成的角，即/

CDE=40°,延長(zhǎng)。E交直線AB于力連結(jié)CF,則NCFO是遮陽(yáng)棚與地面所成的角，

設(shè)為a.要使S最大，只需最大.在△CFD中，U=一些一.

wsin40°sin(140°-a)

?DF=CF-sin（140°-a）

sin40°

.「CF為定值，.?.當(dāng)a=50°時(shí),DF最大.

答案：C

3.在八ABC中，角A、B、C所對(duì)的邊分別是a、b、c,若三角形的面積5=1（①+枕

4

-C2）,則NC的度數(shù)是_______.

解析：由S=1（Z+拉―C2）得J.a》sinC=4,2a&cosC..,.tanC=l./.C=^,

4244

答案：45°

4.在△ABC中，若/C=60°,則，-.

b+ca+c

解析：ab_a^+ac++be

b+ca+c（b+c）（a+c）

=〃2+b2+ac+bc（*）

ab+ac+be+c2

zC=60°,/.a2+b2—C2=2abcosC=ab.

■'-a2+b2=ab+c2.

代入（*）式得止+.+ac+bc=i

ab+ac+bc+c2

答案：1

5.在AABC中，由已知條件解三角形，其中有兩解的是

=20,A=45°,C=80°=30,c=28,5=60°

=14,b=l6,A=45°=12,c=15,A=120°

解析：由a=14,b=l6,A=45°及正弦定理，得列叱=包工，所以sin氏迤.因而

16147

B有兩值.

答案：C

培養(yǎng)能力

6.在△ABC中，角A、B、C所對(duì)的邊分別為a/、c,依次成等比數(shù)列,求產(chǎn)上sin2%

sinB+cosB

的取值范圍.

解：?.72=ac,.?.cosi+c2山="2+c2y=」(a+￡)一

laclac2ca22

???0V84巴，

3

.l+sin2B=(sin8+cosB)'=sin5+cos8Sin(B+三)/二三〈8+三《衛(wèi)，

sinB+cosBsinB+cosB44412

.?.也Vsin(6+巴)<1.故1〈戶戶.

24

7.已知aABC中，2行(sin2A-sin2C)=(a-b)sinB,外接圓半徑為行.

(1)求NC；

(2)求△ABC面積的最大值.

解：(1)由2"(sin2A-sin2C)=①一/"?sinB得2板(史_一￡_)=(a-b)

4R24K2

h

2R,

又

?'-ai-C2=ab-h2..\。2+〃2-C2=ab.

...cosC=史_心1二竺=J..

lab2

又???0。<C<180°,/.C=60°.

(2)5=1absinC=-x—ab

222

=273sinAsinB=2V3sinAsin(120°—A)

=2JisinA(sinl20°cosA—cosl20°sinA)

=3sinAcosA+asin2A

LL

=-sin2A——sin2Acos2A+—

222

=4sin(2/1-30°)+叵.

2

.?.當(dāng)2A=120。，即A=60。時(shí)，S=邁

max2"

8.在aABC中，8C=a,頂點(diǎn)A在平行于8c且與BC相距為a的直線上滑動(dòng)，求絲

AC

的取值范圍.

解：令A(yù)B=Zx,AC=x(k>0,x>Q),貝lj總有sinB=巴，sinC=3(圖略)，且由正

kxx

弦定理得sinB=￡iM,所以a2=kx2-sinBsinC=tesiM,由余弦定理，可得

as

cosix2+x2-"2sin“=」(^1-sinA),所以狂_L=siM+2cosAW血==石.所以

2kx22kk

k2-、k+l&0,所以或二1<攵<墾1.

22

所以空的取值范圍為[正二1,墾1].

AC22

探究創(chuàng)新

9.某城市有一條公路，自西向東經(jīng)過(guò)A點(diǎn)到市中心O點(diǎn)后轉(zhuǎn)向東北方向。8,現(xiàn)要

修建一條鐵路L,L在。4上設(shè)一站A,在。8上設(shè)一站8,鐵路在AB部分為直線段，

現(xiàn)要求市中心。與A8的距離為10km,問(wèn)把A、8分別設(shè)在公路上離中心。多遠(yuǎn)處才

能使L48最短?并求其最短距離.(不要求作近似計(jì)算)

解：在aAOB中，設(shè)OA=a,OB=b.

因?yàn)锳。為正西方向，。8為東北方向，所以/4。8=135°.

貝ljL4Bl2=a2+/?2—2"cosl35°=a2+b2+J2ab>2ab+J2ab=(2+行)ab,當(dāng)且僅當(dāng)a=b

時(shí)，“=”成立.又。到AB的距離為10,設(shè)/。AB=a,則/。A4=45°-a.所以”=旦，

sina

b=_12_,

sin(45°-a)

丘工-—12—

sinasin(45°-a)

100

sinasin(45°-a)

=__________100__________

sina(旦cosa-旦

sina)

22

=__________100__________

五.c收/,c、

—sin2ct—(1—cos2ct)

44

_400>400,

2sin(2a+45。)2-拒

當(dāng)且僅當(dāng)a=22°30'時(shí)，"=”成立.

所以從況>"g叵=40。（及+i）2,

2-、5

當(dāng)且僅當(dāng)a%,a=22°30,時(shí)，“=”成立.

所以當(dāng)a=b=_匚=10g（2+6時(shí),於川最短，其最短距離為20（行+1）,即

sin22030,

當(dāng)AB分別在。4、OB上離。點(diǎn)10/2（2+再km處，能使IA8最短，最短距離為20（戶

—1）.

?思悟小結(jié)

+A+g71

1.在aABC中，-：A+B+C=TI,/.sin=COS￡>cos=sin￡>tan+=cot￡.

222222

2./A、LB、NC成等差數(shù)列的充分必要條件是/8=60°.

3.在非直角三角形中，tarL4+tanB+tanC=tarL4?tanB-tanC.

4.根據(jù)所給條件確定三角形的形狀，主要有兩種途徑：①化邊為角；②化角為邊.

并常用正弦（余弦）定理實(shí)施邊角轉(zhuǎn)化.

5.用正（余）弦定理解三角形問(wèn)題可適當(dāng)應(yīng)用向量的數(shù)量積求三角形內(nèi)角與應(yīng)用向

量的模求三角形的邊長(zhǎng).

6.用向量的數(shù)量積求三角形內(nèi)角時(shí)，需明確向量的夾角與三角形內(nèi)角是相等還是互

補(bǔ).

?教師下載中心

教學(xué)點(diǎn)睛

1.一方面要讓學(xué)生體會(huì)向量方法在解三角形方面的應(yīng)用，另一方面要讓學(xué)生體會(huì)解

三角形是重要的測(cè)量手段，通過(guò)數(shù)值計(jì)算進(jìn)一步提高使用計(jì)算器的技能技巧和解決

實(shí)際問(wèn)題的能力.

2.要加大以三角形為背景，以三角恒等變換公式、向量等為工具的小型綜合題的訓(xùn)

練.

拓展題例

【例1】已知A、B、C是△A5C的三個(gè)內(nèi)角，y=cotA+2sin4.

cosA+cos(B-C)

(1)若任意交換兩個(gè)角的位置，y的值是否變化?試證明你的結(jié)論.(2)求)，的最

小直

解：⑴?.?y=cot4+「2sin卜一(8+C)]

cost-(B