培優(yōu)專題01 與三角形模型有關(guān)的角度計算-解析版

更多資料mathfrog2更多資料mathfrog2更多資料mathfrog2更多資料mathfrog2更多資料mathfrog2更多資料mathfrog2更多資料mathfrog2更多資料mathfrog2培優(yōu)專題01與三角形模型有關(guān)的角度計算◎模型一A字模型【條件】△ADE與△ABC.【結(jié)論】∠AED+∠ADE=∠B+C.【證明】根據(jù)三角形內(nèi)角和可得，∠AED+∠ADE=180°-∠A，∠B+C=180°-∠A，∴∠AED+∠ADE=∠B+C，得證.1．（2022·湖北咸寧·七年級期中）如圖，已知l1l2，∠A＝45°，∠2＝100°，則∠1的度數(shù)為（）A．50° B．55° C．45° D．60°【答案】B【分析】根據(jù)平角的定義得出∠ACB＝80°，根據(jù)三角形內(nèi)角和得到∠ABC＝55°，再根據(jù)平行線的性質(zhì)即可得解．【詳解】解：∵∠2＝100°，∴∠ACB＝180°?100°＝80°，∵∠A＝45°，∴∠ABC＝180°?45°?80°＝55°，∵l1l2，∴∠1＝∠ABC＝55°，故選：B．【點睛】此題考查了平行線的性質(zhì)，熟記“兩直線平行，內(nèi)錯角相等”是解題的關(guān)鍵．2．（2022·全國·八年級課時練習(xí)）如圖，中，，直線交于點D，交于點E，則（

）．A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出，根據(jù)平角的概念計算即可．【詳解】解：，，，故選：D．【點睛】本題考查的是三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用，掌握三角形內(nèi)角和等于是解題的關(guān)鍵．3．（2022·全國·八年級課時練習(xí)）如圖是某建筑工地上的人字架，若，那么的度數(shù)為_________．【答案】【分析】根據(jù)平角的定義求出，再利用三角形的外角的性質(zhì)即可解決問題．【詳解】解：如圖，，，，，故答案為：．【點睛】本題考查三角形外角的性質(zhì)、平角的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識，屬于中考基礎(chǔ)題．4．（2020·湖南·常德市第二中學(xué)九年級期中）如圖，在中，，，，分別在、上，將沿折疊，使點落在點處，若為的中點，則折痕的長為__．【答案】2【分析】由折疊的特點可知，，又，則由同位角相等兩直線平行易證，故，又為的中點可得，由相似的性質(zhì)可得．【詳解】解：沿折疊，使點落在點處，，，，又為的中點，AE=AE'∴AE:AC=1:3，即，．故答案為：2．【點睛】本題考查相似三角形的判定和性質(zhì)，掌握“A”字形三角形相似的判定和性質(zhì)為解題關(guān)鍵．5．（2022·全國·八年級課時練習(xí)）如圖所示，的兩邊上各有一點，連接，求證．【答案】見解析【分析】根據(jù)三角形的外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和證明即可．【詳解】解：和是的外角，．又，．【點睛】本題主要考查三角形外角的性質(zhì)，熟知三角形的外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和是解題的關(guān)鍵．◎模型二8字模型【條件】AD、BC相交于點O.【結(jié)論】∠A+∠B=∠C+∠D.(上面兩角之和等于下面兩角之和)【證明】在△ABO中，由內(nèi)角和定理：∠A+∠B+∠BOA=180°，在△CDO中，∠C+∠D+∠COD=180°，∴∠A+∠B+∠BOA=180°=∠C+∠D+∠COD，由對頂角相等：∠BOA=∠COD∴∠A+∠B=∠C+∠D，得證.6．（2022·全國·八年級課時練習(xí)）如圖，AB和CD相交于點O，∠A＝∠C，則下列結(jié)論中不能完全確定正確的是（

）A．∠B＝∠D B．∠1＝∠A＋∠D C．∠2＞∠D D．∠C＝∠D【答案】D【分析】利用三角形的外角性質(zhì)，對頂角相等逐一判斷即可．【詳解】∵∠A＋∠AOD＋∠D＝180°，∠C＋∠COB＋∠B＝180°，∠A＝∠C，∠AOD＝∠BOC，∴∠B＝∠D，∵∠1＝∠2＝∠A＋∠D，∴∠2＞∠D，故選項A，B，C正確，故選D．【點睛】本題考查了對頂角的性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)，熟練掌握并運用兩條性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．7．（2022·全國·八年級課時練習(xí)）如圖，∠1=60°，則∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=（）A．240° B．280° C．360° D．540°【答案】A【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得到∠B與∠C的和，然后在五星中求得∠1與另外四個角的和，加在一起即可．【詳解】解：由三角形外角的性質(zhì)得：∠3=∠A+∠E，∠2=∠F+∠D，∵∠1+∠2+∠3=180°，∠1=60°，∴∠2+∠3=120°，即：∠A+∠E+∠F+∠D=120°，∵∠B+∠C=120°，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=240°．