第五章定積分及應(yīng)用

第五章定積分及其應(yīng)用目錄本章主要內(nèi)容：定積分的概念與性質(zhì)微積分基本定理定積分的換元與分部積分法廣義積分定積分的幾何應(yīng)用5-1

定積分的概念與性質(zhì)引例曲邊梯形的面積？變速直線運(yùn)動的路程？5-1

定積分的概念與性質(zhì)5.1.2

定積分的定義定義

5.1

設(shè)

f

(

x)

在[a,

b]

上有界，在[a,

b]

中任取若干個分點(diǎn)a

=

x0

<

x1

<

x2

< <

xn

-1

<

xn

=

b把區(qū)間[a,b]分割成n

個小區(qū)間[

x0

,

x1

]

，[

x1

,

x2

]

，，[

xn

-1

,

xn

]

，各小區(qū)間的長度依次為Dx1

=

x1

-

x0

,

Dx2

=

x2

-

x1

,在每個小區(qū)間[xi

-1

,xi

]上任取一點(diǎn)xi

(xi

-1

￡

xi

￡

xi

),f

(xi

)Dxi

(i

=1,2,,n)，并作和式,

Dxn

=

xn

-

xn

-1

．作函數(shù)值f

(xi

)與小區(qū)間長度Dxi

的乘積n

f

(xi

)Dxi

，i

=15-1

定積分的概念與性質(zhì)1￡i￡n5.1.2

定積分的定義記l

=max{Dxi}，如果不論對[a,b]怎樣分法，也不論在小區(qū)間[xi-1,xi

]上點(diǎn)xi

怎樣取法，只要當(dāng)l

fi

0時，和式的極限存在，我們就稱函數(shù)f

(x)在閉區(qū)間[a,b]上可積，并且稱此極限值為函數(shù)f

(x)在[a,b]上的的定ba積分，記作

f

(x)dx

，即nbiia

lfi

0

i=1f

(x)dx

=lim

f

(x

)Dx

，其中f

(x)叫做被積函數(shù)，f

(x)dx叫做被積表達(dá)式，x叫做積分變量，[a,b]叫做積分區(qū)間，a叫做積分下限，b

叫做積分上限．5-1

定積分的概念與性質(zhì)5.1.2

定積分的定義根據(jù)定積分的定義，上述兩個引例均可用定積分表示．曲邊梯形面積為baA

=

f

(x)dx

．變速直線運(yùn)動的路程為baS

=

v(t)dt

．5-1

定積分的概念與性質(zhì)5.1.2

定積分的定義關(guān)于定積分的定義，有如下說明：nlfi

0

i=1（1）和式極限lim

f

(xi

)Dxi

存在與否與[a,b]的分法和xi

的取法無關(guān)，只與函數(shù)f

(x)和閉區(qū)間[a,b]有關(guān)，因此，積分變量用什么字母不影響定積分的值，即bbbaaaf

(x)dx

=

f

(t)dt

=

f

(u)du

.（2）若a

>b

或a

=b

，定義補(bǔ)充如下：baa

bf

(x)dx

=

-

aaf

(x)dx

，

f

(x)dx

=

0

．（3）定積分的存在性：閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)一定是可積的．5-1

定積分的概念與性質(zhì)5.1.3

定積分的幾何意義ba在區(qū)間[a,b]

上，當(dāng)

f

(x)

?

0時，定積分

f

(x)dx

表示引例中曲邊梯形

AabB

的面積；在區(qū)間[a,b]上，若f

(x)￡

0，如圖，則f

(x)dx

=

-A

，baba即此時定積分

f

(x)dx

表示由曲線

y

=

f

(x)

，

x

軸及兩條直線

x=a與x=b所圍成的圖形的面積的相反數(shù)Ay=f(x)axyOAb5-1

定積分的概念與性質(zhì)5.1.3

定積分的幾何意義若f

(x)在區(qū)間[a,b]上有正有負(fù)時，如圖,則f

(x)dx

=

A1

-

A2

+

A3baba即定積分

f

(x)dx

表示介于

x

軸、曲線y

=

f

(x)及兩條直線x=a

與x=b

之間的各部分面積的代數(shù)和．定積分f

(x)dx

表示由x

軸、曲線y

=f

(x)及兩條直線x=a與x=b

圍成的圖形面積．baxyOy=f(x)b+A12A3A+a5-1

定積分的概念與性質(zhì)5.1.3

定積分的幾何意義2

2

2例

利用定積分表示函數(shù)

y

=

cos

x

在區(qū)間[

p,

2p]

上與

x

軸所圍圖形面積

A,

見圖，當(dāng)

x

?

