畢業(yè)設(shè)計（論文）：帶形狀參數(shù)的Bézier形式

本科畢業(yè)設(shè)計（論文）課題名稱：帶形狀參數(shù)的Bézier形式專業(yè)：信息與計算科學(xué)姓名：學(xué)號：指導(dǎo)教師：數(shù)理學(xué)院20年月本科畢業(yè)設(shè)計（論文）摘要文章首先定義了三次三角Bézier曲線的基函數(shù)的性質(zhì)，分析得到該類曲線的性質(zhì)，接著討論了該曲線的拼接，和曲面的應(yīng)用定義。給出了曲線和曲面的應(yīng)用.在此基礎(chǔ)上定義了帶參數(shù)的三次三角Bézier曲線的基函數(shù)。給出了帶參數(shù)的三次三角Bézier曲線的定義和性質(zhì)，討論該曲線拼接的條件。接著定義了帶參數(shù)的三次三角Bézier曲面，最后給出了帶參數(shù)的三次三角Bézier曲線以及曲面的應(yīng)用。研究了參數(shù)不同時對曲線，曲面的影響。關(guān)鍵詞：Bézier曲線；形狀參數(shù)；曲線設(shè)計；光滑拼接

AbstractThis

article

firstly

defines

the

cubic

trigonometry

basis

function

Bézier

curves,

and

has

given

the

properties

of

the

curves,

and

then

discusses

the

application

of

joining

curve,

definition

and

surface.

The

application

of

the

curves

and

surfaces

is

given.Based

on

the

definition

of

the

basis

functions

of

cubic

trigonometry

Bézier

curves

with

parameters,

this

paper

also

have

given

the

definition

and

properties

of

the

cubic

trigonometry

Bézier

curves

with

parameters;

and

discuss

the

conditions

of

the

joining

curve.

