屆高考數(shù)學(xué)文一輪復(fù)習(xí)課件魯閩皖專用：基本不等式新人教A

第四節(jié)基本不等式三年13考高考指數(shù):★★★1.了解基本不等式的證明過程.2.會(huì)用基本不等式解決簡單的最大(小)值問題.1.主要考查應(yīng)用不等式求最值和不等式的證明.2.對(duì)基本不等式的考查多以選擇題和填空題的形式出現(xiàn)，難度為中低檔題，若出現(xiàn)證明題難度也不會(huì)太大.1.基本不等式：(1)基本不等式成立的條件是__________.(2)等號(hào)成立的條件是：當(dāng)且僅當(dāng)_____時(shí)取等號(hào).(3)其中稱為正數(shù)a,b的____________，稱為正數(shù)a，b的____________.a>0,b>0a=b算術(shù)平均數(shù)幾何平均數(shù)【即時(shí)應(yīng)用】判斷下列不等式是否正確.(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中填寫√或×)(1)a2+b2≥2ab(a,b∈R)()(2)(a，b∈R)()(3)(a,b∈R)()(4)(a,b均不為零)()【解析】(1)由(a-b)2≥0得a2+b2-2ab≥0，即a2+b2≥2ab，故(1)正確.(2)由(1)可知a2+b2≥2ab，即a2+b2+2ab≥4ab,即(a+b)2≥4ab,即故(2)正確.(3)由故(3)正確.(4)若a,b異號(hào)，如a=-1,b=1,則故(4)錯(cuò).答案：(1)√(2)√(3)√(4)×2.利用基本不等式求最值(1)兩個(gè)正數(shù)的和為定值時(shí)，它們的積有最大值，即若a，b為正實(shí)數(shù)，且a＋b＝M，M為定值，則等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)____時(shí)成立.(簡記：和定積最大)(2)兩個(gè)正數(shù)的積為定值時(shí)，它們的和有最小值，即若a，b為正實(shí)數(shù)，且ab＝P，P為定值，則a＋b≥____，等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)______時(shí)成立.(簡記：積定和最小)a＝ba＝b【即時(shí)應(yīng)用】(1)已知x+3y=2(x,y為正實(shí)數(shù))，則xy的最大值為______.(2)函數(shù)的最大值為______.(3)已知m>0,n>0且mn≥81，則m+n的最小值為______.【解析】(1)由得故xy≤等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)x=1,y=時(shí)取得.(2)∵x≥0，①當(dāng)x=0時(shí)，f(0)=0；②當(dāng)x＞0時(shí)，f(x)=當(dāng)且僅當(dāng)即x=1時(shí)取等號(hào).所以f(x)的最大值為(3)∵m＞0,n＞0,mn≥81,∴∴故m+n的最小值為18.答案：(1)(2)(3)18利用羞基本辦不等脈式求喘最值【方法彈點(diǎn)睛】應(yīng)用雁基本鐮不等芳式求轎最值繩的常窩見類釘型(1幅)若直高接滿雞足基月本不盞等式摔條件厭，則媽直接哪應(yīng)用按基本工不等洪式.(2匆)若不主直接洞滿足聰基本物不等奇式條摸件，曠則需商要?jiǎng)?chuàng)巴造條秧件對(duì)諒式子予進(jìn)行吼恒等開變形瘋，如撲構(gòu)造持“1”的代置換等.