橢圓?？碱}型匯總及練習(xí)

橢圓?？碱}型匯總及練習(xí)

橢圓常考題型匯總及練習(xí)第一部分：復(fù)習(xí)運(yùn)用的知識(shí)（一）橢圓幾何性質(zhì)橢圓的第一定義是平面內(nèi)與兩定點(diǎn)F1、F2距離和等于常數(shù)（2a）（大于F1F2）的點(diǎn)的軌跡叫做橢圓。橢圓的幾何性質(zhì)是以兩個(gè)定點(diǎn)叫做橢圓的焦點(diǎn)；兩焦點(diǎn)間的距離叫做橢圓的焦距。以標(biāo)準(zhǔn)方程x^2/a^2+y^2/b^2=1為例，橢圓上點(diǎn)的坐標(biāo)（x，y）都適合不等式2≤x^2/a^2+y^2/b^2≤1，即abx≤a，y≤b，說明橢圓位于直線x=±a和y=±b所圍成的矩形里（封閉曲線）。該性質(zhì)主要用于求最值、軌跡檢驗(yàn)等問題。橢圓具有對稱性，即關(guān)于原點(diǎn)、x軸、y軸對稱，坐標(biāo)軸是橢圓的對稱軸，原點(diǎn)是橢圓的對稱中心。橢圓的頂點(diǎn)（橢圓和它的對稱軸的交點(diǎn)）有四個(gè)：A1（-a，0）、A2（a，0）、B1（0，-b）、B2（0，b）。橢圓的長軸是A1A2，長半軸長為a；短軸是B1B2，短半軸長為b。橢圓的離心率有以下三個(gè)性質(zhì)：（1）橢圓焦距與長軸的比e=c/a，其中c是橢圓的焦距。（2）a^2=b^2+c^2，即a是橢圓的特征三角形的斜邊長，cos∠OF2B2的值是橢圓的離心率。（3）橢圓的圓扁程度由離心率的大小確定，與焦點(diǎn)所在的坐標(biāo)軸無關(guān)。當(dāng)e接近于1時(shí)，橢圓越扁；當(dāng)e接近于0時(shí)，橢圓越接近圓。橢圓的通徑是過橢圓的焦點(diǎn)且垂直于長軸的弦。設(shè)F1、F2為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，P為橢圓上一點(diǎn)，當(dāng)P、F1、F2三點(diǎn)不在同一直線上時(shí)，P、F1、F2構(gòu)成了一個(gè)三角形——焦點(diǎn)三角形。依橢圓的定義知：PF1+PF2=2a，F(xiàn)1F2=2c。（二）運(yùn)用的知識(shí)點(diǎn)及公式1、兩條直線l1:y=k1x+b1，l2:y=k2x+b2垂直：則k1k2=-1；兩條直線垂直，則直線所在的向量v1·v2=0。2、韋達(dá)定理：若一元二次方程ax^2+bx+c=0（a≠0）有兩個(gè)不同的根x1、x2，則2bc/(a(x1+x2))=x1x2。本文介紹了橢圓相關(guān)的基本公式和解題方法。首先介紹了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和各項(xiàng)參數(shù)的含義。然后分別介紹了橢圓的離心率公式、焦點(diǎn)坐標(biāo)公式、中點(diǎn)坐標(biāo)公式和弦長公式。接著給出了橢圓?？碱}型的解題方法典例。在橢圓定義相關(guān)題目中，需要注意橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程中a>b的條件。例如，對于已知方程k-5<3-k或k-5>3-k的橢圓，求k的取值范圍，需要注意a>b的條件，避免出現(xiàn)錯(cuò)誤的解答。在求解焦點(diǎn)坐標(biāo)公式和中點(diǎn)坐標(biāo)公式時(shí)，需要注意公式中各項(xiàng)參數(shù)的含義，避免出現(xiàn)計(jì)算錯(cuò)誤。例如，對于已知橢圓x^2/4+y^2/9=1的焦點(diǎn)為F，過直線l：x-y+9=0上一點(diǎn)M作橢圓，要使所作橢圓的長軸最短，需要求出點(diǎn)M的坐標(biāo)和此時(shí)的橢圓方程。綜上所述，掌握橢圓相關(guān)基本公式和解題方法，能夠有效提高解題的準(zhǔn)確性和效率。分析：橢圓的焦點(diǎn)已知，需要在已知直線上找到一點(diǎn)，使該點(diǎn)到直線同側(cè)的兩個(gè)已知點(diǎn)（即兩個(gè)焦點(diǎn)）的距離之和最小?？