高中數(shù)學(xué)：6-2平面向量的數(shù)量積（學(xué)案）

第04講平面向量的數(shù)量積

色目標(biāo)導(dǎo)航

課程標(biāo)準(zhǔn)課標(biāo)解讀

理解平面向量的數(shù)量積、模、夾角、投影通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，要求會利用平面向量的數(shù)量積公式

的意義，會利用向量的數(shù)量積進行求向量及相關(guān)的運算律進行向量的相關(guān)量的求解與運算.掌握

的相關(guān)量的運算，正確理解向量的夾角、兩向量的垂直、共線時平面向量數(shù)量積的特點，理解與

向量的共線與向量數(shù)量積的關(guān)系.能利用向掌握投影的意義，并能準(zhǔn)確判斷向量的數(shù)量積與兩向量

量運算的相關(guān)定律進行平面向量的運算.的夾角的大小關(guān)系.

趣知iR精講

知識點

i.平面向量數(shù)量積的物理背景

物理中的功是一個與力及這個力作用下的物體產(chǎn)生的位移有關(guān)的量，并且這個量是一個

標(biāo)量，即：

如果一個物體在力F的作用下產(chǎn)生位移s,那么力F所做的功W=F?s=|尸|?|s|-cos，，

其中。為力戶與位移s之間的夾角.而力與位移都是矢量，這說明兩個矢量也可以進行運

算.

2.平面向量數(shù)量積的概念

(1)數(shù)量積的概念

已知兩個非零向量方，我們把數(shù)量|a|傳|cos。叫做向量a與。的數(shù)量積(inner

product)(或內(nèi)積)，記作。?b,即Q.b=|a||6|cos。,其中6是a與力的夾角.

我們規(guī)定，零向量與任一向量的數(shù)量積為0.

(2)投影的概念

設(shè)非零向量a與b的夾角是。，貝i]|a|cos(9(|b|cos。)叫做向量。在。方向上(b在a方

向上)的投影(projection).

如圖(1)(2)(3)所示，分別是非零向量0與力的夾角為銳角、鈍角、直角時向量0在6

方向上的投影的情形，其中=|a|cos，，它的意義是，向量a在向量辦方向上的投影長

是向量的長度.

(3)數(shù)量積的幾何意義

由向量投影的定義，我們可以得到的幾何意義：數(shù)量積。,等于4的長度|。|與力

在Q方向上的投

影他|cos6的乘積.

3.平面向量數(shù)量積的性質(zhì)與運算律

(1)平面向量數(shù)量積的性質(zhì)

由向量數(shù)量積的定義，設(shè)a,b都是非零向量，則有：

①a_Lboa-Z>=0；

②a?a=a?=|a『或用|=Jq；

③當(dāng)Q與〃同向時，ab=^a||Z>|；當(dāng)a與方反向時，a-b--\a\\b\；

④cosO=±L,其中。是非零向量a與。的夾角；

|°|聞

⑤|a小MallM，當(dāng)且僅當(dāng)向量a,b共線，即?！r等號成立.

(2)平面向量數(shù)量積的運算律

由于數(shù)量積是完全不同于數(shù)與向量乘法的一種運算，并且這種運算涉及長度、角度等的

運算，因此有如下三條運算律：

已知向量。，及c和實數(shù)X,則

②交換律：ab=ba；

②數(shù)乘結(jié)合律：(々07=4(a-b)=".(力!()；

③分配律：(a+b)-c=a-c+b-c.

(3)兩個結(jié)論

①(a+8)2=a2+2ab+b2=a~+2\a\\b\cos0+b~；

②(a+b)(a-b)=a2-b'.

【微點撥】1.兩向量的夾角要共起點且夾角的范圍為［0,兀］;2.當(dāng)兩非零向量垂直時，向量的

投影是點.

【即學(xué)即練1】已知非零向量孫〃滿足4"|=3||,cos</n,.若〃_L（tm+n）,

則實數(shù)f的值為（）

99

A.4B.-4C.—D.—

44

【答案】B

【解析】由4時=3.卜可設(shè)詞=3Z,|“=4攵（左>0）,又〃_L?〃2+〃），所以

n-（tm+〃）=〃?c°s<m,n>+「（=fX3左X4&X；+（4左）2=4戊2+16A?=0

所以t=T,故選B.

【即學(xué)即練2】已知△ABC是邊長為1的等邊三角形，點分別是邊AB,8。的中點，

連接。石并延長到點尸，使得。石=2石廠，則赤?前的值為（）

51I11

A.B.-C.-D.—

8848

【答案】B

1133

【解析】設(shè)8A=a,BC=h,：.DE--AC^-（b-a）,DF^^DE=^（h-a）,

1353

AF=AD+DF=——a+-（b-a）=--a+-b,：.

