優(yōu)質(zhì)中職數(shù)學(xué)基礎(chǔ)模塊下冊：73《平面向量的內(nèi)積》課件(兩份)

主講：7.3平面向量的內(nèi)積【教學(xué)目標(biāo)】知識目標(biāo)：（1）了解平面向量內(nèi)積的概念及其幾何意義.（2）了解平面向量內(nèi)積的計算公式.為利用向量的內(nèi)積研究有關(guān)問題奠定基礎(chǔ).能力目標(biāo)：通過實例引出向量內(nèi)積的定義,培養(yǎng)學(xué)生觀察和歸納的能力．【教學(xué)重點】平面向量數(shù)量積的概念及計算公式.

【教學(xué)難點】數(shù)量積的概念及利用數(shù)量積來計算兩個非零向量的夾角．【教學(xué)過程】*創(chuàng)設(shè)情境興趣導(dǎo)入Fs圖7—21O

如圖7－21所示，水平地面上有一輛車，某人用100N的力，朝著與水平線成

角的方向拉小車，使小車前進(jìn)了100m．那么，這個人做了多少功？*動腦思考探索新知【新知識】

我們知道，這個人做功等于力與在力的方向上移動的距離的乘積．如圖7－22所示，設(shè)水平方向的單位向量為i，垂直方向的單位向量為j，則i+yj

即力F是水平方向的力與垂直方向的力的和，垂直方向上沒有產(chǎn)生位移，沒有做功，水平方向上產(chǎn)生的位移為s，即（J）W＝｜F｜cos·｜s｜＝100×·10＝500OxijF(x,y)y

圖7－22這里，力F與位移s都是向量，而功W是一個數(shù)量，它等于由兩個向量F，s的模及它們的夾角的余弦的乘積，W叫做向量F與向量s的內(nèi)積,它是一個數(shù)量，又叫做數(shù)量積．如圖7－23，設(shè)有兩個非零向量a,

b，作＝b,由射線OA與OB所形成的角＝a,

叫做向量a與向量b的夾角，記作<a,b>．兩個向量a,b的模與它們的夾角的余弦之積叫做向量a與向量b的內(nèi)積，記作a·b,即

a·b＝｜a||b|cos<a,b>

(7.10)上面的問題中，人所做的功可以記作W＝F·s.由內(nèi)積的定義可知a·0＝0,0·a＝0．由內(nèi)積的定義可以得到下面幾個重要結(jié)果：時，a·b＝?|a||b|.（1）當(dāng)<a,b>＝0時，a·b＝|a||b|；當(dāng)<a,b>＝(2)cos<a,b>＝.（3）當(dāng)b＝a時，有<a,a>＝0，所以a·a＝|a||a|＝|a|2，即|a|＝

（4）當(dāng)時，ab，因此，a·b＝因此對非零向量a，b，有a·b＝0ab.可以驗證，向量的內(nèi)積滿足下面的運算律：(1)a·b＝b·a（2）()·b＝(a·b)＝a·(b)．（3）(a＋b)·c＝a·c＋b·c．注意：一般地，向量的內(nèi)積不滿足結(jié)合律，即

a·(b·c)≠（a·b）·c.

請結(jié)合實例進(jìn)行驗證.*鞏固知識典型例題例1已知|a|＝3,|b|＝2,<a,b>＝,求a·b．解a·b＝|a||b|cos<a,b>＝3×2×cos＝3．例2已知|a|＝|b|＝,a·b＝,求<a,b>解cos<a,b>＝＝＝由于0≤<a,b>≤所以<a,b>＝*運用知識強(qiáng)化練習(xí)1.已知|a|＝7，|b|＝4，a和b的夾角為，求a·b．2.已知a·a＝9,求|a|．3.已知|a|＝2,|b|＝3,<a,b>＝，求(2a＋b)·b．*動腦思考探索新知設(shè)平面向量a＝(x1,y1),b＝(x2,y2)，i，j分別為x軸，y軸上的單位向量，由于i⊥j，故i·j

＝0，又|i|＝|j|＝1，所以a·b＝(x1i＋y1j)·(x2i＋y2j)＝x1

x2

i?i＋x1

y2

i?j＋x2

y1i?j＋y1

y2

j?j

＝x1

x2|j|2＋y1

y2|j|2

＝x1

x2＋y1

y2．這就是說，兩個向量的內(nèi)積等于它們對應(yīng)坐標(biāo)乘積的和，即

a·b＝x1

x2＋y1

y2

(7.11)利用公式(7．11)可以計算向量的模．設(shè)a＝(x,y)，則，即

(7.12)由平面向量內(nèi)積的定義可以得到，當(dāng)a、b是非零向量時，

cos<a,b>＝＝

(7.13)

利用公式(7.13)可以方便地求出兩個向量的夾角.由于aba·b＝0，由公式(7.11)可知a·b＝0

x1

x2＋y1

y2＝0因此ab

x1

x2＋y1

y2＝0．(7.14)