[

p,

3p]

時，

cos

x

￡

0

，13pp2A

=-

2

cos

xdx2當(dāng)x

?

[3p

,2p]時，cos

x

?0

，222p3pA

=

cos

xdx

；故223p2p1

2

pA

=

A

+

A

=

-

2

cos

xdx

+

3p

cos

xdx

．也可表示為22pcos

x

dx

．A

=pxyo2pp25-1

定積分的概念與性質(zhì)5.1.4

定積分的性質(zhì)性質(zhì)

1

函數(shù)的和（差）的定積分等于它們的定積分的和（差），即bb

baaa[

f

(x)

–

g(x)]dx

=

f

(x)dx

–

g(x)dx

．性質(zhì)

2

被積函數(shù)的常數(shù)因子可以提到定積分符號外面，即b

baak

f

(x)

dx

=

k f

(x)

dx．性質(zhì)3（積分對區(qū)間的可加性）

對于任意三個實(shí)數(shù)a,b,c

，總有b

c

baacf

(x)dx

=

f

(x)dx

+

f

(x)dx

．5-1

定積分的概念與性質(zhì)5.1.4

定積分的性質(zhì)性質(zhì)

4

如果在區(qū)間[a,

b]

上

f

(

x)

”

1

，那么b

baa1dx

=

dx

=b-

a

．性質(zhì)

5

如果在區(qū)間[a,

b]

上有

f

(

x)

￡

g

(

x)

，那么b

baaf

(

x)dx

￡

g

(

x)dx

．推論

1

如果在區(qū)間[a,

b]

上有

f

(

x)

?

0

，那么)f

(

x)dx

?

0

(a

<

b

．ba推論

2

|bbaaf

(

x)dx

|￡

|

f

(

x)

|dx

（

a

<

b

）．5-1

定積分的概念與性質(zhì)5.1.4

定積分的性質(zhì)性質(zhì)6（估值定理）

設(shè)M

及m

分別是函數(shù)f

(x)在區(qū)間[a,b]上的最大值及最小值，則m

(b

-

a)

￡f

(x)dx

￡

M

(b

-

a)

．ba如圖所示，該性質(zhì)的幾何解釋是：曲線y

=f

(x

在區(qū)間[a,b]上的曲邊梯形面積介于以區(qū)間[a,b]長度為底，分別以m

和M

為高的兩個矩形面積之間．y=

f

(x)yab

xmMOBA5-1

定積分的概念與性質(zhì)5.1.4

定積分的性質(zhì)性質(zhì)7（積分中值定理）如果函數(shù)f

(x)在[a,b]上連續(xù)，那么在區(qū)間[a,b]上至少存在一點(diǎn)x

，使baf

(x)dx=

f

(x)(b

-

a)

．如圖所示，該性質(zhì)的幾何解釋是：一條連續(xù)曲線y

=f

(x)在區(qū)間[a,b]上的曲邊梯形面積等于以區(qū)間[a,b]長度為底，[a,b]中一點(diǎn)x

的函數(shù)值f

(x)為高的矩形面積，即有

1

b

-

af

(x)

=f

(x)dx

，ba也稱為函數(shù)f

(x)在[a,b]上的積分平均值．yO

ay=f(x)b

xf(x)x5-2

微積分基本定理1.

變上限定積分定義

5.2

已知函數(shù)

f

(x)在區(qū)間[a,b]上可積，設(shè)有任意一點(diǎn)

x

?

a,

b

，則

f

(t在a,xxa上也可積，定積分

f

(t)dt

稱為變上限定積分，記為F

(x

，即f

(t

)dt

，

(x

?

[a,

b]

．F

(

x)

=xa也稱之為變上限函數(shù)5-2

微積分基本定理定理

5.1

微積分基本定理

若函數(shù)

f

(x)

在區(qū)間

[a,

b]上連續(xù)，

則變上限函數(shù)F

(x)

=f

(t)dt

在[a,b]上可導(dǎo)，且其導(dǎo)數(shù)是xa(

)F

￠(

x)

==

f

(

x)

(x

?

