素能培優(yōu)(八)空間幾何體外接球的五種模型（課件）高考數(shù)學復習解答題

高考總復習優(yōu)化設計GAOKAOZONGFUXIYOUHUASHEJI素能培優(yōu)(八)空間幾何體外接球的五種模型第八章2024一、“墻角”模型“墻角”模型是指具有三條棱兩兩垂直或三個平面兩兩垂直的特征,應用數(shù)學建模素養(yǎng),將該三棱錐放入長方體中,把該三棱錐的外接球轉(zhuǎn)化為該長方體的外接球,不用找出球心的具體位置,即可求出該球的半徑,如圖.例1已知三棱錐P-ABC的四個頂點在球O的球面上,PA=PB=PC,△ABC是邊長為2的正三角形,E,F分別是PA,AB的中點,∠CEF=90°,則球O的體積為(

)答案

D規(guī)律方法

破解此類題的關(guān)鍵:一是“見數(shù)思形”,需在草稿紙上畫出三棱錐的草圖,判斷是否有兩兩垂直的三條棱;二是“會構(gòu)造”,即會構(gòu)造長方體;三是“用公式”,4R2=a2+b2+c2(其中R為該三棱錐的外接球的半徑,a,b,c為兩兩垂直的三條棱的長).對點訓練1(2022·廣東廣州一模)已知三棱錐P-ABC的棱AP,AB,AC兩兩互相垂直,AP=AB=AC=2,以頂點P為球心,4為半徑作一個球,球面與該三棱錐的表面相交得到四段弧,則最長弧的弧長等于

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二、“對棱相等”模型“對棱相等”模型是指三棱錐的相對的兩條棱相等,應用數(shù)學建模素養(yǎng),構(gòu)建長方體,將該三棱錐放入該長方體中,使三棱錐的頂點與長方體的頂點重合,將該三棱錐的外接球轉(zhuǎn)化為該長方體的外接球,從而求出該外接球的半徑,如圖.答案

13π規(guī)律方法

破解此類題的關(guān)鍵:一是會翻折,即通過翻折,明確不變量與變化的量;二是會構(gòu)造,即根據(jù)所給的相等對棱的長度,構(gòu)造符合條件的長方體;三是會列出方程組,即設出長方體的長、寬、高,根據(jù)三棱錐的三對棱的長度,列出方程組,解方程組,即可求出所構(gòu)造的長方體的共頂點的相鄰的三條棱的長;四是用公式,利用長方體的體對角線長等于該三棱錐的外接球的直徑,求出該三棱錐的外接球的半徑,利用球的表面積與體積公式,即可得到外接球的表面積與體積.對點訓練2(2023·遼寧大連模擬)如圖所示,在正四面體ABCD中,E是棱AD的中點,P是棱AC上一動點,BP+PE的最小值為,則該正四面體的外接球的表面積等于

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答案

12π如圖,將正四面體補成一個正方體,則正方體的棱長為2,則該正四面體的外接球的直徑為正方體的體對角線長,所以2R=2,即R=,故該正四面體的外接球的表面積S=4πR2=12π.三、“漢堡”模型“漢堡”模型是指對于直棱柱,應用數(shù)學建模素養(yǎng),結(jié)合球與直棱柱的有關(guān)性質(zhì),建立“漢堡”模型,上、下底面外接圓的圓心連線構(gòu)成的線段的中點即為直棱柱外接球球心,球心到各個頂點的距離都等于外接球的半徑,如圖.例3已知三棱柱的側(cè)棱垂直于底面,所有棱的長都為6,頂點都在一個球面上,則該球的表面積為(

)π

π π

π答案

B規(guī)律方法

破解此類題的關(guān)鍵是畫出草圖,確定直三棱柱的外接球球心的位置為直三棱柱的上、下底面三角形外接圓的圓心連線所構(gòu)成的線段的中點;二是利用正弦定理求出底面三角形的外接圓的半徑,若是特殊三角形,如等邊三角形或直角三角形,可利用特殊三角形的特點,快速獲得其外接圓的半徑;三是用定理,即利用勾股定理,求出球的半徑;四是用公式,即利用球的表面積或體積公式求解,注意直三棱柱的外接球與內(nèi)切球的本質(zhì)區(qū)別.對點訓練3一個正六棱柱的底面是正六邊形,其側(cè)棱均垂直于底面.已知該六棱柱的頂點都在同一個球面上,六棱柱的體積為,底面周長為3,那么這個球的體積為

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四、“心有所依”模型“心有所依”模型是指對于圓錐、圓臺、側(cè)棱相等的棱錐等幾何體,可得球心必在該幾何體的高所在的直線上,或者在棱錐一個底面的高所在直線上,由此可把相關(guān)信息集中到某一個直角三角形內(nèi),利用勾股定理求解,如圖.例4已知三棱錐M-ABC的四個頂點均在表面積為32π的球面上,AB=BC=2,AC=4,則三棱錐M-ABC的體積的最大值為(

)答案

C規(guī)律方法

破解此類題的關(guān)鍵:一是確定球心O的位置,如例4,先確定底面三角形的外接圓的圓心Q,則M,O,Q三點共線;二是計算出三棱錐底面外接圓的半徑;三是利用勾股定理,即可求出球心到底面的距離,從而求出三棱錐的高.答案

A五、“雙心”模型“雙心”模型:無法利用上面四種模型求解的問題,可利用球心、三角形(或四邊形等)外接圓的圓心以及外接圓與球的交點所構(gòu)成的直角三角形進行破解,如圖.例5已知三棱錐D-ABC的四個頂點在球O的球面上,若AB=AC=BC=DB=DC=1.當三棱錐D-ABC的體積取到最大值時,球O的表面積為(

)答案

A解析

如圖,當三棱錐D-ABC的體積取到最大值時,則平面ABC⊥平面DBC,取BC的中點G,連接AG,DG,則AG⊥BC,DG⊥BC.分別取△ABC與△DBC的外心E,F,分別過點E,F作平面ABC與平面DBC的垂線,相交于點O,則點O為四面體ABCD的球心.由AB=AC=BC=DB=DC=1,得規(guī)律方法

對一般棱錐來講,外接球球心到各頂點的距離相等,當問題難以考慮時,可減少點的個數(shù)進行考慮,如先考慮到三個頂點的距離相等的點是三角形的外心,球心一定在過此點與此平面垂直的直線上.對點訓練5在四棱錐P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,PA=AB=AD=1,BC=CD=BD=,則該四棱錐的外接球的表面積為

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答案

5π解析

如圖,