數(shù)學(xué)建模的微分方程方法

關(guān)于數(shù)學(xué)建模的微分方程方法第1頁(yè)，講稿共151頁(yè)，2023年5月2日，星期三

許多有趣的實(shí)際問(wèn)題都包含著隨時(shí)間發(fā)展的過(guò)程。動(dòng)態(tài)模型常被用于表現(xiàn)這些過(guò)程的演變。動(dòng)態(tài)模型建模時(shí)首先要根據(jù)建模目的和對(duì)問(wèn)題的具體分析作出簡(jiǎn)化假設(shè)，然后按照對(duì)象內(nèi)在的或可以類(lèi)比的其他對(duì)象的規(guī)律列出微分方程，接著求解微分方程并將微分方程的解翻譯回實(shí)際對(duì)象，最后就可以進(jìn)行描述、分析、預(yù)測(cè)和控制實(shí)際對(duì)象了。

五步方法、靈敏性分析和穩(wěn)健性分析等基本原則對(duì)動(dòng)態(tài)模型是有意義并且是有用的。在探討一些最流行和最實(shí)用的動(dòng)態(tài)建模技巧時(shí)，我們常采用這些方法。第2頁(yè)，講稿共151頁(yè)，2023年5月2日，星期三

一般來(lái)講，動(dòng)態(tài)模型易于構(gòu)造但是難于求解。精確的解析解僅對(duì)少數(shù)特殊情況存在，如線性系統(tǒng)。數(shù)值方法常常不能對(duì)系統(tǒng)的行為提供一個(gè)好的定性的解釋。所以圖形表示通常是分析動(dòng)態(tài)模型不可缺少的一部分。由于圖形表示特有的簡(jiǎn)單性，以及它的幾何性質(zhì)，使得它在數(shù)學(xué)建模中占據(jù)了重要地位。事實(shí)上，對(duì)于動(dòng)態(tài)模型，數(shù)值方法結(jié)合圖形分析才是最有效的方法。第3頁(yè)，講稿共151頁(yè)，2023年5月2日，星期三目錄：§1五步方法§2靈敏性分析§3穩(wěn)健性分析§4薄膜滲透率的測(cè)定§5香煙過(guò)濾嘴的作用§6其他實(shí)例

第4頁(yè)，講稿共151頁(yè)，2023年5月2日，星期三

本節(jié)簡(jiǎn)要介紹用數(shù)學(xué)建模解決問(wèn)題的一般過(guò)程，稱之為五步方法。1.提出問(wèn)題2.選擇建模方法3.推導(dǎo)模型的數(shù)學(xué)表達(dá)式4.求解模型5.回答問(wèn)題§1五步方法第5頁(yè)，講稿共151頁(yè)，2023年5月2日，星期三例1.1一頭豬重200磅,每天增重5磅,伺養(yǎng)每天需花費(fèi)45美分。豬的市場(chǎng)價(jià)格是每磅65美分，但是每天下降1美分。求出售豬的最佳時(shí)間。注：1磅=0.454千克第6頁(yè)，講稿共151頁(yè)，2023年5月2日，星期三

而問(wèn)題需要用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)，這通常需要大量的工作。在這個(gè)過(guò)程中，需要對(duì)實(shí)際問(wèn)題做一些假設(shè)，但不需要做出推測(cè)，因?yàn)槲覀兛偪梢栽诤竺娴倪^(guò)程中隨時(shí)返回并做出更好的推測(cè)。在用數(shù)學(xué)術(shù)語(yǔ)提出問(wèn)題之前，我們需要定義所用的術(shù)語(yǔ)。

第一步是提出問(wèn)題，第7頁(yè)，講稿共151頁(yè)，2023年5月2日，星期三

首先，列出整個(gè)問(wèn)題所涉及的變量，包括恰當(dāng)?shù)膯挝弧?/p>

然后，寫(xiě)出關(guān)于這些變量所做的假設(shè)，列出已知的或者假設(shè)的這些變量之間的關(guān)系式,包括等式或不等式。

最后，用明確的數(shù)學(xué)語(yǔ)言寫(xiě)出這個(gè)問(wèn)題的目標(biāo)的表達(dá)式。

變量、單位、等式、不等式和假設(shè)，就構(gòu)成了完整的問(wèn)題。第8頁(yè)，講稿共151頁(yè)，2023年5月2日，星期三在例1.1中，變量包括:1.豬的重量

w(磅)2.從現(xiàn)在到出售經(jīng)歷的時(shí)間

t(天)3.t天內(nèi)伺養(yǎng)豬的花費(fèi)

C(美元)4.豬的市場(chǎng)價(jià)格

p(美元/磅)5.售出生豬所獲得的收益

R(美元)6.最終獲得的凈收益

P(美元)還有一些量，如豬的初始重量(200磅)等，但這些量不是變量。把變量和常量分開(kāi)是很重要的。第9頁(yè)，講稿共151頁(yè)，2023年5月2日，星期三

下面我們列出對(duì)這些變量所做的假設(shè)。在這個(gè)過(guò)程中，我們要考慮問(wèn)題中的常量的作用把變量的單位帶進(jìn)去,可以檢查所列式子是否有意義。第10頁(yè)，講稿共151頁(yè)，2023年5月2日，星期三變量：t

=從現(xiàn)在到出售的時(shí)間(天)

w=豬的重量(磅)

p

=

豬的價(jià)格(美元/磅)

C

=飼養(yǎng)

t天的花費(fèi)(美元)

R

=售出豬的收益(美元)

P

=

凈收益(美元)假設(shè)：w

=200+5t

p

=0.65-0.01t

C

=

0.45t

R=

p·w

P=R-C

t≥

0目標(biāo)：求P的最大值圖1-1售豬問(wèn)題的第一步的結(jié)果注意：第一部分三個(gè)階段(變量、假設(shè)、目標(biāo))的確定不需要按特定的順序。第11頁(yè)，講稿共151頁(yè)，2023年5月2日，星期三現(xiàn)在我們已經(jīng)有了一個(gè)用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表述的問(wèn)題，我們需要選擇一種數(shù)學(xué)方法來(lái)獲得解。許多問(wèn)題都可以表示成一個(gè)已有的有效的一般求解方法的標(biāo)準(zhǔn)形式。應(yīng)用數(shù)學(xué)領(lǐng)域的多數(shù)研究都包含確定問(wèn)題的一般類(lèi)別，并提出解決該類(lèi)問(wèn)題的有效方法。在這一領(lǐng)域有許多文獻(xiàn)，并且不斷取得新的進(jìn)展。一般很少有學(xué)生對(duì)選擇較好的建模方法有經(jīng)驗(yàn)或熟悉文獻(xiàn)。在座的各位大都是首次參加數(shù)學(xué)建模比賽，至多也就是參加了學(xué)校的建模比賽，對(duì)形形色色的建模方法更是知之甚少。這也是我為什么選擇這部分內(nèi)容作為本講的第一節(jié)的主要原因。

第二步是選擇建模方法。第12頁(yè)，講稿共151頁(yè)，2023年5月2日，星期三設(shè)

在

處是可微的，如果

在

處達(dá)到極大或極小,則。細(xì)節(jié)可參閱微積分入門(mén)教材。

建模方法：第13頁(yè)，講稿共151頁(yè)，2023年5月2日，星期三

第三步是推導(dǎo)模型的數(shù)學(xué)表達(dá)式。如：例1.1把問(wèn)題中的變量名改換一下，在算法上就比較方便。P=R?C=p·w?0.45t

=(0.65?0.01t)(200+5t)?0.45t記y=P為目標(biāo)變量，x=t為自變量，則問(wèn)題轉(zhuǎn)化為在集合S={x:x≥0}上求下面函數(shù)的最大值：

y=f(x)=(0.65

?

