第六章高考專題突破三

第六章

數(shù)

列高考專題突破三高考中的數(shù)列問題內(nèi)容索引快速解答自查自糾對接高考深度剖析考點自測題型分類練出高分考點自測解析

由題意得，an＝1＋2(n－1)＝2n－1，bn＝1×2n－1＝2n－1，＝a1＋a2＋a4＋a8＋a16＝1＋3＋7＋15＋31＝57.等于(

D

)C.58

D.571.設(shè)等差數(shù)列{an}和等比數(shù)列{bn}首項都是1，公差與公比都是2，則ab1+ab

+

ab

+

ab

+

ab2

3

4

5A.54

B.56∴

ab

＋…＋a1

b

5考點自測112345解析答案2.已知等比數(shù)列的各項都為正數(shù)，且當n≥3時，a4a2n－4＝102n，則數(shù)列l(wèi)g

a1,2lg

a2,22lg

a3,23lg

a4，…，2n－1lg

an，…的前n項和Sn等于(

)A.n·2nC.(n－1)·2n＋1B.(n－1)·2n－1－1D.2n＋112345解析答案解析

∵等比數(shù)列{an}的各項都為正數(shù)，且當n≥3時，a4a2n－4＝102n，①②∴a2＝102n，即a

＝10n，n

n∴2n－1lg

an＝2n－1lg

10n＝n·2n－1，∴Sn＝1＋2×2＋3×22＋…＋n×2n－1，2Sn＝1×2＋2×22＋3×23＋…＋n×2n，∴①－②得－Sn＝1＋2＋22＋…＋2n－1－n·2n＝2n－1－n·2n＝(1－n)·2n－1，∴Sn＝(n－1)·2n＋1.答案

C1

2

3

4

53.數(shù)列{an}滿足a1＝1，且對于任意的n∈N*都有an＋11

n＝a

＋a

＋n，則

1a1a2＋

1

＋…＋1a2

013等于(

)A.2

0122

013B.4

0262

014C.4

0242

014D.2

0132

014解析答案1

2

3

4

5解析

因為an＋1＝a1＋an＋n＝1＋an＋n，所以an＋1－an＝n＋1.用累加法：an＝a1＋(a2－a1)＋…＋(an－an－1)＝1＋2＋…＋n＝n(n＋1)2，1

2

3

4

5n1

2

)所以a

＝n(n＋1

＝2n1－

1

n＋1.11

1a

a2所以

＋

＋…＋

1

a2

0131

1

1

1

12

2

3

3

4＝2

1－

＋

－

＋

－

＋…＋–

1

1

2

013 2

014＝21－＝

1

4

0262

014

2

014，故選B.答案

B4.已知等差數(shù)列n{a

}的前nn

項和為S

，5a

＝5，5S

＝15，則數(shù)列

1

a

an

n＋1的前

100

項和為(

)A.100101B.

99

101C.

99

100D.101100解析答案1

2

3

4

5解析

設(shè)等差數(shù)列{an}的首項為a1，公差為d.∵a5＝5，S5＝15，∴a1＋4d＝5，5a1＋5×(5－1)2d＝15，∴a1＝1，d＝1，1

2

3

4

5∴an＝a1＋(n－1)d＝n.anan＋1∴

1

＝

1n＝1－1n(n＋1)

n＋1，∴數(shù)列

1

a

an

n＋1

1

1

1

2

2

3的前

100

項和為1－

＋

－

＋…＋

1

1 100

101–

＝1－

1

100101

101＝

.答案

A*n

n

nn2

13

3k5.已知數(shù)列{a

}的前n

項和為S

，對任意n∈N

都有S

＝

a

－

，若1<S

<9n－13n－13解析

當

n>1

時，S

＝2a

－1，n3

3n

n－1

n

n－1∴a

＝2a

－2a

，∴a

＝－2a

，又a1＝－1，∴{an}為等比數(shù)列，且an＝－(－2)n－1，∴Sk＝(－2)k－13，由1<Sk<9，得4<(－2)k<28，又k∈N*，∴k＝4.(k∈N*)，則

k

的值為

4

.1

2

3

4

5

解析答案返回題型分類2n例

1

已知首項為3的等比數(shù)列{a

}不是遞減數(shù)列，其前

n

項和為Sn(n∈N*)，且S3＋a3，S5＋a5，S4＋a4

成等差數(shù)列.(1)求數(shù)列{an}的通項公式；題型一

等差數(shù)列、等比數(shù)列的綜合問題解析答案解

設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，因為S3＋a3，S5＋a5，S4＋a4成等差數(shù)列，所以S5＋a5－S3－a3＝S4＋a4－S5－a5，即4a5＝a3，a3