(3虎)若可眉用基湖本不聞等式饒，但苦等號(hào)仔不成巡壽立，趙則一避般是嘉利用深函數(shù)嬌單調(diào)鞠性求蛾解.【提醒】(1芽)應(yīng)用桐基本快不等浪式注勤意不哀等式嘩的條辨件.(2荒)若多宰次應(yīng)陳用基配本不乒等式暑要注倚意等逼號(hào)需垃同時(shí)發(fā)成立.【例1】忙(1質(zhì))(劇20擦12唯·無錫比模擬)若x>押-3，則戲的最公小值昨?yàn)開_涌__辦__另_.(2誰)已知x,布y為正宣實(shí)數(shù)湖，且碎滿足付則xy的最列大值蠶為__渠__衛(wèi)__字.(3膨)已知a，b為正偉實(shí)數(shù)戴且a+工b=珠1，則抓的溉最小微值為__合__舞__震.【解題別指南】(1豎)將原統(tǒng)式等刮價(jià)變烘形構(gòu)歡造出灑應(yīng)用固基本殼不等蔥式形浴式可常解.(2捧)直接汪應(yīng)用吉基本剃不等光式求宇解.(3叛)將控與鴨中的1用a+具b代換跌整理值后利捕用基腐本不災(zāi)等式馬可求.【規(guī)范評(píng)解答】(1糧)由x>胞-3得x+蛛3>鮮0,又到等號(hào)慚成立耳的條傲件是即答案第：(2謀)因?yàn)閤,升y為正艘實(shí)數(shù)動(dòng)，所閃以所以丈即xy狐≤3著,當(dāng)且首僅當(dāng)y=貢2時(shí)等悅號(hào)成窩立.答案六：3(3偷)∵獄a>插0,演b>刻0,精a+辮b=踐1,∴同理∴等號(hào)廚成立轎的條嘴件為答案剖：9【互動(dòng)預(yù)探究】若將避本例(1返)中x>突-3去掉劣，而返求炸的禁取值攪范圍京，又扇將如戴何求映解？【解析】分情船況討幸論，社由題喘意得x≠趟-3什,(1槐)當(dāng)x>斯-3時(shí)，兩由例污題可憲知(2丹)當(dāng)x<坊-3時(shí)，x+斧3<南0，故-(毅x+秤3)懇>0如,等號(hào)脖成立聞的條鳴件是故性的興取值裙范圍膜是【反思·感悟】1.利用雖基本洪不等軟式求尼最值怠的關(guān)莫鍵在碑于湊“和”或“積”為定伙值.2.使用獅基本典不等逝式時(shí)完容易伶忽視蠟的是低不等言式成歲立的奇條件.【變式斃備選】若正烈實(shí)數(shù)x,宮y滿足2x晝+y效+6超=x凍y,則xy的最疤小值短是__懷__藝__．【解析】xy螺=2竊x+膜y+游6≥令xy瞇=t2(t滋>0狡),可得t2--6歪≥0，注嘩意到t＞0，解含得滔故xy的最歡小值屑為18廈.答案聾：18基本政不等毒式的遙實(shí)際揪應(yīng)用【方法勸點(diǎn)睛】利用榮基本佛不等賓式求民解實(shí)摟際應(yīng)獻(xiàn)用題喂的方尾法(1星)問題認(rèn)的背兵景是稀人們腳關(guān)心螺的社堵會(huì)熱輩點(diǎn)問盞題，盛如“叨物價(jià)耕、銷笛售、躺稅收謠、原浴材料吳”等莊，題賀目往卵往較閥長，丹解題漆時(shí)需成認(rèn)真更閱讀鼠，從溫中提蘆煉出遲有用筑信息貝，建株立數(shù)柴學(xué)模懇型，頭轉(zhuǎn)化辮為數(shù)藥學(xué)問衛(wèi)題求吐解.(2杯)當(dāng)運(yùn)重用基促本不職等式秩求最土值時(shí)閉，若俱等號(hào)真成立絨的自趟變量堤不在去定義壓域內(nèi)枕時(shí)，激就不虧能使?fàn)抻没静蛔〉仁矫辞蠼鉂O，此塊時(shí)可歸根據(jù)任變量叛的范眼圍用繳對(duì)應(yīng)酬函數(shù)廈的單脫調(diào)性專求解均．【例2】某造哭紙廠之?dāng)M建墳一座詠平面前圖形陷為矩形怪且面豪積為16量2平方惕米的覽三級(jí)渾污水項(xiàng)處理池宜，池宅的深叮度一閘定(平面桿圖如身圖所緞示)，如現(xiàn)果池下四周墨圍墻船建造跌單價(jià)墨為40茫0元/米，界中間牛兩道響隔墻偽建造揉單價(jià)龜為24躺8元/米，忘池底侄建造乏單價(jià)枯為80元/米2，水沒池所疫有墻耽的厚鑼度忽派略不妙計(jì).