第11講函數(shù)的奇偶性

第11講函數(shù)的奇偶性1．了解函數(shù)奇偶性的含義，了解奇函數(shù)、偶函數(shù)的圖象的對(duì)稱(chēng)性；2．會(huì)用定義判斷函數(shù)的奇偶性；3．會(huì)依據(jù)函數(shù)的奇偶性進(jìn)行簡(jiǎn)單的應(yīng)用。一、函數(shù)奇偶性的定義1、奇函數(shù)：如果對(duì)于函數(shù)的定義域內(nèi)任意一個(gè)，都有，那么函數(shù)是奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)2、偶函數(shù)：如果對(duì)于函數(shù)的定義域內(nèi)任意一個(gè)，都有，那么函數(shù)是偶函數(shù)，圖象關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)。偶函數(shù)的性質(zhì)：，可避免討論．二、判斷函數(shù)奇偶性的常用方法1、定義法：若函數(shù)的定義域不是關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，則立即可判斷該函數(shù)既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)；若函數(shù)的定義域是關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的，再判斷與之一是否相等.2、驗(yàn)證法：在判斷與的關(guān)系時(shí)，只需驗(yàn)證=0及是否成立.3、圖象法：奇（偶）函數(shù)等價(jià)于它的圖象關(guān)于原點(diǎn)（軸）對(duì)稱(chēng).4、性質(zhì)法：兩個(gè)奇函數(shù)的和仍為奇函數(shù)；兩個(gè)偶函數(shù)的和仍為偶函數(shù)；兩個(gè)奇函數(shù)的積是偶函數(shù)；兩個(gè)偶函數(shù)的積是偶函數(shù)；一個(gè)奇函數(shù)與一個(gè)偶函數(shù)的積是奇函數(shù).5、分段函數(shù)奇偶性的判斷判斷分段函數(shù)的奇偶性時(shí)，通常利用定義法判斷.分段函數(shù)不是幾個(gè)函數(shù)，而是一個(gè)函數(shù).因此其判斷方法也是先考查函數(shù)的定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，然后判斷與的關(guān)系.首先要特別注意與的范圍，然后將它代入相應(yīng)段的函數(shù)表達(dá)式中，與對(duì)應(yīng)不同的表達(dá)式，而它們的結(jié)果按奇偶函數(shù)的定義進(jìn)行比較.三、定義法判斷函數(shù)奇偶性判斷與的關(guān)系時(shí)，也可以使用如下結(jié)論：如果或，則函數(shù)為偶函數(shù)；如果或，則函數(shù)為奇函數(shù)．四、利用函數(shù)奇偶性求分段函數(shù)解析式的步驟第一步：設(shè)出所求區(qū)間上的任意；第二步：將所求區(qū)間內(nèi)的轉(zhuǎn)化到已知區(qū)間內(nèi)；第三步：利用函數(shù)奇偶性的定義得出所求區(qū)間的解析式。五、利用函數(shù)奇偶性求參數(shù)值得方法1、如果定義函參數(shù)，由定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)列等式求解；2、如果解析式含參數(shù)（1）通過(guò)偶函數(shù)的定義或奇函數(shù)的定義列等式求解；（2）通過(guò)代入定義域內(nèi)的特殊值列等式求解；（3）對(duì)于在處有定義的奇函數(shù)，利用求解?？键c(diǎn)一：判斷函數(shù)的奇偶性例1．下列函數(shù)中既是奇函數(shù)又是增函數(shù)的是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】對(duì)于A：y=5x的定義域?yàn)镽，單調(diào)遞增，f（﹣x）=﹣5x，所以f（﹣x）=﹣f（x），所以f（x）為奇函數(shù)，故A正確；對(duì)于B：的定義域?yàn)閧x|x≠0}，，所以f（﹣x）=﹣f（x），所以f（x）為奇函數(shù)，f（x）在（﹣∞，0），（0，+∞）上單調(diào)遞減，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C：y=4x2的定義域?yàn)镽，f（﹣x）=4x2，所以f（﹣x）=f（x），所以f（x）為偶函數(shù)，f（x）在（﹣∞，0）上單調(diào)遞減，（0，+∞）上單調(diào)遞增，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D：的定義域?yàn)镽，，所以f（﹣x）=﹣f（x），所以f（x）為奇函數(shù)，f（x）在（﹣∞，+∞）上單調(diào)遞減，故D錯(cuò)誤，故選：A.【變式訓(xùn)練1】函數(shù)的奇偶性是（）A．奇函數(shù)B．偶函數(shù)C．非奇非偶函數(shù)D．既奇又偶函數(shù)【答案】B【解析】的定義域?yàn)?，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，.故為偶函數(shù).故選：B.【變式訓(xùn)練2】對(duì)于兩個(gè)定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的函數(shù)和在它們的公共定義域內(nèi)，下列說(shuō)法中正確的是（）A．若和都是奇函數(shù)，則是奇函數(shù)B．若和都是偶函數(shù)，則是偶函數(shù)C．