第5講集合與集合間的關(guān)系

第5講集合與集合間的關(guān)系【考點分析】考點一：子集的概念如果集合A中的任意一個元素都是集合B中的元素，就稱集合A是集合B的子集，記作A?B(或B?A)用圖形表示為考點二：真子集的概念如果集合A?B，但存在元素x∈B，且x?A，就稱集合A是集合B的真子集，記作用圖形表示為考點三：集合相等的概念如果集合A的任何一個元素都是集合B的元素，同時集合B的任何一個元素都是集合A的元素，那么集合A與集合B相等，記作A＝B考點四：子集的性質(zhì)①任何一個集合是它本身的子集，即A?A.②對于集合A，B，C，如果A?B，且B?C，那么A?C.考點五：空集的概念定義：不含任何元素的集合叫做空集，記為?.規(guī)定：空集是任何集合的子集．考點一：簡單集合間關(guān)系的判斷【精選例題】【例1】設(shè)集合，則下列關(guān)系中正確的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】將集合化簡，即可由集合間的關(guān)系求解.【詳解】由，所以，故選：B【例2】已知集合，下列式子錯誤的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】求出集合A，即可依次判斷.對A：利用元素與集合關(guān)系判斷；對B：“”表示元素與集合之間的關(guān)系；對C：是任何集合的子集；對D：判斷與是否為包含關(guān)系.【詳解】，.與是兩個集合，不能用“”表示它們之間的關(guān)系，故B錯誤.故選：B【例3】已知集合和，那么（）A．B．C．D．【答案】C【詳解】由，得到，所以，又，所以，故選：C.【例4】集合與之間的關(guān)系為（）A． B． C． D．不確定【答案】C【詳解】由于集合，中的元素均為的整數(shù)倍，且、（、）都可表示出所有的奇數(shù)，因此．故選：C．【例5】已知集合，，，若，，則A． B． C． D．以上都不對【答案】B【詳解】由題知，是非負(fù)偶數(shù)集，是非負(fù)奇數(shù)集，是由4的倍數(shù)加1構(gòu)成的非負(fù)集合；又，，是奇數(shù)；故，，與的關(guān)系不確定.故選：B.【例6】已知集合，，則下列關(guān)系正確的是（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】若，解可得，或或，所以.若，則，所以，所以.故選：B.【跟蹤練習(xí)】1.下列集合關(guān)系中錯誤的是（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】對于A：集合為點集，含有元素，集合含有兩個元素，，所以不包含于，故A錯誤；對于B：，故B正確；對于C：，故C正確；對于D：因為，所以，故D正確；故選：A2.設(shè)集合，，則（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】解：集合，則，x是6的倍數(shù)，且為正整數(shù)，可知x必是3的倍數(shù)，即，所以，則，又，所以.故選：C．3.已知，，則集合A與集合B之間的關(guān)系為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】由集合間的基本關(guān)系判斷即可.【詳解】，，因為，所以為奇數(shù)，所以?.故選：B．4.下列表述錯誤的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)集合與集合的關(guān)系確定正確答案.【詳解】A選項，空集是任何集合的子集，A選項正確；B選項，任何一個集合都是它本身的子集，B選項正確；C選項，是實數(shù)，，C選項正確；D選項，是一個只有一個元素的集合，不是空集，不正確.故選：D5.已知集合，則下列選項中說法不正確的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】確定A的元素，根據(jù)元素和集合的關(guān)系以及集合間的關(guān)系判斷各選項，即得答案.【詳解】由題意知集合，即,故，正確；，錯誤；，正確；由于A中元素，故，正確，故選：B6.已知集合，.則集合M，P之間的關(guān)系為（

）A．M=P B． C． D．【答案】B【分析】化簡集合，根據(jù)集合的關(guān)系即得.【詳解】因為，，所以.故選：B.考點二：集合之間的關(guān)系注意：空集的基本概念，空集是任何集合的子集【精選例題】【例1】下列各式中：①；②；③；④；⑤；⑥.正確的個數(shù)是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【詳解】①集合之間只有包含、被包含關(guān)系，故錯誤；②兩集合中元素完全相同，它們?yōu)橥患?，則，正確；③空集是任意集合的子集，故，正確；④空集沒有任何元素，故，錯誤；⑤兩個集合所研究的對象不同，故為不同集合，錯誤；⑥元素與集合之間只有屬于、不屬于關(guān)系，故錯誤；∴②③正確.故選：B.【例2】（多選題）下列關(guān)系中正確的是（