0.01x)(200+5x)

?0.45x.即要把第一步得到的問(wèn)題應(yīng)用于第二步，寫(xiě)成所選建模方法需要的標(biāo)準(zhǔn)形式，以便于我們運(yùn)用標(biāo)準(zhǔn)的算法過(guò)程求解。第14頁(yè)，講稿共151頁(yè)，2023年5月2日，星期三

第四步，利用第二步中確定的標(biāo)準(zhǔn)過(guò)程求解這個(gè)模型。如本例中即對(duì)y=f(x)=(0.65?0.01x)(200+5x)?0.45x在區(qū)間x≥0上求最大值。如圖1-2可知，y=f(x)關(guān)于x是二次的曲線圖，易得f

'(x)=?0.1x+0.8則在點(diǎn)x=8處f

'(x)=0.第15頁(yè)，講稿共151頁(yè)，2023年5月2日，星期三圖1-2售豬問(wèn)題的凈收益f(x)關(guān)于時(shí)間x的曲線圖05101520126128130132134xf(x)y=?0.05x2+0.8x+130由f在區(qū)間(?∞,8)上單調(diào)遞增,而在區(qū)間(8,+∞)上單調(diào)遞減。故點(diǎn)x=8是全局最大值點(diǎn)。且有f(8)=133.20,從而點(diǎn)(x,y)=(8,133.20)是f在整個(gè)實(shí)軸上的全局最大值點(diǎn),也是區(qū)間x≥0上的最大值點(diǎn)。第16頁(yè)，講稿共151頁(yè)，2023年5月2日，星期三第五步回答問(wèn)題，

由第四步，我們得到的答案是在8天之后，可以獲得凈收益133.20美元。只要第一步的假設(shè)成立，這一結(jié)果就是正確的。

相關(guān)的問(wèn)題及其他不同的假設(shè)可以按照第一步中的做法調(diào)整得到。由于我們處理的是一個(gè)實(shí)際問(wèn)題（一個(gè)農(nóng)民決定何時(shí)出售他飼養(yǎng)的生豬），在第一步中會(huì)有一個(gè)風(fēng)險(xiǎn)因素存在，因此通常有必要研究一些不同的可能，這一過(guò)程稱為靈敏性分析。我們將在下一節(jié)進(jìn)行討論。即回答第一步中提出的問(wèn)題“何時(shí)售豬可以達(dá)到最大凈收益？”第17頁(yè)，講稿共151頁(yè)，2023年5月2日，星期三圖1-3五步方法圖第一步提出問(wèn)題(1)列出問(wèn)題涉及的變量，包括恰當(dāng)?shù)膯挝?(2)注意不要混淆了變量和常量;(3)列出你對(duì)變量所做的全部假設(shè)，包括等式和不等式;(4)檢查單位從而保證你的假設(shè)有意義；(5)

用準(zhǔn)確的數(shù)學(xué)表達(dá)式給出問(wèn)題的目標(biāo)。第二步選擇建模方法(1)

選擇問(wèn)題的一個(gè)一般的求解方法；(2)一般地，這一步的成功需要經(jīng)驗(yàn)、技巧的對(duì)相關(guān)文獻(xiàn)有一定的熟悉程度；(3)要針對(duì)不同問(wèn)題決定要用的建模方法。

本節(jié)主要介紹五步方法,下面將這一方法總結(jié)歸納成如下圖表(圖1-3),以便以后參考。

第18頁(yè)，講稿共151頁(yè)，2023年5月2日，星期三

(2)有可能需要統(tǒng)一第一、二步中的變量名；

(3)記下所有補(bǔ)充假設(shè)，這些假設(shè)是為了使在第一步中描述的問(wèn)題與第二步中選定的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)相適應(yīng)而做的。第四步求解模型第五步回答問(wèn)題

(1)

用非技術(shù)性的語(yǔ)言將第四步中的結(jié)果重新表述；

(2)避免數(shù)學(xué)符號(hào)和術(shù)語(yǔ);

(3)能理解最初提出問(wèn)題的人就應(yīng)該能理解你給出的解答。

第三步推導(dǎo)模型的公式

(1)將第一步中得到的問(wèn)題重新表達(dá)成第二步選定的建模方法需要的形式；

(1)將第二步中所選方法應(yīng)用于第三步得到的表達(dá)式;

(2)注意你的數(shù)學(xué)推導(dǎo),檢查是否有錯(cuò)誤,答案是否有意義;

(3)

采用適當(dāng)?shù)募夹g(shù),計(jì)算機(jī)代數(shù)系統(tǒng)、圖形、數(shù)值計(jì)算的軟件等都能擴(kuò)大你解決問(wèn)題的范圍,并減少計(jì)算錯(cuò)誤。第19頁(yè)，講稿共151頁(yè)，2023年5月2日，星期三§1.2靈敏性分析1.問(wèn)題的提出

(2)靈敏性分析是數(shù)學(xué)建模的一個(gè)重要方面，具體內(nèi)容與所用的建模方法有關(guān)。

(3)上一節(jié)用售豬問(wèn)題說(shuō)明了建模的五步法。圖1-1列出了求解該問(wèn)題所做的所有假設(shè)，雖然數(shù)據(jù)和假設(shè)都有非常詳細(xì)的說(shuō)明，但還要再嚴(yán)格檢查，由于數(shù)據(jù)是由測(cè)量、觀察有時(shí)甚至完全是猜測(cè)得到的，故要考慮數(shù)據(jù)不準(zhǔn)確的可能性。

(1)上一節(jié)簡(jiǎn)要介紹了五步法。整個(gè)過(guò)程從假設(shè)開(kāi)始,但很難保證這些假設(shè)都是正確的，因此要考慮所得結(jié)果對(duì)每一條假設(shè)的敏感程度，即靈敏性。第20頁(yè)，講稿共151頁(yè)，2023年5月2日，星期三在這個(gè)例子中，我們可以看出：①可靠性高的數(shù)據(jù)：

生豬現(xiàn)在的重量、豬現(xiàn)在的價(jià)格、每天飼養(yǎng)的花費(fèi)等，易測(cè)量，確定性大；②可靠性低的數(shù)據(jù)：豬的生長(zhǎng)率g和價(jià)格的下降速率r.第21頁(yè)，講稿共151頁(yè)，2023年5月2日，星期三2.最佳售豬時(shí)間x關(guān)于價(jià)格下降速率r的靈敏性

前面我們假定r=0.01美元/天，現(xiàn)在假設(shè)

r

的實(shí)際值是不同的，對(duì)幾個(gè)不同的

r

值，重復(fù)使用前面的求解過(guò)程,我們會(huì)對(duì)問(wèn)題的解關(guān)于

r

的敏感程度有所了解。即給定r，對(duì)y=f(x)=(0.65?rx)(200+5x)?