若是奇函數(shù)，是偶函數(shù)，則是偶函數(shù)D．若和都是奇函數(shù)，則不一定是奇函數(shù)【答案】B【解析】對(duì)于A，因?yàn)楹投际瞧婧瘮?shù)，所以，，令，則，所以是偶函數(shù)，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，因?yàn)楹投际桥己瘮?shù)，所以，，令，則，所以是偶函數(shù)，故B正確；對(duì)于C，因?yàn)槭瞧婧瘮?shù)，是偶函數(shù)，所以，，令，則，所以是奇函數(shù)，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，因?yàn)楹投际瞧婧瘮?shù)，所以，，令，則，所以是奇函數(shù)，故D錯(cuò)誤.故選：B考點(diǎn)二：利用奇偶性求函數(shù)值例2．已知函數(shù)是定義域?yàn)榈钠婧瘮?shù)，當(dāng)時(shí)，，則（）A．1B．－1C．5D．－5【答案】B【解析】根據(jù)奇函數(shù)性質(zhì)可知；而，所以，所以.故選：B【變式訓(xùn)練】已知是上的偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則（）A．B．C．D．【答案】C【解析】因?yàn)槭巧系呐己瘮?shù)，所以，所以關(guān)于對(duì)稱(chēng)，當(dāng)時(shí)，，所以.故選：C.考點(diǎn)三：利用奇偶性求參數(shù)例3．已知函數(shù)為偶函數(shù)，則的值是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】若函數(shù)為偶函數(shù)，則，即，整理得，故，解得.故選：B.【變式訓(xùn)練】若函數(shù)為奇函數(shù)，則__．【答案】【解析】因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)椋液瘮?shù)為奇函數(shù)，所以，，解得.故答案為：.考點(diǎn)四：利用奇偶性求解析式例4．已知為偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則當(dāng)時(shí)，（）A．B．C．D．【答案】B【解析】當(dāng)時(shí)，，則，又因?yàn)槭桥己瘮?shù)，所以.故選：B.【變式訓(xùn)練】已知是定義域?yàn)镽的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則當(dāng)時(shí)，的表達(dá)式為_(kāi)________．【答案】/【解析】是定義域?yàn)镽的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則當(dāng)時(shí)，，，所以當(dāng)時(shí)，的表達(dá)式為.故答案為：1．函數(shù)的圖像關(guān)于（）A．軸對(duì)稱(chēng)B．直線對(duì)稱(chēng)C．坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)D．直線対稱(chēng)【答案】C【解析】因?yàn)槎x域?yàn)椋?，所以為奇函?shù)，函數(shù)圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng).故選：C2．下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)，又在上單調(diào)遞減的函數(shù)是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】對(duì)選項(xiàng)A：關(guān)于對(duì)稱(chēng)，不是偶函數(shù)，排除；對(duì)選項(xiàng)B：定義域?yàn)椋?函數(shù)為偶函數(shù)，且在上單調(diào)遞減，滿足；對(duì)選項(xiàng)C：定義域?yàn)?，是奇函?shù)，排除；對(duì)選項(xiàng)D：當(dāng)，單調(diào)遞增，排除.故選：B.3．下列函數(shù)中是偶函數(shù)的是（）A．，B．C．D．，【答案】D【解析】函數(shù)，，定義域不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，不具有奇偶性，A選項(xiàng)錯(cuò)誤；函數(shù)，，，，函數(shù)不是偶函數(shù)，B選項(xiàng)錯(cuò)誤；函數(shù)，定義域?yàn)镽，，函數(shù)是奇函數(shù)，C選項(xiàng)錯(cuò)誤；函數(shù)，，定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，，函數(shù)為偶函數(shù)，D選項(xiàng)正確．故選：D4．已知偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則當(dāng)時(shí)，（）A．B．C．D．【答案】D【解析】當(dāng)，則，，又為偶函數(shù)，∴當(dāng)x<0時(shí)，.故選：D5．已知函數(shù)是偶函數(shù)，且其定義域?yàn)椋瑒t（）A．，b＝0B．C．D．，【答案】B【解析】因?yàn)榕己瘮?shù)的定義域?yàn)?，所以，解得，所以，由偶函?shù)定義得，所以，即，所以，故.故選：B.6．若函數(shù)為奇函數(shù)，則（）A．B．C．D．