故選A．【點睛】本題考查了三角形的外角和三角形的內(nèi)角和的相關(guān)知識，解決本題的關(guān)鍵是將題目中的六個角分成兩部分來分別求出來，然后再加在一起．8．（2022·全國·八年級課時練習(xí)）如圖，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠I＝__．【答案】900°【分析】根據(jù)多邊形的內(nèi)角和，可得答案．【詳解】解：連EF，GI，如圖，∵6邊形ABCDEFK的內(nèi)角和＝（6－2）×180°＝720°，∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＝720°－（∠1＋∠2），即∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋（∠1＋∠2）＝720°，∵∠1＋∠2＝∠3＋∠4，∠5＋∠6＋∠H＝180°，∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F∠H＋（∠3＋∠4）＝900°，∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F（∠3＋∠4）＋∠5＋∠6＋∠H＝720°＋180°，∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G＋∠H＋∠I＝900°，故答案為：900°．【點睛】本題考查了n邊形的內(nèi)角和定理：n邊形的內(nèi)角和為（n－2）×180°（n≥3的整數(shù)）．9．（2022·全國·八年級課時練習(xí)）如圖，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠I+∠K的度數(shù)為__．【答案】1080°【分析】連KF，GI，根據(jù)n邊形的內(nèi)角和定理得到7邊形ABCDEFK的內(nèi)角和＝（7－2）×180°＝900°，則∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠K＋（∠1＋∠2）＝900°，由三角形內(nèi)角和定理可得到∠1＋∠2＝∠3＋∠4，∠5＋∠6＋∠H＝180°，則∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠K＋（∠3＋∠4）＋∠5＋∠6＋∠H＝900°＋180°，即可得到∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G＋∠H＋∠I＋∠K的度數(shù)．【詳解】解：連KF，GI，如圖，∵7邊形ABCDEFK的內(nèi)角和＝（7－2）×180°＝900°，∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠K＝900°－（∠1＋∠2），即∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠K＋（∠1＋∠2）＝900°，∵∠1＋∠2＝∠3＋∠4，∠5＋∠6＋∠H＝180°，∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠K＋（∠3＋∠4）＝900°，∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠K＋（∠3＋∠4）＋∠5＋∠6＋∠H＝900°＋180°，∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G＋∠H＋∠I＋∠K＝1080°．故∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G＋∠H＋∠I＋∠K的度數(shù)為1080°．故答案為：1080°．【點睛】本題考查了n邊形的內(nèi)角和定理：n邊形的內(nèi)角和為（n－2）×180°（n≥3的整數(shù)）．10．（2022·全國·八年級課時練習(xí)）如圖，OAB和OCD中，OA＝OB，OC＝OD，∠AOB＝∠COD＝α，AC、BD交于M（1）如圖1，當(dāng)α＝90°時，∠AMD的度數(shù)為°；（2）如圖2，當(dāng)α＝60°時，求∠AMD的度數(shù)；（3）如圖3，當(dāng)OCD繞O點任意旋轉(zhuǎn)時，∠AMD與α是否存在著確定的數(shù)量關(guān)系？如果存在，請你用α表示∠AMD，并用圖3進(jìn)行證明；若不確定，說明理由．【答案】（1）；（2）；（3）【分析】（1）如圖1，設(shè)交于，只要證明，推出，由，可得；（2）如圖2，設(shè)交于，只要證明，推出，由，可得；（3）如圖3，設(shè)交于，只要證明，推出，由，可得，可得；【詳解】解：（1）如圖1中，設(shè)交于∵，∴∴∴∵∴∴故答案為（2）如圖2，設(shè)交于，∵，∴∴∴∵∴∴故答案為（3）如圖3，設(shè)交于，∵，∴∴∴∵∴∴故答案為【點睛】本題考查了幾何變換綜合題，全等三角形的判定，三角形內(nèi)角和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是靈活運用所學(xué)知識解決問題，學(xué)會利用“8字型”證明角相等．◎模型三飛鏢模型【條件】四邊形ABDC如上左圖所示.【結(jié)論】∠D=∠A+∠B+∠C.(凹四邊形凹外角等于三個內(nèi)角和)【證明】如上右圖，連接AD并延長到E，則：∠BDC=∠BDE+∠CDE=(∠B+∠1)+(∠2+∠C)=∠B+∠BAC+∠C.本質(zhì)為兩個三角形外角和定理證明.11．（2022·全國·八年級課時練習(xí)）在社會實踐手工課上，小茗同學(xué)設(shè)計了一個形狀如圖所示的零件，如果，，那么的度數(shù)是（

