如何證明余弦定理

如何證明余弦定理步驟1.

在銳角△ABC中，設(shè)三邊為a，b，c。作CH⊥AB垂足為點(diǎn)H

CH=a·sinB

CH=b·sinA

∴a·sinB=b·sinA

得到

a/sinA=b/sinB

同理，在△ABC中，

b/sinB=c/sinC

步驟2.

證明a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R：

如圖，任意三角形ABC,作ABC的外接圓O.

作直徑BD交⊙O于D.

連接DA.

由于直徑所對(duì)的圓周角是直角,所以∠DAB=90度

由于同弧所對(duì)的圓周角相等,所以∠D等于∠C.

所以c/sinC=c/sinD=BD=2R

a/SinA=BC/SinD=BD=2R

類似可證其余兩個(gè)等式。

2

在△ABC中，AB=c、BC=a、CA=b

則c^2=a^2+b^2-2ab*cosC

a^2=b^2+c^2-2bc*cosA

b^2=a^2+c^2-2ac*cosB

下面在銳角△中證明第一個(gè)等式，在鈍角△中證明以此類推。

過A作AD⊥BC于D，則BD+CD=a

由勾股定理得：

c^2=(AD)^2+(BD)^2，(AD)^2=b^2-(CD)^2

所以c^2=(AD)^2-(CD)^2+b^2

=(a-CD)^2-(CD)^2+b^2

=a^2-2a*CD+(CD)^2-(CD)^2+b^2

=a^2+b^2-2a*CD

由于cosC=CD/b

所以CD=b*cosC

所以c^2=a^2+b^2-2ab*cosC

題目中^2表示平方。

2

談?wù)?、余弦定理的多種證法

聊城二中魏清泉

正、余弦定理是解三角形強(qiáng)有力的'工具，（關(guān)于）這兩個(gè)定理有好幾種不同的證明方法.人教A版教材《數(shù)學(xué)》(必修5)是用向量的數(shù)量積給出證明的，如是在證明正弦定理時(shí)用到作幫助單位向量并對(duì)向量的等式作同一向量的數(shù)量積，這種構(gòu)思方法過于獨(dú)特，不易被初學(xué)者接受.本文試圖通過運(yùn)用多種方法證明正、余弦定理從而進(jìn)一步理解正、余弦定理，進(jìn)一步體會(huì)向量的奇妙應(yīng)用和數(shù)學(xué)中“數(shù)”與“形”的完善結(jié)合.

定理：在△ABC中，AB=c,AC=b,BC=a,則

(1)(正弦定理)==;

(2)(余弦定理)

c2=a2+b2-2abcosC,

b2=a2+c2-2accosB,

a2=b2+c2-2bccosA.

一、正弦定理的證明

證法一：如圖1，設(shè)AD、BE、CF分別是△ABC的三條高。則有

AD=bsin∠BCA，

BE=csin∠CAB，

CF=asin∠ABC。

所以S△ABC=abcsin∠BCA

=bcsin∠CAB

=casin∠ABC.

證法二：如圖1，設(shè)AD、BE、CF分別是△ABC的3條高。則有

AD=bsin∠BCA=csin∠ABC，

BE=asin∠BCA=csin∠CAB。

證法三：如圖2，設(shè)CD=2r是△ABC的外接圓

的直徑，則∠DAC=90°，∠ABC=∠ADC。

證法四：如圖3，設(shè)單位向量j與向量AC垂直。

由于AB=AC+CB，

所以jAB=j(AC+CB)=jAC+jCB.

由于jAC=0，

jCB=|j||CB|cos(90°-∠C)=asinC，

jAB=|j||AB|cos(90°-∠A)=csinA.

二、余弦定理的證明

法一：在△ABC中，已知，求c。

過A作，

在Rt中，，

法二：

，即：

法三：

先證明如下等式：

⑴

證明：

故⑴式成立，再由正弦定理變形，得

結(jié)合⑴、有

即.

同理可證

.

三、正余弦定理的統(tǒng)一證明

法一：證明：建立如下圖所示的直角坐標(biāo)系，則A=(0，0)、B=(c,0)，又由任意角三角函數(shù)的定義可得：C=(bcosA,bsinA)，以AB、BC為鄰邊作平行四邊形ABCC′，則∠BAC′=π-∠B，

∴C′(acos(π-B),asin(π-B))=C′(-acosB,asinB).

依據(jù)向量的運(yùn)算：

=(-acosB,asinB)，

=-=(bcosA-c,bsinA),

(1)由=：得

asinB=bsinA,即

=.

同理可得：=.

∴==.

(2)由=(b-cosA-c)2+(bsinA)2=b2+c2-2bccosA，

又||=a,

∴a2=b2+c2-2bccosA.

同理：

c2=a2+b2-2abcosC;

b2=a2+c2-2accosB.

法二：如圖5，

,設(shè)軸、軸方向上的單位向量分別為、，將上式的兩邊分別與、作數(shù)量積，可知