概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)全套完整PPT教學(xué)課件

隨機(jī)事件與概率《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》01全套課件目錄/Contents1.11.21.31.41.5隨機(jī)事件及其運(yùn)算概率的定義及其性質(zhì)等可能概型條件概率與事件的相互獨(dú)立性全概率公式與貝葉斯公式目錄/Contents1.1隨機(jī)事件及其運(yùn)算一、隨機(jī)試驗(yàn)二、樣本空間三、隨機(jī)事件四、隨機(jī)事件間的關(guān)系和運(yùn)算一、隨機(jī)試驗(yàn)隨機(jī)現(xiàn)象——在個(gè)別試驗(yàn)中呈現(xiàn)不確定的結(jié)果,而在大量重復(fù)試驗(yàn)中結(jié)果呈現(xiàn)某種規(guī)律性的現(xiàn)象.這種規(guī)律性稱為統(tǒng)計(jì)規(guī)律性.概率論是一門研究隨機(jī)現(xiàn)象及其統(tǒng)計(jì)規(guī)律的學(xué)科.一、隨機(jī)試驗(yàn)為了研究隨機(jī)現(xiàn)象的統(tǒng)計(jì)規(guī)律性,就要對(duì)客觀事物進(jìn)行觀察,這個(gè)過(guò)程叫做試驗(yàn).概率論所討論的試驗(yàn)稱為隨機(jī)試驗(yàn),它具有以下三個(gè)特點(diǎn):在相同的條件下試驗(yàn)可以重復(fù)進(jìn)行;01OPTION02OPTION03OPTION每次試驗(yàn)的結(jié)果不止一個(gè),但是試驗(yàn)之前可以明確每次試驗(yàn)將要發(fā)生什么樣的結(jié)果是事先無(wú)法預(yù)知的.隨機(jī)試驗(yàn)的例子例1一、隨機(jī)試驗(yàn)拋擲一枚均勻的硬幣，有可能正面朝上，也有可能反面朝上；拋擲一枚均勻的骰子，出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)；某快餐店一天內(nèi)接到的訂單量；航班起飛延誤的時(shí)間；一支正常交易的A股股票每天的漲跌幅。二、樣本空間

二、樣本空間在前面的例子中:拋擲一枚均勻硬幣的樣本空間某快餐店一天內(nèi)接到的訂單量的樣本空間航班起飛延誤時(shí)間的樣本空間01OPTION02OPTION03OPTION

這些在一次試驗(yàn)中可能出現(xiàn)，也可能不出現(xiàn)的一類結(jié)果稱為隨機(jī)事件，簡(jiǎn)稱為事件.從集合的角度:一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)所對(duì)應(yīng)的樣本空間的子集稱為一個(gè)隨機(jī)事件.

三、隨機(jī)事件僅含一個(gè)樣本點(diǎn)的隨機(jī)事件稱為基本事件.在事件的定義中，注意以下幾個(gè)概念：01OPTION

02OPTION03OPTION

三、隨機(jī)事件在事件的定義中，注意以下幾個(gè)概念：

04OPTION05OPTION三、隨機(jī)事件例

2

三、隨機(jī)事件

（1）事件的包含1、隨機(jī)事件之間的關(guān)系

四、隨機(jī)事件之間的關(guān)系與運(yùn)算

（2）事件的相等

（3）互不相容事件四、隨機(jī)事件之間的關(guān)系與運(yùn)算2、隨機(jī)事件之間的運(yùn)算（1）事件的并

事件的并

四、隨機(jī)事件之間的關(guān)系與運(yùn)算2、隨機(jī)事件之間的運(yùn)算（2）事件的交（積）

四、隨機(jī)事件之間的關(guān)系與運(yùn)算事件的交

2、隨機(jī)事件之間的運(yùn)算（3）事件的差

四、隨機(jī)事件之間的關(guān)系與運(yùn)算2、隨機(jī)事件之間的運(yùn)算（4）對(duì)立事件

四、隨機(jī)事件之間的關(guān)系與運(yùn)算

2、隨機(jī)事件之間的運(yùn)算從隨機(jī)事件間的關(guān)系和運(yùn)算可以看出，

01OPTION02OPTION03OPTION①交換律

②結(jié)合律

③分配律

④對(duì)偶律

3、事件的運(yùn)算性質(zhì)

例31234

3、事件的運(yùn)算性質(zhì)

例3567

3、事件的運(yùn)算性質(zhì)目錄/Contents1.11.21.31.41.5隨機(jī)事件及其運(yùn)算概率的定義及其性質(zhì)等可能概型條件概率與事件的相互獨(dú)立性全概率公式與貝葉斯公式

有

1.2概率的定義及其性質(zhì)

由概率的三條公理，可以推導(dǎo)出概率的一些性質(zhì).