4于是q2＝a5＝1.n

12

2又{a

}不是遞減數(shù)列且a

＝3，所以q＝－1.故等比數(shù)列{an}的通項公式為n32a

＝

×–

12–n

1–n

1

32n＝(－1)

·

.n

n1Sn*(2)設(shè)

T

＝S

－

(n∈N

)，求數(shù)列n{T

}的最大項的值與最小項的值.思維升華解析答案n解

由(1)得

S

＝1－–

12n＝2n1＋1

，n為奇數(shù)，121－

n，n為偶數(shù).當n為奇數(shù)時，Sn隨n的增大而減小，n

12所以1<S

≤S

＝3，n1Sn

S1

2

3

6故0<S

－

1

≤S

－1

＝3－2＝5.思維升華解析答案當n為偶數(shù)時，Sn隨n的增大而增大，42

n所以3＝S

≤S

<1，n2Sn

S2

4

3

12故0>S

－

1

≥S

－1

＝3－4＝－7

.綜上，對于*7n1

512

Sn

6n∈N

，總有－

≤S

－

≤

.n6

12所以數(shù)列{T

}最大項的值為5，最小項的值為－7

.思維升華等差數(shù)列、等比數(shù)列綜合問題的解題策略分析已知條件和求解目標，為最終解決問題設(shè)置中間問題，例如求和需要先求出通項、求通項需要先求出首項和公差(公比)等，確定解題的順序.注意細節(jié)：在等差數(shù)列與等比數(shù)列綜合問題中，如果等比數(shù)列的公比不能確定，則要看其是否有等于1的可能，在數(shù)列的通項問題中第一項和后面的項能否用同一個公式表示等，這些細節(jié)對解題的影響也是巨大的.思維升華已知等差數(shù)列{an}滿足：a1＝2，且a1，a2，a5成等比數(shù)列.(1)求數(shù)列{an}的通項公式；解

設(shè)數(shù)列{an}的公差為d，依題意知，2,2＋d,2＋4d成等比數(shù)列，故有(2＋d)2＝2(2＋4d)，化簡得d2－4d＝0，解得d＝0或d＝4.當d＝0時，an＝2；當d＝4時，an＝2＋(n－1)·4＝4n－2，從而得數(shù)列{an}的通項公式an＝2或an＝4n－2.跟蹤訓練1解析答案(2)記Sn為數(shù)列{an}的前n項和，是否存在正整數(shù)n，使得Sn＞60n＋800？若存在，求n的最小值；若不存在，請說明理由.解當an＝2時，Sn＝2n.顯然2n＜60n＋800，此時不存在正整數(shù)n，使得Sn＞60n＋800成立.當an＝4n－2時，nS

＝n[2＋(4n－2)]22＝2n

.令2n2＞60n＋800，即n2－30n－400＞0，解得n＞40或n＜－10(舍去)，此時存在正整數(shù)n，使得Sn＞60n＋800成立，n的最小值為41.綜上，當an＝2時，不存在滿足題意的正整數(shù)n；當an＝4n－2時，存在滿足題意的正整數(shù)n，且n的最小值為41.解析答案1n＋1例

2

已知數(shù)列{an}的前n

項和為

Sn，且

a1＝2，an＋1＝

2n

an.an(1)證明：數(shù)列{n

}是等比數(shù)列；1n＋1證明

因為

a1＝2，an＋1＝

2n

an，n當n∈N*時，an≠0.1

2n＋1n

2又a1＝1，an＋1

∶an＝1(n∈N*)為常數(shù)，na

11所以{n

}是以2為首項，2為公比的等比數(shù)列.題型二

數(shù)列的通項與求和解析答案(2)求通項an與前n項的和Sn.na

11解

由{

n

}是以2為首項，2為公比的等比數(shù)列，得an＝1·(

)n

2

21

n－11

n，所以an＝n·(2).n∴S

＝1·1＋2·(

)2

21

2＋3·(2)1

3＋…＋n·(

)21

n，n1

2

1

3

1

n1S

＝1·( )

＋2·( )

＋…＋(n－1)( )