Then

we

define

cubic

trigonometry

Bézier

surface

with

parameters,

finally

the

applications

of

the

cubic

trigonometry

Bézier

curves

and

surface

with

parameters

are

given.Keywords:Béziercurve;shapeparameters;curvedesign;continuously目錄摘要 IAbstract II目錄 III圖表目錄………………………IV第一章緒論 11.1 課題研究目的與意義 11.2國內(nèi)外的研究現(xiàn)狀……………………..1第二章不帶參數(shù)的三次三角Bézier曲線以及曲面………….22.1不帶參數(shù)的三次三角Bézier曲線基函數(shù)的定義及性質(zhì)22.2不帶參數(shù)的三次三角Bézier曲線及性質(zhì)62.3不帶參數(shù)的三次三角Bézier曲線的拼接72.4不帶參數(shù)的三次三角Bézier曲面的定義82.5不帶參數(shù)的三次三角Bézier曲線的應(yīng)用92.6不帶參數(shù)的三次三角Bézier曲面的應(yīng)用10第三章帶參數(shù)的三次三角Bézier曲線及曲面113.1帶參數(shù)的三次三角Bézier曲線基函數(shù)的性質(zhì)113.2帶參數(shù)的三次三角Bézier曲線的定義及性質(zhì)123.3帶參數(shù)的三次三角Bézier曲線的拼接143.4帶參數(shù)的三次三角Bézier曲面153.5帶參數(shù)的三次三角Bézier曲線的應(yīng)用173.6帶參數(shù)的三次三角Bézier曲面的應(yīng)用19第四章帶參數(shù)的三次三角Bézier曲面的拼接204.1帶參數(shù)的三次三角Bézier曲面的拼接實例20第五章總結(jié)23參考文獻24 致謝25圖表目錄圖2.1不帶參數(shù)的Bézier基函數(shù) 5圖2.2不帶參數(shù)的Bézier曲線……………7圖2.3不帶參數(shù)的Bézier曲線條件不同時的拼接…………….8圖2.4不帶參數(shù)的三次三角Bézier曲面……….9圖2.5不帶參數(shù)的心型…………..9圖2.6不帶參數(shù)的花瓣…………..9圖2.7不帶參數(shù)的花瓶…………10圖2.8不帶參數(shù)的杯子………10圖2.9不帶參數(shù)的酒壇圖形…………………10圖2.10不帶參數(shù)的碗圖形……...……10圖3.1形狀參數(shù)取值不同時的Bézier基函數(shù)12圖3.2形狀參數(shù)取值不同時的Bézier曲線…………………...14圖3.3形狀參數(shù)取值不同時的Bézier曲線的拼接…………...15圖3.4形狀參數(shù)取值不同時的Bézier曲面…………………...16圖3.5形狀參數(shù)取值不同時的心形…………17圖3.6形狀參數(shù)取值不同時的花瓣…………17圖3.7帶形狀參數(shù)的花瓶……………………18圖3.8帶形狀參數(shù)的杯子……………………18圖3.9形狀參數(shù)取值不同時的酒壇圖形……19圖3.10形狀參數(shù)取值不同時的碗圖形………..19圖4.1形狀參數(shù)取值不同時的杯子……21圖4.2形狀參數(shù)取值不同時的花瓶22第一章緒論1.1課題研究目的與意義曲線曲面的表示是計算機輔助幾何設(shè)計中的一個重要的組成部分[1]。以Bernstein基構(gòu)造的Bézier曲線具有結(jié)構(gòu)簡單、幾何直觀，因此成為表示曲線曲面的重要工具之一。但Bézier方法也存在缺點，給定了控制頂點，Bézier曲線就是唯一固定，如果需要修改曲線的形狀，就必須調(diào)整控制定點[4]。在不改變控制定點的情況下引入形狀參數(shù)[5]，通過改變形狀參數(shù)達到修改曲線曲面形狀.從而達到推廣Bézier曲線的目的。1.2國內(nèi)外研究現(xiàn)狀隨著計算機輔助幾何設(shè)計的發(fā)展，往往要求調(diào)整曲線曲面的形狀或位置[10]。人們開始想辦法推廣Bézier曲線。文獻[2]以sint，cost，t，1為基函數(shù)構(gòu)造了C曲線，它和Bézier曲線有許多相似的性質(zhì)，能夠用來精確地表示圓弧和圓柱。文獻[3]中，對于一類可調(diào)控的Bézier曲線，針對(n+1)個控制頂點，用m=l(n-1)+1次Bernstein基構(gòu)造一類Bézier曲線。該類曲線的缺點是幾何意義不明顯、曲線次數(shù)過高、增加了計算量。文獻[6-9]分別研究了帶形狀參數(shù)的三角多項式曲線和雙曲多項式曲線。該類曲線具有簡單的表示形式、靈活的可調(diào)性等特點，同時在一定條件下也可以精確地表示某種二次曲線。第二章不帶參數(shù)的三次三角Bézier曲線以及曲面在產(chǎn)品零件設(shè)計中,許多自由曲面是通過自由曲線來構(gòu)造的。