1【答案】A【解析】由函數(shù)為奇函數(shù)，可得，所以，所以，化簡(jiǎn)得恒成立，所以，即,經(jīng)驗(yàn)證，定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，且滿足，故；故選:A．7．已知函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則的解析式是_______．【答案】【解析】由函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù)得；當(dāng)時(shí)，，∴．綜上，；故答案為：.8．已知函數(shù)其中a，b為常數(shù)，若求_________.【答案】【解析】；故答案為：9．定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，（k為常數(shù)），則______．【答案】-4【解析】是定義在R上的奇函數(shù)，，解得，則當(dāng)時(shí)，，.故答案為：-4.10．函數(shù)是定義在上的偶函數(shù),則__．【答案】3【解析】因?yàn)槭嵌x在上的偶函數(shù),所以,解得,由得,即,則,故．故答案為:31．下列函數(shù)中，是偶函數(shù)的是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】對(duì)于A，函數(shù)的定義域?yàn)镽，，不是偶函數(shù)，A不是；對(duì)于B，函數(shù)的定義域?yàn)镽，，不是偶函數(shù)，B不是；對(duì)于C，函數(shù)的定義域?yàn)镽，，是偶函數(shù)，C是；對(duì)于D，函數(shù)的定義域?yàn)镽，，不是偶函數(shù)，D不是.故選：C2．己知是定義在上的奇函數(shù)，且，則的值為（）A．1B．2C．3D．4【答案】D【解析】因?yàn)?，所以令，則，因?yàn)?，，所以，令，則.故選：D.3．已知是上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則（）A．4B．C．7D．【答案】A【解析】當(dāng)時(shí)，，因?yàn)槭巧系钠婧瘮?shù)，所以，所以.故選：A.4．函數(shù)是奇函數(shù)，其圖象上有一點(diǎn)，則函數(shù)的圖象必過(guò)點(diǎn)（）A．B．C．D．【答案】C【解析】函數(shù)的定義域?yàn)镈，因?yàn)楹瘮?shù)是奇函數(shù)，，所以，且，所以函數(shù)的圖象必過(guò)點(diǎn).故選：C.5．（多選）設(shè)函數(shù)的定義域都為R，且是奇函數(shù)，是偶函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（）A．是偶函數(shù)B．是奇函數(shù)C．是奇函數(shù)D．是偶函數(shù)【答案】CD【解析】因?yàn)楹瘮?shù)的定義域都為R，所以各選項(xiàng)中函數(shù)的定義域也為R，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，因?yàn)槭瞧婧瘮?shù)，是偶函數(shù)，所以，對(duì)于A，因?yàn)?，所以函?shù)是奇函數(shù)，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，因?yàn)?，所以函?shù)是偶函數(shù)，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，因?yàn)?，所以函?shù)是奇函數(shù)，故C正確；對(duì)于D，因?yàn)?，所以函?shù)是偶函數(shù)，故D正確.故選：CD.6．（多選）下列判斷正確的是（）A．是偶函數(shù)B．是奇函數(shù)C．是奇函數(shù)D．是非奇非偶函數(shù)【答案】BC【解析】對(duì)于A，由且，得，則的定義域不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，所以函數(shù)為非奇非偶函數(shù)，故A錯(cuò)誤;對(duì)于B，函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，當(dāng)x>0時(shí)，，，當(dāng)x<0時(shí)，也有，所以為奇函數(shù)，故B正確;對(duì)于C，由且，得，即，的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，此時(shí)，所以既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)，故C正確;對(duì)于D，由且，得且x≠0，的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，因?yàn)椋院瘮?shù)為奇函數(shù)，故D錯(cuò)誤.故選:BC.7．“a＝0”是“是偶函數(shù)”的______條件．（填“充要”、“充分非必要”、“必要非充分”或“既非充分又非必要”）【答案】充要【解析】由是偶函數(shù)，可得，經(jīng)檢驗(yàn)符合題意，則“a＝0”是“是偶函數(shù)”的充要條件故答案為：充要8．若函數(shù)是奇函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的值為_(kāi)__________.【答案】1【解析】若是奇函數(shù)，則有.當(dāng)時(shí)，，則，又當(dāng)時(shí)，，所以，由，得，解得a=1.故答案為：1.9．已知是定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則時(shí)，的解析式為_(kāi)