高等數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)三重積分

第九章重積分習(xí)題課(二)三重積分典型例題主要內(nèi)容鞏固訓(xùn)練探索提高一、三重積分的概念

1．定義:

2．物理意義:

的空間物體的質(zhì)量。表示體密度為

二、三重積分的性質(zhì)

1.線(xiàn)性性質(zhì)：

2.可加性：

4.單調(diào)性：若在上，，則

5．估值性質(zhì)：的體積，則在上至少存在一點(diǎn)，使得

3.的體積：

7.中值定理：設(shè)函數(shù)在閉區(qū)域上連續(xù)，是

,則三、三重積分的計(jì)算方法

1．利用直角坐標(biāo)計(jì)算

(1)“先一后二”法

則

(2)“先二后一”法

其中是豎坐標(biāo)為的平面截閉區(qū)域所得到的一個(gè)平面閉區(qū)域，則

若為在面上的投影區(qū)域若2．利用柱面坐標(biāo)計(jì)算若

則

3．利用球面坐標(biāo)計(jì)算若

則

四、三重積分的應(yīng)用

(1)質(zhì)量

(2)質(zhì)心，，

(3)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量

1．幾何應(yīng)用2．物理應(yīng)用空間立體的體積五、三重積分的解題方法計(jì)算三重積分主要應(yīng)用直角坐標(biāo)、柱面坐標(biāo)和球面坐標(biāo)

三種坐標(biāo)計(jì)算。通常要判別被積函數(shù)和積分區(qū)域

所具有的特點(diǎn)。如果被積函數(shù)

積分區(qū)域的投影是圓域，則利用球面坐標(biāo)計(jì)算；如果

被積函數(shù)，則可采用先二后一法計(jì)算；如果

被積函數(shù)，積分區(qū)域?yàn)橹虻耐队?/p>

是圓域，則利用柱面坐標(biāo)計(jì)算；若以上三種特征都不具備，

則采用直角坐標(biāo)計(jì)算。三重積分計(jì)算的解題方法流程圖如下：利用球面極坐標(biāo)計(jì)算先一后二的方法YesNoNoYes轉(zhuǎn)化為三次積分先二后一的方法求D1及截面面積求確定上頂曲面下頂曲面為柱或投影為圓域投影為圓域利用柱面坐標(biāo)計(jì)算

確定上頂曲面下頂曲面利用直角坐標(biāo)計(jì)算YesNo1231112解題方法流程圖分析由于積分區(qū)域是由四個(gè)平面所圍成的四面體，故本題應(yīng)考慮利用直角坐標(biāo)計(jì)算；即按照框圖中線(xiàn)路111的方法計(jì)算。

解:（如圖）在平面上的投影域.

的上頂曲面為，即：。

【例1】計(jì)算三重積分。其中為平面，

，，，所圍成的四面體。

下頂曲面為。

于是，得六、典型例題【例2】計(jì)算三重積分。其中是由曲面

與平面，及所圍成的閉區(qū)域。

分析友由于隆積分匆區(qū)域橫和被役積函棵數(shù)不遍具有底利用融“先帖二后晃一”晨、嚷柱面坐標(biāo)遙和球性面坐繞標(biāo)計(jì)抬算的禿特點(diǎn)醫(yī)，所哨以，久本題綠考慮奔利用文直角砍坐標(biāo)來(lái)計(jì)算，即按照框圖中線(xiàn)路111的方法計(jì)算。

解:(1)求（如圖）在平面上的投影區(qū)域?yàn)?2)確定上頂曲面及下頂曲面。(3)轉(zhuǎn)化為先對(duì)后對(duì)的三次積分計(jì)算：因?yàn)楫?dāng)時(shí)滿(mǎn)足，,。因此【例3】計(jì)算三重積分。其中是由曲面

及平面所圍成的閉區(qū)域。

分析由于積分區(qū)域在坐標(biāo)面上的投影區(qū)域?yàn)閳A域

且被積函數(shù)中含有，所以可采用柱面

坐標(biāo)計(jì)算，即按照框圖中線(xiàn)路112的方法計(jì)算比較簡(jiǎn)單。

解：積分區(qū)域的如圖所示。在柱潛面坐舅標(biāo)下故有

【例4】計(jì)算三重積分.其中是由錐面

與平面所圍成的閉區(qū)域。

被豎坐標(biāo)為的平面所截的平面閉區(qū)域?yàn)閳A域

故本巾題利柴用直敗角坐正標(biāo)系統(tǒng)中“幼先二皮后一興”的瓦方法待，即已按照親框圖鬧中面上的投影區(qū)域?yàn)閳A域，所以本題也可采用柱面坐標(biāo)計(jì)算，即按框圖中線(xiàn)路112的方法計(jì)算。

解法1：利極用“擔(dān)先二苦后一蚊”方播法計(jì)凳算。由于，

線(xiàn)路3的方法來(lái)計(jì)算比較簡(jiǎn)便；考慮到積分區(qū)域在坐標(biāo)

分析由于被積函數(shù)只與變量有關(guān)，且積分區(qū)域

其中，故

解法2：利排用柱亮面坐息標(biāo)計(jì)張算。在柱面坐標(biāo)下

故有

注：賢從上瞎面兩怨種解堵法的語(yǔ)過(guò)程席來(lái)看蹄，雖拼然本近題可蚊用兩羽種方鉛法來(lái)計(jì)館算，險(xiǎn)但“感先二泡后一租”法劃相對(duì)罩簡(jiǎn)便煩。【例5】求，其中是由球面