梢酝ㄟ^點(diǎn)直線對稱來解決。解：如圖所示，焦點(diǎn)為F1(-3,0)和F2(3,0)，直線FF2的方程為x+2y-3=0。解方程組得到交點(diǎn)M的坐標(biāo)為(-5,4)。所求橢圓的長軸為2a=MF1+MF2=FF2=6+5=11，因此a=11/2=5.5。又c=3，所以b^2=a^2-c^2=30.25-9=21.25。因此，所求橢圓的方程為(2x/11)^2+(2y/√21.25)^2=1。例4：已知橢圓4x+y=1和直線y=x+m，求m的取值使得直線與橢圓有公共點(diǎn)，并求直線的方程。解：將直線方程y=x+m代入橢圓方程4x^2+y^2=1，得到5x^2+2mx+m^2-1=0。判別式為Δ=16m^2-20，當(dāng)Δ≥0時(shí)，直線與橢圓有公共點(diǎn)。解得-2≤m≤2/5。根據(jù)弦長公式，直線與橢圓相交的弦長為√(1+(2m/5)^2)。所以直線的方程為y=x+m。例5：已知長軸為12，短軸長為6，焦點(diǎn)在x軸上的橢圓，過它對的左焦點(diǎn)F1作傾斜解為直線交橢圓于A，B兩點(diǎn)，求弦AB的長。解：方法1：利用直線與橢圓相交的弦長公式求解。根據(jù)公式，AB=[1+k^2(x1-x2)^2]^(1/2)，其中k為直線的斜率，x1和x2為直線與橢圓的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)。帶入數(shù)據(jù)計(jì)算得到AB=48/13。方法2：利用橢圓的定義及余弦定理求解。橢圓的方程為x^2/36+y^2/18=1。設(shè)AF1=m，BF1=n，則AF2=12-m，BF2=12-n。根據(jù)余弦定理，AF2^2=AF1^2+F1F2^2-2AF1F1F2cosθ，其中θ為F1AF2的夾角。因?yàn)镕1AF2是直角三角形，所以cosθ=(F1F2/AF1F2)=1/3。同理，BF2^2=BF1^2+F1F2^2-2BF1F1F2cosθ。將兩個(gè)式子相加并代入橢圓的方程，化簡得到m^2+n^2-12(m+n)+48=0。解得(m-6)^2+(n-6)^2=25。因此，AB=2√21。1.給定一個(gè)方程，求解出其中的未知數(shù)m的值。方程為：m2+36×3-2×m×63。解：將方程化簡得：m2-378m+108=0，根據(jù)求根公式可得m=6或m=72。因?yàn)轭}目中要求m為正整數(shù)，所以m=6。2.在三角形ABC中，角B為直角，AB=4，BC=3。設(shè)BF垂直于AC，交于點(diǎn)F。利用余弦定理求解出BF的長度。解：根據(jù)余弦定理，得到BF2=AB2+AC2-2×AB×AC×cosB=16+9-24×cosB=25-24×cosB。又因?yàn)閏osB=3/5，代入計(jì)算可得BF=6/5。3.給定一個(gè)橢圓的方程，利用焦半徑的方法求解出其長軸長度。方程為：13x+723y+288=0。解：將方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式，得到(x/4)2+(y/3)2=1。因?yàn)殚L軸為4，所以焦半徑為c=√(42-32)=√7。根據(jù)焦半徑公式，得到c=√(a2-b2)，代入c和b=3，解得a=4√2。因此長軸長度為8。4.給定一個(gè)內(nèi)切于定圓B的動(dòng)圓P，求出其圓心P的軌跡方程。已知定點(diǎn)A為(-3,0)，定圓B的方程為x2+y2=64。解：設(shè)動(dòng)圓P的圓心坐標(biāo)為(x,y)，則根據(jù)題意，有PA+PB=8，即√[(x+3)2+y2]+√[(x-3)2+y2]=8。將其化簡得到(x+3)2+y2=16-2√[(x-3)2+y2]。將其化為標(biāo)準(zhǔn)形式，得到(x/2-3/2)2+y2/7=1。因此P的軌跡為以A和B為焦點(diǎn)，長軸為4，短軸為2√3的橢圓。5.給定一個(gè)橢圓的方程，分別求出過點(diǎn)P且被P平分的弦所在直線的方程，斜率為2的平行弦的中點(diǎn)軌跡方程，以及引橢圓的割線，求截得的弦的中點(diǎn)的軌跡方程，以及線段PQ中點(diǎn)M的軌跡方程。