2444

53-2531

AFBC=--ab+-b故選B.

44848

【即學(xué)即練3】已知向量a,b滿足⑷=1,aLb,則a-2b在向量”上的投影為（）

A.-1B.1

C.也D.且

77

【答案】B

（a-2bYa1

【解析】設(shè)向量a—2。與a的夾角為仇貝I：cos，=^~-~~不，一2〃在向

|a-2Z?||a|\a-2b\

量。上的投影為：|。一2耳cos8=l.故選B.

【即學(xué)即練4】已知向量a,8的夾角為60。，且時=2,網(wǎng)=1,則與a+2〃的夾角等

于（）

A.150°B.90°

C.60°D.30°

【答案】c

【解析】由題意可得。?b=2xlcos6(T=l,設(shè)向量。一力與a+2b的夾角等于仇V(a-b)

2=a2-^ctb^b2=4-2x1+1=3,(。+26)2=a2+4a-/>4-4^2=4+4x1+4=12,.\\a-b|二6，

\a+2b\=V12=2G,而Qa-b)(a+2b)-a1ab2b2=4+1-2=3,由止匕可得

(a-b).(a+2b)31

“/叫|。+2》廣瓦訪=5再由0。*8。。，可得"6。。，故選C

【即學(xué)即練5］在等腰梯形ABCD中，已知A3OC,A3=2,8C=1,NA8C=60,點E

21

和點尸分別在線段8c和CD上，且BE=-BC,DF=-DC,則AEAF的值為.

36

29

【答案】—

18

【解析】本題考點是平面向量的數(shù)量積及向量的線性運算，

在等腰梯形ABCD中，由AB〃DC,A3=2,BC=1,ZABC=60,

22

所以4￡.4尸=(48+5后卜(40+￡>尸)=(而+［就)］南+：而

2121

=ABAD+-BCAD+—AB+—BCAB

31218

,11129

=1H---1------=--

331818

【即學(xué)即練6】已知不共線的向量a,。，同=2,網(wǎng)=3,a-S—a）=l.

（1）求。與方的夾角的余弦值;

（2）求心一斗

【解析】（1）設(shè)的夾角為，，???eS—a）=L.??4年-/=1，

ab_5_5

又問=2,可得a.b=5,...cosen-2^3-6'

（2）|?-Z>|=-J（a-6）2=\la~-2ab+b2=>/3.

【名師點睛】本題考查利用數(shù)量積求向量的夾角、模的計算，考查基本運算求解能力.求解

八ab

時，（1）先計算出。力=5,再代入公式。。$6=廣而，求出余，弦值；（2）直接利用公式

\a-b\=?a-b)2計算求值.

Q能力拓展

考法01

1.平面向量數(shù)量積的概念及運算律：

已知兩個非零向量。,方，我們把數(shù)量|a||b|cos。叫做向量。與方的數(shù)量積(inner

product)(或內(nèi)積),記作a/,即=|a||6|cos。，其中6是Q與力的夾角

【典例1］下列判斷：

?fl2+b2=0,則a=)=0；

②已知a,b,c是三個非零向量，若a+6=0,則|a?ch|b-c|；

③a,b共線=aI=|a||M；

?\a^b\<ab

(5)a?a-a=|a|3；

⑥非零向量滿足：ab>0,則a與6的夾角為銳角；

⑦若a,6的夾角為6,則IMcos。表示向量分在向量。方向上的投影長.

其中正確的是.

【答案】①②

【解析】由于/NO,從'。，所以若"+"=(),則。=8=0,故①正確；

若a+b=0,貝lja=-6，又a,b,c是三個非零向量，所以a-c=-%-c,所以|a-c|=|6-c|,②

正確；

a,b共線=a/=±|a||)|,所以③錯;

對于④,應(yīng)有|a|S|2a』所以④錯；

對于⑤，應(yīng)該是a-a-a=|aF"，所以⑤錯；

當(dāng)al的夾角為0°時，也有夕方>0,因此⑥錯；

Iblcos。表示向量力在向量。方向上的投影，而非投影長，故⑦錯.綜上可知①②正確.

【名師點睛】對于這類概念、性質(zhì)、運算律的問題的解答，關(guān)鍵是要對相關(guān)知識深刻理解.特

別是那些易與實數(shù)運算相混淆的運算律，如消去律、乘法結(jié)合律等，當(dāng)然還有向量的數(shù)量積

中有關(guān)角的概念以及數(shù)量積的性質(zhì)等.