）．A． B． C． D．【答案】A【分析】延長BE交CF的延長線于O，連接AO，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出再利用鄰補角的性質(zhì)求出，再根據(jù)四邊形的內(nèi)角和求出，根據(jù)鄰補角的性質(zhì)即可求出的度數(shù)．【詳解】延長BE交CF的延長線于O，連接AO，如圖，∵∴同理得∵∴∵∴∴∴,故選：A．【點睛】本題考查三角形內(nèi)角和定理，多邊形內(nèi)角和，三角形的外角的性質(zhì)，鄰補角的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是會添加輔助線，將已知條件聯(lián)系起來進(jìn)行求解．三角形外角的性質(zhì)：三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和；鄰補角性質(zhì)：鄰補角互補；多邊形內(nèi)角和：．12．（2022·全國·八年級課時練習(xí)）如圖，已知BE，CF分別為△ABC的兩條高，BE和CF相交于點H，若∠BAC=50°，則∠BHC為（）A．115° B．120° C．125° D．130°【答案】D【詳解】∵BE為△ABC的高，∠BAC=50°，∴∠ABE=90°-50°=40°，∵CF為△ABC的高，∴∠BFC=90°，∴∠BHC=∠ABE+∠BFC=40°+90°=130°．故選D．13．（2022·全國·八年級課時練習(xí)）如圖，若，則____________．【答案】230°【分析】根據(jù)三角形外角的性質(zhì)，得到∠EOC=∠E+∠2=115°，∠2=∠D+∠C，∠EOC=∠1+∠F=115°，∠1=∠A+∠B，即可得到結(jié)論．【詳解】解：如圖∵∠EOC=∠E+∠2=115°，∠2=∠D+∠C，∴∠E+∠D+∠C=115°，∵∠EOC=∠1+∠F=115°，∠1=∠A+∠B，∴∠A+∠B+∠F=115°，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=230°，故答案為：230°．【點睛】本題主要考查三角形內(nèi)角和定理和三角形外角的性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是要熟練掌握三角形外角性質(zhì)．14．（2022·山東德州·七年級期末）如圖，則∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度數(shù)是__．【答案】180°【分析】由三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和，得∠4＝∠A＋∠2，∠2＝∠D＋∠C，進(jìn)而利用三角形的內(nèi)角和定理求解．【詳解】解：如圖可知：∵∠4是三角形的外角，∴∠4＝∠A＋∠2，同理∠2也是三角形的外角，∴∠2＝∠D＋∠C，在△BEG中，∵∠B＋∠E＋∠4＝180°，∴∠B＋∠E＋∠A＋∠D＋∠C＝180°．故答案為：180°．【點睛】本題考查三角形外角的性質(zhì)及三角形的內(nèi)角和定理，解答的關(guān)鍵是溝通外角和內(nèi)角的關(guān)系．15．（2022·全國·八年級課時練習(xí)）模型規(guī)律：如圖1，延長交于點D，則．因為凹四邊形形似箭頭，其四角具有“”這個規(guī)律，所以我們把這個模型叫做“箭頭四角形”．模型應(yīng)用（1）直接應(yīng)用：①如圖2，，則__________；②如圖3，__________；（2）拓展應(yīng)用：①如圖4，、的2等分線（即角平分線）、交于點，已知，，則__________；②如圖5，、分別為、的10等分線．它們的交點從上到下依次為、、、…、．已知，，則__________；③如圖6，、的角平分線、交于點D，已知，則__________；④如圖7，、的角平分線、交于點D，則、、之同的數(shù)量關(guān)系為__________．【答案】（1）①110；②260；（2）①85；②99；③142；④∠B-∠C+2∠D=0【分析】（1）①根據(jù)題干中的等式直接計算即可；②同理可得∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=∠BOC+∠DOE，代入計算即可；（2）①同理可得∠BO1C=∠BOC-∠OBO1-∠OCO1，代入計算可得；②同理可得∠BO7C=∠BOC-（∠BOC-∠A），代入計算即可；③利用∠ADB=180°-（∠ABD+∠BAD）=180°-（∠BOC-∠C）計算可得；④根據(jù)兩個凹四邊形ABOD和ABOC得到兩個等式，聯(lián)立可得結(jié)論．