對于自由曲線的設(shè)計，設(shè)計人員經(jīng)常需要大致勾畫出曲線的形狀，用戶希望采用直觀的具有明顯幾何意義的操作，使得設(shè)計的曲線能夠很好地逼近曲線的形狀.Bézier方法是1962年由法國雷諾汽車公司的工程師Bézier提出的，經(jīng)過多年的研究，最終在1972年建立了一種自由曲線曲面的設(shè)計系統(tǒng)—UNISURF系統(tǒng)。對于n次Bézier曲線，一旦控制頂點給定，曲線的形狀也隨之而定，為了更好地對曲線形狀進行修改，許多學(xué)者開始了對帶形狀參數(shù)Bézier曲線的研究。下面簡單介紹不帶參數(shù)的Bézier曲線的定義及性質(zhì)。2.1不帶參數(shù)的三次三角Bézier曲線基函數(shù)的定義及性質(zhì)要想構(gòu)造類三次三角Bézier曲線，首先必需構(gòu)造出類三次三角基函數(shù)，下面給出構(gòu)造類三次三角基函數(shù)的一般方法，在這里我給出一組基空間為[1]，不防設(shè)所構(gòu)造的類三次三角Bézier基函數(shù)為(2.1)其中,(i,j=1，2，3，4)為待定系數(shù).顯然，類三次三角Bézier基函數(shù)與三次多項式基函數(shù)一樣，必須滿足下列兩個條件：1.非負性：(i=1，2，3，4).2.權(quán)性：.由式(2.1).所構(gòu)造的類三次三角Bézier曲線可表示為=[]=[1](2.2)其中，(i=1，2，3，4)為控制頂點.由式(2.2)有=[0]由于我們希望所構(gòu)造的類三次三角Bézier曲線具有與三次多項式Bézier曲線類似的端點性質(zhì)，故有=，=(2.3)=，=(2.4)由基函數(shù)的非負性可得不等式(2.5)由基函數(shù)的權(quán)性可得方程組(2.6)由式(2.3)(2.4)得方程組(2.7)(2.8)由式(2.5)(2.6)(2.7)(2.8)得定義1:類三次三角基函數(shù)為類三次三角Bézier基函數(shù)與類三次多項式基函數(shù)具有完全類似的性質(zhì)，不同之處在于基空間[1]替代了三次多項式混合函數(shù)的基空間[1t]，因此類三次三角Bézier基函數(shù)是三次多項式Bézier基函數(shù)的一種拓展，類三次三角基函數(shù)的圖形如圖2.1所示：圖2.1不帶參數(shù)Bézier基函數(shù)性質(zhì)1非負性(i=1，2，3，4).性質(zhì)2權(quán)性(i=1，2，3，4).性質(zhì)3對稱性對，(i=1，2，3，4).性質(zhì)4端點性質(zhì)對.，，，.=0，=0，=0，=1.，，，.，，，.，，，.，，，.，，，.，，，.2.2不帶參數(shù)的三次三角Bézier型曲線及性質(zhì)這節(jié)內(nèi)容主要講不帶參數(shù)的三次三角Bézier曲線.定義2:不帶參數(shù)的三次三角Bézier型曲線為其中，為該曲線的控制頂點，為基函數(shù)(i=1，2，3，4).由基函數(shù)的性質(zhì)及定義知,該曲線具有以下性質(zhì)：性質(zhì)1端點性,曲線具有插值于首末端點并且在首末端點處與控制多邊形相切.由基函數(shù)的性質(zhì)得：，，，.，.，.性質(zhì)2對稱性，即保持控制頂點的位置不變,只要把它們的次序完全顛倒.性質(zhì)3幾何不變性和仿射不變性，不帶參數(shù)的三次三角Bézier型曲線得形狀與坐標(biāo)系的選取無關(guān)，即曲線的形狀在坐標(biāo)平移和旋轉(zhuǎn)后不變，對控制多邊形進行縮放或錯切等仿射變換后，所構(gòu)造的曲線就是將原曲線經(jīng)過相同仿射變換后所得到的曲線.性質(zhì)4凸包性，由基函數(shù)的性質(zhì)知，整條不帶參數(shù)的三次三角Bézier型曲線位于控制頂點張成的多邊形內(nèi).性質(zhì)5變差縮減性，即曲線與直線L交點的個數(shù)不大于控制多變形與直線L交點的個數(shù).性質(zhì)6保凸性，由性質(zhì)5知，當(dāng)控制多邊形是為凸時，平面上類三次三角Bézier曲線為凸曲線.不帶參數(shù)的三次三角Bézier型曲線圖形如圖2.2所示圖2.2不帶參數(shù)Bézier曲線2.3不帶參數(shù)的三次三角Bézier曲線的拼接這節(jié)內(nèi)容主要講不帶參數(shù)的三次三角Bézier曲線的拼接.定義3:第一段不帶參數(shù)的三次三角Bézier曲線為：其中，為該曲線的控制頂點(i，j=1，2，3，4).定義4:第二段不帶參數(shù)的三次三角Bézier曲線為：其中，為該曲線的控制頂點(i=1，2，3，4).由曲線的性質(zhì)我們可以知道，不帶參數(shù)的三次三角Bézier曲線的拼接條件為：兩條曲線有公共連接點，即=.又當(dāng)控制頂點，()，共線且順序排列時，即，曲線和曲線在連接點處連續(xù)，當(dāng)時，曲線和曲線在連接點處連續(xù).我們知道連續(xù)拼接的條件要求是曲率矢相等，即