0.45x關(guān)于x求導(dǎo)，令f

'(x)=0，可得相應(yīng)x值。表1-4給出了選擇幾個(gè)不同的r值求出x的計(jì)算結(jié)果。(1)

粗分析第22頁(yè)，講稿共151頁(yè)，2023年5月2日，星期三表1-4售豬問(wèn)題中最佳售豬時(shí)間x關(guān)于價(jià)格的下降速率r的靈敏性r(美元/天)x(天)r(美元/天)x(天)0.0080.0090.010.0110.01215.011.18.05.53.3

將上表1-4中的數(shù)據(jù)繪制在如下圖1-5中。圖1-5售豬問(wèn)題中最佳售豬時(shí)間x關(guān)于價(jià)格的下降速率r的曲線x(天)r(美元/天)2468101214160.0080.0090.0100.0110.012易見(jiàn)，x

對(duì)r

是很敏感的。第23頁(yè)，講稿共151頁(yè)，2023年5月2日，星期三(2)系統(tǒng)分析

將r作為未知的參數(shù)，仍按前面的步驟求解:①出售價(jià)格：p=0.65?rt

②

目標(biāo)函數(shù)：y=f(x)=(0.65?rx)(200+5x)?

0.45x

=130+2.8x?200rx?5rx2③求導(dǎo)：

f

'

(x)=2.8?200r?10rx④使f

'(x)=0的點(diǎn)為

x=(7

?500r)/25r

若要x≥0，只要0<r≤0.014，最佳售豬時(shí)間可由x=(7?

500r)/25r給出，對(duì)r>0.014,在[0,+∞)上都有f

‘(x)<0，最佳售豬時(shí)間為x=0。

圖1-6給出了r=0.015的情況第24頁(yè)，講稿共151頁(yè)，2023年5月2日，星期三圖1-6售豬問(wèn)題的凈收益f(x)在r=0.015關(guān)于時(shí)間x的曲線圖0510152090100110120130xf(x)y=?0.075x2?0.2x+130第25頁(yè)，講稿共151頁(yè)，2023年5月2日，星期三3.最佳售豬時(shí)間x關(guān)于生長(zhǎng)率g的靈敏性前面我們假定

g=5磅/天,一般地,我們有如下步驟:

①出售重量：w=200+gt

②目標(biāo)函數(shù)：y=f(x)=0.65?

0.01x)(200+gx)?0.45x

=130+0.65gx?2.45x?0.01gx2③求導(dǎo)：

f

'(x)=0.65g?2.45?0.02gx④使f

'(x)=0的點(diǎn)為

x=5(13g?49)/2g若要x≥0,最佳售豬時(shí)間可由

x=5(13g-49)/2g給出,圖1-7給出了最佳售豬時(shí)間和生長(zhǎng)率g之間的關(guān)系。第26頁(yè)，講稿共151頁(yè)，2023年5月2日，星期三圖1-7售豬問(wèn)題中最佳售豬時(shí)間關(guān)于生長(zhǎng)率g的曲線圖34567-10-50510gxx=5(13g?49)/2g15第27頁(yè)，講稿共151頁(yè)，2023年5月2日，星期三4.靈敏性的相對(duì)改變量(1)意義：

相對(duì)改變量比絕對(duì)改變量更自然且更實(shí)用。將靈敏性數(shù)據(jù)表示成相對(duì)改變量或者百分比的形式，會(huì)使模型更加直觀。

例如：r

的10%下降導(dǎo)致了x的39%的增加，g的10%下降導(dǎo)致了x

的34%的下降。第28頁(yè)，講稿共151頁(yè)，2023年5月2日，星期三(2)

x對(duì)r的靈敏性:對(duì)售豬問(wèn)題中,由x=(7?500r)/25r可得,在點(diǎn)r=0.01,有即若r增加10%,則導(dǎo)致了x的35%下降.即

r

對(duì)x的彈性第29頁(yè)，講稿共151頁(yè)，2023年5月2日，星期三(3)

x對(duì)g的靈敏性:對(duì)售豬問(wèn)題中，由x=5(13g?49)/2g可得，在點(diǎn)g=5，有若g增加10%,則x上升30.625%,即多等侍約30%的時(shí)間.即g

對(duì)x的彈性第30頁(yè)，講稿共151頁(yè)，2023年5月2日，星期三注意:

(1)靈敏性分析的成功應(yīng)用要有好的判斷力,即不可能也不必要對(duì)模型中每個(gè)參數(shù)都進(jìn)行靈敏性分析,要選擇較大不確定的參數(shù);

(2)

對(duì)靈敏性的解釋依賴于參數(shù)的不確定程度;

(3)

原始問(wèn)題中數(shù)據(jù)的不確定程度也會(huì)影響我們對(duì)答案的自信度。如售豬問(wèn)題中,豬的生長(zhǎng)率g比價(jià)格下降率r更可靠。第31頁(yè)，講稿共151頁(yè)，2023年5月2日，星期三§1.3穩(wěn)健性分析1.關(guān)于穩(wěn)鍵性(1)

穩(wěn)鍵性：

一個(gè)數(shù)學(xué)模型不完全精確，但由其導(dǎo)出的結(jié)果仍是正確的，我們稱這個(gè)模型有穩(wěn)鍵性。(2)

研究的理由：實(shí)際問(wèn)題中，我們不會(huì)有絕對(duì)準(zhǔn)確的信息，即使建立一個(gè)完美的精確的模型，也可能采用較簡(jiǎn)單和易于處理的近似方法。(3)

數(shù)據(jù)假設(shè)與其它假設(shè)：靈敏性分析的過(guò)程是一種根據(jù)對(duì)數(shù)據(jù)提出的假設(shè)來(lái)評(píng)估模型穩(wěn)鍵性的方法。在提出的問(wèn)題中，還有其它假設(shè)需要檢查。為了數(shù)學(xué)處理的方便和簡(jiǎn)化的目的，常要做一些假設(shè)，建模者有責(zé)任考察假設(shè)是否太特殊，以至于導(dǎo)致建模結(jié)果變得無(wú)效。第32頁(yè)，講稿共151頁(yè)，2023年5月2日，星期三(4)

對(duì)售豬問(wèn)題：圖1-1列出了全部假設(shè)，除了數(shù)據(jù)的取值外，主要的假設(shè)是豬的重量和價(jià)格都是時(shí)間的線性函數(shù)。這顯然是做了簡(jiǎn)化的，是不可能?chē)?yán)格滿足的。比如：由此線性假設(shè)，一年后，豬的重量

w=200+5t=200+5×365=2025(磅)一年后價(jià)格為p=0.65?0.01t=0.65?0.01×365=?3(美元/磅)顯然,線性假設(shè)不合理,更實(shí)際的模型既要考慮函數(shù)的非線性性，又要考慮隨時(shí)間的不確定性。若假設(shè)錯(cuò)誤，模型怎能給出正確答案？雖然模型力求完美，但這難以達(dá)到。確切地說(shuō)：數(shù)學(xué)模型力求接近完美。好模型有穩(wěn)鍵性，是指雖然它給出的答案不完全精確，但足夠近似故可以在實(shí)際問(wèn)題中應(yīng)用。第33頁(yè)，講稿共151頁(yè)，2023年5月2日，星期三2.r，g不是常數(shù)時(shí)對(duì)模型結(jié)果的影響