）A．B．C．D．【答案】BCD【詳解】選項A：空集中沒有元素，故A錯誤；選項B：中只有一個元素，故B正確；選項C，D：空集是任意集合的子集，故C，D正確故選：BCD【跟蹤練習(xí)】1.有下列關(guān)系式：①；②；③；④；⑤；⑥.其中不正確的是（

）A．①③④ B．②④⑤ C．②⑤⑥ D．③④【答案】D【詳解】對①：因為集合元素具有無序性，顯然①正確；對②：因為集合，故正確，即②正確；對③：空集是一個集合，而集合是以為元素的一個集合，因此，故③不正確；對④：是一個集合，僅有一個元素0，但是空集不含任何元素，于是，故④不正確；對⑤：由④可知，非空，于是有，因此⑤正確；對⑥：顯然成立，因此⑥正確．綜上，本題不正確的有③④，故選：D2.以下六個寫法中：①；②；③；④；⑤；正確的個數(shù)有（

）A．個 B．個 C．個 D．個【答案】B【詳解】對于①：是集合與集合的關(guān)系，應(yīng)該是，①不對；對于②：空集是任何集合的子集，，②對；對于③：是一個集合，是集合與集合的關(guān)系，，③不對；對于④：根據(jù)集合的無序性可知，④對；對于⑤：是空集，表示沒有任何元素，應(yīng)該是，⑤不對；正確的是：②④．故選：B．3.對于集合，下列說法錯誤的是（

）A．B．C．D．【答案】B【詳解】對于A：因為自然數(shù)集是整數(shù)集的子集，故A正確；對于B：因為是自然數(shù)集，是由整數(shù)點構(gòu)成的集合，故B錯誤；對于C：因為空集是任何非空集合的真子集，故C正確；對于D：因為0屬于自然數(shù)，故D正確；故選：B4.已知集合M?{2，3，5}，且M中至少有一個奇數(shù)，則這樣的集合M共有（）A．5個B．6個C．7個D．8個【答案】B【詳解】若M有一個元素，則；若M有兩個元素，則；若M有三個元素，則∴滿足題意的集合M的個數(shù)為6個.故選：B.考點三：集合的子集、真子集①若集合中有個元素，則它的子集的個數(shù)為個，真子集的個數(shù)為個②空集是任何集合的子集【精選例題】【例1】已知集合，則集合的真子集個數(shù)為（

）A．8 B．7 C．6 D．5【答案】B【分析】先求出集合中包含的元素個數(shù)，再求真子集個數(shù).【詳解】集合，所以集合的真子集個數(shù)為：.故選：B.【例2】若2730能被不同的偶數(shù)整除，則這樣的偶數(shù)個數(shù)有（

）．A．14 B．15 C．16 D．17【答案】C【詳解】因為，所以這樣的偶數(shù)個數(shù)即為集合的子集的個數(shù)，共有個.故選：C.【例3】（多選題）下列說法正確的是（）A．空集沒有子集B．C．D．非空集合都有真子集【答案】BD【詳解】對于選項A，因為空集是任何集合的子集，所以空集也是它自身的子集，所以選項A錯誤；對于選項B，由，得到或，所以，所以選項B正確；對于選項C，因為，，所以，所以選項C錯誤；對于選項D，因為空集是任何非空集合的真子集，所以選項D正確.故選：BD【例4】已知集合A={x|x2?3x+2=0，x∈R}，B={x|0<x<6，x∈N}，則滿足條件A?C?B A．3 B．4 C．8 D．16【答案】C【詳解】由A?C?B，則集合C中必有元素1,2，而元素3,4,5可以沒有，可以有1個，或2個，或3個.即滿足條件的集合C為：1,2，1,2，3，1,2，4，，，，，共8個故選：C【例5】已知集合滿足，那么這樣的集合的個數(shù)為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【詳解】∵，∴要確定集合M,只需確定1和4是否放置在其中，共有4種情況，，故選：D【例6】已知集合，對它的非空子集，可將中的每一個元素都乘以再求和（如，可求得和為：，則對的所有非空子集執(zhí)行上述求和操作，則這些和的總和是________.【答案】【解析】首先確定每個元素在集合的所有非空子集中分別出現(xiàn)個，在求和.【詳解】因為集合，那么每個元素在集合的所有非空子集中分別出現(xiàn)個，則對的所有非空子集中元素執(zhí)行乘以，再求和操作，則這些和的總和是故答案為：【跟蹤訓(xùn)練】1．已知集合，且滿足，則集合A的子集個數(shù)是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【分析】根據(jù)給定條件求出a值，進而求出集合A即可得解.【詳解】因為集合，，所以，解得，因此，，則A的子集有(個).故選：D.2．已知集合，，則集合的子集個數(shù)為（

