工程流體力學(xué)課件

工程流體力學(xué)

主講:馮

進(jìn)長(zhǎng)江大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院

§3流體運(yùn)動(dòng)學(xué)

§3.1研究流體運(yùn)動(dòng)的兩種方法

一、拉格朗日法

拉格朗日法著眼于質(zhì)點(diǎn)，它以每個(gè)運(yùn)動(dòng)著的流體質(zhì)點(diǎn)為研究對(duì)象，觀察質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡以及運(yùn)動(dòng)參量隨時(shí)間的變化，綜合各質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)，得到流體的運(yùn)動(dòng)規(guī)律。在概念上拉格朗日法直觀，但在處理流體運(yùn)動(dòng)問題時(shí)數(shù)學(xué)處理較復(fù)雜。拉格朗日法的數(shù)學(xué)表示：

上式中b1、b2、b3為拉格朗日變數(shù)，是質(zhì)點(diǎn)的標(biāo)記。對(duì)同一質(zhì)點(diǎn)而言，b1、b2和b3是不變的，也就是在某時(shí)刻通過某空間點(diǎn)的質(zhì)點(diǎn)，而不是其他質(zhì)點(diǎn)。拉格朗日法用坐標(biāo)分量可表示為：

速度和加速度為：

同理：流體的密度、壓強(qiáng)和溫度可表示為：

二、歐拉法

歐拉法著眼于充滿運(yùn)動(dòng)流體的空間（這種空間稱為流場(chǎng)），以流場(chǎng)上各個(gè)固定的空間點(diǎn)作為考查對(duì)象，觀察流體質(zhì)點(diǎn)通過這些固定空間點(diǎn)時(shí)運(yùn)動(dòng)參數(shù)的變化規(guī)律，而不涉及具體質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)過程。因?yàn)樵谀骋豢臻g點(diǎn)，此時(shí)刻為某個(gè)質(zhì)點(diǎn)所占據(jù)，在另一時(shí)刻被另一質(zhì)點(diǎn)占據(jù)。設(shè)在某一瞬時(shí)，觀察到流場(chǎng)中各個(gè)空間點(diǎn)上質(zhì)點(diǎn)的流速，將這些流速綜合在一起就構(gòu)成了一個(gè)流速場(chǎng)。

歐拉法的數(shù)學(xué)表示：在用ux、uy、uz分別表示各坐標(biāo)軸x,y,z方向上的分量，即：

同理：流體的密度、壓強(qiáng)和溫度可表示為：

流體質(zhì)點(diǎn)的加速度表示流體質(zhì)點(diǎn)由空間點(diǎn)位置M（x、y、z、t），經(jīng)dt后運(yùn)動(dòng)至相鄰點(diǎn)M’（x+dx,y+dy,z+dz）時(shí)的速度變化，根據(jù)全微分定義，其x方向的分量有：其中：

故：同理有：

因此，在t時(shí)刻空間點(diǎn)（x,y,z）的加速度為：

上式中▽稱為哈密頓算子，在直角坐標(biāo)下它等于：

在柱坐標(biāo)下它等于：在球坐標(biāo)下它等于：

哈密頓算子的運(yùn)算規(guī)則是對(duì)哈密頓算子左邊的量不作微分，而對(duì)哈密頓算子右邊的量作微分。表示在某一固定空間點(diǎn)上流體質(zhì)點(diǎn)速度對(duì)時(shí)間的變化率，也就是在同一地點(diǎn)由于速度隨時(shí)間變化而引起的加速度變化，稱為當(dāng)?shù)丶铀俣龋ň植繉?dǎo)數(shù)）。表示流體質(zhì)點(diǎn)經(jīng)過不同空間位置而引起的加速度變化，稱為遷移加速度（位變導(dǎo)數(shù)）。

歐拉法表示隨體導(dǎo)數(shù)的方法對(duì)于任何矢量和任何標(biāo)量φ都成立。例如空間點(diǎn)上流體密度為標(biāo)量，密度對(duì)時(shí)間變化的數(shù)學(xué)表示為：