(1)考察售豬問(wèn)題中的線性假設(shè)重量:w=200+rtT

w=w(t)價(jià)格:p=0.65?gtT

p=p(t)T收益:P(t)=pw?0.45t令P′(t)=0Tp′w+pw′=0.45每天利潤(rùn)的增值每天投入的資金其中

p′w代表因價(jià)格下降而損失的價(jià)值;

pw′代表由于豬增重而增加的價(jià)值。模型告訴我們，只要豬價(jià)比伺養(yǎng)費(fèi)用增長(zhǎng)快，就應(yīng)該繼續(xù)伺養(yǎng)。保留生豬直到利潤(rùn)的增值等于每天的伺養(yǎng)費(fèi)用時(shí)出售。第34頁(yè)，講稿共151頁(yè)，2023年5月2日，星期三(2)

考察售豬問(wèn)題中的非線性假設(shè)重量:

w=w(t)價(jià)格:p=p(t)T收益:P(t)=pw?0.45tp′w+pw′=0.45假設(shè)一種情況：一個(gè)農(nóng)民有一頭重約200磅的豬,在上周每天增重約5磅，五天前豬價(jià)為70美分/磅，但現(xiàn)在豬價(jià)為65美分/磅，我們應(yīng)該怎么辦？保留生豬直到利潤(rùn)的增值等于每天的費(fèi)用時(shí)出售由數(shù)據(jù)w=200,w′=5,p=0.65,p′=?0.01若

(10%),建議過(guò)一周后(t=7)重新估計(jì)，再作計(jì)算。和，則

（30%）。第35頁(yè)，講稿共151頁(yè)，2023年5月2日，星期三EX1.完成下面的練習(xí)并試著用小論文的形式寫(xiě)出一個(gè)汽車(chē)制造商售出某品牌的汽車(chē)可獲利1500美元,估計(jì)每100美元的折扣可以使銷(xiāo)售額提高15%。

(1)多大的折扣可以使利潤(rùn)最高？利用五步方法及單變量最優(yōu)化模型。

(2)對(duì)你所得的結(jié)果，求關(guān)于所做的15%假設(shè)的靈敏性。分別考慮折扣量和相應(yīng)的收益。

(3)假設(shè)實(shí)際每100美元的折扣僅可以使銷(xiāo)售額提高10%，對(duì)結(jié)果會(huì)有什么影響？如果每100美元的折扣的提高量為10%~15%之間的某個(gè)值,結(jié)果以如何.

(4)什么情況下折扣會(huì)導(dǎo)致利潤(rùn)的降低。第36頁(yè)，講稿共151頁(yè)，2023年5月2日，星期三EX2.完成下面的練習(xí)并試著用小論文的形式寫(xiě)出

仍考慮例1.1中的問(wèn)題，但現(xiàn)在假設(shè)豬的價(jià)格保持穩(wěn)定.設(shè)(1.1)表示t天后豬的價(jià)格(美分/磅)。

(1)畫(huà)圖表示(1.1)式及我們?cè)瓉?lái)的價(jià)格函數(shù).解釋為什么原來(lái)的價(jià)格函數(shù)可以作為(1.1)式在t趨于0時(shí)的近似.

(2)求最佳售豬時(shí)間.

(3)

參數(shù)0.00004表示價(jià)格的平穩(wěn)率，對(duì)這個(gè)參數(shù)求靈敏性.分別考慮最佳售豬時(shí)間和相應(yīng)的收益.第37頁(yè)，講稿共151頁(yè)，2023年5月2日，星期三EX3.完成下面的練習(xí)并試著用小論文的形式寫(xiě)出

仍考慮例1.1中的問(wèn)題，但假設(shè)現(xiàn)在的目標(biāo)是對(duì)收益率求最大值。假設(shè)豬已經(jīng)養(yǎng)了90天,到現(xiàn)在已為這頭豬投入了100美元。(1)求最佳售豬時(shí)間.(2)討論豬的生長(zhǎng)率的靈敏性,分別考慮最佳售豬時(shí)間和相應(yīng)的收益.(3)討論豬價(jià)下降率的靈敏性,分別考慮最佳售豬時(shí)間和相應(yīng)的收益.第38頁(yè)，講稿共151頁(yè)，2023年5月2日，星期三EX4.用五步法完成下面的練習(xí)并試著用小論文的形式寫(xiě)出

一家彩電制造商計(jì)劃推出兩種新產(chǎn)品:一種是19英寸液晶平板電視機(jī),制造商建議零售價(jià)為339美元;另一種是21英寸液晶平板電視機(jī),零售價(jià)為399美元.公司付出的成本為19英寸彩電每臺(tái)195美元,21英寸彩電每臺(tái)225美元,還要加上400000美元的固定成本.在競(jìng)爭(zhēng)的銷(xiāo)售市場(chǎng)中,每年售出的彩電的數(shù)量會(huì)影響彩電的平均價(jià)格.據(jù)估計(jì),對(duì)每種類(lèi)型的彩電,每多售出一臺(tái),平均銷(xiāo)售價(jià)格會(huì)下降1美分.而且19英寸彩電的銷(xiāo)售會(huì)影響21英寸彩電的銷(xiāo)售,反之亦然.據(jù)估計(jì),每售出一臺(tái)21英寸彩電,19英寸彩電的評(píng)價(jià)售價(jià)會(huì)下降0.3美分,而每售出一臺(tái)19英寸的彩電,21英寸彩電的平均價(jià)格會(huì)下降0.4美分.問(wèn)題是:每種彩電應(yīng)該生產(chǎn)多少臺(tái)?第39頁(yè)，講稿共151頁(yè)，2023年5月2日，星期三§1.4薄膜滲透率的測(cè)定一、

問(wèn)題：某種醫(yī)用薄膜，具有從高濃度的溶液向低濃度的溶液擴(kuò)散的功能，在試制時(shí)需測(cè)定薄膜被物質(zhì)分子穿透的能力。測(cè)定方法：用面積為S的薄膜將容器分成體積分別為的兩部份，在兩部分中分別注滿該物質(zhì)的兩種不同濃度的溶液。此時(shí)該物質(zhì)分子就會(huì)從高濃度溶液穿過(guò)薄膜向低濃度溶液中擴(kuò)散。平均每單位時(shí)間通過(guò)單位面積薄膜的物質(zhì)分子量與膜兩側(cè)溶液的濃度差成正比，比例系數(shù)K表征了薄膜被該物質(zhì)分子穿透的能力，稱為滲透率。定時(shí)測(cè)量容器中薄膜某一側(cè)的溶液濃度，以此確定K。第40頁(yè)，講稿共151頁(yè)，2023年5月2日，星期三設(shè)，對(duì)容器的

B部分溶液濃度的測(cè)試結(jié)果如下表：（濃度單位）VAVBS第41頁(yè)，講稿共151頁(yè)，2023年5月2日，星期三二、問(wèn)題分析

考察時(shí)段[t，t

+Δt]薄膜兩側(cè)容器中該物質(zhì)質(zhì)量的變化。

(1)在容器的一側(cè)，物質(zhì)質(zhì)量的增加是由于另一側(cè)的物質(zhì)向該側(cè)滲透的結(jié)果，因此物質(zhì)質(zhì)量的增量應(yīng)等于另一側(cè)的該物質(zhì)向這側(cè)的滲透量。分別表示在時(shí)刻t膜兩側(cè)溶液設(shè)的濃度，濃度單位:

以容器

A側(cè)為例，在時(shí)段[t，t+Δt]物質(zhì)質(zhì)量的增量為：第42頁(yè)，講稿共151頁(yè)，2023年5月2日，星期三

由于平均每單位時(shí)間通過(guò)單位面積薄膜的物質(zhì)分子量與膜兩側(cè)溶液的濃度差成正比，比例系數(shù)為K。

因此，在時(shí)段[t，t+Δt]，從

B側(cè)滲透至

A側(cè)的該物質(zhì)的質(zhì)量為：于是有：兩邊除以Δt，并令Δt→0取極限再稍加整理即得：(1)第43頁(yè)，講稿共151頁(yè)，2023年5月2日，星期三分別表示在初始時(shí)刻兩側(cè)溶液的濃度其中(2)注意到整個(gè)容器的溶液中含有該物質(zhì)的質(zhì)量不變,與初始時(shí)刻該物質(zhì)的含量相同，因此從而加上初值條件：代入式(1)得：便可得出CB(t)的變化規(guī)律，從而根據(jù)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合，估計(jì)出參數(shù)K,。第44頁(yè)，講稿共151頁(yè)，2023年5月2日，星期三三、數(shù)學(xué)模型假設(shè)：(1)薄膜兩側(cè)的溶液始終是均勻的；(2)平均每單位時(shí)間通過(guò)單位面積薄膜的物

質(zhì)分子量與膜兩側(cè)溶液的濃度差成正比。(3)薄膜是雙向同性的即物質(zhì)從膜的任何一

側(cè)向另一側(cè)滲透的性能是相同的?；诩僭O(shè)和前面的分析，B側(cè)的濃度CB(t)應(yīng)滿足如下微分方程和初始條件：第45頁(yè)，講稿共151頁(yè)，2023年5月2日，星期三四、求解方法：1.函數(shù)擬合法前面得到的模型是一個(gè)帶初值的一階線性微分方程，解之得：?jiǎn)栴}歸結(jié)為利用CB在時(shí)刻tj的測(cè)量數(shù)據(jù)Cj(j=1,2,...,N)來(lái)辨識(shí)K

和。第46頁(yè)，講稿共151頁(yè)，2023年5月2日，星期三令從而

用函數(shù)CB(t)來(lái)擬合所給的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，從而估計(jì)出其中的參數(shù)a,b,K。將代入上式有：第47頁(yè)，講稿共151頁(yè)，2023年5月2日，星期三用MATLAB軟件進(jìn)行計(jì)算.(1)編寫(xiě)函數(shù)M-文件nongdu.mfunctionf=nongdu(x,tdata)f=x(1)+x(2)*exp(?0.02*x(3)*tdata);其中x(1)=a;x(2)=b;x(3)=k;(2)在工作空間中執(zhí)行以下命令(test1.m)tdata=linspace(100,1000,10);

cdata=[4.544.995.355.655.906.10...6.266.396.506.59];

x0=[0.2,0.05,0.05];

x=curvefit(‘nongdu’,x0,tdata,cdata)(3)輸出結(jié)果:x=0.007?0.0030.1012

即k=0.1012,a=0.007,b=?0.003,進(jìn)一步求得：第48頁(yè)，講稿共151頁(yè)，2023年5月2日，星期三2.導(dǎo)函數(shù)擬合法前面得到的微分方程為：令上式變?yōu)椋哼@可以看作隨CB的變化規(guī)律第49頁(yè)，講稿共151頁(yè)，2023年5月2日，星期三(j=1,2,...,N)若知道一組數(shù)據(jù)則可用最小二乘擬合的方法來(lái)求出函數(shù)中的未知參數(shù)K

和h。即為求參數(shù)K,a使下列誤差函數(shù)達(dá)到最?。涸搯?wèn)題等價(jià)于用函數(shù)f(K,a,CB)=K(0.01a-0.02CB)來(lái)擬合數(shù)據(jù)(j=1,2,...,N)第50頁(yè)，講稿共151頁(yè)，2023年5月2日，星期三用MATLAB軟件進(jìn)行計(jì)算.％求數(shù)據(jù)點(diǎn)(j=1,2,...,N)tdata=linspace(100,1000,10);cdata=1e?0.5*[454499535565590...

610626639650659];[d,ifail]=e01bef(tdata,cdata);[cj,dcj]=e01bgf(tdata,cdata,d,tdata);(1)編寫(xiě)函數(shù)M-文件baomof.mfunctionf=baomof(x,cdata)f=x(1)*(0.01*x(2)?0.02*cdata)其中x(1)=K;x(2)=h(2)編寫(xiě)命令M文件(baomo21.m)第51頁(yè)，講稿共151頁(yè)，2023年5月2日，星期三(3)輸出結(jié)果:x=0.10090.014

即k=0.1009,h=0.014％作函數(shù)擬合x(chóng)0=[0.2,0.1];x=curvefit('baomof',x0,cdata,dcj')第52頁(yè)，講稿共151頁(yè)，2023年5月2日，星期三五、結(jié)果及誤差分析

幾種方法得出的結(jié)果及相應(yīng)的誤差總結(jié)于下表，誤差為計(jì)算數(shù)據(jù)與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)之差的平方和。第53頁(yè)，講稿共151頁(yè)，2023年5月2日，星期三函數(shù)擬合法的擬合效果第54頁(yè)，講稿共151頁(yè)，2023年5月2日，星期三§1.5香煙過(guò)濾嘴的作用

盡管科學(xué)家們對(duì)于吸煙的危害提出來(lái)許多無(wú)可辯駁的證據(jù)，不少國(guó)家的政府和有關(guān)部門(mén)也一直致力于減少或禁止吸煙，但是仍有不少人不愿放棄對(duì)香煙的嗜好。香煙制造商既要滿足癮君子的的需要，又要順應(yīng)減少吸煙危害的潮流，還要獲取豐厚的利潤(rùn)，于是普遍地在香煙上安裝了過(guò)濾嘴。過(guò)濾嘴的作用到底有多大，與使用的材料和過(guò)濾嘴的長(zhǎng)度有什么關(guān)系？要從定量的角度回答這些問(wèn)題，就要建立一個(gè)描述吸煙過(guò)程的數(shù)學(xué)模型，分析人體吸入的毒物數(shù)量與哪些因素有關(guān)，以及它們之間的數(shù)量表達(dá)式。第55頁(yè)，講稿共151頁(yè)，2023年5月2日，星期三

吸煙時(shí)毒物吸入人體的過(guò)程大致是這樣的：毒物基本上均勻地分布在煙草中，吸煙時(shí)點(diǎn)燃處的煙草大部分化為煙霧,毒物有煙霧攜帶著一部分直接進(jìn)入空氣，另一部分沿著香煙穿行。在穿行過(guò)程中又部分地被未點(diǎn)燃的煙草和過(guò)濾嘴吸收而沉積下來(lái)，剩下的進(jìn)入人體。被煙草吸收而沉積下來(lái)的那一部分毒物，當(dāng)香煙燃燒到那里的時(shí)候又通過(guò)煙霧部分進(jìn)入空氣，部分沿著香煙穿行，這個(gè)過(guò)程一直繼續(xù)到香煙燃燒至過(guò)濾嘴處為止。于是我們看到，原來(lái)分布在煙草中的毒物除了進(jìn)入空氣和被過(guò)濾嘴吸收的一部分外，剩下的全部被人體吸入。第56頁(yè)，講稿共151頁(yè)，2023年5月2日，星期三