【典例2】設(shè)〃，b，c是任意的非零向量，且它們相互不共線，給出下列選項，其中正確

的有()

A.a-c-b-c=^a-b^cB.?。與0不垂直

C.|a|-|/?|<|a-/?|

D.(3a+-2b)=9,-4此

【答案】ACD

【分析】A,由平面向量數(shù)量積的運算律可判斷；B,由平面向量垂直的條件、數(shù)量枳的運

算律可判斷；C,由￡與5不共線，可分兩類考慮：①若忖?忖，則卜卜忖<卜-0顯然成立;

②若,>W，由口、忖、1-q構(gòu)成三角形的三邊可進行判斷；D,由平面向量的混合運算

將式子進行展開即可得解.

【詳解】選項A,由平面向量數(shù)量積的運算律，可知A正確；

選項B,［僅①卜a_(c.a)/}c=W.a.c-(cc=(〃.c).(a.，―伍.。).(<?.")=0,

二,與"垂直，即B錯誤；

選項c,?.?“與。不共線，

.?.若卜尼忖，則村一人卜卜-4顯然成立；

由平面向量的就去法則”作出如卜圖形：

由三角形兩邊之差小于第三邊，可得忖-忖<,-可.故C正確；

選項D,(?>a+2b^(?>a-2b^=9a-6ab+6ab-4b=9|?|—4|z?|,即D.正確.

故選：ACD

【點睛】本小題主要考查向量運算，屬于中檔題.

【典例3】已知"=4,忖=8,〃與。的夾角是60,計算：

(1)(2a+6)(2”6)；

(2)\4a-2b\.

【答案】(I)0：(2)16.

【分析】

(1)利用平面向量數(shù)量積的運算性質(zhì)可計算得出(2a+A)?2a-B)的值：

(2)山平面向量數(shù)量積的運算性質(zhì)可計算得出卜a-勸卜2岫叫。的值.

【詳解】

（1）（2Q+〃）.（2Q-/?）=4Q2=4卜4-|/?|=4x42-82=0；

（2）[4〃一叫二2,（2〃一〃）=4a~-4a?b+b=2,41d-4p/|-|fe|cos60+|/?|

=2^4X42-4X4X8X1+82=16.

【典例4】已知“+〃+c=0，且>，|=3,卜|=6,卜|=5,求4力+〃.?+「4的值.

【答案】-35.

【分析】

依題意可得a+8=-c，再根據(jù)平面向量數(shù)量積的運算律可得eb，同理求出幾c，ac即

可得解;

【詳解】

解：因為a+B+c=0，所以a+B=—c，所以(a+b)=(-1)

可得：a'+b+2ab=c'故：?/?=-10-

同理可得5.c=-26，a-c=\<

所以a力+?c+c-a=-35：

【即學(xué)即練7】下面給出的關(guān)系式中正確的個數(shù)是（）

①0.a=0；②（rb=b-a；③/=卜『；@\a-b\<a-b-⑤①方）="，了.

A.1B.2

C.3D.4

【答案】B

【解析】①錯誤，正確的是0-。=0，向量數(shù)乘的結(jié)果還是向量.

②③正確，根據(jù)向量數(shù)量積運算可判斷得出.

④錯誤，U*=kH4|cosq,a，A=UH4cose,故

⑤錯誤，（a?5y=（同?網(wǎng)cos6）~-a~b~cos20^a~b~.

綜上所述，正確的個數(shù)為2,故選B.

【名師點睛】本小題主要考查平面向量數(shù)量積運算，屬于基礎(chǔ)題.求解時，根據(jù)向量數(shù)量積

的運算知識，對五個關(guān)系式逐一分析，由此判斷出正確的個數(shù).

考法02

2.求向量的數(shù)量積、投影、模、夾角

（1）向量的夾角

①定義：已知兩個非零向量a和4如圖所示，作而*則乙4。8=/0”比180。）

叫作向量。與力的夾角，記作<〃，b>.

一

KB

②范圍：夾角6的范圍是［0,180。］.

當(dāng)6=0。時，兩向量a,共線且同向；

當(dāng)6=90。時，兩向量a,b相互垂直，記作。，岳

當(dāng)6=180。時，兩向量a,b共線但反向.

③只有兩個向量的起點重合時所對應(yīng)的角才是兩向量的夾角，如圖所示，NBAC不是

亂與血的夾角，/區(qū)4。才是與通的夾角.

二

B

（2）向量的投影

設(shè)非零向量a與方的夾角是仇則|a|cos。（|b|cos。）叫做向量。在b方向上（b在。

方向上）的投影.如圖（1）（2）（3）所示，分別是非零向量。與b的夾角為銳角、

鈍角、直角時向量。在b方向上的投影的情形，其中O4=|a|cos6,它的意義是，向

量a在向量。方向上的投影長是向量OB|的長度.