1.2概率的定義及其性質(zhì)

1.2概率的定義及其性質(zhì)

例4

1.2概率的定義及其性質(zhì)目錄/Contents1.11.21.31.41.5隨機(jī)事件及其運(yùn)算概率的定義及其性質(zhì)等可能概型條件概率與事件的相互獨(dú)立性全概率公式與貝葉斯公式目錄/Contents1.3等可能概型一、古典概型二、幾何概型

一、古典概型古典概型的基本思路:隨機(jī)試驗(yàn)的樣本空間只有有限個(gè)樣本點(diǎn)；每次試驗(yàn)中各個(gè)樣本點(diǎn)發(fā)生的可能性相等.AB

解

（抽獎(jiǎng)問(wèn)題）例4

一、古典概型

這個(gè)結(jié)果和次序無(wú)關(guān).因此,所求概率為一、古典概型

二、幾何概型碰面問(wèn)題例5甲、乙兩人約定在中午的12時(shí)到13時(shí)在學(xué)校咖啡屋碰面，并約定先到者等候另一人10分鐘，過(guò)時(shí)即可離去.求兩人能碰面的概率.解

二、幾何概型

二、幾何概型目錄/Contents1.11.21.31.41.5隨機(jī)事件及其運(yùn)算概率的定義及其性質(zhì)等可能概型條件概率與事件的相互獨(dú)立性全概率公式與貝葉斯公式目錄/Contents1.4條件概率與事件的相互獨(dú)立性一、條件概率二、事件的相互獨(dú)立性定義1

一、條件概率條件概率也滿足概率的公理化定義的三條基本性質(zhì),即:對(duì)可列無(wú)限個(gè)兩兩不相容事件可列可加性公理2公理3公理1

一、條件概率相仿可以得到如下性質(zhì):以及等類似七條性質(zhì).

一、條件概率

一、條件概率注意：相互獨(dú)立與互不相容有何區(qū)別？獨(dú)立性往往蘊(yùn)含在事物的內(nèi)部.

二、事件的相互獨(dú)立性不難計(jì)算

例6證明

二、事件的相互獨(dú)立性

也相互獨(dú)立.即有相應(yīng)可列出其它等式.定義2

二、事件的相互獨(dú)立性三個(gè)等式都成立.定義3

二、事件的相互獨(dú)立性

四個(gè)等式都成立.定義4

二、事件的相互獨(dú)立性

二、事件的相互獨(dú)立性一個(gè)產(chǎn)品或一個(gè)元件、一個(gè)系統(tǒng)的可靠性可以用可靠度來(lái)刻劃.所謂可靠度指的是產(chǎn)品能正常工作的概率.

以下討論中,假定一個(gè)系統(tǒng)中的各個(gè)元件能否正常工作是相互獨(dú)立的.系統(tǒng)可靠性問(wèn)題例7二、事件的相互獨(dú)立性

二、事件的相互獨(dú)立性兩個(gè)基本模型:

二、事件的相互獨(dú)立性兩個(gè)基本模型:目錄/Contents1.11.21.31.41.5隨機(jī)事件及其運(yùn)算概率的定義及其性質(zhì)等可能概型條件概率與事件的相互獨(dú)立性全概率公式與貝葉斯公式

則稱該事件組為完備事件組.完備事件組

全概率公式與貝葉斯公式

定理1全概率公式

全概率公式與貝葉斯公式定理2貝葉斯公式

貝葉斯公式是已知“結(jié)果”，推斷該“結(jié)果”由某“原因”發(fā)生的概率。原因A1原因A2原因An結(jié)果B……

全概率公式與貝葉斯公式求

（1）取到白球的概率；

（2）已知取到的是白球，則這個(gè)白球?qū)儆诘诙€(gè)箱子的的概率。有三只箱子：例8第一個(gè)箱子中有四個(gè)黑球和一個(gè)白球；第二個(gè)箱子中有三個(gè)黑球和三個(gè)白球；第三個(gè)箱子中有三個(gè)黑球和五個(gè)白球。任取一箱,再?gòu)闹腥稳∫粋€(gè)球.全概率公式與貝葉斯公式解