實(shí)際的吸煙過(guò)程非常復(fù)雜并且因人而異。點(diǎn)燃處毒物隨煙霧進(jìn)入空氣和沿著香煙穿行的數(shù)量比例，與吸煙的方式、環(huán)境等多種因素有關(guān)；煙霧穿過(guò)香煙的速度隨著吸煙的動(dòng)作的變化而不斷地改變；過(guò)濾嘴和煙草對(duì)毒物的吸收作用也會(huì)隨著煙霧穿行速度等因素的影響而有所變化。如果要考慮類(lèi)似于上面這些復(fù)雜情況，將使我們寸步難行。為了能建立一個(gè)初步的模型，可以設(shè)想一個(gè)機(jī)器人在典型環(huán)境下吸煙，它吸煙的動(dòng)作、方式和外部環(huán)境在整過(guò)過(guò)程中不變，于是可以認(rèn)為毒物煙霧進(jìn)入空氣和沿著香煙穿行的數(shù)量比例、煙霧穿行的速度、過(guò)濾嘴和煙草對(duì)毒物的吸收率等在吸煙過(guò)程中都是常數(shù)。第57頁(yè)，講稿共151頁(yè)，2023年5月2日，星期三

過(guò)濾嘴的作用與它的材料和長(zhǎng)度有什么關(guān)系?

人體吸入的毒物量與哪些因素有關(guān)，其中什么因素影響大，什么因素影響小?

分析吸煙時(shí)毒物進(jìn)入人體的過(guò)程，建立吸煙過(guò)程的數(shù)學(xué)模型.

設(shè)想一個(gè)“機(jī)器人”在典型環(huán)境下吸煙，吸煙方式和外部環(huán)境在整個(gè)過(guò)程中不變.問(wèn)題：模型分析：第58頁(yè)，講稿共151頁(yè)，2023年5月2日，星期三模型假設(shè)定性分析(a)l1~煙草長(zhǎng)，l2~過(guò)濾嘴長(zhǎng)，l=l1+l2，毒物量M均勻分布，密度w0=M/l1.(b)點(diǎn)燃處毒物隨煙霧進(jìn)入空氣和沿香煙穿行的數(shù)量比是a′:a,a′+a=1.(c)未點(diǎn)燃的煙草和過(guò)濾嘴對(duì)隨煙霧穿行的毒物的(單位時(shí)間)吸收率分別是b和.(d)煙霧沿香煙穿行速度是常數(shù)v，香煙燃燒速度是常數(shù)u，v>>u.Q~吸一支煙毒物進(jìn)入人體總量第59頁(yè)，講稿共151頁(yè)，2023年5月2日，星期三模型建立t=0,x=0，點(diǎn)燃香煙q(x,t)~毒物流量w(x,t)~毒物密度O如果知道了流量函數(shù),吸入毒物量Q就是處的流量在吸一支煙時(shí)間內(nèi)的總和。注意到關(guān)于煙草長(zhǎng)度和香煙燃燒速度的假設(shè),有下面分4步計(jì)算Q.(1)第60頁(yè)，講稿共151頁(yè)，2023年5月2日，星期三(1)求q(x,0)=q(x)在t=0瞬間由煙霧攜帶的毒物單位時(shí)間內(nèi)通過(guò)x處的數(shù)量q(x,0)。由假設(shè)(a)中關(guān)于v>>u的假定，可以認(rèn)為香煙點(diǎn)燃處x=0靜止不動(dòng)。為簡(jiǎn)單期間，記q(x,0)=q(x),考察一段香煙。毒物通過(guò)

和的流量分別是。因此，根據(jù)能量守恒定律，有第61頁(yè)，講稿共151頁(yè)，2023年5月2日，星期三其中是煙霧穿過(guò)所需的時(shí)間。令，得微分方程在x=0處點(diǎn)燃的香煙單位時(shí)間內(nèi)放出的毒物量記作，根據(jù)假設(shè)(a),(b)和(d)可以寫(xiě)出上述方程的初始條件為(3)(2)第62頁(yè)，講稿共151頁(yè)，2023年5月2日，星期三

由上述微分方程及初始條件，先解出再利用在處的連續(xù)性確定,其結(jié)果為(4)由及(3)式第63頁(yè)，講稿共151頁(yè)，2023年5月2日，星期三(2)求q(l,t)

在香煙燃燒過(guò)程的任意時(shí)刻t,求毒物單位時(shí)間內(nèi)通過(guò)的數(shù)量q(l,t)。

因?yàn)樵跁r(shí)刻

t香煙燃燒至處,記此時(shí)點(diǎn)燃的香煙單位時(shí)間放出的毒物量為,則

與第一步完全相同的分析和計(jì)算，可得因此(5)(6)(7)第64頁(yè)，講稿共151頁(yè)，2023年5月2日，星期三(3)求w(ut,t)考察t內(nèi)毒物密度的增量(單位長(zhǎng)度煙霧毒物被吸收部分)

因?yàn)樵谖鼰熯^(guò)程中未點(diǎn)燃的煙草不斷的吸收煙霧中的毒物，所以毒物在煙草中的密度w(x,t)由初始值

逐漸增加。考察煙草截面x

處時(shí)間內(nèi)毒物密度的增量,根據(jù)能量守恒定律,有令,將第二步中的結(jié)果帶入上式,有第65頁(yè)，講稿共151頁(yè)，2023年5月2日，星期三解上述微分方程初值問(wèn)題,得(8)(9)第66頁(yè)，講稿共151頁(yè)，2023年5月2日，星期三4)計(jì)算QQ~吸一支煙毒物進(jìn)入人體總量將(9)式代入(7)式,可得再將(10)式代入(1)式,作積分可得(11)(10)第67頁(yè)，講稿共151頁(yè)，2023年5月2日，星期三為了便于分析,記代入(11)式,則(12)、(13)式是我們最終得到的結(jié)果,表示了吸入毒物量

與等諸因素之間的數(shù)量關(guān)系。(12)(13)第68頁(yè)，講稿共151頁(yè)，2023年5月2日，星期三結(jié)果分析Q與煙草中含毒物的總量M、毒物隨煙霧沿著香煙穿行的比例a成正比，aM是毒物集中在x=l處的吸入量。~過(guò)濾嘴因素，體現(xiàn)了過(guò)濾嘴減少毒物進(jìn)入人體的作用；

,l2~負(fù)指數(shù)作用，能過(guò)對(duì)Q起到負(fù)指數(shù)衰減的效果，并且

和l2在數(shù)量上增加一定比例時(shí)起的作用相同。降低煙霧穿行速度v

也可以較少Q(mào)。第69頁(yè)，講稿共151頁(yè)，2023年5月2日，星期三煙草為什么有作用?(r)~煙草的吸收作用設(shè)想將毒物M

集中在

x=l1處，則是毒物集中在x=l1處的吸入量。(r)表示的是由于未點(diǎn)燃煙草對(duì)毒物的吸收而起到的較少Q(mào)的作用。雖然被吸收的毒物還要被點(diǎn)燃，隨煙霧沿著香煙穿行而部分進(jìn)入人體，但是因?yàn)闊煵葜卸疚锏拿芏葁(x,t)越來(lái)越高，所以按照固定比例跑到空氣中的毒物增加，相應(yīng)地減少進(jìn)入人體的毒物量。第70頁(yè)，講稿共151頁(yè)，2023年5月2日，星期三b,l1~線性作用根據(jù)實(shí)際資料，，將(12)式中的