【典例5］若W=4,

【答案】8

【分析】

利用數(shù)量積的定義即可求解.

【詳解】

因為忖=4,忖=4,(a").,

則a-0=?4cosW=4x4xg=8,

故答案為：8.

【典例6】已知何=2,忖=4,向量a與向量匕的夾角為120,則向量”在向量匕上的投影

的數(shù)量等于.

【答案】-1

【分析】

根據(jù)向量投影的定義即可求解.

【詳解】

向量.在向量A上的投影的數(shù)量是忖加,力”？、3%。=2xf-lj=-l,

故答案為：-1.

【典例7】己知向=M=1,a與人的夾角大小為弓，則忸-3〃卜.

【答案】M

【分析】

根據(jù)題意，結(jié)合模長公式以及數(shù)量積的運算律，即可求解.

【詳解】

根據(jù)題意，得Ra-3可=J（2a-30=”"+”2-12”力

=j同*+9忖2-12回.W|cos等=J4+9+6=\/\9.

故答案為：719.

【典例8】在43C中，43=2,BC=\,ABBC=i）則N3=.

【答案】寺##

【分析】

根據(jù)題意，結(jié)合數(shù)量積的計算公式，即可求解.

【詳解】

根據(jù)題意，由ABBC=-BABC=-\B^\.|BC|cosNB=1,

/n-1-1I9Jr

得cosNB=^p^[=西二￡，因為“e（O㈤，所以4:

2乃

故答案為：—.

【即學(xué)即練8】

(1)已知單位向量ei,C2的夾角為a,且cosa=§,若向量。=3ei—2e2,貝由。|=.

(2)已知A3-8=15,|。|=5也，則向量在CO方向上的投影為.

(3)若|a|=l,|b|=2,c=a+,則向量。與力的夾角為.

(4)已知|0|=2,傳|=3,。與力的夾角為120。，則(2a-b)?(a+3b)=.

【答案】(1)3；(2)逑；(3)120°：(4)-34.

2

【解析】(1)因為。2=(3e「2c2)2=9-2x3x2xcosa+4=9,所以|a|二3.

(2)因為AB-CO=15,|CO|=5及，所以AB在。。方向上的投影為空空=與=述.

\CD\5V22

(3)由cJ_a,得a?c=0,又c=a+b,所以。?c=a,(a+b)=0,即/+a?=0,設(shè)向量

。與8的夾角為少則cose=￡t=三-=」，所以族120。，即向量。與的夾角為120°.

1。1聞2

(4)(2a-1>)-(a+3b)=2a2+5a-b-3l>2=2jal2+5|aP|cosl200-3|ft|2=8-15-27=-34.

【名師點睛】(1)已知向量4方的模及它們的夾角可求(％a+x/)?(x,a+x/)的數(shù)量積，反

之知道(x.a+x2b)(x3a+x4b)的數(shù)量積及a,b的模則可求。與b的夾角.

(2)求較復(fù)雜的數(shù)量積運算時，可先利用向量數(shù)量積的運算律或相關(guān)公式進行化簡.

考法03

平面向量數(shù)量積的綜合應(yīng)用

【典例9】已知向量a與匕的夾角為。，何=5,忖=4,分別求在下列條件下的°功：

(1)0=120?；

(2)allb\

(3)aA.h-

【答案】

(1)-10

(2)20或-20

(3)0

【分析】

(1)根據(jù)a-b=|dWcos。，代入數(shù)值，即可求出結(jié)果；

(2)因為a〃b，所以。=0°或180。，再根據(jù)a但dMcos。即可求出結(jié)果；

(3)因為。,力，所以8=90。，再根據(jù)小。=忖/cos。即可求出結(jié)果.

(1)

解：因為,1=5,忖=4,0=120?,所以訓(xùn)件0$6?=5、4*(-；)=-10；

(2)

解：因為./〃，所以。=0°或180。，

當(dāng)9=0。時，a-Z>=p/|-|/?|cos0°=5x4xl=20：

當(dāng)6=180°時，<z-/?=|?|-|z>|cosl80°=5x4x(-l)=-20；

所以a/的值為20或-20.

(3)解：因為：_1_力，所以6=90。，所以a力=@Wcos90o=5x4x0=0.

【典例10］在.ABC中，AB=a,BC=b,當(dāng)a/20時，判斷一ABC的形狀.

【答案】直角三角形或鈍角三角形.

【分析】

根據(jù)向量數(shù)量積的定義可得0<(。出)41，即有NABC=W或〈t，由此可得答

案.

【詳解】

解：因為在ABC中，AB=a，BC=b.a.b20，

所以同.W.cos(a,6)20,即cos(a,6)20,又句，所以0<(a,b)4、，即

JT

Q<TT-AABC<-.