所限定的球域。分析由于積分區(qū)域是由球面所圍成的球域，且被積函數(shù)線(xiàn)路2的方徒法計(jì)兔算比倉(cāng)較簡(jiǎn)飽單。在球面坦坐標(biāo)劉系下慌，中含有

，故本題利用球面坐標(biāo)計(jì)算，即框圖中解：積分區(qū)域的圖形如圖。故有

【例6】設(shè)，計(jì)算，

分析由于積分區(qū)域關(guān)于面對(duì)稱(chēng)，而函數(shù)關(guān)于變量為奇函數(shù)，所以，又，故本掙題可事利用卸對(duì)稱(chēng)羅性及楊積分堵的性贏(yíng)質(zhì)計(jì)魄算。解：

【例7】*設(shè)連續(xù)，，其中

，。求，。

分析談本題納是三真重積灶分的吵計(jì)算背、變運(yùn)上限芝積分子求導(dǎo)史和求乘極限苦的綜合題目。由于積分區(qū)域?yàn)閳A柱體,故應(yīng)首先利用柱面坐標(biāo)將三重積分轉(zhuǎn)化成積分變上限的函數(shù)，然后求導(dǎo)，最后再利蹤蝶用洛御必達(dá)燥法則懶求極累限。解:由柱氣面坐宋標(biāo)得從而有；于是

型【例8】設(shè)有一物體，占有空間閉區(qū)域在點(diǎn)處

的密度為，計(jì)算該物體的質(zhì)量。分析由三重積分的物理意義，可得所求物體的質(zhì)量為

。故只需計(jì)算三重積分即可。而積分區(qū)域?yàn)榱Ⅲw，故可考慮利用直角坐標(biāo)計(jì)算。

解:由三杰重積兵分的勞物理解意義溫，可秒得所隆求物漆體的隸質(zhì)量蒼為【例9】一均倆勻物紀(jì)體(密度廉為常磚量)占有摧的閉福區(qū)域雁是由懲曲面和平幅面揉所圍畝成.（1）求留其體尖積；寄（2）求急物體好的重她心；棵（3）求旗物體客關(guān)于軸的平轉(zhuǎn)動(dòng)夾慣量.【1】計(jì)算三重積分其中是由圓錐面

與上半球面所圍成的閉區(qū)域。

分析郵同上鮮題的頃分析補(bǔ)，本概題可業(yè)考慮喬用直沉角坐秩標(biāo)系鉗中的退“先烘二后一款”法師和柱黃面坐糕標(biāo)方葡法進(jìn)刪行計(jì)殘算。解法1：利蔬用“倘先二擁后一選”方柿法計(jì)面算。因

由于當(dāng)時(shí)，；

而當(dāng)時(shí)，。

鞏固鼠訓(xùn)練故需用平面將積分區(qū)域劃分為兩部分：其中于是終，得解法2：利沈用柱騾面坐餐標(biāo)計(jì)吳算。在柱面坐標(biāo)下故有注：婦從上糖面兩址種解趨法的麗過(guò)程州來(lái)看腔，雖醫(yī)然本蟲(chóng)題可浩用兩擇種方化法來(lái)計(jì)泉算，餃但利史用柱褲面坐咐標(biāo)計(jì)絞算相酸對(duì)簡(jiǎn)父便?！?】計(jì)算三重積分其中是由球面

和平面所確定的閉區(qū)域。

分析由于積分區(qū)域是由兩個(gè)球面及平面所圍成的球殼體，故

本題唯利用回球面到坐標(biāo)祖計(jì)算叮，即摘框圖傘中線(xiàn)撒路2的方山法計(jì)沒(méi)算比尤較簡(jiǎn)孝單。解：積分區(qū)域的圖形如圖。在球腐面坐麻標(biāo)系效下故有

【3】計(jì)算三重積分。其中是兩個(gè)球體

及的公共部分。

分析由于在平面上的投影區(qū)域?yàn)閳A域（如圖），且

的邊榨界曲很面是毅球面霸，故稼很容親易聯(lián)饞想到完用球淡面坐床標(biāo)和款柱面階坐標(biāo)計(jì)算錘，即憑框圖汁中線(xiàn)顏路2和線(xiàn)陶路1→詳12的計(jì)突算方社法。旋但由嗓于被夫積函數(shù)而的截面面積又非常容易求,因此，

又滿(mǎn)暑足框薦圖中怎線(xiàn)路3的條春件，偵故亦庸可用療“先紡二后貸一”投法來(lái)塔求解箭。解法1：利糾用球察面坐層標(biāo)計(jì)杠算。用圓錐面將分成兩部分其中于是浙，得解法2：利屢用柱泥面坐乘標(biāo)計(jì)湖算。由于在平面的投影區(qū)域

；故在比柱面毒坐標(biāo)昨下，于是樸有解法3：用毫“先眼二后治一”恥法計(jì)沙算。用平面將積分區(qū)域劃分為兩部分：，其中

于是揀，得注：誕從上騎面三珍種解獸法的店計(jì)算散過(guò)程變中不葛難發(fā)慨現(xiàn)，膚雖然誦此題道可用三種視方法桃來(lái)求涉解，觀(guān)但大其中憑的“駱先二鄰后一雞”法謠最為償簡(jiǎn)便提。【1】計(jì)算三重積分。其中為：

分析括由于臺(tái)被積千函數(shù)噴中含斗有絕獻(xiàn)對(duì)值自，所叨以應(yīng)著首先束考慮湯如何爺去掉絕對(duì)值注意到積分區(qū)域關(guān)于三個(gè)坐標(biāo)面均對(duì)稱(chēng)，同時(shí)被積

可將愚所求怖的三冒重積疤分簡(jiǎn)坡化為臟如下藏積分其中為