(1癢)試設(shè)虜計(jì)污閥水處蠅理池倒的長陳和寬際，使設(shè)總造豆價(jià)最否低，稼并求塔出最粒低總輪造價(jià)便；(2燭)若由笨于地桿形限頂制，丘該池吸的長賭和寬族都不視能超裳過16米，淡試設(shè)惰計(jì)污臘水池亂的長場和寬巡壽，使者總造征價(jià)最腿低，楚并求弦出最鬼低總盒造價(jià).【解題參指南】(1緒)由題顧意設(shè)是出未擠知量摩，構(gòu)渾造函通數(shù)關(guān)為系式王，變烘形轉(zhuǎn)央化利河用基小本不刑等式附求得榆最值俘，得招出結(jié)他論；(2槍)先由昏限制孩條件朵確定竊自變旦量的行范圍費(fèi)，然即后判疼斷(1靜)中函敢數(shù)的拔單調(diào)朝性，絹利用鑰單調(diào)源性求押最值虜，得煙出結(jié)牌論.【規(guī)范海解答】(1術(shù))設(shè)污間水處梁理池背的寬巴為x米，迎則長造為眨米.則總超造價(jià)f(傘x)槐=4接00假×(劑2x過+失)+拳24仆8×踢2x真+8辛0×欣16腰2=1蜘2伍96瘦x+皆+1烘2吊96詞0=1際2傘96狠(x剛+魯)堪+1漠2厚96傻0≥1芝2帆96欺×潔+哀12蝦9兩60=3練8酷88蒙0(元)，當(dāng)且騾僅當(dāng)(x速>0尤),即x=脆10時(shí)取副等號(hào).∴當(dāng)長廁為16介.2米，瀉寬為10米時(shí)說總造緞價(jià)最悟低，幣最低欄總造具價(jià)為38伴8佳80元.(2笑)由限舟制條寶件知∴設(shè)由函類數(shù)性竿質(zhì)易睬知g(稻x)在尺上鬼是增鳴函數(shù)頸，∴當(dāng)捎時(shí)(此時(shí)),g(分x)有最壓小值粘，即f(匙x)有最斯小值=3陸8危88朱2(元).∴當(dāng)長披為16米，認(rèn)寬為征米時(shí)容，總子造價(jià)專最低壤，為38弟8在82元.【反思·感悟】1.本例(2輝)中由授于條帽件限死制應(yīng)百用基膊本不摩等式充結(jié)果蜜不成痛立，嘴從而朋轉(zhuǎn)化舉為應(yīng)捎用函揮數(shù)的演單調(diào)蔬性求項(xiàng)解，怕這也農(nóng)是此租部分耗內(nèi)容超的常協(xié)規(guī)解聾法.2.應(yīng)用歲基本灘不等牧式解催實(shí)際街應(yīng)用區(qū)題時(shí)關(guān)定義鋤域是姥關(guān)鍵僵涉及低到等納式能煮否成評(píng)立，忙因而欲在實(shí)財(cái)際解篩題時(shí)殊要密堅(jiān)切注箭意定踢義域愛的取煌值范途圍.【變式秧訓(xùn)練】某種峽汽車辱，購擇車費(fèi)乳用為10萬元稅，每鏈年的揀保險(xiǎn)濾費(fèi)、盾養(yǎng)路席費(fèi)、即汽油艷費(fèi)約殺為0.呼9萬元曬，年藝維修幼費(fèi)第底一年弱是0.文2萬元兔，以其后逐收年遞私增0.奧2萬元.這種故汽車玻使用騰多少泄年時(shí)戀，它硬的年婦平均襯費(fèi)用腫最少或？【解析】由于“年維砌修費(fèi)軍第一盾年是0.粥2萬元配，以辜后逐骨年遞糞增0.形2萬元”，可隸知汽筆車每法年維清修費(fèi)閘構(gòu)成緩以0.熄2萬元追為首極項(xiàng)，0.步2萬元跑為公百差的財(cái)?shù)炔畋粩?shù)列暈，因趟此，云汽車任使用x年時(shí)眠總的印維修涂費(fèi)用哈為萬元.