經(jīng)計算有:即:.注:當(dāng)時，曲線和曲線在連接點處連續(xù).不帶參數(shù)的三次三角Bézier曲線和拼接圖形如圖2.3中圖(a)圖(b)所示:(a)(b)圖2.3不帶參數(shù)的Bézier曲線條件不同時的拼接2.4不帶參數(shù)的三次三角Bézier的曲面的定義這節(jié)內(nèi)容主要講不帶參數(shù)的三次三角Bézier曲面定義5:不帶參數(shù)的三次三角Bézier曲面為:三次三角Bézier曲面有16個控制頂點(i，j=1，2，3，4)，其相應(yīng)的張量積Bézier型曲面為其中,稱區(qū)間上的雙三次三角Bézier曲面.不帶參數(shù)的三次三角Bézier曲面如圖2.4所示：

圖2.4不帶參數(shù)的三次三角Bézier曲面2.5不帶參數(shù)的三次三角Bézier的曲線的應(yīng)用由2.3節(jié)知,本文所構(gòu)造的曲線可以方便進行曲線拼接.當(dāng)首末點重合時,可以得到一封閉曲線.如圖2.5所示,表示四段三次三角Bézier的曲線拼接形成的心形圖形.如圖2.6所示,表示四段三次三角Bézier的曲線拼接形成的花瓣圖形.如圖2.7所示,表示八段三次三角Bézier的曲線拼接形成的花瓶圖形.如圖2.8所示,表示八段三次三角Bézier的曲線拼接形成的杯子圖形.圖2.5不帶參數(shù)的心形圖2.6不帶參數(shù)的花瓣圖2.7不帶參數(shù)的花瓶圖2.8不帶參數(shù)的杯子2.6不帶參數(shù)的三次三角Bézier的曲面的應(yīng)用本節(jié)所構(gòu)造的曲線通過旋轉(zhuǎn).可以得到曲面圖形，如圖2.9所示，表示選擇母線坐標(biāo)為(-0.23，1)，(-1，2.3)，(-0.23，2.2)，(-0.25，2.5)繞Z軸旋轉(zhuǎn)得到酒壇形圖形.如圖2.10所示，表示選擇母線坐標(biāo)為(-1，0)，(-1，0.1)，(-2，0.5)，(-2，1.8)繞Z軸旋轉(zhuǎn)得到碗形圖形圖2.9不帶參數(shù)的酒壇圖形圖2.10不帶參數(shù)的碗圖形第三章帶參數(shù)的三次三角Bézier曲線以及曲面在計算機輔助幾何設(shè)計中，往往需要滿足一定的連續(xù)性的前提下，調(diào)整曲線的形狀或改變曲線的位置，本文研究了與三次多項式Bézier曲線特性相同的一種三次三角Bézier曲線，曲線由4個三次三角基函數(shù)構(gòu)成，并由四個控制點控制曲線，完全具有三次多項式Bézier曲線的特征，能夠精確表示圓錐曲線等等。因此，引入帶參數(shù)的三次三角Bézier曲線，具有更好的靈活性，可使曲線逼近或遠離控制頂點,當(dāng)每段曲率矢相同時，可達到連續(xù)。由于連續(xù)的空間曲線能保持曲率連續(xù)性，因此該曲線可應(yīng)用于連續(xù)性較高的造型系統(tǒng)。3.1帶參數(shù)的三次三角Bézier曲線基函數(shù)的性質(zhì)這節(jié)內(nèi)容主要介紹帶參數(shù)的三次三角Bézier曲線基函數(shù).定義6:帶參數(shù)的三次三角Bézier曲線基函數(shù)()為帶參數(shù)的三次三角Bézier曲線基函數(shù)的性質(zhì)具有如下性質(zhì)1非負性，(i=1，2，3，4).性質(zhì)2權(quán)性.性質(zhì)3對稱性.性質(zhì)4端點性,對.，，，.，，，.，，，.，，，.，，，.，，，.，，，.，，，.帶參數(shù)的三次三角Bézier曲線基函數(shù)圖形如圖3.1中圖(a)、圖(b)所示：(a)(b)圖3.1形狀參數(shù)取值不同時Bézier基函數(shù)3.2帶參數(shù)的三次三角Bézier曲線定義及性質(zhì)這節(jié)內(nèi)容主要介紹帶參數(shù)的三次三角Bézier曲線.定義7:帶參數(shù)的三次三角Bézier曲線為其中，為基函數(shù)()，為其控制定點(j=1，2，3，4).