[a,

b]

．xaxf

(t

)dt￠5-2

微積分基本定理1x2例

設(shè)F

(x)

=

a

1+

t3

dt

，求dxdF

(x)．2

2x2解

該變上限定積分的上限是

x

，即是

x

的函數(shù)，若設(shè)u

=

x

，則函數(shù)

a311+

tdt

可看成是由函數(shù)1uadt1+

t

3和函數(shù)u

=x2

復(fù)合而成．因此，根據(jù)復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則及變上限定積分的導(dǎo)數(shù)，得x23d

dxadt

=1+

tdxuadt1 d

1

du

du

1+

t

3(x2

)￠=1=1+

u3131+

(x2

)2x

=1+

x62x．由此可見，若函數(shù)j

(x)可微，函數(shù)f

(x)連續(xù)時，則(

)(

)

d

dxaj

(

x

)f

(t

)dt

=

f

j

(

x)

j

￠(

x)

．5-2

微積分基本定理2.

牛頓－萊布尼茲公式(微積分基本公式)定理

5.2

設(shè)函數(shù)

f

(x)

在區(qū)間[a,b]上連續(xù)，函數(shù)F

(x)

為

f

(x)

在區(qū)間[a,b]上的一個原函數(shù)，ba則

f

(

x)dx

=

F

(b)

-

F

(a)

．5-3定積分的換元與分部積分法5.3.1

定積分的換元積分法定理5.3設(shè)函數(shù)f

(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)，令x

=j(t)，如果j(t)在區(qū)間[a,b]上是單值的且有連續(xù)導(dǎo)數(shù)；j(a)=a

，j(b)=b

，且當(dāng)t

在區(qū)間[a,b]上變化時，x

=j(t)的值在[a,b]上變化，則有ab

baf

(x)dx

=

f

[(j(t)]j￠(t)dt

．上式稱為定積分的換元公式．5-3定積分的換元與分部積分法5.3.1

定積分的換元積分法例

計(jì)算定積分401dx

．1+

x解

令

x

=

t

，

x

=

t

2

，則dx

=

2tdt

，x

0

4t

0

2，所以4

1

0

1+

xdx

=2

2t

0

1+

tdt

=20dt2(t

+1)

-

21+

t220

1

=

2dt-

20

1+

t2020d(1+

t)

=

2t-

2

ln(1+t

)=

4

-

2

ln

3．可以看出，應(yīng)用換元法計(jì)算定積分時要注意兩點(diǎn)：（1）把原來的變量x

代換成新變量t

時，積分的上下限也要換成新變量t

的積分上下限;（2）求出一個原函數(shù)j(t)后，不必像計(jì)算不定積分那樣，再把j(t)變換成原變量x

的函數(shù)，只需直接求出j(t)在新變量t

的積分區(qū)間上的增量即可．5-3定積分的換元與分部積分法5.3.2

定積分的換元積分法設(shè)函數(shù)u

=u(x)，v

=v(x)在區(qū)間[a,b]上有連續(xù)的導(dǎo)數(shù)，則ab

bbauv￠dx

=

uv

-

vu￠dxa

，或(

)b

bbaaaudv

=

uv-

vdu．用上式求定積分的方法稱為定積分的分部積分法．定積分的分部積分法與不定積分的分部積分法有相似的公式，只是每一項(xiàng)帶有積分限．5-4

廣義積分5.4.1

無窮區(qū)間的廣義積分定義5.3設(shè)函數(shù)

f

(

)

)x

在無窮區(qū)間a,+￥(

)babfi

+￥上連續(xù)，若極限

lim

f x

dx

存在，則稱此極限值為函數(shù)

f

(x)在無窮區(qū)間a,+￥)上的廣義積分，記作f

(x)dx，即a+￥(

)(

)baa

bfi

+￥+￥f x

dx

=

lim

f x

dx，此時也稱廣義積分(

)a+￥a+￥f x

dx

存在或收斂．否則稱廣義積分

f(x)dx

不存在或發(fā)散．類似地，可以定義f

(x)在區(qū)間(-￥,b]上的廣義積分，即bbafi

-￥

af

(x)dx

=

lim

f

(x)dx

．-￥5-4

廣義積分5.4.1

無窮區(qū)間的廣義積分定義

5.4

函數(shù)