中的取Taylor展開(kāi)式的前3項(xiàng)，可得由此可知，提高煙草吸收率b和增加長(zhǎng)度

l1(香煙中的毒物量不變)對(duì)減少Q(mào)

的作用是線性的，與

和l2的負(fù)指數(shù)衰減作用相比，效果要小得多。第71頁(yè)，講稿共151頁(yè)，2023年5月2日，星期三為了更清楚的了解過(guò)濾嘴的作用，不妨比較兩支香煙，一支是上述模型討論的，另一支長(zhǎng)度為l，不帶過(guò)濾嘴，參數(shù)w0,b,a,v與第一支相同，并且吸至x=l1處扔掉。吸第一支香煙和第二支香煙進(jìn)入人體的毒物量分別記作，則帶過(guò)濾嘴不帶過(guò)濾嘴第72頁(yè)，講稿共151頁(yè)，2023年5月2日，星期三所以。由此可得這說(shuō)明過(guò)濾嘴是起作用的。并且，提高吸收率之差?b與加長(zhǎng)過(guò)濾嘴長(zhǎng)度l2對(duì)于降低比例的效果相同。不過(guò)，提高需要研制新材料，將更困難一些。第73頁(yè)，講稿共151頁(yè)，2023年5月2日，星期三香煙過(guò)濾嘴的作用

在基本合理的簡(jiǎn)化假設(shè)下，用精確的數(shù)學(xué)工具解決一個(gè)看來(lái)不易下手的實(shí)際問(wèn)題.

引入兩個(gè)基本函數(shù)：流量q(x,t)和密度w(x,t)，運(yùn)用物理學(xué)的守恒定律建立微分方程，構(gòu)造動(dòng)態(tài)模型.

對(duì)求解結(jié)果進(jìn)行定性和定量分析，得到合乎實(shí)際的結(jié)論.第74頁(yè)，講稿共151頁(yè)，2023年5月2日，星期三例1

（理想單擺運(yùn)動(dòng)）建立理想單擺運(yùn)動(dòng)滿足的微分方程，并得出理想單擺運(yùn)動(dòng)的周期公式。

從圖3-1中不難看出，小球所受的合力為mgsinθ，根據(jù)牛頓第二定律可得：

從而得出兩階微分方程：（3.1）這是理想單擺應(yīng)滿足的運(yùn)動(dòng)方程

（3.1）是一個(gè)兩階非線性方程，不易求解。當(dāng)θ很小時(shí)，sinθ≈θ，此時(shí)，可考察（3.1）的近似線性方程：（3.2）由此即可得出

（3.2）的解為:θ(t)=θ0cosωt

其中

當(dāng)時(shí),θ(t)=0故有MQPmg圖3-1

（3.1）的近似方程§6其他實(shí)例第75頁(yè)，講稿共151頁(yè)，2023年5月2日，星期三例2

我方巡邏艇發(fā)現(xiàn)敵方潛水艇。與此同時(shí)敵方潛水艇也發(fā)現(xiàn)了我方巡邏艇，并迅速下潛逃逸。設(shè)兩艇間距離為60哩，潛水艇最大航速為30節(jié)而巡邏艇最大航速為60節(jié)，問(wèn)巡邏艇應(yīng)如何追趕潛水艇。這一問(wèn)題屬于對(duì)策問(wèn)題，較為復(fù)雜。討論以下簡(jiǎn)單情形：

敵潛艇發(fā)現(xiàn)自己目標(biāo)已暴露后，立即下潛，并沿著直線方向全速逃逸，逃逸方向我方不知。

設(shè)巡邏艇在A處發(fā)現(xiàn)位于B處的潛水艇，取極坐標(biāo)，以B為極點(diǎn)，BA為極軸，設(shè)巡邏艇追趕路徑在此極坐標(biāo)下的方程為r=r(θ)，見(jiàn)圖3-2。BAA1drdsdθθ圖3-2由題意，，故ds=2dr圖3-2可看出，第76頁(yè)，講稿共151頁(yè)，2023年5月2日，星期三故有:即:（3.3）解為：（3.4）先使自己到極點(diǎn)的距離等于潛艇到極點(diǎn)的距離然后按（3.4）對(duì)數(shù)螺線航行，即可追上潛艇。追趕方法如下：第77頁(yè)，講稿共151頁(yè)，2023年5月2日，星期三例3

一個(gè)半徑為Rcm的半球形容器內(nèi)開(kāi)始時(shí)盛滿了水，但由于其底部一個(gè)面積為Scm2的小孔在t=0時(shí)刻被打開(kāi)，水被不斷放出。問(wèn)：容器中的水被放完總共需要多少時(shí)間？解:以容器的底部O點(diǎn)為原點(diǎn)，取坐標(biāo)系如圖3.3所示。令h(t)為t時(shí)刻容器中水的高度，現(xiàn)建立h(t)滿足的微分方程。設(shè)水從小孔流出的速度為v(t)，由力學(xué)定律，在不計(jì)水的內(nèi)部磨擦力和表面張力的假定下，有：因體積守衡，又可得：易見(jiàn)：故有：即：這是可分離變量的一階微分方程，得RxySO圖3-3hr第78頁(yè)，講稿共151頁(yè)，2023年5月2日，星期三例4

一根長(zhǎng)度為l的金屬桿被水平地夾在兩端垂直的支架上，一端的溫度恒為T(mén)1，另一端溫度恒為T(mén)2，（T1、T2為常數(shù)，T1>T2）。金屬桿橫截面積為A，截面的邊界長(zhǎng)度為B，它完全暴露在空氣中，空氣溫度為T(mén)3，（T3<T2，T3為常數(shù)），導(dǎo)熱系數(shù)為α，試求金屬桿上的溫度分布T(x)，（設(shè)金屬桿的導(dǎo)熱率為λ）一般情況下，在同一截面上的各點(diǎn)處溫度也不盡相同，如果這樣來(lái)考慮問(wèn)題，本題要建的數(shù)學(xué)模型當(dāng)為一偏微分方程。但由題意可以看出，因金屬桿較細(xì)且金屬桿導(dǎo)熱系數(shù)又較大，為簡(jiǎn)便起見(jiàn)，不考慮這方面的差異，而建模求單變量函數(shù)T(x)。熱傳導(dǎo)現(xiàn)象機(jī)理：當(dāng)溫差在一定范圍內(nèi)時(shí)，單位時(shí)間里由溫度高的一側(cè)向溫度低的一側(cè)通過(guò)單位面積的熱量與兩側(cè)的溫差成正比，比例系數(shù)與介質(zhì)有關(guān)。T1T2oxABT3l

dt時(shí)間內(nèi)通過(guò)距離O點(diǎn)x處截面的熱量為：dt時(shí)間內(nèi)通過(guò)距離O點(diǎn)x+dx處截面的熱量為：由泰勒公式：金屬桿的微元[x,x+dx]在dt內(nèi)由獲得熱量為：同時(shí)，微元向空氣散發(fā)出的熱量為：系統(tǒng)處于熱平衡狀態(tài)，故有：所以金屬桿各處溫度T(x)滿足的微分方程:這是一個(gè)兩階常系數(shù)線性方程，很容易求解第79頁(yè)，講稿共151頁(yè)，2023年5月2日，星期三