三、拉格朗日方法與歐拉法的轉(zhuǎn)換1.拉格朗日法轉(zhuǎn)換為歐拉法在拉格朗日方法中，對(duì)矢徑r作關(guān)于時(shí)間的偏微分，得質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)速度：

因?yàn)椋悍唇馍鲜饺齻€(gè)標(biāo)量方程得：

代入速度表達(dá)式得：

例：設(shè)拉格朗日觀點(diǎn)給出：

式中Ｃ１和Ｃ２對(duì)不同的質(zhì)點(diǎn)取不同的常數(shù)。將此轉(zhuǎn)換到歐拉觀點(diǎn)中去，并用兩種觀點(diǎn)分別求加速度。

2.歐拉法轉(zhuǎn)換為拉格朗日法在歐拉方法中，速度函數(shù)：首先求解這三個(gè)微分方程，得微分方程的三個(gè)解：

用矢徑表示其解，可寫為：

當(dāng)確定研究t=t0時(shí)刻在空間點(diǎn)（x0,y0,z0）的流體質(zhì)點(diǎn)時(shí)，由上式確定b1、b2和b3，得到該質(zhì)點(diǎn)的軌跡方程。例：設(shè)流體運(yùn)動(dòng)以歐拉觀點(diǎn)給出：

式中。當(dāng)t=0時(shí)，x=0，y=0，z=0。將此轉(zhuǎn)換到拉格朗日觀點(diǎn)中去，并用兩種觀點(diǎn)分別求加速度。

§3.2流體運(yùn)動(dòng)中的基本概念一、定常與非定常

當(dāng)流場(chǎng)中各點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)參數(shù)不隨時(shí)間變化時(shí)，則稱流體流動(dòng)為穩(wěn)態(tài)流動(dòng)或定常流動(dòng)。當(dāng)流場(chǎng)中各點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)參數(shù)隨時(shí)間變化時(shí)，則稱流體流動(dòng)為非穩(wěn)態(tài)流動(dòng)或非定常流動(dòng)。例1：設(shè)拉格朗日觀點(diǎn)給出:

式中拉格朗日數(shù)Ｃ１和Ｃ２對(duì)不同的質(zhì)點(diǎn)取不同的常數(shù)。判斷該流體運(yùn)動(dòng)是定常流動(dòng)還是不定常流動(dòng)。

例2：設(shè)歐拉觀點(diǎn)給出:

求判斷該流體運(yùn)動(dòng)是定常流動(dòng)還是不定常流動(dòng)。例3：設(shè)歐拉觀點(diǎn)給出:求判斷該流體運(yùn)動(dòng)是定常流動(dòng)還是不定常流動(dòng)。

二、跡線和流線

1.跡線某一流體質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡曲線稱為跡線?？梢?，軌跡的概念是同拉格朗日觀點(diǎn)相聯(lián)系。例：設(shè)拉格朗日觀點(diǎn)給出:

式中拉格朗日數(shù)Ｃ１和Ｃ２對(duì)不同的質(zhì)點(diǎn)取不同的常數(shù)。求t=0時(shí)，通過點(diǎn)（－１，－１）的質(zhì)點(diǎn)跡線。

2.流線對(duì)于某一固定時(shí)刻，流場(chǎng)中存在這樣一條曲線，其曲線上任意一點(diǎn)的速度與曲線在該點(diǎn)的切線方向重合，這樣的曲線稱為流線。流線是同一時(shí)刻不同質(zhì)點(diǎn)所組成的曲線，給出了不同流體質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方向,同一時(shí)刻的流線互不相交?？梢?，流線的概念是同歐拉觀點(diǎn)相聯(lián)系。