【詳解】解：（1）①∠BOC=∠A+∠B+∠C=60°+20°+30°=110°；②∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=∠BOC+∠DOE=2×130°=260°；（2）①∠BO1C=∠BOC-∠OBO1-∠OCO1=∠BOC-（∠ABO+∠ACO）=∠BOC-（∠BOC-∠A）=∠BOC-（120°-50°）=120°-35°=85°；②∠BO7C=∠BOC-（∠BOC-∠A）=120°-（120°-50°）=120°-21°=99°；③∠ADB=180°-（∠ABD+∠BAD）=180°-（∠BOC-∠C）=180°-（120°-44°）=142°；④∠BOD=∠BOC=∠B+∠D+∠BAC，∠BOC=∠B+∠C+∠BAC，聯(lián)立得：∠B-∠C+2∠D=0．【點睛】本題主要考查了新定義—箭頭四角形，利用了三角形外角的性質(zhì)，還考查了角平分線的定義，圖形類規(guī)律，解題的關(guān)鍵是理解箭頭四角形，并能熟練運用其性質(zhì)．◎模型四雙垂直模型【條件】∠B=∠D=∠ACE=90°.【結(jié)論】∠BAC=∠DCE，∠ACB=∠CED.【證明】∵∠B=∠D=∠ACE=90°；∴∠BAC+∠ACB=90°；又∠ECD+∠ACB=90°；∴∠BAC=∠DCE同理,∠ACB+∠DCE

=90°，且∠CED+∠DCE

=90°；∴∠ACB=∠CED，得證.16．（2021·青海海東·八年級期中）如圖，已知△ABC≌△CDE，∠B＝90°，點C為線段BD上一點，則∠ACE的度數(shù)為（

）A．94° B．92° C．90° D．88°【答案】C【分析】由全等三角形的性質(zhì)得出∠ACB＝∠CED，則可得出答案．【詳解】解：∵△ABC≌△CDE，∴∠ACB＝∠CED，∠B＝∠D＝90°，∵∠CED+∠ECD＝90°，∴∠ACB+∠ECD＝90°，∵∠ACB+∠ECD+∠ACE＝180°，∴∠ACE＝90°．故選：C．【點睛】本題考查了全等三角形的性質(zhì)；熟練掌握三角形全等的性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．17．（2020·河南·鄭州市第八中學(xué)模擬預(yù)測）如圖所示，一副三角尺擺放置在矩形紙片的內(nèi)部，三角形的三個頂點恰好在矩形的邊上，若，則等于（）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)矩形的性質(zhì)可得∠C=90°，AD∥BC，利用直角三角形的兩個銳角互余求出∠GFC，從而求出∠EFB，然后根據(jù)平行線的性質(zhì)可得∠AEF＋∠EFB=180°，從而求出結(jié)論．【詳解】解：∵四邊形ABCD為矩形∴∠C=90°，AD∥BC∵∴∠GFC=90°－∠FGC=74°由三角尺可知：∠EFG=60°∴∠EFB=180°－∠GFC－∠EFG=46°∵AD∥BC∴∠AEF＋∠EFB=180°∴∠AEF=180°－∠EFB=134°故選D．【點睛】此題考查的是矩形的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)，掌握矩形的性質(zhì)、直角三角形的兩個銳角互余和平行線的性質(zhì)是解決此題的關(guān)鍵．18．（2022·山東青島·七年級期末）如圖，小虎用10塊高度都是的相同長方體小木塊，壘了兩堵與地面垂直的木墻，木墻之間剛好可以放進(jìn)一個等腰直角三角板（，），點在上，點和分別與木墻的頂端重合，則兩堵木墻之間的距離為______．【答案】40cm【分析】根據(jù)題意可得AC＝BC，∠ACB＝90°，AD⊥DE，BE⊥DE，進(jìn)而得到∠ADC＝∠CEB＝90°，再根據(jù)等角的余角相等可得∠BCE＝∠DAC，再證明△ADC≌△CEB即可，利用全等三角形的性質(zhì)進(jìn)行解答．【詳解】解：由題意得：AC＝BC，∠ACB＝90°，AD⊥DE，BE⊥DE，∴∠ADC＝∠CEB＝90°，∴∠ACD＋∠BCE＝90°，∠ACD＋∠DAC＝90°，∴∠BCE＝∠DAC，在△ADC和△CEB中，，∴△ADC≌△CEB（AAS）；由題意得：AD＝EC＝12cm，DC＝BE＝28cm，∴DE＝DC＋CE＝40（cm），答：兩堵木墻之間的距離為40cm，故答案為：40cm．【點睛】此題主要考查了全等三角形的應(yīng)用，涉及到垂直的定義、直角三角形的性質(zhì)和連個三角形全等的判定與性質(zhì)等知識點，解題的關(guān)鍵是正確找出證明三角形全等的條件．19．（2021·江蘇鹽城·七年級期中）將含有角的直角三角板（）和直尺按如圖方式擺放，已知，則______．【答案】24【分析】過點B作BC//MN，由平行線傳遞性，可得BC//KL，再由平行線的性質(zhì)可得，，最后由在直角三角形中兩銳角互余的關(guān)系，求出．【詳解】解：過點B作BC//MN，如圖所示：MN//KHBC//KL又又BC//MN又又故答案為：24【點睛】本題考查了平行線的判定與性質(zhì)(兩直線平行，內(nèi)錯角相等)，平行線傳遞性(如果兩條直線都與第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行)，直角三角形中兩銳角互余，角的和差計算等綜合知識點．難點是作已知直線的平行線．20．（2022·全國·八年級專題練習(xí)）如圖1，已知中，，，、分別與過點的直線垂直，且垂足分別為E，D．(1)猜想線段AD、、三者之間的數(shù)量關(guān)系，并給予證明．(2)如圖2，當(dāng)過點C的直線繞點旋轉(zhuǎn)到的內(nèi)部，其他條件不變，如圖2所示，①線段AD、、三者之間的數(shù)量關(guān)系是否發(fā)生改變？若改變，請直接寫出三者之間的數(shù)量關(guān)系，若不改變，請說明理由；②若，時，求的長．【答案】(1)，證明見解析(2)①發(fā)生改變，；②1.3【分析】（1）證明，可得，CD＝BE，即可求解；（2）①證明，可得，CD＝BE，即可求解；②由①可得，從而得到，即可求解．（1）解：，