f

(x)在(-

￥,+￥

)上的廣義積分定義為f

(x

)dx

，cc+￥+￥-￥-￥f

(x

)dx

=

f

(x

)dx

+

它收斂的充要條件是(

)f x

dxc-￥與f

(x

)dx

都收斂（

c

為任意常數(shù)，通常取c

=0

）．c+￥5-4

廣義積分5.4.1

無窮區(qū)間的廣義積分若F

(x

是f

(x

的一個原函數(shù)，并記xfi

+￥F

(+￥

=

lim

F

(x

，

Fxfi

-￥-￥

=

lim

F x

，則定義3，4

中的廣義積分可表示為+￥+￥f

(x

)dx

=

F

(x

)

=

F

(+￥

)-

F

(a

)，aabbf

(x

)dx

=

F

(x

)

=

F

(b

)-

F

(-￥

)，-￥-￥+￥+￥f

(x

)dx

=

F

(x

)

=

F

(+￥

)-

F

(-￥

)．-￥-￥5-4

廣義積分5.4.1

無窮區(qū)間的廣義積分若F

(x

是f

(x

的一個原函數(shù)，并記F

+￥

=

lim

Fxfi

+￥x

，

F

(-￥xfi

-￥=

lim

F

(x

，則定義3，4

中的廣義積分可表示為a+￥+￥f

(x)dx

=

F

(x)

=

F

(+￥

)-

F

(a

)，abbf

(x)dx

=

F

(x)

=

F

(b)-

F

(-￥

)，-￥-￥+￥+￥f

(x)dx

=

F

(x)

=

F

(+￥

)-

F

(-￥

)．-￥-￥，F(xiàn)

(-￥此時，廣義積分的收斂或放散就取決于F

(+￥

是否存在．若存在就收斂，否則就發(fā)散．5-4

廣義積分5.4.2

無界函數(shù)的廣義積分定義

5.5

設(shè)函數(shù)在區(qū)間f

(x)

(a,b]上連續(xù)，且lim

f

xxfi

a+(=￥

，取e

>0，若極限()f x

dxba+elimefi

0+存在，則稱此極限值為函數(shù)在區(qū)間f

(x)

(a,b]上的廣義積分，記作f x

dx()，即ba(

)(

)f x

dxbbaa+eefi

0+f x

dx

=

lim．(

)此時也稱廣義積分收斂，否則稱廣義積分發(fā)散．類似地，可以定義f

(x)在區(qū)間[a,b)上的廣義積分，即bf

(x)dx

．a(chǎn)ab-eefi

0+f x

dx

=

lim5-4

廣義積分xfi

c5.4.2

無界函數(shù)的廣義積分定義

5.6

設(shè)函數(shù)

f

(x)在區(qū)間[a,b]上除點(diǎn)c?

a,b

外都連續(xù)，且lim

f

(x

=￥

，取e>0，若下面兩個廣義積分(

)cabcf x

dx與

f

(x)dx都收斂，則稱這兩個廣義積分之和為函數(shù)f

(x)在區(qū)間[](

)baa,b

上的廣義積分，記作

f x

dx，即(

)(

)bcbaaf x

dx

=cf x

dx+

f

(x)dx．上述各廣義積分統(tǒng)稱為無界函數(shù)的廣義積分．5-4

廣義積分xfi

c+5.4.2

無界函數(shù)的廣義積分同理，若F(x

是f

(x

的一個原函數(shù)，并記F(a

=limF(x

，F(xiàn)(b

=limF(x

，F(xiàn)(c

=limF(x

或xfi

a+

xfi

b-

xfi

c-F(c

=limF(x

，則定義5，6

中的廣義積分可表示為(

)

(

)(

)

(

)bbaf x

dx

=F

xa=F

b

-F

a

，(

)(

)(

)

(

)(

)bcbcbacaacx

dx

=

f x

dx+

f x

dx

=F

xf+F

x=F(c-

-F(a

+F(b

-F(c+

．5-5

定積分的幾何應(yīng)用5.5.1

微元法先把所求的整體量分割成部分量之和，在局部范圍內(nèi)“以直邊代曲邊”或

“以勻速代變速”，求出部分量的近似值，再求和、取極限，從而求得整體量．5-5

定積分的幾何應(yīng)用5.5.2

平面圖形的面積（1）根據(jù)定積分的幾何意義，由曲線

y

=

f

(x)(f

(x

?