）A．2 B．4 C．8 D．16【答案】B【詳解】由解得或，所以，有兩個元素，所以的子集個數(shù)為.故選：B3．已知則集合的子集的個數(shù)是（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】解：因為，所以，又，所以，所以集合，所以集合的子集個數(shù)為個．故選：B．4.（多選題）下列說法正確的有（

）A．集合有16個真子集 B．對于任意集合A，C．任何集合都有子集，但不一定有真子集 D．若，則【答案】BCD【詳解】集合有4個元素，故其有個真子集，故A錯誤；空集是任何集合的子集，則，故B正確；空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，故C正確；空集是任何非空集合的真子集，若，則，故D正確.故選：BCD.5.滿足條件的集合的個數(shù)是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【詳解】因為，所以集合的個數(shù)即為的子集個數(shù)為，所以滿足條件的集合的個數(shù)是4.故選:D.6．已知集合，，則滿足條件的集合C的個數(shù)為________，滿足條件B的集合C的個數(shù)為________．【答案】43【詳解】解：，解得或，則，由，可得，滿足條件的集合為或或或，共4個，滿足條件B的集合為或或，共3個，故答案為：4；3．7.已知一個有四個數(shù)字元素的集合，的所有子集的元素和（空集的元素和認(rèn)為是零）的總和等于，則的元素之和等于（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】設(shè)，列舉出所有的子集，可知所有子集的元素和為，由此可求得的值.【詳解】設(shè)，則的所有子集為：，，，，，，，，，，，，，，，，共個；則的所有子集的元素和的總和為，的元素之和為.故選：D.考點四：兩個集合相等問題兩個集合相等是指兩個集合中元素相等，但元素順序可以不同【精選例題】【例1】已知集合，則（）A． B． C． D．【答案】C【詳解】因為集合，集合，所以集合與集合都是奇數(shù)集，所以，故選：C.【例2】已知集合，，若，則（

）A． B．0 C．1 D．2【答案】A【詳解】由題意可知，兩集合元素全部相等，得到或，又根據(jù)集合互異性，可知，解得(舍)，和(舍)，所以，，則，故選：A【例3】（多選題）下面說法中，正確的為（

）A．B．C．D．【答案】ACD【詳解】解：方程中x的取值范圍為R，所以，同理，所以A正確；表示直線上點的集合，而，所以，所以B錯誤；集合，都表示大于2的實數(shù)構(gòu)成的集合，所以C正確；由于集合的元素具有無序性，所以，所以D正確．故選：ACD【例4】若，則的值為（）A． B．3 C． D．7【答案】C【詳解】因為，所以，解得，所以.故選：C.【例5】（多選題）下列各組中表示相同集合的是（