理由如下：∵、分別與過點的直線垂直，∴，∴，∵，∴，∴，在和中，，，，CD＝BE，∵DE＝EC＋CD，

；（2）解：①發(fā)生改變．∵、分別與過點的直線垂直，∴，∴，∵，∴，∴，在和中，，，，CD＝BE，∵DE＝CE-CD，

∴；②由①知：，∴，∴BE的長為1.3.【點睛】本題主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)、等角的余角相等，熟練掌握全等三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．◎模型五風(fēng)箏模型【條件】四邊形ABPC，分別延長AB、AC于點D、E，如上左圖所示.【結(jié)論】∠PBD+∠PCE=∠A+∠P.【證明】如上右圖，連接AP，則：∠PBD=∠PAB+∠APB，∠PCE=∠PAC+∠APC，∴∠PBD+∠PCE=∠PAB+∠APB+∠PAC+∠APC=∠BAC+∠BPC，得證.21．（2022·內(nèi)蒙古赤峰·八年級期末）如圖，將的一角折疊，若，則（

）A．50° B．65° C．115° D．130°【答案】C【分析】根據(jù)折疊性質(zhì)證得∠3=∠4，∠5=∠6，再根據(jù)平角定義求得∠4+∠5=115°，然后根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理求解即可．【詳解】解：如圖，由折疊性質(zhì)得：∠3=∠4，∠5=∠6，∵∠1+∠3+∠4=180°，∠5+∠6+∠2=180°，∴∠1+∠2+2∠4+2∠5=360°，∵∠1+∠2=130°，∴2∠4+2∠5=360°－130°=230°，∴∠4+∠5=115°，∵∠4+∠5+∠A=180°，∠A+∠B+∠C=180°，∴∠B+∠C=∠4+∠5=115°，故選：C．【點睛】本題考查三角形折疊中的角度問題，熟練掌握折疊性質(zhì)是解答的關(guān)鍵.22．（2022·海南?？凇て吣昙壠谀┤鐖D，把△ABC紙片沿MN折疊，使點C落在△ABC內(nèi)部點C′處，若∠C=36°，則∠1+∠2等于（

）A．54° B．62° C．72° D．76°【答案】C【分析】根據(jù)折疊可知∠C=∠，四邊形內(nèi)角和為360°，即可求出+，用平角的定義即可求出∠1+∠2【詳解】∵△CMN折疊得到∴∠C=∠∵∠1=180°-，∠2=180°-∴∠1+∠2=180°-+180°-=360°-（+）∵+=360°-∠C-=360°-36°-36°=288°∴∠1+∠2=360°-288°=72°故選：C【點睛】本題主要考查了折疊問題，掌握三角形的內(nèi)角和定理，四邊形的內(nèi)角和以及平角的定義是解題的關(guān)鍵．23．（2022·山東煙臺·七年級期中）如圖，在三角形紙片ABC中，，將紙片的一角折疊，使點C落在△ABC內(nèi)，若，則∠2的度數(shù)為_________.【答案】30°##30度【分析】根據(jù)題意，已知∠A=65°，∠B=75°，可結(jié)合三角形內(nèi)角和定理和四邊形內(nèi)角和求解．【詳解】解：如圖，設(shè)折痕為DE；∵，，∴，∴，又∵，∴，故答案為：30°．【點睛】本題主要是考查了三角形、四邊形內(nèi)角和，即三角形的內(nèi)角和為180°，四邊形的內(nèi)角和為360°；熟練掌握三角形的內(nèi)角和定理是解題的關(guān)鍵．24．（2022·湖北恩施·一模）圖，把等邊沿直線折疊，點落在處，若，則______．【答案】【分析】先求出的度數(shù)，再根據(jù)折疊得到，即可求出的度數(shù)．【詳解】∵等邊沿直線折疊∴，∵∴∴∴故答案為：【點睛】此題考查翻折問題，折疊問題的實質(zhì)是“軸對稱”，解題關(guān)鍵是找出經(jīng)軸對稱變換所得的等量關(guān)系．25．（2022·江蘇·揚州市竹西中學(xué)七年級期末）如圖①，把△ABC紙片沿DE折疊，使點A落在四邊形BCED內(nèi)部點A′的位置，通過計算我們知道：2∠A＝∠1+∠2．請你繼續(xù)探索：(1)如果把△ABC紙片沿DE折疊，使點A落在四邊形BCED的外部點A′的位置，如圖②，此時∠A與∠1、∠2之間存在什么樣的關(guān)系？為什么？請說明理由．(2)如果把四邊形ABCD沿EF折疊，使點A、D落在四邊形BCFE的內(nèi)部A′、D′的位置，如圖③，你能求出∠A、∠D、∠1與∠2之間的關(guān)系嗎？（直接寫出關(guān)系式即可）【答案】(1)∠1﹣∠2＝2∠A，理由見解析(2)∠A+∠D＝180°+（∠1+∠2），理由見解析【分析】（1）連接，根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)以及軸對稱的性質(zhì)進(jìn)行分析；（2）根據(jù)平角的定義以及四邊形的內(nèi)角和定理進(jìn)行計算即可．（1）解：如圖所示，連接，∵，；∴∠1﹣∠2＝2∠A；（2）解：由圖形折疊的性質(zhì)可知，，則，即，所以，∠1+∠2＝2（∠A+∠D）﹣360°，即．【點睛】本題考查了折疊的性質(zhì)，三角形的外角的性質(zhì)及多邊形內(nèi)角和，解題的關(guān)鍵掌握這些知識點．◎模型六兩內(nèi)角角平分線模型【條件】△ABC中，BI、CI分別是∠ABC和∠ACB的角平分線，且相交于點I.