設(shè)汽喜車的浩年平曲均費(fèi)軟用為y萬元器，則屋有當(dāng)且舌僅當(dāng)?shù)昙磝=烏10時(shí)，y取得鞋最小鞭值.答：算汽車膨使用10年時(shí)慌，它謎的年川平均貢費(fèi)用慶最少.基本父不等糧式與披其他末知識(shí)趟的綜淚合應(yīng)煤用【方法褲點(diǎn)睛】基本繼不等驢式在誼其他之?dāng)?shù)學(xué)追知識(shí)臘中的靠應(yīng)用以函扎數(shù)、事方程雙、立凱體幾竿何、慰解析怨幾何察、數(shù)作列等猜知識(shí)廊為載閘體考?jí)牟榛妆静慌K等式妙求最鞋值，疲是本考部分勺中常屆見題格型，遣且在險(xiǎn)高考站中也冬時(shí)常起出現(xiàn)少，其友解題猴的關(guān)舟鍵是傍正確鋪利用刮條件料轉(zhuǎn)換陷成能趙利用研基本殘不等無式求律解的品形式替，同擔(dān)時(shí)要舌注意閘基本稠不等廢式的健使用赤條件.【例3】淋(1膀)(惜20寫12界·杭州疼模擬)設(shè)x,分y∈需R，a>缺1,勢b>疲1，若ax=by=4且敵則進(jìn)的最亮大值賢為__越__掘__彩.(2裳)已知沉函數(shù)f(研x)燃=l愚og2［k(柔x+號(hào)4)乎+2］+1恒過咽定點(diǎn)P，且悶點(diǎn)P在直線(a扭,b禿∈R+)上，泳則3a嚴(yán)+2主b的最拋小值淚為__刃__份__榨.【解題且指南】(1給)用a,柱b表示x，y代入虛后，戀再利協(xié)用基派本不結(jié)等式斗可求.(2填)求得P點(diǎn)坐正標(biāo)代藍(lán)入直財(cái)線方俯程，顫再用“1”的代辣換轉(zhuǎn)死化為族基本報(bào)不等解式求狠解.【規(guī)范堤解答】(1好)由ax=by=4得x=諒lo賓ga4,沖y=漿lo行g(shù)b4,故=l慌og4a+輩lo狂g4b=左lo榆g4ab隊(duì).又∵a>診1,展b>湊1,故∴少等號(hào)葬當(dāng)且謹(jǐn)僅當(dāng)即x=酷y=畜4時(shí)等遼號(hào)成位立.∴的最濃大值挺為答案假：(2喝)由函厘數(shù)f(士x)鈴=l遵og2［k(蹄x+肥4)貨+2］+1可知普，當(dāng)x=果-4時(shí)，f(晶x)惡=2決,即P點(diǎn)坐謙標(biāo)為(-驅(qū)4，2)，又P在直旨線(a悄,b激∈R+)上，故羅即∴≥當(dāng)且塑僅當(dāng)3a2=4謠b2，即忽時(shí)等冠號(hào)成陶立.∴3萌a+優(yōu)2b的最思小值婦為答案獲：【互動(dòng)鋪探究】若本丙例(2貢)中函謀數(shù)改籮為f(茶x)研=2k(恩x+褲1)+1財(cái),其余罵條件搬不變宵，又測將如思何求帽解?【解析】由f(蜜x)弦=2k(宵x+份1)+1可知摘圖象宏恒過錢定點(diǎn)P(雕-1，2)，依題鵲意，P在直真線上銷，故即∴等號(hào)患當(dāng)且擁僅當(dāng)緩時(shí)友取得.所以3a塊+2壘b的最慶小值賢為【反思·感悟】解決突與其煮他知偉識(shí)綜帥合的扒基本悠不等扯式題撓目，夠難點(diǎn)在于憐如何丹從已終知條民件中純尋找就基本更關(guān)系.本例(1倍)中其譯關(guān)鍵跪是構(gòu)歸建x,背y與a,盟b的關(guān)濫系得幼到x=僵lo痛ga4，y=海lo扒gb4，從妹而將惠成斬功轉(zhuǎn)原化為a,天b的關(guān)筑系，遠(yuǎn)再利計(jì)用基頑本不許等式爽求解坐，而勁對(duì)本星例(2膝)中其題關(guān)鍵點(diǎn)是出確定雹圖象劣過的女定點(diǎn)助，確卸定了透這一祖定點(diǎn)屈后問社題便墻會(huì)迎桃刃而膠解.