＋n·(

)2

2

2

2

21

n＋1，1

1

1

2

1

3

1

n1

n＋1∴2Sn＝2＋(2)

＋(2)

＋…＋(2)

－n·(2)

＝2(2)1－

1

n＋111－21

n＋1－n·(2)

，1

11∴Sn＝2－(2)n－1－n·(2)n＝2－(n＋2)·(2)n.nn

n1

1

n綜上，a

＝n·(2)，S

＝2－(n＋2)·(2).解析答案思維升華一般求數(shù)列的通項往往要構(gòu)造數(shù)列，此時要從證的結(jié)論出發(fā)，這是很重要的解題信息.根據(jù)數(shù)列的特點選擇合適的求和方法，常用的有錯位相減法，分組求和法，裂項求和法等.思維升華在等比數(shù)列{an}(n∈N*)中，a1＞1，公比q＞0，設(shè)bn＝log2an，且b1＋b3＋b5＝6，b1b3b5＝0.(1)求{an}的通項an；跟蹤訓練2解析答案解

因為b1＋b3＋b5＝6，所以log2a1＋log2a3＋log2a5＝6，1所以log2(a1a3a5)＝6，所以log2(a3q6)＝6，所以log2(a1q2)＝2，即b3＝2，a1q2＝4＝a3.因為a1＞1，所以b1＝log2a1＞0，又因為b1b3b5＝0，所以b5＝0＝log2a5，a5＝1，所以a5＝1＝q2，a3

4a1q2＝4，21q

＝4，解得a1＝16，1q＝2.n

12所以

a

＝16×

n－1＝25－n

(n∈N*).n(2)若c

＝1n(bn－6)n

n，求{c

}的前n

項和S

.解

由(1)知an＝25－n，所以bn＝5－n

(n∈N*)，n所以

c

＝

1

＝－1n(5－n－6)

n(n＋1)，n2

2

3

3

4

n所以S

＝－[(1－1)＋(1－1)＋(1－1)＋…＋(1－1n＋1)]＝－(1－1＋1－1＋1－1＋…＋1－2

2

3

3

4

n1n＋1)＝－(1－1)＝

－nn＋1

n＋1(n∈N*).解析答案命題點1

數(shù)列與函數(shù)的交匯例

3

已知二次函數(shù)

f(x)＝ax2＋bx

的圖象過點(－4n,0)，且

f′(0)＝2n，nn∈N*，數(shù)列{a

}滿足

1

an＋1＝f′

1

a

n1，且a

＝4.(1)求數(shù)列{an}的通項公式；題型三

數(shù)列與其他知識的交匯解析答案解

f′(x)＝2ax＋b，由題意知b＝2n，16n2a－4nb＝0，2∴a＝1，b＝2n，2則f(x)＝1x2＋2nx，n∈N*.n數(shù)列{a

}滿足

1

an＋1＝f′

1

a

n，又f′(x)＝x＋2n，an＋1anan＋1an∴

1

＝

1

＋2n，∴

1

－

1

＝2n，解析答案an

4由疊加法可得1

－1＝2＋4＋6＋…＋2(n－1)＝n2－n，n(2n－1)2化簡可得

a

＝

4

(n≥2)，當n＝1

時，a1＝4

也符合，∴an＝

4

(2n－1)2*(n∈N

).(2)記bn＝anan＋1，求數(shù)列{bn}的前n

項和Tn.＋n

n

1解

∵bn＝

a

a

＝4(2n－1)(2n＋1)＝2

1

－

12n－1

2n＋1，∴Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝

a1a2＋

a2a3＋…＋anan＋13

1

1

1

3

5＝2

1－

＋

－

＋…＋–

1

1

2n－1

2n＋1＝2

1

1－

4n

2n＋1＝2n＋1.解析答案命題點2

函數(shù)與不等式的交匯解得例4

已知等差數(shù)列{an}中，a2＝6，a3＋a6＝27.(1)求數(shù)列{an}的通項公式；解

設(shè)公差為d，由題意得：a1＋d＝6，

a1＝3，d＝3，2a1＋7d＝27，∴an＝3n.解析答案(2)記數(shù)列{an}的前n

項和為Sn，且Tn＝Sn3·2n－1，若對于一切正整數(shù)n，總有Tn≤m

成立，求實數(shù)m

的取值范圍.n2解

∵S

＝3(1＋2＋3＋…＋n)＝3n(n＋1)，∴Tn＝n(n＋1)2n，∴Tn＋1－Tn＝(n＋1)(n＋2)2n＋1–n(n＋1)2n＝(n＋1)(2－n)2n＋1，∴當n≥3