【結(jié)論】【證明】∵BI是∠ABC平分線，∴∵CI是∠ACB平分線，∴由A→B→I→C→A的飛鏢模型可知：∠I=∠A+∠2+∠3=∠A++=∠A+=.26．（2022·山東東營·七年級期末）如圖，在△ABC中，BF平分∠ABC，CF平分∠ACB，∠BFC=125°，則∠A的度數(shù)為（）A．60° B．80° C．70° D．45°【答案】C【分析】先根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得出的度數(shù)，再由角平分線的性質(zhì)得出的度數(shù)，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理即可得出結(jié)論．【詳解】解：∵，∴．∵平分，平分，∴，∵，∴．故選：C．【點睛】本題考查的是三角形內(nèi)角和定理，以及三角形角平分線的定義，熟知三角形內(nèi)角和是180°是解答此題的關(guān)鍵．27．（2022·福建·泉州五中七年級期末）如圖，在四邊形ABCD中，∠A+∠D＝α，∠ABC的平分線與∠BCD的平分線交于點P，則∠P＝（

）A．90°﹣α B．α C．90°+α D．360°﹣α【答案】B【分析】先求出∠ABC＋∠BCD的度數(shù)，然后根據(jù)角平分線的定義以及三角形的內(nèi)角和定理求∠P的度數(shù)．【詳解】解：在四邊形ABCD中，∠ABC＋∠BCD＝360°?（∠A＋∠D）＝360°?α，∵BP和CP分別為∠ABC、∠BCD的平分線，∴∠PBC＋∠PCB＝∠ABC＋∠BCD＝（∠ABC＋∠BCD）＝（360°?α）＝180°?α，∴∠P＝180°?（∠PBC＋∠PCB）＝180°?（180°?α）＝α．故選：B．【點睛】本題考查了多邊形的內(nèi)角和以及三角形的內(nèi)角和定理，關(guān)鍵是先求出∠ABC＋∠BCD的度數(shù)．28．（2022·河南鶴壁·七年級期末）已知中，．在圖1中、的平分線交于點，則可計算得；在圖2中，設(shè)、的兩條三等分角線分別對應(yīng)交于、，則_______________．【答案】【分析】首先根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求得，再由三等分角線可得，由三角形內(nèi)角和定理即可求得．【詳解】解：，，、的兩條三等分角線分別對應(yīng)交于、，，，故答案為：．【點睛】本題考查三角形內(nèi)角和定理，解題的關(guān)鍵是熟練運用三等分角線求解．29．（2022·江蘇常州·七年級期中）如圖，在△MBC中，∠ABC、∠ACB的角平分線OB、OC交于點O，若∠O=m°，則∠A的度數(shù)是______________________________°（用含m的代數(shù)式表示）．【答案】（2m-180）【分析】先由角平分線的定義得到∠ABC=2∠OBC，∠ACB=2∠OCB，再利用三角形內(nèi)角和定理求解即可．【詳解】解：∵OB，OC分別是∠ABC和∠ACB的角平分線，∴∠ABC=2∠OBC，∠ACB=2∠OCB，∵∠O+∠OBC+∠OCB=180°，∴∠OBC+∠OCB=180°-∠O=180°-m°，∴∠ABC+∠ACB=2∠OBC+2∠OCB=360°-2m°，∴∠A=180°-∠ABC-∠ACB=2m°-180°，故答案為：（2m-180）．【點睛】本題主要考查了三角形內(nèi)角和定理，角平分線的定義，熟知相關(guān)知識是解題的關(guān)鍵．30．（2021·重慶·墊江第八中學(xué)校七年級階段練習(xí)）在△ABC中，BD，CE是它的兩條角平分線，且BD，CE相交于點M，MN⊥BC于點N．將∠MBN記為∠1，∠MCN記為∠2，∠CMN記為∠3．(1)如圖1，若∠A=110°，∠BEC=130°，則∠2=°，∠3－∠1=°；(2)如圖2，猜想∠3－∠1與∠A的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；(3)若∠BEC=，∠BDC=，用含和的代數(shù)式表示∠3－∠1的度數(shù)．（直接寫出結(jié)果即可）【答案】(1)20；55；(2)，證明見解析(3)【分析】（1）根據(jù)三角形外角的性質(zhì)即可求出∠ACE的度數(shù)，根據(jù)角平分線的定義即可求出∠2的度數(shù)，進(jìn)而求出∠3的度數(shù)，∠ACB的度數(shù)，利用三角形內(nèi)角和定理和角平分線的定義求出∠1的度數(shù)即可得到答案；（2）根據(jù)角平分線的定義得到，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理表示出∠3．然后推出∠3-∠1=90°-∠1-∠2，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求解即可；（3）在△BCE和△BCD中根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得到∠1+∠2，再根據(jù)（2）中結(jié)論求解即可；（1）解：∵∠A=110°，∠BEC=130°，∴∠ACE=∠BEC-∠A=20°，∵CE平分∠ACB，∴∠2=∠ACE=20°，∠ACB=40°，∴∠ABC=180°-∠A-∠ACB=30°，∵BD平分∠ABD，∴，∵M(jìn)N⊥BC，即∠MNC=90°，∴∠3=180°-∠2-∠MNC=70°，∴∠3-∠1=55°，故答案為：20；55；（2）解：，證明如下：∵在△ABC中，BD，CE是它的兩條角平分線，∴，∵M(jìn)N⊥BC，即∠MNC=90°，∴∠3=180°-∠MNC-∠2=90°-∠2，∴∠3-∠1=90°-∠1-∠2，∵∠ABC+∠ACB=180°-∠A，∴，即，∴；（3）解：∵在△ABC中，BD，CE是它的兩條角平分線，∴，∵∠1+∠BCD+∠BDC=180°，∠2+∠BEC+∠EBC=180°，∴，∴，由（2）得，∴，∴，∴．