【變式失備選】設(shè)x,膀y滿足簽約束佩條件塵若目若標(biāo)函數(shù)z=屯ab榨x+敞y(浴a＞0,瓦b＞0)的最聲大值洲為8，則a+探b的最鎖小值動(dòng)為__循__宗.【解析】已知x,蘿y滿足梳約束綱條件雄其收可行額域是田一個(gè)四促邊形縣，四憐個(gè)頂裂點(diǎn)是(0則,0芒)，(0，2)，(蜘0)，(1，4)，易見抹目標(biāo)粗函數(shù)z=容ab薪x+獻(xiàn)y(胡a＞0,哥b＞0)在(1，4)取最殃大值8，所以8=另ab撒+4，即ab桂=4，∴當(dāng)且叼僅當(dāng)a=走b=鼓2時(shí)，刊等號(hào)堤成立.所以a+潔b的最唱小值努為4.答案牽：4【易錯(cuò)當(dāng)誤區(qū)】忽視懲題目群的隱倡含條拒件致泊誤【典例】(舒20貝11造·江蘇底高考)在平雕面直輛角坐慚標(biāo)系xO乞y中，慨過坐軟標(biāo)原點(diǎn)冠的一勺條直則線與狼函數(shù)主的圖顧象交阿于P、Q兩點(diǎn)棚，則籍線段PQ長的橋最小松值是__新__耀__傾.【解題未指南】由已警知條似件可衰知兩獻(xiàn)交點(diǎn)今必關(guān)賽于原閉點(diǎn)對(duì)湊稱，僑從而棉設(shè)出交均點(diǎn)代央入兩陷點(diǎn)間珠距離朽公式披，整塔理后岡應(yīng)用外基本泳不等刪式求咱解即包可.【規(guī)范恰解答】由題晝意可棉知炸的遣圖象割關(guān)于單原點(diǎn)香對(duì)稱僑，而掛與過差原點(diǎn)侄的直界線相換交，賞則兩止交點(diǎn)荷必關(guān)籍于原楚點(diǎn)對(duì)葵稱，趟故可裝設(shè)兩功交點(diǎn)時(shí)分別退為P(睛x,礙)與Q(盞-x膠,淡)，由兩耍點(diǎn)間劣距離理公式粗可得等號(hào)剪當(dāng)且求僅當(dāng)x2=2，即桐時(shí)取厲得.答案析：4【閱卷陷人點(diǎn)掛撥】通過淘高考喜中的按閱卷碑?dāng)?shù)據(jù)巧分析支與總拴結(jié)，疊我們江可以侍得到呆以下格誤區(qū)簡警示串和備疑考建服議：誤區(qū)警示在解答本題時(shí)主要有兩點(diǎn)誤區(qū)(1)對(duì)于題目自身的含義理解不透，無法掌握交點(diǎn)關(guān)系，造成不會(huì)解.(2)有些同學(xué)設(shè)出直線方程與聯(lián)立得出兩交點(diǎn)關(guān)系，再應(yīng)用兩點(diǎn)間距離公式求解，出現(xiàn)運(yùn)算繁瑣情況，導(dǎo)致錯(cuò)解.備考建議解決此類問題時(shí)還有以下幾點(diǎn)在備考時(shí)要注意(1)理解函數(shù)的圖象、性質(zhì)，明確其表達(dá)的含義；(2)熟記要掌握的公式，如本例中的兩點(diǎn)間距離公式；(3)思考要周密，運(yùn)算要準(zhǔn)確、快速.另外，由于此類題目往往以小題形式出現(xiàn)，因而能用簡便方法的盡量使用簡便方法.1.斑(2帳01傷1·福建民高考)若a>賀0,伏b>懲0，且致函數(shù)f(絨x)魄=4壘x3-a蚊x2-2探bx血+2在x=糞1處有顫極值囑，則ab的最盜大值饒等于(曉)(A菊)2馳(司B)惹3改(咐C)亦6纖(廈D)腿9【解析】選D.由題往意得f′葬(x怒)=罩12福x2-2陣ax盼-2邀b,∵函數(shù)f(華x)在x=增1處有饒極值島，∴f′眾(1碧)=潔0,香∴1殿2-半2a翠-2炊b=獵0,即a+加b=澤6.又∵a>發(fā)0,事b>耍0，由陰基本愧不等州式得云：故ab的最野大值升是9.2.愚(2復(fù)01樹1·陜西蟻高考)設(shè)0<榮a<箭b，則呼下列規(guī)不等匆式中圈正確杠