0圍成的平面圖形（如圖）的面積A

的微元是dA

=

f

(x)dx

，則其面積為f

(x)dx

(f

(x)?

0)baA

=a與直線x

=a

，x=b

及x

軸所y

y=

f

(x)Obxx

+

dxxdA5-5

定積分的幾何應(yīng)用5.5.2

平面圖形的面積（2）若f

(x

在[a,b]上有正有負(fù)（如圖），則其面積A

的微元是以f

(x為高，dx

為底的矩形面積，即dA

=

f

(x)dx

，f

(

x)

dxbaA

=b

xyO

ay

=

f

(x所以由曲線y

=f

(x)與直線x

=a

，x=b

及x

軸所圍成的平面圖形的面積是5-5

定積分的幾何應(yīng)用5.5.2

平面圖形的面積5-5

定積分的幾何應(yīng)用5.5.2

平面圖形的面積5-5

定積分的幾何應(yīng)用5.5.2

平面圖形的面積例

求由曲線

y

=

1

與直線

y=x

，

x=3所圍成的平面圖形的面積．x解

如圖所示，可求出幾個交點(diǎn)坐標(biāo)分別為1(1,1)，(3,3)，(3,

)

，則由公式可得：331311x22-ln

x)=4-ln3．xA=

(x

-

)dx

=(y

=

x1xy

=(1,1xyO5-5

定積分的幾何應(yīng)用5.5.3

旋轉(zhuǎn)體的體積設(shè)旋轉(zhuǎn)體由連續(xù)曲線y

=f

(x

)和直線x=a

、x=b

(a

<b

)及x

軸所圍成的曲邊梯形繞x

軸旋轉(zhuǎn)而成，則其體積V？在區(qū)間[a

,b

]上任取一個微小區(qū)間[x

,x

+dx

]，這個小區(qū)間對應(yīng)的小旋轉(zhuǎn)體的體積可以用以f

(x

)為底半徑，dx為高的扁圓柱體的體積近似代替，即體積微元dV

=

p[f

(

x

)]2

dx

，將體積微元在[a

,b

]上取定積分，即得所求旋轉(zhuǎn)體體積為22b

baaV

=

p[f

(

x

)]

d

x

=

py

d

xy

=

f

(x)yOx

+dxxab

x5-5

定積分的幾何應(yīng)用5.5.3

旋轉(zhuǎn)體的體積類似地，若旋轉(zhuǎn)體由連續(xù)曲線x

=j

(y)和直線

y=c

、y=d

(c<d

)及y

軸所圍成的曲邊梯形繞y

軸旋轉(zhuǎn)而成，如圖所示，它的體積為22px

dy

．V

=d

dccp[j

(

y)]

dy

=x

=j(y)xcOydyy

+

dy本章小結(jié)1．定積分的概念和幾何意義1）關(guān)于定積分的概念深刻理解定積分banl

fi

0

i

=1f

(x)dx

的原型即為lim

f

(xi

)Dxi

，本質(zhì)是對微元小矩形面積（或面積相反數(shù)）的無限累加.本章小結(jié)2）幾何意義在區(qū)間[a,b]上，當(dāng)f

(x)?0

時，定積分在區(qū)間[a,b]上，若f

(x)￡

0

，如圖，則f

(x)dx

表示引例1

中曲邊梯形AabB

的面積；baf

(x)dx

=

-A

，baba即此時定積分

f

(x)dx

表示由曲線

y

=

f

(x)

，x

軸及兩條直線x=a

與x=b

所圍成的圖形的面積的相反數(shù)BAy=f(x)ayOb

xA本章小結(jié)（3）若f

(x)在區(qū)間[a,b]上有正有負(fù)時，如圖，則f

(x)dx

=

A1

-

A2

+

A3baba即定積分

f(x)dx

表示介于

x

軸、曲線

y

=

f

(x)及兩條直線x=a

與x=b

之間的各部分面積的代數(shù)和．xyOy=

f

(x)b+A12A3A+a本章小結(jié)2．不定積分的性質(zhì)性質(zhì)

1

函數(shù)的和（差）的定積分等于它們的定積分的和（差），即b

bbaa

a[

f

(x)

–

g(x)]dx

=

f

(x)