2

TTTT

所以乙4BC=—或一<NABC<萬，

22

所以A8c是直角三角形或鈍角三角形.

【典例”】.用向量方法證明：菱形對角線互相垂直.已知四邊形A3C。是菱形，AC,BD

是其對角線.求證：ACLBD.

【答案】證明見解析

【分析】

設(shè)AB=a，A￡)=b，則忖=忖且4。=。+48。=狂。，即可求得AC8D=0，由此即可證明

結(jié)果.

【詳解】

證明：設(shè)AB=a，AD^b-

因為四邊形A8CO為菱形，所以,卜W，

）^AC=AB+AD=a+byBD=AD-AB=b-a

則檢.8。=（4+根人-4）=62-。2=時-同2=0,故ACO

所以AC_L80.

【典例12】【易錯典例】已知△ABC中，|BC|=5,|C4|=8,C=60。，貝IJBC-CA=

【錯解】如圖，因為|BC|=5,|CA|=8,C=60。，

所以?C-C,4=|SC|-|CA|cos600=5x8xcos600=20.

【正解】因為13cl=5,|CA|=8,（BC,C4）=180o-C=120°,

所以8c?C4=|8C|“C4|cos（8C,C4）=5*8xcosl20°=—20.

【錯因分析】錯解的原因在于沒能正確地理解向量夾角的含義，題干中向量BC,CA的起點

不相同，所以它們的夾角并非角C.如上圖所示，其夾角應(yīng)該是角C的補角，即

（8C,C4）=120。.

【誤區(qū)警示】在圖形中求兩個向量的數(shù)量積時，注意依據(jù)圖形特點，分析向量夾角是相應(yīng)線

段所成的角還是該角的補角（以向量共起點為切入點）.

【即學(xué)即練9】若。為.他。所在平面內(nèi)一點,且滿足|08-0口=|。8+。<7-2。4|,則ABC

的形狀為（）

A.等腰直角三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.等邊三角形

【答案】B

【分析】

由平面向量的線性運算，把給定的等式轉(zhuǎn)化為用含ABC的邊的向量等式，再由模的意義即

可得解.

【詳解】

ABC中，|OB-OC|=|OB+OC-2OA|<=>|CB|=|（08-OA）+（OC-OA）\

<=>|AB-AC\=\AB+AC\^（AB-AC）2=（AB+AC）2

2222

048-2ABAC+AC=AB+24BAC+AC<=>4ABAC=0

因A8與AC均為非零向量，則AB_LAC，即NBAC=90,A5C是直角三角形.

故選：B

iii分層提分

題組A基礎(chǔ)過關(guān)練

1.若平面單位向量a,b,c不共線且兩兩所成角相等，則|a+b+c|=()

A.y/3B.3

C.0D.1

【答案】C

【解析】設(shè)向量。，b,C兩兩所成的角為。，則平面不共線向量a,b.C的位置關(guān)系只

有--種,即兩兩所成的角為120，所以6=12().

|a+8+c1=J(a+5+c)-=\la~+B1+c2+2ab+2ac+2bc=j3+6cos6

當(dāng)6=120時，|a+b+c|=(),故選C.

【名師點睛】本題考查了向量數(shù)量積的運算，本題的關(guān)鍵是確定向量兩兩所成的角是120，

意在考查向量數(shù)量積求模的基本知識.求解時，首先判斷向量兩兩所成的角為120，再根據(jù)

\a+b+c\=-^(a+6+c)2計算結(jié)果.

2.若同=3,忖=4,a,6的夾角為135。，則〃/=()

A.-372B.-672C.6應(yīng)D.12

【答案】B

【分析】

利用平面向量數(shù)量積的定義求解.

【詳解】

因為同=3,W=4,且。的夾角為135。，

所以。/=同小卜。5135=3x4x---=-6&,

故選：B

3.若同=3,忖=4,a,6的夾角為135。，則&$=（）

A.-372B.-672C.60D.12

【答案】B

【分析】

利用平面向量數(shù)量積的定義求解.

【詳解】

因為同=3,忖=4,且q,。的夾角為135。，

所以°為=,卜苗（：0$135=3x4x--=-6&,

I2,

故選：B

27r

4.設(shè)單位向量6、e2的夾角為y,4=4+202，ft=2e,-3e2,則入在。方向上的投影

為（）

A.-也B.一6

2

C.也D.正

2

【答案】A

27r1

【解析】依題意得與外=卜k857=-7

|a|=J（C]+2e2）=Jej+4e.+4e〔?e[=>/3，

9

a?b=15+2e,）.（2e1—3e,）=2ej—6e2-+?e,=——,

_9

因此8在。方向上的投影為a?_一5_3由，故選A.