流線有如下的性質(zhì)：（1）除了在速度為零和無窮大的那些點(diǎn)以外，經(jīng)過空間一點(diǎn)只有一條流線，即流線不能相交，因?yàn)樵诳臻g每一點(diǎn)只能有一個(gè)速度方向；（2）流場(chǎng)中每一點(diǎn)都有一條流線通過，所有的流線形成流線譜；（3）穩(wěn)態(tài)流動(dòng)時(shí)流線的形狀和位置不隨時(shí)間變化，并與跡線重合；非穩(wěn)態(tài)流動(dòng)時(shí)流線的形狀和位置是隨時(shí)間變化的。

在流線上某點(diǎn)的鄰域內(nèi)，取一旋線長(zhǎng)dr

，根據(jù)流線的定義,即:

上式稱為流線方程。流線與歐拉概念相聯(lián)系。例：設(shè)歐拉觀點(diǎn)給出:

式中常數(shù)a≠0。求t=0時(shí)的流線族。解：根據(jù)流線方程有：

積分上述方程，得：

故當(dāng)t=0時(shí)的流線族為：

３．跡線與流線的異同點(diǎn)：

Ⅰ.概念上不同

Ⅱ.不定常時(shí)跡線與流線一般不重合，

Ⅲ.定常時(shí)二者必然重合。

例：流體運(yùn)動(dòng)由下列歐拉變數(shù)下的速度函數(shù)給出：（1）（2）求流線族并求t=0時(shí)過m(-1,-1)點(diǎn)的流線和跡線。

三、流管、有效過流截面和流量

1.流管

流場(chǎng)中作一條不與流線重合的任意封閉曲線，過曲線上的每一點(diǎn)作流線，這些流線所組成的管狀表面稱為流管。特點(diǎn)：流管內(nèi)的流體不能穿出流管表面，流管外的流體不能穿入流管表面。

2.有效過流截面作一連續(xù)曲面截流管，流管包圍的這部分連續(xù)曲面稱為過流截面。當(dāng)過流截面上每一點(diǎn)的法線與過該點(diǎn)流線的切線重合時(shí)，則稱過流截面為有效過流截面。當(dāng)流線平行時(shí)有效過流斷面為平面，否則為曲面。

3.流量流量有體積流量和質(zhì)量流量之分。通過過流截面的流量由下式計(jì)算：

體積流量：質(zhì)量流量：

流管上兩過流截面間的質(zhì)量流量關(guān)系：由上式可以推論：流管的過流斷面不能收縮到零，流管不能在流場(chǎng)內(nèi)部中斷，只能始于或終于流場(chǎng)的邊界。

四、不可壓縮流體和不可壓縮均質(zhì)流體

在流場(chǎng)中取控制體系統(tǒng)，設(shè)控制體系統(tǒng)的體積為V，控制體內(nèi)某點(diǎn)的密度為ρ，則控制體內(nèi)流體的質(zhì)量：根據(jù)質(zhì)量守恒原理，。故:要保證上式積分為零，必有：

上式中，稱為散度。1.不可壓縮流體根據(jù)定義，質(zhì)點(diǎn)的密度在運(yùn)動(dòng)過程中不變的流體稱為個(gè)不可壓縮流體。換言之，對(duì)于不可壓縮流體的而言，體積大小不變，即：

那么必有:

對(duì)于可壓縮流體，體積大小要發(fā)生變化，即：

同樣也必須滿足:

2.均質(zhì)流體均質(zhì)流體是指流場(chǎng)中各點(diǎn)的密度都相同，其數(shù)學(xué)表示ρ＝常數(shù)。對(duì)均質(zhì)流體，有。

3.不可壓縮流體均質(zhì)流體不可壓縮均質(zhì)流體要滿足兩各條件；即：（1）（2）由這兩個(gè)條件可以看出，。

應(yīng)該特別指出，不可壓縮流體表示每個(gè)質(zhì)點(diǎn)的密度在它運(yùn)動(dòng)的全過程中不變，但是這個(gè)質(zhì)點(diǎn)的密度和那個(gè)質(zhì)點(diǎn)的密度可以不同，因此不可壓縮流體的密度不一定處處都是常數(shù)。只有既為不可壓縮流體同時(shí)又是均質(zhì)流體時(shí)，密度才處處時(shí)時(shí)都是為常數(shù)。