）A．B．C．D．【答案】ABC【詳解】對于A，集合M，P含有的元素相同，只是順序不同，由于集合的元素具有無序性，因此它們是相同集合，A是；對于B，因為，則，因此集合M，P都表示所有偶數(shù)組成的集合，B是；對于C，，即，C是；對于D，因為集合M的元素是實數(shù)，集合P中元素是有序?qū)崝?shù)對，因此集合M，P是不同集合，D不是.故選：ABC【跟蹤練習(xí)】1.已知集合，，（a，），若A=B，則a+2b=（） A．?2 B．2 C．?1 D．1【答案】D【詳解】∵集合，，且A=B，∴a+b=1?b,ab=1，或a+b=1,先考慮a+b=1?b,ab=1，解得a=b=13，此時，再考慮a+b=1,ab=1?b，解得，此時，B=0,0,1故選：D2.下列各組兩個集合和表示同一集合的是（

）A． B．C． D．【答案】C【詳解】解：A選項中集合中的元素為無理數(shù)，而中的元素為有理數(shù)，故；B選項中集合中的元素為實數(shù)，而中的元素為有序數(shù)對，故；C選項中因為，則集合，故；D選項中集合中的元素為0，1，而中的元素為1，故．故選：C．3.（多選題）下列選項中的兩個集合相等的是（）A．，B．，C．，D．，【答案】AC【詳解】對于A，，，所以P和Q都只含有兩個元素1，2，所以；故A正確；對于B，，而，所以；故B錯誤；對于C，，，所以；故C正確；對于D，集合P是數(shù)集，而集合Q是點集，所以．故選：AC．4.下列選項中兩個集合相等的是（

）A．B．C．D．【答案】ACD【詳解】A.因為，故兩個集合相等；B.因為的元素是，的元素為0，故兩個集合不相等；C.因為且，故兩個集合相等；D.，故兩個集合相等；故選：ACD5.下列說法正確的是（

）A．任何集合都是它自身的真子集B．集合共有4個子集C．集合D．集合【答案】BC【詳解】對A，空集不是它自身的真子集，故A錯誤；對B，因為集合中有2個元素，所以有個子集，故B正確；對C，因為兩個集合中的元素均為被3除余1的所有整數(shù)，所以兩個集合相等，故C正確；對D，因為，當(dāng)時，，所以，但，故兩個集合不相等，故D錯誤.故選：BC.考點五：簡單集合之間的關(guān)系求參數(shù)注意：解決此類問題一定要考慮空集【精選例題】【例1】（2023新高考1卷真題）設(shè)集合，，若，則（

）．A．2 B．1 C． D．【答案】B【分析】根據(jù)包含關(guān)系分和兩種情況討論，運算求解即可.【詳解】因為，則有：若，解得，此時，，不符合題意；若，解得，此時，，符合題意；綜上所述：.故選：B.【例2】已知集合，，則使成立的實數(shù)a的取值范圍是_____．【答案】【詳解】因為，所以，解得，故實數(shù)a的取值范圍是.故答案為：【例3】已知，，若，則實數(shù)取值的集合為（） A． B． C． D．【答案】A【詳解】因為，又，當(dāng)時，方程無解，則，此時滿足；當(dāng)時，，此時，為使，只需或，解得或，綜上，實數(shù)取值的集合為.故選：A.【例4】已知.(1)若，求a的值；(2)若，求實數(shù)a的取值范圍.【答案】(1)；(2)或或.【詳解】（1）由方程，解得或，所以，又，，所以，即方程的兩根為或，利用韋達定理得到：，即；（2）由已知得，又，所以時，則，即，解得或；當(dāng)時，若B中僅有一個元素，則，即，解得，當(dāng)時，，滿足條件；當(dāng)時，，不滿足條件；若B中有兩個元素，則，利用韋達定理得到，，解得，滿足條件.綜上，實數(shù)a的取值范圍是或或.【例5】已知為實數(shù)，，．(1)當(dāng)時，求的取值集合；(2)當(dāng)時，求的取值集合.【答案】(1)；(2)【詳解】（1）解：因為，所以當(dāng)時，，當(dāng)時，．又，所以，此時，滿足．所以當(dāng)時，的取值集合為．（2）解：當(dāng)時，，不成立；當(dāng)時，，，成立；當(dāng)且時，，，由，得，所以．綜上，的取值集合為．【跟蹤練習(xí)】1.集合，，若，則由實數(shù)組成的集合為____【答案】.【詳解】集合，，且，或或，．則實數(shù)組成的集合為.故答案為：.2.已知，，，則范圍____________.【