微分方程的概念常微分方程

附錄：第80頁(yè)，講稿共151頁(yè)，2023年5月2日，星期三通解與特解有解第81頁(yè)，講稿共151頁(yè)，2023年5月2日，星期三例1

求微分方程的通解.解

分離變量得兩邊積分得即(C

為任意常數(shù))說(shuō)明:在求解過(guò)程中每一步不一定是同解變形,因此可能增、減解.(此式含分離變量時(shí)丟失的解y=0)第82頁(yè)，講稿共151頁(yè)，2023年5月2日，星期三例2

解初值問(wèn)題解

分離變量得兩邊積分得即由初始條件得C=1,(C

為任意常數(shù))故所求特解為第83頁(yè)，講稿共151頁(yè)，2023年5月2日，星期三例3解初值問(wèn)題解即第84頁(yè)，講稿共151頁(yè)，2023年5月2日，星期三可化為變量分離方程的類(lèi)型第85頁(yè)，講稿共151頁(yè)，2023年5月2日，星期三例4求下述微分方程的通解:解

令則故有即解得(C為任意常數(shù)

)所求通解:第86頁(yè)，講稿共151頁(yè)，2023年5月2日，星期三解法1故有積分(C

為任意常數(shù))所求通解:(試用適當(dāng)?shù)淖兞看鷵Q)解法2

分離變量即(C<0

)例5第87頁(yè)，講稿共151頁(yè)，2023年5月2日，星期三解：分離變量并積分即特解第88頁(yè)，講稿共151頁(yè)，2023年5月2日，星期三子的含量

M

成正比,求在衰變過(guò)程中鈾含量M(t)

隨時(shí)間t

的變化規(guī)律.解:

根據(jù)題意,有(初始條件)對(duì)方程分離變量,即利用初始條件,得故所求鈾的變化規(guī)律為然后積分:已知

t=0時(shí)鈾的含量為已知放射性元素鈾的衰變速度與當(dāng)時(shí)未衰變?cè)?9頁(yè)，講稿共151頁(yè)，2023年5月2日，星期三成正比,求解:根據(jù)牛頓第二定律列方程初始條件為對(duì)方程分離變量,然后積分:得利用初始條件,得代入上式后化簡(jiǎn),得特解并設(shè)降落傘離開(kāi)跳傘塔時(shí)(t=0)速度為0,設(shè)降落傘從跳傘塔下落后所受空氣阻力與速度降落傘下落速度與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系.t

足夠大時(shí)第90頁(yè)，講稿共151頁(yè)，2023年5月2日，星期三可化為變量分離方程的類(lèi)型2.齊次方程第91頁(yè)，講稿共151頁(yè)，2023年5月2日，星期三形如的方程叫做齊次方程

.令代入原方程得兩邊積分,得積分后再用代替u,便得原方程的通解.解法:分離變量:第92頁(yè)，講稿共151頁(yè)，2023年5月2日，星期三解微分方程解:代入原方程得分離變量?jī)蛇叿e分得故原方程的通解為(當(dāng)C=0

時(shí),

y=0

也是方程的解)(C

為任意常數(shù))第93頁(yè)，講稿共151頁(yè)，2023年5月2日，星期三解微分方程解:則有分離變量積分得代回原變量得通解即說(shuō)明:

顯然

x=0,y=0,y=x

也是原方程的解,但在求解過(guò)程中丟失了.第94頁(yè)，講稿共151頁(yè)，2023年5月2日，星期三(h,k

為待可化為齊次方程的方程作變換原方程化為令,解出h,k

(齊次方程)定常數(shù)),第95頁(yè)，講稿共151頁(yè)，2023年5月2日，星期三求出其解后,即得原方程的解.原方程可化為令(可分離變量方程)注:

上述方法可適用于下述更一般的方程第96頁(yè)，講稿共151頁(yè)，2023年5月2日，星期三

求解解:令得再令Y＝X

u,得令積分得代回原變量,得原方程的通解:第97頁(yè)，講稿共151頁(yè)，2023年5月2日，星期三得C=1,故所求特解為第98頁(yè)，講稿共151頁(yè)，2023年5月2日，星期三求解方程解：分離變量并積分得由此求出通積分第99頁(yè)，講稿共151頁(yè)，2023年5月2日，星期三一階線性微分方程一階線性微分方程標(biāo)準(zhǔn)形式:若Q(x)0,若Q(x)0,稱為非齊次方程

.1.解齊次方程分離變量?jī)蛇叿e分得故通解為稱為齊次方程

;第100頁(yè)，講稿共151頁(yè)，2023年5月2日，星期三對(duì)應(yīng)齊次方程通解齊次方程通解非齊次方程特解2.解非齊次方程用常數(shù)變易法:則故原方程的通解即即作變換兩端積分得第101頁(yè)，講稿共151頁(yè)，2023年5月2日，星期三解方程

解:先解即積分得即用常數(shù)變易法求特解.令則代入非齊次方程得解得故原方程通解為第102頁(yè)，講稿共151頁(yè)，2023年5月2日，星期三解微分方程解：代入微分方程可得第103頁(yè)，講稿共151頁(yè)，2023年5月2日，星期三伯努利(BERNOULLI)方程

伯努利方程的標(biāo)準(zhǔn)形式:令求出此方程通解后,除方程兩邊,得換回原變量即得伯努利方程的通解.解法:(線性方程)第104頁(yè)，講稿共151頁(yè)，2023年5月2日，星期三解微分方程解：方程可改寫(xiě)為第105頁(yè)，講稿共151頁(yè)，2023年5月2日，星期三內(nèi)容小結(jié)1.一階線性方程方法1先解齊次方程,再用常數(shù)變易法.方法2用通解公式化為線性方程求解.2.伯努利方程第106頁(yè)，講稿共151頁(yè)，2023年5月2日，星期三可降階的二階微分方程不顯含未知函數(shù)y的方程通積分求解一階微分方程第107頁(yè)，講稿共151頁(yè)，2023年5月2日，星期三解：分離變量得兩邊積分可得即分離變量并積分第108頁(yè)，講稿共151頁(yè)，2023年5月2日，星期三解：分離變量并積分得分離變量并積分得第109頁(yè)，講稿共151頁(yè)，2023年5月2日，星期三可降階的二階微分方程降階通積分第110頁(yè)，講稿共151頁(yè)，2023年5月2日，星期三解：分離變量并積分可得相應(yīng)的通積分為第111頁(yè)，講稿共151頁(yè)，2023年5月2日，星期三解：第112頁(yè)，講稿共151頁(yè)，2023年5月2日，星期三再次用分離變量法所求特解為即第113頁(yè)，講稿共151頁(yè)，2023年5月2日，星期三n階方程二階常系數(shù)非齊次線性方程線性微分方程常系數(shù)二階常系數(shù)齊次線性形如二階常系數(shù)線性微分方程第114頁(yè)，講稿共151頁(yè)，2023年5月2日，星期三-----特征方程法將其代入方程,故有特征根二階設(shè)有解得特征方