【點睛】本題主要考查了三角形內(nèi)角和定理，三角形外角的像這種，角平分線的定義，垂直的定義，熟知三角形內(nèi)角和為180度是解題的關(guān)鍵．◎模型七兩外角角平分線模型【條件】△ABC中，BI、CI分別是△ABC的外角的角平分線，且相交于點O.【結(jié)論】.【證明】∵BO是∠EBC平分線，∴，∵CO是∠FCB平分線，∴由△BCO中內(nèi)角和定理可知：∠O=180°-∠2-∠5=180°--=180°--===.31．（2022·江蘇·江陰市祝塘第二中學(xué)七年級階段練習(xí)）如圖，在△ABC中，設(shè)∠A＝x°，∠ABC與∠ACD的平分線交于點A1，得∠A1；∠A1BC與∠A1CD的平分線相交于點A2，得∠A2；…；∠A2021BC與∠A2021CD的平分線相交于點A2022，得∠A2022，則∠A2022是（）度．A．x B．x C．x D．x【答案】C【分析】先由三角形的外角性質(zhì)得∠A＝∠ACD?∠ABC，∠A1＝∠A1CD?∠A1BC，再由角平分線的定義得到∠A1BC＝∠ABC，∠A1CD＝∠ACD，從而可以得到∠A1＝∠ACD?∠ABC＝∠A，同樣的道理可得，∠A2＝∠A1，∠A3＝∠A2，…，最后得到∠A2022的度數(shù)．【詳解】解：∵∠ACD是△ABC三角形的外角，∠A1CD是△A1BC的外角，∴∠A＝∠ACD?∠ABC，∠A1＝∠A1CD?∠A1BC，∵BA1和CA1分別是∠ABC和∠ACD的角平分線，∴∠A1BC＝∠ABC，∠A1CD＝∠ACD，∴∠A1＝∠ACD?∠ABC＝∠A＝x°，同理可得，∠A2＝∠A1＝×x°，∠A3＝∠A2＝××x°，…，∴∠A2022＝x°，故選：C．【點睛】本題考查了三角形的外角性質(zhì)、角平分線的定義，解題的關(guān)鍵是熟練應(yīng)用三角形外角的性質(zhì)定理．32．（2022·浙江·八年級專題練習(xí)）如圖，中，，BD平分，平分的外角，、交于點，則的度數(shù)（）A． B． C． D．【答案】A【分析】設(shè)，根據(jù)外角性質(zhì)得出，再由角平分線的性質(zhì)得出，，最后根據(jù)外角性質(zhì)得出，將，的值代入式子中進(jìn)而得出結(jié)果．【詳解】解：設(shè)，根據(jù)外角性質(zhì)可知：，平分，平分的外角，，．根據(jù)外角性質(zhì)：，．故選：A．【點睛】本題考查角平分線、外角的性質(zhì)的理解與運用能力．主要涉及以下知識點：三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角和；角平分線分得的兩個角相等，都等于該角的一半．靈活運用相關(guān)知識點是解本題的關(guān)鍵．33．（2022·陜西·西安博愛國際學(xué)校八年級期末）如圖，在△ABC中，∠ABC=75°，∠A=40°，∠ACD是△ABC的外角，若∠ABC與∠ACD的平分線交于點P，則∠BPC的大小為_____．【答案】20°##20度【分析】由三角形的外角性質(zhì)可得∠ACD=115°，再由角平分線的定義可得∠PBC=32.5°，∠PCD=57.5°，再利用三角形的外角性質(zhì)即可求∠BPC的度數(shù)．【詳解】解：∵∠ABC=75°，∠A=40°，∠ACD是△ABC的外角，∴∠ACD=∠ABD+∠A=115°，∵∠ABC與∠ACD的平分線交于點P，∴∠PBC=∠ABC=37.5°，∠PCD=∠ACD=57.5°，∵∠PCD是△BCP的外角，∴∠BPC=∠PCD-∠PBC=20°．故答案為：20°．【點睛】本題主要考查三角形的外角性質(zhì)，解答的關(guān)鍵是熟記三角形的外角性質(zhì)并靈活運用．34．（2022·陜西·西安市曲江第一中學(xué)八年級期末）如圖，在中，的內(nèi)角和外角的角平分線交于點P，已知，則的度數(shù)為____________．【答案】##84度【分析】根據(jù)AP為∠CAB的角平分線，BP為外角∠CBD的平分線，可知∠CAM=∠BAP=∠BAC，∠PBC=∠PBD=∠CBD，另外根據(jù)∠CBD=∠C+∠CAB，∠PBD=∠PAB+∠P可得∠P=∠C，從而可以求出答案．【詳解】解：如下圖，AP為∠CAB的角平分線，BP為外角∠CBD的平分線，兩角平分線交于點P，∠CAM=∠BAP=∠BAC，∠PBC=∠PBD=∠CBD，∠CBD=∠C+∠CAB，∠PBC=∠PBD=(∠C+2∠PAB)=∠C+∠PAB，∠PBD=∠PAB+∠P，∠P=∠C，，，【點睛】本題考查的是三角形內(nèi)角和定理，熟知三角形的內(nèi)角和等于180°是解答此題的關(guān)鍵。35．（2022·江蘇鎮(zhèn)江·七年級期中）如圖①，在△ABC中，∠ABC與∠ACB的平分線相交于點P．(1)如果∠ABC＝50°，∠ACB＝60°，則∠BPC=°；(2)如圖②，作△ABC外角∠MBC，∠NCB的角平分線交于點Q，直接寫出∠Q與∠BPC之間滿足的數(shù)量關(guān)系；(3)如圖③，延長線段BP、QC交于點E，若∠Q=∠E，求∠A的度數(shù)．