可一耳一三

【名師點睛】本題考查平面向量的投影，考查平面向量數(shù)量積的運算律、定義以及利用平面

向量數(shù)量積求模，解題時，要理解向量有關(guān)的定義，并熟練應(yīng)用向量數(shù)量積的運算律和定義

來解題，考查計算能力，屬于中等題.利用平面向量數(shù)量積的運算律與定義計算出a?萬和同，

ab

可得出B在a方向上的投影為同.

5.已知a、b、C不共線的非零向量，則下列等式中不成立的是（）.

A.|a|2=a2B.（a-b^-c=a-[b-c^

C.=心=4?（助）D.ab=ba

【答案】B

【分析】

向量數(shù)量積不滿足結(jié)合率.

【詳解】

A：cT=a-<i=|a||a|cosO=I?|2,A正確；

B：設(shè),貝lj（agbcJac，

設(shè)匕?，=%,則a?倒?c）=A2a,

因為a與C非零不共線，所以一般情況下4cX4明故B錯誤；

C：向量數(shù)乘的數(shù)量積滿足結(jié)合律，C正確；

D：數(shù)量積滿足交換律，D正確；

故選：B

6.已知平面上三點A、B、C滿足,同=3,|BC|=4,|C4]=5則A8.8C+8C-CA+C4A8的值

等于

A.-25B.-20C.-15D.-10

【答案】A

【分析】通過勾股定理判斷出，利用向量垂直的充要條件求出，利用向量的運算法則及向量的

運算律求出值.

【詳解】由|43|=3,|8）=4,8=5得5=90,所以A3BC=0，

所以A8-BC+BCCA+C4AB=C4-（AB+8C）

2

=ACCA=-AC=-25

故答案為-25.

【點睛】

本題主要考查平面向量的線性運算及平面向量的數(shù)量積，屬于中檔題.數(shù)量積的運算主要注意

兩點：一是向量的平方等于向量模的平方；二是平面向量數(shù)量積公式.

7.如圖所示，已知正六邊形66A巴AE，下列給出的向量的數(shù)量積中最大的是（）

CPA-PAD.他用

【答案】A

【分析】

根據(jù)正六邊形的性質(zhì)及數(shù)量積的定義計算可得:

【詳解】

解：根據(jù)正六邊形的幾何性質(zhì)，可知＜根間.，（P、P“P\P、=g8》P、P）=g

〈福璃專.

能＜0,叫.居=0,牝邛=|叫.網(wǎng)叫cos會細(xì)目，

加.利=|明臼咽.cos?=|明:比較得利.你最大，

故選：A.

8.如圖所示，已知正方體ABCO-AAGR的棱長為1,則做?。產(chǎn)=（）.

【答案】C

【分析】

利用向量的線性運算化簡明?8=。8+期）僅0+曲）展開后利用數(shù)量積的定義即可求

解.

【詳解】

A4GB=（A3+BB）.（C,C+CB）=（AB+BB\（BXB+CB）

=AB-B、B+BB「B］B+ABCB+BB「CB

因為AB_L80,AB_LCB，BBJCB,所以AB-B】B=ABCB=BB「CB=O,

所以A8「GB=0+2B「A8+0+0=-BB：=-,用『=-l,

故選：C.

9.已知非零向量a,6滿足卜卜2忖，且Q,-6）,o,則0與/，的夾角為（）

n-兀-2兀?5兀

A.-B.-C.—D.—

6336

【答案】B

【分析】

本題主要考查利用平面向量數(shù)量積計算向量長度、夾角與垂直問題，滲透了轉(zhuǎn)化與化歸、數(shù)

學(xué)計算等數(shù)學(xué)素養(yǎng).先由（a-勿_L匕得出向量2b的數(shù)量積與其模的關(guān)系，再利用向量夾角

公式即可計算出向量夾角.

【詳解】

a-b_|/?|21

因為（a-所以（a—b）力=〃?/?—//二。,所以￡.〃=片，所以cos，=^M=訴=],

1T

所以a與b的夾角為§，故選B.

【點睛】

對向量夾角的計算，先計算出向量的數(shù)量積及各個向量的摸，在利用向量夾角公式求出夾角

的余弦值，再求出夾角，注意向量夾角范圍為［0,兀］.

10.已知a力均為單位向量，（2〃+力（"26）=-半，則a與6的夾角為（）

A.30°B.45°C.135°D.150°

【答案】A

【分析】

根據(jù)平面向量數(shù)量積運算律，集合平面向量數(shù)量積定義即可求得》與萬的夾角.