解：（1）設(shè)過點(diǎn)P的弦的兩端點(diǎn)為M(x1,y1)和N(x2,y2)，則根據(jù)題意，有PM=PN，即(x1-x2)2+(y1-y2)2=4。又因?yàn)镻在橢圓上，所以(x1/2)2+2(y1/2)2=1。將這兩個(gè)方程聯(lián)立解得x1=11y1/13-y2/13，x2=11y2/13-y1/13。因此所求直線方程為2x+4y-3=0。（2）根據(jù)題意，所求弦的斜率為2，即(x1-x2)/(y1-y2)=2。代入x1和x2的表達(dá)式，得到y(tǒng)1-y2=11(y2-y1)/6。因此所求中點(diǎn)的軌跡方程為11x-13y+11=0。（3）設(shè)割線與橢圓的交點(diǎn)為P和Q，割線的斜率為k，則根據(jù)橢圓的性質(zhì)，有y=kx和x2/4+2y2=1的交點(diǎn)。將y=kx代入橢圓方程，解得x=±2√(1-k2)/√7，因此P和Q的坐標(biāo)分別為(2√(1-k2)/√7,2k√(1-k2)/√7)和(-2√(1-k2)/√7,-2k√(1-k2)/√7)。因此所求弦的中點(diǎn)的坐標(biāo)為(0,0)。因此其軌跡方程為x2/4+y2/4=1/7。（4）設(shè)P和Q的坐標(biāo)分別為(x1,y1)和(x2,y2)，則根據(jù)題意，有y1/x1×y2/x2=-1/2，即y1y2=-x1x2/2。因此所求中點(diǎn)的坐標(biāo)為((x1+x2)/2,(y1+y2)/2)，代入可得其軌跡方程為11x2-26xy+13y2=0。例8：已知圓方程為$x^2+y^2=1$，從圓上任意一點(diǎn)$P$向$y$軸作垂線段，求線段中點(diǎn)$M$的軌跡。解：設(shè)圓上點(diǎn)$P$的坐標(biāo)為$(x,y)$，線段中點(diǎn)$M$的坐標(biāo)為$(0,\frac{y}{2})$。由于線段$PM$垂直于$y$軸，因此$PM$的斜率為無窮大，即線段$PM$的方程為$x=x_0$，其中$x_0$為$P$點(diǎn)的橫坐標(biāo)。由于$P$點(diǎn)在圓上，因此有$x^2+y^2=1$。將$x=x_0$代入該式，解得$y=\pm\sqrt{1-x_0^2}$，因此$M$點(diǎn)的坐標(biāo)為$(x_0,\pm\frac{\sqrt{1-x_0^2}}{2})$。因此，$M$點(diǎn)的軌跡方程為$x^2+\frac{y^2}{4}=1$。例9：已知點(diǎn)$P(4,2)$是直線$l$被橢圓$\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1$所截得的線段的中點(diǎn)，求直線$l$的方程。解：設(shè)直線$l$的方程為$y-2=k(x-4)$。將其代入橢圓方程，整理得$(4k+1)x-8k(4k-2)x+4(4k-2)-36=0$。設(shè)直線$l$與橢圓的交點(diǎn)為$A(x_1,y_1)$，$B(x_2,y_2)$，則$x_1$、$x_2$是該方程的兩根，因此$x_1+x_2=\frac{8k(4k-2)}{4k^2+1}$。由于$P(4,2)$為$AB$線段的中點(diǎn)，因此$4=\frac{x_1+x_2}{2}$，解得$k=-\frac{1}{2}$。因此，直線$l$的方程為$x+2y-8=0$。方法三：（數(shù)形結(jié)合）設(shè)所求直線與橢圓的一個(gè)交點(diǎn)為A(x,y)，另一個(gè)交點(diǎn)為B(8-x,4-y)。因?yàn)锳、B在橢圓上，所以有方程x+4y=36（①）和8-x+4(4-y)=36（②）。從而A、B在方程①-②的圖形x+2y-8=0上，而過A、B的直線只有一條，因此直線方程為x+2y-8=0。說明：直線與圓錐曲線的位置關(guān)系是解析幾何中重點(diǎn)考查的問題，而“設(shè)而不求”的方法是處理此類問題的有效方法。四、探索問題及其他給定橢圓C：x^2/4+y^2/9=1，試確定m的取值范圍，使得對于直線l：y=4x+m，橢圓C上有不同的兩點(diǎn)關(guān)于該直線對稱。