時，T

>Tn

n＋11

2

32，且T

＝1<T

＝T

＝3，n2

2∴T

的最大值是3，故m≥3.解析答案命題點3

數(shù)列應(yīng)用題例5

某企業(yè)的資金每一年都比上一年分紅后的資金增加一倍，并且每年年底固定給股東們分紅500萬元，該企業(yè)2010年年底分紅后的資金為

1000萬元.求該企業(yè)2014年年底分紅后的資金；求該企業(yè)從哪一年開始年底分紅后的資金超過32

500萬元.思維升華解析答案解

設(shè)an為(2010＋n)年年底分紅后的資金，其中n∈N*，則a1＝2×1

000－500＝1

500，a2＝2×1

500－500＝2

500，…，an＝2an－1－500(n≥2).∴an－500＝2(an－1－500)(n≥2)，即數(shù)列{an－500}是以a1－500＝1

000為首項，2為公比的等比數(shù)列.∴an－500＝1

000×2n－1，∴an＝1

000×2n－1＋500.思維升華解析答案∵a4＝1

000×24－1＋500＝8

500，∴該企業(yè)2014年年底分紅后的資金為8500萬元.由an＞32

500，即2n－1＞32，得n＞6，∴該企業(yè)從2017年開始年底分紅后的資金超過32500萬元.思維升華數(shù)列與其他知識的交匯問題，要充分利用題中限制條件確定數(shù)列的特征，如通項公式、前n項和公式或遞推關(guān)系式，建立數(shù)列模型.思維升華設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，點(an，bn)在函數(shù)f(x)＝2x的圖象上(n∈N*).(1)若a1＝－2，點(a8,4b7)在函數(shù)f(x)的圖象上，求數(shù)列{an}的前n項和Sn；解得d＝a8－a7＝2.所以Sn＝na1＋n(n－1)2d＝－2n＋n(n2－1)＝n

－3n.7

87

8

7a

a解

由已知，得b

=

2 ,

b

=

2

=

4b

,有2a8=

4

·

2a7=

2a7

+2.跟蹤訓練3解析答案(2)若a1＝1，函數(shù)f(x)的圖象在點(a2，b2)處的切線在x

軸上的截距為2–ln

2

1

anbn，求數(shù)列

的前

n

項和

Tn.解析答案返回2ln

2它在x

軸上的截距為

a

－

1

.2ln

2 ln

22由題意，得

a

－

1

＝2－

1

，解得

a

＝2.所以d＝a2－a1＝1.從而an＝n，bn＝2n.ln

2,解

f′(x)＝2xln

2，f′(a2)＝2a2故函數(shù)f(x)＝2x在(a2，b2)處的切線方程為y

-2a2

=2a2

ln

2(x

-a

),2n21

2

322

23所以

T

＝

＋

＋

＋…＋n－12n－1n2n＋

，解析答案n1

2222n－12T

＝1＋2＋

3

＋…＋

n

.n

n22n－1因此，2T

－T

＝1＋1＋

1

＋…＋

1

－

n22

2n

1

n＝2－2n－1－2n＝2n＋1－n－22n.所以Tn＝2n＋1－n－22n.返回練出高分1

2

3

4

51.在等差數(shù)列{an}中，a2＝4，其前n項和Sn滿足Sn＝n2＋λn(λ∈R).(1)求實數(shù)λ的值，并求數(shù)列{an}的通項公式；解

設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，∵a2＝S2－S1＝(4＋2λ)－(1＋λ)＝3＋λ，∴3＋λ＝4，∴λ＝1.∴a1＝S1＝12＋1×1＝2，∴d＝a2－a1＝2，∴an＝a1＋(n－1)d＝2＋(n－1)×2＝2n.解析答案1