【詳解】

由平面向量數(shù)量積運算律化簡可得

,:(2a+b)(a-2b)

2,2

=2a-4ab+ab-2b

2A36

=—3a-b--------

2

.AG

??ab=——?

2

知4力均為單位向量，設(shè)〃與B的夾角為仇則由平面向量數(shù)量積定義可得

n_a,b_G

cos0=in.=—

麗2

XV()°<6?<180o,

。=30。.

故選:A

【點睛】

本題考查了平面向量數(shù)量積的運算律，由平面向量數(shù)量積的定義求夾角，屬于基礎(chǔ)題.

11.若。,6是互相垂直的單位向量且(/la+b)，(a+36),則2=()

A.3B.-3C.1D.-1

【答案】B

【分析】

由(2。+b)_L(a+3b),可得(4a+6)?(a+3b)=0,再求解即可.

【詳解】

解：由a,b是互相垂直的單位向量，

則a?〃=0且M=卜|=1，

又(Xa+b)_L(a+3b),

貝!I(2“+??(a+35)+35+(l+3+)ab=X+3+O=O，

2=-3,

故選：B.

【點睛】本題考查了平面向量的數(shù)量積運算，重點考查了向量垂直的充要條件，屬基礎(chǔ)題.

12.在一A8C中，“A84C>0”是A3C是鈍角三角形”的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】A

【分析】

由得8>90,充分性成立，A8C是鈍角三角形，鈍角不一定是角5,必要性不

成立，即可得答案.

【詳解】

解：設(shè)AB與BC的夾角為。，因為AB-8C>0,即,9?忸4?8$6>>0,所以cos6>0,6?<90-

又。為/WC內(nèi)角8的補角，所以8>90,A8c是鈍角三角形；當(dāng)"C為鈍角三角形時,

B不一定是鈍角.所以“48?8C>0”是“ABC是鈍角三角形”的充分不必要條件.

故選：A.

【點睛】

本題考查充分條件與必要條件的判定，考查向量數(shù)量積的概念，是基礎(chǔ)題.

34

13.平行四邊形ABC￡>中，AB=4,AD=20,NBAD=—,E是線段CO的中點，貝I」

4

AEAC=()

A.0B.2C.4D.40

【答案】C

【分析】根據(jù)條件即可得出AE=4D+；A8,AC=AD+AB^從而得出

AE.AC=(AD+1AB).(AD+AB),然后進行數(shù)量積的運算即可.

【詳解】

13乃

解：如圖，根據(jù)題意：AE=AD+-ABAC=AD+AB?且AB=4,AD=20ZBAD=一,

294

[1O/c

AE>AC=(AD+-AB)>(Ab+AB)=Ab2+-AB+-AB?AD=S+-xl6+-x4x2-j2x(--)=4.

222222

故選：C.

【點睛】本題考查了向量加法的平行四邊形法則，向量加法和數(shù)乘的幾何意義，向量的數(shù)量

積的運算，考查了計算能力，屬于基礎(chǔ)題.

14.已知向量G，/為單位向量，若(出6-02)，(血4+2々)，則向量4,6的夾角大小為

()

兀乃

A.0B.-C.-D.)

42

【答案】C

【分析】

由(及q-e2)J_(夜q+2ej,可得+2?2)=0,利用數(shù)量積公式，化簡整理,

即可得結(jié)果.

【詳解】

設(shè)向量e-02的夾角為a,

由題得(&q-e2)?(0q+2eJ=0,

所以

eee=

{^'\~i]'[^\+2e2^=2e~+2\[2ete2-y/2el-e2-2e^=2+2'j2cosa-42cosa-2

A/2cosa=0，

又。€[0,萬],

所以a=2.故選：C.

2

【點睛】本題考查向量的數(shù)量積的應(yīng)用、求向量的夾角問題，考查分析理解，化簡求值的能

力，屬基礎(chǔ)題.

15.已知向量”，b為平面內(nèi)的單位向量，且4仍=-；,向量C與a+b共線，則l〃+c|的最

小值為()

A.1B.。C.-D.2

242

【答案】D

【分析】根據(jù)向量"與￡+彼共線，由共線定理可知c=f(a+b),從而可將￡+2用向量￡，b

表示,平方后即可求出|。+A的最小值.

【詳解】因為向量c與〃+〃共線，所以存在唯?的實數(shù)f,使得c=/(a+6)，所以

a+c=(t+\)a+tb,

所以(a+c)2=?+1)2〃~+2，。+1)〃2+///,又向量〃，6為平面內(nèi)的單位向量，所以|〃|=1,

1133

|Z?|=1,乂a，b=一一,所以(a+c)2=?+1)2-/?+1)+/=產(chǎn)+，+1=。+一)2十一之一，

2244

所以|a+c但也，所以|a+c|的最小值為正.故選：D

22

【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題主要考查共線定理的應(yīng)用及平面向量數(shù)量積，關(guān)鍵是根據(jù)共線，

利用共線定理將2用向量工，B表示，再通過平方轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)最值問題.