分析：若設(shè)橢圓上A、B兩點(diǎn)關(guān)于直線l對稱，則已知條件等價(jià)于：(1)直線AB垂直于l；(2)弦AB的中點(diǎn)M在l上。利用上述條件建立m的不等式即可求得m的取值范圍。解法1：設(shè)橢圓上A(x1,y1)、B(x2,y2)兩點(diǎn)關(guān)于直線l對稱，直線AB與l交于點(diǎn)M(x,y)。因?yàn)閘的斜率為4，所以設(shè)直線AB的方程為y=-x+n/4。聯(lián)立橢圓方程和直線方程，消去y得到13x^2-8nx+16n^2-192=0（①）。因?yàn)锳、B是橢圓上的兩點(diǎn)，所以M點(diǎn)在橢圓上，即有(4n^2)/(13^2)+(n-4x)^2/9=1。聯(lián)立該方程和式①，解得-21/3<m<21/3。解法2：同解法1得出n=-3m，所以M點(diǎn)的坐標(biāo)為(-m,-3m)。因?yàn)锳、B為橢圓上的兩點(diǎn)，所以M點(diǎn)在橢圓的內(nèi)部，即有m^2/4+9m^2/36<1。解得-21/3<m<21/3。解法3：設(shè)A(x1,y1)、B(x2,y2)是橢圓上關(guān)于l對稱的兩點(diǎn)，直線AB與l的交點(diǎn)M的坐標(biāo)為(x,y)。同解法1，聯(lián)立橢圓方程和直線方程，消去y得到方程①。因?yàn)锳、B是橢圓上的兩點(diǎn)，所以M點(diǎn)在橢圓上，即有(x-m/4)^2/4+y^2/9=1。聯(lián)立該方程和式①，解得-21/3<m<21/3。1.由橢圓上兩點(diǎn)的坐標(biāo)關(guān)系，得到方程3(x1-x2)+4(y1-y2)=0，化簡得到3x(x1-x2)+4y(y1-y2)=0。2.由直線AB與橢圓的交點(diǎn)，消元得到一元二次方程的判別式，建立參數(shù)方程。3.由弦AB的中點(diǎn)M在橢圓內(nèi)部的條件，得到參數(shù)不等式。4.建立以MN中點(diǎn)為原點(diǎn)的直角坐標(biāo)系，求出P點(diǎn)坐標(biāo)為(3/5,2/11)。5.根據(jù)P點(diǎn)坐標(biāo)求出橢圓方程為4x^2y^2/153+1=0。6.利用已知條件求出G點(diǎn)的坐標(biāo)軌跡為以BC為焦點(diǎn)的橢圓，除去軸上兩點(diǎn)。7.利用G點(diǎn)坐標(biāo)與A點(diǎn)坐標(biāo)的關(guān)系，代入G點(diǎn)的軌跡方程中求解A點(diǎn)的軌跡方程。，G(x',y')，則有x'=10036/(x^2+9)y'=900324/(3y^2)該曲線的軌跡是橢圓（除去x軸上的兩個(gè)點(diǎn)），A點(diǎn)的軌跡方程為：x^2/100+y^2/36=1習(xí)題1：過點(diǎn)T(-1,0)作直線l與曲線N：y=x交于A、B兩點(diǎn)。在x軸上是否存在一點(diǎn)E(x,0)，使得△ABE是等邊三角形？若存在，請求出x；若不存在，請說明理由。解：根據(jù)題意，直線l的斜率存在且不等于1。設(shè)直線l的方程為y=k(x+1)，則A(x1,y1)、B(x2,y2)。由直線和曲線的交點(diǎn)，得到△ABE的三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)，然后根據(jù)等邊三角形的定義，求出E的坐標(biāo)。如果E的坐標(biāo)存在且在x軸上，則△ABE是等邊三角形，否則不存在。習(xí)題2：已知橢圓C：(x^2/4)+(y^2/1)=1(a>b>0)的離心率為c/2，且在x軸上的頂點(diǎn)分別為A1(-2,0)、A2(2,0)。（I）求橢圓的方程；（II）若直線l:x=t(t>2)與x軸交于點(diǎn)T，點(diǎn)P為直線l上異于點(diǎn)T的任一點(diǎn)，直線PA1、PA2分別與橢圓交于M、N點(diǎn)。試問直線MN是否通過橢圓的焦點(diǎn)？并證明你的結(jié)論。解：（I）根據(jù)橢圓的一般式，得到方程為(x^2/4