4.流函數(shù)當(dāng)不可壓縮流體為二維流動(dòng)時(shí)，在直角坐標(biāo)下有：

若存在某標(biāo)量函數(shù)ψ，它具有：代入上述散度方程，滿足,故稱ψ為流函數(shù)。

例1：已知流場(chǎng)中的速度分布：

試判斷流體是可壓縮流體還是不可壓縮流體。例2：已知二維流場(chǎng)中的流體為不可壓縮流體，x方向的速度分量：，其中a和b為常數(shù)。當(dāng)y=0時(shí)，uy=0。求y方向的速度分量uy。

五、流體質(zhì)點(diǎn)的變形

1.流體質(zhì)點(diǎn)的線應(yīng)變率

在流場(chǎng)中取一流體微元體（如上圖示），在直角坐標(biāo)系中，AB=δx

，BB1=δy

，BC=δz

。設(shè)單元中心點(diǎn)的速度：假如：

則面BB1C1C上的速度有：

側(cè)面AA1D1D上的速度有：在時(shí)間內(nèi)，微元體沿X方向的變形為：線應(yīng)變?yōu)椋簞t線應(yīng)變率ε1為：

同理流體質(zhì)點(diǎn)沿Y和Z方向的線應(yīng)變率為：

2.流體質(zhì)點(diǎn)的體積應(yīng)變率忽略二階、三階無窮小，體積應(yīng)變?yōu)椋汗鼠w積應(yīng)變率為：

用矢量運(yùn)算表示：3.流體質(zhì)點(diǎn)的角應(yīng)變率過質(zhì)點(diǎn)作平行于XOY平面截微元體，交控制體的剖面為EFGH（如圖示），假設(shè)：

則剪切變形如圖a所示，在X方向的措切變形為：引起的角度變形：

設(shè)，則剪切變形如圖b所示，在Y方向的措切變形為，引起的角度變形。當(dāng)時(shí)，則在X和Y方向引起的變形為圖c所示。設(shè)角變形為γxy，則：

γxy對(duì)時(shí)間的變化率為角應(yīng)變率θ3，等于：同理，過質(zhì)點(diǎn)中心，分別用平行于yoz和zox平面截控制體，則角應(yīng)變率有：

六、有旋流動(dòng)和無旋流動(dòng)1.有旋流動(dòng)

∠ECF=α，∠GCH=β，CA為∠ECH的角平分線，CB為∠FCG的角平分線。則：則∠BCA為：

兩角平分線間的夾角對(duì)時(shí)間的變化率為控制體繞過C且平行于Z軸的轉(zhuǎn)動(dòng)軸的旋轉(zhuǎn)的角速度，即：同理繞過質(zhì)點(diǎn)中心平行于X軸的轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)動(dòng),其角速度ω1有：

繞過質(zhì)點(diǎn)中平行于Y軸的轉(zhuǎn)動(dòng),其角速度ω2有：即：

上式中稱為旋度，也稱為渦量。通常表示為。它等于：

若,則流體質(zhì)點(diǎn)不轉(zhuǎn)動(dòng)，稱為無旋流動(dòng)。否則稱為有旋流動(dòng)。對(duì)于無旋流動(dòng)有：

2.無旋流動(dòng)若存在某標(biāo)量函數(shù)φ，它具有：代入旋度方程，滿足,故稱φ為勢(shì)函數(shù)。無旋流動(dòng)又稱有勢(shì)流動(dòng)，簡(jiǎn)稱勢(shì)流。

例1：已知流場(chǎng)中的速度分布：

試判斷流體流動(dòng)是有旋流動(dòng)還是無旋流動(dòng)?！?.3小結(jié)一、基本要求

1.理解描述流體運(yùn)動(dòng)的拉格朗日法方和歐拉法基本概念，拉格朗日法方和歐拉法的轉(zhuǎn)還關(guān)系，速度和加速度的求解；

2.定常流動(dòng)與非定常流動(dòng)的正確判斷；