題組B能力提升練

1.。為平面上的定點，A,B,C是平面上不共線的三點，若(O8-OC)(O8+OC-2OA)=0,

則AAfiC是()

A.以AB為底面的等腰三角形

B.以BC為底面的等腰三角形

C.以AB為斜邊的直角三角形

D.以BC為斜邊的直角三角形

【答案】B

【詳解】

試題分析：根據(jù)題意，涉及了向量的加減法運算，以及數(shù)量積運算.

因此可知OB+OC-2OA=(OB-OA)+(OC-OA)=A8+AC

OB-OC=CB>所以(O8+OC-2OA〉(。8-。0=0可知為

(Iff+JC)CS=(J5+JC)(AB-JC)=O

故有|A8|=|AC|,因此可知b=c,說明了是一個以BC為底邊的等腰三角形，故選B.

考點：本試題主要考查了向量的數(shù)量積的運用.

點評：解決該試題的關(guān)鍵是利用向量的加減法靈活的變形，得到長度b=c,然后分析得到形

狀，注意多個變量，向一組基向量的變形技巧，屬于中檔題.

TT

2.已知a、b、e是平面向量，e是單位向量.若非零向量a與e的夾角為彳，向量。滿足

b2-4e-b+3=0,則|。-耳的最小值是()

A.73-1B.G+lC.2D.2-V3

【答案】A

【分析】

先確定向量a、b所表示的點的軌跡，一個為直線，一個為圓，再根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系

求最小值.

【詳解】

111

設(shè)a=(x,y),e=(l,O),b=(w),

由0-46力+3=0得加~+獷-4"?+3=0,(/九一2)+n~=1,

因此，卜』的最小值為圓心(2,0)到直線y=±6r的距離竿=6減去半徑1,為G-1.選

A.

【點睛】

以向量為載體求相關(guān)變量的取值范圍，是向量與函數(shù)、不等式、三角函數(shù)、曲線方程等相結(jié)

合的一類綜合問題.通過向量的坐標(biāo)運算，將問題轉(zhuǎn)化為解方程、解不等式、求函數(shù)值域或

直線與曲線的位置關(guān)系，是解決這類問題的一般方法.

3.已知問=2忸,0,且關(guān)于X的方程/+|小+。心=0有實根，則4與。的夾角的取值范圍

是()

c兀7171271

A.0,-B.C.——71D.

63"[33丁

【答案】B

【分析】

根據(jù)方程有實根得到A=|a「—平帆cosGNO,利用向量模長關(guān)系可求得COS64：,根據(jù)向

量夾角所處的范圍可求得結(jié)果.

【詳解】

關(guān)于工的方程/+同工+〃./?=。有實根「.△=同2-4a?8之0

設(shè)d與匕的夾角為e,則同2_4同Wcos^>0

又回=2忖00「.2W—4忖cos6之0cos8K；

乂0e[O,7r]:.0&—,7t

本題正確選項：B

【點睛】

本題考查向量夾角的求解問題，關(guān)鍵是能夠利用方程有實根得到關(guān)于夾角余弦值的取值范

圍，從而根據(jù)向量夾角范圍得到結(jié)果.

utilULUUUUUUIU

4.在-ABC中，/-A=90°,AB=1,AC=2,設(shè)點P,Q滿足4P=4AB，AQ—(1—A)AC>

AeR.若BQ-CP=-2,貝lj/l=()

124

A.—B.—C.—D.2

333

【答案】B

【分析】

用匕,c表示BQ,CP后可用2表示BQ?CP,從而可求A的值.

【詳解】

如圖，設(shè)A5=b,AC=c,則W=l，H=2,b-c=0,

人BQ=BA4-AQ=-h+(\—A)c,CP=CA4-AP=—c4-Ah?

BQ?CP=[-b+(1-2)c]-(-c+Ab)=(2-l)|c|-A忖二4(A-1)-2=-2,

2

即34=2,2=§,

【點睛】

本題考查向量數(shù)量積的計算，一般有定義法、基底向量法、坐標(biāo)法等，注意根據(jù)題設(shè)條件的

特征選擇合適的方法來計算，本題屬于中檔題.

5.（多選）在RtzXABC中，8。為斜邊AC上的高，下列結(jié)論中正確的是（）

A.\AB^=AB-AC

B.\BC^=CB-AC

c.|AC1=AB-B。

D.