帶參數(shù)的三次三角Bézier曲線具有如下性質(zhì)：性質(zhì)1端點性質(zhì),由基函數(shù)的性質(zhì)得：，.，.，，性質(zhì)2對稱性，即保持控制頂點的位置不變，只要把它們的次序完全顛倒.性質(zhì)3幾何不變性和仿射不變性，帶參數(shù)的三次三角Bézier型曲線得形狀與坐標(biāo)系的選取無關(guān)，即曲線的形狀在坐標(biāo)平移和旋轉(zhuǎn)后不變，用戶如需對該曲線進行放射變換，只需對該曲線的控制定點實施相應(yīng)的反射變換即可.性質(zhì)4凸包性，由基函數(shù)的性質(zhì)知，整條帶參數(shù)的三次三角Bézier型曲線位于控制頂點張成的多邊形內(nèi).性質(zhì)5變差縮減性，即直線L交控制多邊形的點個數(shù)不大于曲線交控制多變形的個數(shù).性質(zhì)6保凸性，由性質(zhì)5知，當(dāng)控制多邊形是為凸時，平面上三次三角Bézier曲線為凸曲線.性質(zhì)7形狀參數(shù)對曲線形狀的影響.當(dāng)越小曲線越靠近控制多邊形，而當(dāng)越大曲線越遠離控制多邊形.帶參數(shù)的三次三角Bézier曲線圖形如圖3.2中圖(a)圖(b)圖(c)圖(d)所示：(a)(b)(c)(d)圖3.2形狀參數(shù)取值不同時Bézier曲線3.3帶參數(shù)的三次三角Bézier曲線拼接這節(jié)內(nèi)容主要介紹帶參數(shù)的三次三角Bézier曲線的拼接.定義8:第一段帶參數(shù)的三次三角Bézier曲線為:其中，，為三次三角Bézier曲線的控制頂點(i=1，2，3，4).定義9:第二段帶參數(shù)的三次三角Bézier曲線為:其中，，為三次三角Bézier曲線的控制頂點(i=1，2，3，4).帶參數(shù)的三次三角Bézier曲線的拼接條件為：兩條曲線有公共連接點，即=.而當(dāng)控制頂點，()，共線且順序排列，即時，帶參數(shù)的三次三角Bézier曲線和曲線在連接點處連續(xù),當(dāng)時，帶參數(shù)的三次三角Bézier曲線和曲線在連接點處連續(xù).我們知道連續(xù)的拼接條件要求曲率矢相等，即經(jīng)計算有:.即:.注:當(dāng)時，帶參數(shù)的三次三角Bézier曲線和曲線在連接點處連續(xù).帶參數(shù)的三次三角Bézier曲線和曲線拼接圖形如圖3.3中圖(a)圖(b)所示:(a)(b)圖3.3形狀參數(shù)取值不同時Bézier曲線的拼接3.4帶參數(shù)的三次三角Bézier曲面這節(jié)內(nèi)容主要講帶參數(shù)的三次三角Bézier曲面.定義10:帶參數(shù)的三次三角張量積Bézier型曲面為：三次三角Bézier曲面有16個控制頂點(i，j=1，2，3，4)，其相應(yīng)的張量積Bézier型曲面為其中，為參數(shù)()，稱區(qū)間上的雙三次三角Bézier曲面.帶參數(shù)的三次三角張量積Bézier型曲面圖形如圖3.4中圖(a)、圖(b)、圖(c)、圖(d)所示：(a)(b)(c)(d)圖3.4形狀參數(shù)取值不同時Bézier曲面3.5帶參數(shù)的三次三角Bézier曲線的應(yīng)用由3.3節(jié)知，本文所構(gòu)造的曲線可以方便進行曲線拼接。當(dāng)首末點重合時，可以得到封閉的曲線。如圖3.5中圖(a)、圖(b)所示，表示四段三次三角Bézier的曲線拼接形成的心形圖案.如圖3.6中圖(c)、圖(d)所示，表示四段三次三角Bézier的曲線拼接形成的花瓣圖形。如圖3.7所示，表示八段三次三角Bézier的曲線拼接形成的花瓶圖形。如圖3.8所示，表示八段三次三角Bézier的曲線拼接形成的杯子圖形。由圖3.5和圖3.6和圖3.7和圖3.8可知，形狀參數(shù)對三次三角Bézier曲線的調(diào)整是顯著的。（a）（b）圖3.5形狀參數(shù)取值不同時心形（c）（d）圖3.6形狀參數(shù)取值不同時花瓣圖3.7帶形狀參數(shù)的花瓶圖3.8帶形狀參數(shù)的杯子3.6帶參數(shù)的三次三角Bézier曲面的應(yīng)用本節(jié)所構(gòu)造的帶參數(shù)的曲線通過旋轉(zhuǎn)，可以得到曲面圖形。