【答案】(1)125(2)∠Q+∠BPC=180°(3)∠A＝72°【分析】（1）依據(jù)∠ABC和∠ACB的平分線相交于點P，可得∠2+∠4的度數(shù)，依據(jù)三角形內(nèi)角和定理，即可得到∠BPC的度數(shù)；（2）根據(jù)角平分線的定義和平角的定義可得出，再由四邊形的內(nèi)角和定理可得結(jié)論；（3）根據(jù)題意求出∠Q=54°，從而得∠QBC+∠QCB=126°，∠MBC+∠NCB=252°，∠ABC+∠ACB=108°，最后由三角形內(nèi)角和定理可得結(jié)論．（1）如圖，∵∠ABC=50°，∠ACB=60°，∠ABC和∠ACB的平分線相交于點P，∴∠2+∠4=25°+30°=55°，∴△BCP中，∠P=180°-55°=125°，故答案為：125；（2）∵BP平分∠ABC，∴∵BQ平分∴又∴，同理可得，∵∴（3）∵∠EBQ＝90°．且∠Q＝∠E，∴∠E+∠E=90°,∴∠E=36°，,∴∠Q=54°∴∠QBC+∠QCB=126°，∴∠MBC+∠NCB=252°∴∠ABC+∠ACB=108°，∴∠A＝180°-（∠ABC+∠ACB）=72°．【點睛】本題是三角形綜合題，考查了三角形內(nèi)角和定理、外角的性質(zhì)，角平分線定義等知識；靈活運用三角形的內(nèi)角和定理、外角的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．◎模型八內(nèi)外角角平分線模型【條件】△ABC中，BP、CP分別是△ABC的內(nèi)角和外角的角平分線，且相交于點P.【結(jié)論】【證明】∵BP是∠ABC平分線，∴∵CP是∠ACE平分線，∴由△ABC外角定理可知：∠ACE=∠ABC+∠A即：2∠1=2∠3+∠A……①對①式兩邊同時除以2，得：∠1=∠3+……②又在△BPC中由外角定理可知：∠1=∠3+∠P……③比較②③式子可知：.==.36．（2022·江蘇·江陰市周莊中學(xué)七年級階段練習(xí)）如圖，∠ABC=∠ACB，AD、BD、CD分別平分△ABC的外角∠EAC、內(nèi)角∠ABC、外角∠ACF．以下結(jié)論：①；②∠ACB=2∠ADB；③∠ADC=90°﹣∠ABD；④∠BDC=∠BAC．其中正確的結(jié)論有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】C【分析】利用AD平分∠EAC，推出∠EAD=∠CAD，結(jié)合等腰三角形的性質(zhì)及三角形的外角性質(zhì)判斷①正確；根據(jù)，得到∠ADB=∠DBC，再由BD平分∠ABC，得到∠ABC=2∠DBC，由此判斷②正確；根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯角相等可得∠ADC=∠DCF，再根據(jù)三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和，角平分線的定義整理可得∠ADC=90°﹣∠ABD，判斷出③正確；根據(jù)∠ACF＝2∠DCF，∠ACF＝∠BAC＋∠ABC，∠ABC＝2∠DBC，∠DCF＝∠DBC＋∠BDC，得出∠BAC＝2∠BDC，判斷出④錯誤．【詳解】解：∵AD平分∠EAC，∴∠EAD=∠CAD，∵∠EAC=∠ABC+∠ACB，∠ABC＝∠ACB，∴∠EAD=∠CAD=∠ABC=∠ACB，∴，故①正確；∵，∴∠ADB=∠DBC，∵BD平分∠ABC，∴∠ABC=2∠DBC，∴∠ACB＝2∠ADB，故②正確；∵，∴∠ADC=∠DCF，∵CD是∠ACF的平分線，∴∠ADC=∠ACF=（∠ABC+∠BAC）=（180°﹣∠ACB）=（180°﹣∠ABC）=90°﹣∠ABD故③正確；∵∠ACF＝2∠DCF，∠ACF＝∠BAC＋∠ABC，∠ABC＝2∠DBC，∠DCF＝∠DBC＋∠BDC，∴∠BAC＝2∠BDC，故④錯誤；綜上分析可知，正確的結(jié)論有3個，故C正確．故選：C．【點睛】本題考查了三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和的性質(zhì)，角平分線的定義，三角形的內(nèi)角和定理，平行線的判定與性質(zhì)，熟記各性質(zhì)并綜合分析，理清圖中各角度之間的關(guān)系，是解題的關(guān)鍵．37．（2022·四川宜賓·七年級期末）如圖，BP平分∠ABC交CD于點F，DP平分∠ADC交AB于點E，若∠A＝45°，∠P＝40°，則∠C的度數(shù)為（

）A．30° B．35° C．40° D．45°【答案】B【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，得∠A+∠ADG=∠C+∠GBC，∠A+∠ADE=∠P+∠PBE．根據(jù)角平分線的定義，得到∠GBC=2∠PBE，∠ADG=2∠ADE，進(jìn)而推斷出∠A+∠C=2∠P，從而解決此題．【詳解】解：∵∠A+∠ADG+∠AGD=180°，∠ABC+∠C+∠BGC=180°，∴∠A+∠ADG+∠AGD=∠ABC+∠C+∠BGC，又∵∠AGD=∠BGC，∴∠A+∠ADG=∠C+∠GBC．∴∠A-∠C=∠GBC-∠ADG．同理，∠A+∠ADE=∠P+∠PBE．∴∠A-∠P=∠PBE-∠ADE．∵BP平分∠ABC，DP平分∠ADC，∴∠GBC=2∠PBE，∠ADG=2∠ADE．∴∠A-∠C=2（∠A-∠P）．∴∠A+∠C=2∠P．又∵∠A=45°，∠P=40°，∴∠C=35