2

3

4

5

1Sn(2)若數(shù)列

＋bn是首項為

λ，公比為

2λ

的等比數(shù)列，求數(shù)列{bn}的前

n項和Tn.1Snn解

由(1)知

λ＝1，∴

＋b

＝1×2–n

1–n

1＝2

，∴bn＝2n－1

1

－n(n＋1

＝2)n－1

－n1－

1

，n＋1n∴T

＝(1＋2

＋…＋2–1

n

12

1

1

1

2

3)－[

1－

＋

－

＋…＋n–1

1

n＋1]＝1－2n1－2–1－

1

n＋1n＝2

－2n＋1n＋1.解析答案1

2

3

4

5n2.(2015·課標全國Ⅰ)Sn

為數(shù)列{an}的前n

項和.已知an>0，a2＋2an＝4Sn＋3.(1)求{an}的通項公式；解

由

a2＋2a

＝4S

＋3，n

n

nn＋1可知

a2

＋2an＋1n＋1＝4S

＋3.可得a2n＋1

n－a2＋2(an＋1－an)＝4an＋1，即2(an＋1＋an)＝a2n＋1

n＋＋－a2＝(an

1＋an)(an

1－an).由于an>0，可得an＋1－an＝2.又a2＋2a

＝4a

＋3，解得a

＝－1(舍去)，a

＝3.1

1

1

1

1所以{an}是首項為3，公差為2的等差數(shù)列，通項公式為an＝2n＋1.解析答案1

2

3

4

5n(2)設(shè)b

＝1anan＋1n，求數(shù)列{b

}的前n項和.解

由an＝2n＋1可知nb

＝n

n＋11

11

1a

a

＝(2n＋1)(2n＋3

＝22n＋1)–1.2n＋3設(shè)數(shù)列{bn}的前n項和為Tn，則Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝211–

＋3

5

51

1

17–

＋…＋–

1

1

2n＋1

2n＋3＝

n

3(2n＋3).解析答案1

2

3

4

53.已知數(shù)列{an}的前n項和Sn滿足Sn＝2an＋(－1)n(n∈N*).(1)求數(shù)列{an}的前三項a1，a2，a3；解

在Sn＝2an＋(－1)n(n∈N*)中分別令n＝1,2,3得：a1＝2a1－1，a1＋a2＝2a2＋1，a1＋a2＋a3＝2a3－1，a1＝1，解得a2＝0，a3＝2.解析答案1

2

3

4

523nn

n(2)求證：數(shù)列{a

＋

(－1)

}為等比數(shù)列，并求出{a

}的通項公式.解析答案1

2

3

4

5解

由Sn＝2an＋(－1)n(n∈N*)得：Sn－1＝2an－1＋(－1)n－1(n≥2)，兩式相減得：an＝2an－1－2(－1)n(n≥2)，n

n－13

3a

＝2a

－4(－1)n－2(－1)nn－13

3＝2a

＋4(－1)n－1－2(－1)n(n≥2)，n23n∴a

＋

(－1)

＝2[an－13＋2(－1)n－1](n≥2).解析答案1

2

3

4

5n23n12

13

3故數(shù)列{a

＋

(－1)

}是以

a

－

＝

為首項，2

為公比的等比數(shù)列.nn2

13

3∴a

＋

(－1)

＝

×2–n

1，2n－11

2

2an＝3×2n－1－3×(－1)n＝

3

－3(－1)n.1

2

3

4

54.(2015·湖南)設(shè)數(shù)列{an}的前n項和為Sn，已知a1＝1，a2＝2，且an＋2＝3Sn－Sn＋1＋3,

n∈N*.(1)證明：an＋2＝3an；證明

由條件，對任意n∈N*，有an＋2＝3Sn－Sn＋1＋3，因而對任意n∈N*，n≥2，有an＋1＝3Sn－1－Sn＋3.兩式相減，得an＋2－an＋1＝3an－an＋1，即an＋2＝3an，n≥2.又a1＝1，a2＝2，所以a3＝3S1－S2＋3＝3a1－(a1＋a2)＋3＝3a1，故對一切n∈N*，an＋2＝3an.解析答案1

2

3

4

5(2)求Sn.解析答案1

2

3

4

5n解

由(1)知，a

≠0，所以a＋n

2an＝3.于是數(shù)列{a2n－1}是首項a1＝1，公比為3等比數(shù)列；數(shù)列{a2n}是首項a2＝2，公比為3的等比數(shù)列.因此a2n－1＝3n－1，a2n＝2×3n－1.于是S2n＝a1＋a2＋…＋a2n＝(a1＋a3＋…＋a2n－1)＋(a2＋a4＋…＋a2n)＝(1＋3＋…＋3n－1)＋2(1＋3＋…＋3n－1)＝3(1＋3＋…＋3n－1)＝3(3n－1)2.解析答案1

2

3

4

5從而S2n－1＝S2n－a2n＝3(3n－1