利用公式(7.14)可以方便地利用向量的坐標(biāo)來研究向量垂直的問題．*鞏固知識典型例題例3求下列向量的內(nèi)積：（1）a＝(2,?3),b＝(1,3)；（2）a＝(2,?1),b＝(1,2)；（3）a＝(4,2),b＝(?2,?3)．解(1)a·b＝2×1＋(?3)×3＝?7；(2)a·b＝2×1＋(?1)×2＝0；(3)a·b＝2×(?2)＋2×(?3)＝?14．例4已知a＝(?1,2),b＝(?3,1).求a·b,|a|,|b|,<a,b>．解a·b＝(?1)(?3)＋2×1＝5；|a|＝|b|＝cos<a,b>＝＝．所以<a,b>＝例5判斷下列各組向量是否互相垂直：

(1)a＝(?2,3),b＝(6,4)；

(2)a＝(0,?1),b＝(1,?2)．解(1)因為a·b＝(?2)×6＋3×4＝0，所以ab(2)因為a·b＝0×1＋(?1)×（?2)＝2，所以a與b不垂直．*運用知識強(qiáng)化練習(xí)1、已知a＝(5,?4)，b＝(2,3)，求a·b2、已知a＝(1,），b＝(0,），求<a,b>．3、已知a＝(2,?3)，b＝(3,－4)，c＝(?1,3),求a·(b＋c)．4、判斷下列各組向量是否互相垂直：

(1)a＝(?2,?3)，b＝(3,?2)；

(2)a＝(2,0)，b＝(0,?3)；

(3)a＝(?2,1)，b＝(3,4)．5.求下列向量的模：

(1)a＝(2,?3)，(2)b＝(8,6)．*理論升華整體建構(gòu)思考并回答下面的問題：

平面向量內(nèi)積的概念、幾何意義?結(jié)論：兩個向量a,b的模與它們的夾角的余弦之積叫做向量a與向量b的內(nèi)積，記作a·b,即a·b的幾何意義就是向量a的模與向量b在向量a上的投影的乘積．

a·b＝｜a||b|cos<a,b>

(7.10)*歸納小結(jié)強(qiáng)化思想本次課學(xué)了哪些內(nèi)容？重點和難點各是什么？*自我反思目標(biāo)檢測本次課采用了怎樣的學(xué)習(xí)方法？你是如何進(jìn)行學(xué)習(xí)的？你的學(xué)習(xí)效果如何？1.已知a＝(5,?4),b＝(2,3),求a·b．2.已知a＝(2,?3),b＝(3,?4),c＝(?1,3),求a·(b＋c)．*繼續(xù)探索活動探究(1)讀書部分：閱讀教材

(2)書面作業(yè)：教材習(xí)題7.3A組（必做）；7.3B組（選做）

(3)實踐調(diào)查：編寫一道向量內(nèi)積問題并解答．7.3內(nèi)積的坐標(biāo)表示第七章平面向量動腦思考探索新知設(shè)平面向量a＝(x1,y1),b＝(x2,y2)，由于i⊥j，故i·j

＝0,又|i|＝|j|＝1,所以a·b＝(x1i＋y1j)·(x2i＋y2j)

＝x1

x2

i?i＋x1

y2

i?j＋x2

y1i?j

＋y1

y2

j?j

＝x1

x2|j|2＋y1

y2|j|2

＝x1

x2＋y1

y2.

這就是說，兩個向量的內(nèi)積等于它們對應(yīng)坐標(biāo)乘積的和，即

a·b＝x1

x2＋y1

y2

(7.11)

設(shè)a＝(x,y)，則，即(7.12)動腦思考探索新知

cos<a,b>＝(7.13)

利用公式(7.13)可以方便地求出兩個向量的夾角.由于a⊥ba·b＝0，由公式(7.11)可知

a·b＝0

x1

x2＋

y1

y2＝0．

因此a⊥b

x1

x2＋

y1

y2＝0．

(7.14)

由平面向量內(nèi)積的定義可以得到，當(dāng)a，b是非零向量時，鞏固知識典型例題例3

求下列向量的內(nèi)積：（1）a＝(2,?3),b＝(1,3)；（2）a＝(2,?1),b＝(1,2)；（3）a＝(4,2),b＝(?2,?3)．解

(1)a·b＝2×1＋(?3)×3＝?7；

(2)a·b＝2×1＋(?1)×2＝0；

(3)a·b＝2×(?2)＋2×(?3)＝?14．

鞏固知識典型例題例4

已知a＝(?1,2)，b＝(?3,1)．求a·b,|a|,|b|,<a,b>．

解

a·b＝(?1)(?3)＋2×1＝5.

|a|＝|b|＝cos<a，b>＝所以<a，b>＝鞏固知識典型例題例5

判斷下列各組向量是否互相垂直：(1)a＝(?2,3),

b＝(6,4)；(2)a＝(0,?1),

b＝(1,?2)．解

(1)因為a·b＝(?2)×6＋3×4＝0，所以a⊥b．(2)因為a·b＝0×1＋(?1)×(?2)＝2，所以a與b不垂直．運用知識強(qiáng)化練習(xí)1.已知a＝(5,?4)，b＝(2,3)，求a·b．2.