如圖3.9中圖(a)、圖(b)所示，表示母線坐標(biāo)為(-0.23，1)，(-1，2.3)，(-0.23，2.2)，(-0.25，2.5)繞Z軸旋轉(zhuǎn)得到酒壇形圖案。如圖3.10中圖(c)、圖(d)所示，表示母線坐標(biāo)為(-1，0)，(-1，0.1)，(-2，0.5)，(-2，1.8)繞Z軸旋轉(zhuǎn)得到碗形圖案。(a)(b)圖3.9形狀參數(shù)取值不同時酒壇圖形(c)(d)圖3.10形狀參數(shù)取值不同時碗圖形第四章帶參數(shù)的三次三角Bézier曲面拼接通過前三章的學(xué)習(xí)，我們對三次三角Bézier曲線曲面有一定的了解。在第二章的第三節(jié)詳細的介紹了不帶參數(shù)的三次三角Bézier曲線帶參數(shù)，在第三章的第三節(jié)詳細的介紹了帶參數(shù)的三次三角Bézier曲線的拼接條件。本文還給出了三次三角Bézier曲線曲面的實例應(yīng)用?；谇叭碌膬?nèi)容，在這一章主要講帶參數(shù)的三次三角Bézier曲面拼接實例。4.1帶參數(shù)的三次三角Bézier曲面拼接實例本文所構(gòu)造的帶參數(shù)的曲線是通過旋轉(zhuǎn)，可以得到曲面圖形。本節(jié)是利用帶參數(shù)的三次三角Bézier曲線的拼接的條件做出的不同圖案。第一個圖形是由三段Bézier曲線拼接后并通過旋轉(zhuǎn)而得到的，如圖4.1中圖(a)、圖(b)所示，表示三段母線的坐標(biāo)分別為(-0.1，1)，(-0.08，2)，(-0.06，5)，(-0.005，6)和(-0.005，6)，(-0.005，15)，(-0.005，24)，(-0.005，52)和(-0.005，52)，(-0.01，65)，(-0.08，70)，(-0.007，96)繞Z軸旋轉(zhuǎn)得到杯子形圖案。(a)(b)圖4.1形狀參數(shù)取值不同時杯子第二個圖形是由四段帶參數(shù)的三次三角Bézier曲線拼接后并通過旋轉(zhuǎn)而得到的，如圖4.2中圖(c)、圖(d)所示，表示四段母線的坐標(biāo)分別為(-0.1，50)，(-0.03，46)，(-0.03，33)，(-0.1，32)和(-0.1，32)，(-0.2，31)，(-0.12，9)，(-0.05，4)和(-0.05，4)，(-0.1，2)，(-0.12，1)，(-0.1，0)和(-0.01，0)，(0，0)，(0，0)，(0，0)繞Z軸旋轉(zhuǎn)得到花瓶形圖案。我們知道帶參數(shù)的三次三角Bézier曲線在不改變控制頂點的情況下，可以通過改變形狀參數(shù)來靈活的調(diào)控曲線的形狀。本章的實例表明，曲面是由曲線旋轉(zhuǎn)得到圖形。當(dāng)我們拼接出不同的曲線時，我們就可以得到不同的曲面圖形。體現(xiàn)了三次三角曲線的在實際應(yīng)用中的重要性。(c)(d)圖4.2形狀參數(shù)取值不同時花瓶第五章總結(jié)以上可知，帶形狀參數(shù)的三次三角Bézier曲線曲面在保留了原曲線曲面的性質(zhì)的同時，其形狀可以通過形狀參數(shù)進行調(diào)節(jié)，因此具有更好的形狀可調(diào)性和更靈活的逼近方式。該類曲線曲面可以在不改變控制定點的情況下，生成各種對稱的圖形，具有形狀調(diào)整簡單、靈活，微調(diào)能力強的優(yōu)點。這里的形狀參數(shù)具有明顯的幾何意義，可以方便的調(diào)整形狀參數(shù)來設(shè)計滿意的形狀。實例表明，該類曲線曲面及其擴展曲線曲面在對稱圖形的造型中具有獨特的效果。因此它具有廣泛的實用價值。參考文獻[1]施法中.計算機輔助幾何設(shè)計與非均勻有理B樣條[M].北京；高等教育出版社，2001.[2]ZhangJiwen.C-curves：anextensionofcubiccurves[J].ComputerAidedGeometricDesign，1996，13（3）：199-