全概率公式與貝葉斯公式例9某種疾病的患病率為0.1%，某項(xiàng)血液醫(yī)學(xué)檢查的誤診率為1%，即非患者中有1%的人驗(yàn)血結(jié)果為陽(yáng)性.患者中有1%的人驗(yàn)血結(jié)果為陰性?，F(xiàn)知某人驗(yàn)血結(jié)果是陽(yáng)性,求他確實(shí)患有該種疾病的概率.

全概率公式與貝葉斯公式

解因此所求概率為

全概率公式與貝葉斯公式總結(jié)/summary兩個(gè)概念：隨機(jī)事件與概率基本理論：隨機(jī)事件的性質(zhì)與運(yùn)算

隨機(jī)事件的相互獨(dú)立性與乘法公式幾類概率模型：等可能概型（包括古典概型、

幾何概率）

條件概率

全概率公式；貝葉斯公式謝謝觀賞《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》隨機(jī)變量及其分布《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》02目錄/Contents2.12.22.32.4隨機(jī)變量及其分布常用的離散型隨機(jī)變量常用的連續(xù)型隨機(jī)變量隨機(jī)變量函數(shù)的分布目錄/Contents2.1隨機(jī)變量及其分布一、隨機(jī)變量的定義二、隨機(jī)變量的分布函數(shù)三、離散型隨機(jī)變量及其分布律四、連續(xù)型隨機(jī)變量及其密度函數(shù)許多隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果與實(shí)數(shù)密切聯(lián)系,也有些隨機(jī)試驗(yàn)結(jié)果從表面上看并不與實(shí)數(shù)相聯(lián)系.下面我們通過(guò)幾個(gè)例子來(lái)引入隨機(jī)變量的概念.一、隨機(jī)變量的定義

例1拋擲一顆均勻的骰子，出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)X的取值樣本空間={正面朝上,反面朝上}樣本空間不是一個(gè)數(shù)集.但是我們可以人為地把試驗(yàn)結(jié)果和實(shí)數(shù)對(duì)應(yīng)起來(lái).令樣本點(diǎn)X的取值正面朝上→1反面朝上→0一、隨機(jī)變量的定義

引進(jìn)隨機(jī)變量后,隨機(jī)事件及其概率可以通過(guò)隨機(jī)變量來(lái)表達(dá).定義1

一、隨機(jī)變量的定義隨機(jī)變量離散型隨機(jī)變量連續(xù)型隨機(jī)變量如果一個(gè)隨機(jī)變量?jī)H可能取有限或可列個(gè)值，則稱其為離散型隨機(jī)變量、AB如果一個(gè)隨機(jī)變量的取值充滿了數(shù)軸上的一個(gè)區(qū)間（或某幾個(gè)區(qū)間的并），則稱其為連續(xù)型隨機(jī)變量。一、隨機(jī)變量的定義隨機(jī)變量的直觀解釋

隨機(jī)變量X是樣本點(diǎn)的函數(shù)，這個(gè)函數(shù)的自變量是樣本點(diǎn)，可以是數(shù)，也可以不是數(shù)，定義域是樣本空間，而因變量必須是實(shí)數(shù)。這個(gè)函數(shù)可以讓不同的樣本點(diǎn)對(duì)應(yīng)不同的實(shí)數(shù)，也可以讓多個(gè)樣本點(diǎn)對(duì)應(yīng)于一個(gè)實(shí)數(shù)。一、隨機(jī)變量的定義

定義2

二、隨機(jī)變量的分布函數(shù)例1設(shè)一盒子中裝有10個(gè)球，其中5個(gè)球上標(biāo)有數(shù)字1,3個(gè)球上標(biāo)有數(shù)字2，2個(gè)球上標(biāo)有數(shù)字3。

二、隨機(jī)變量的分布函數(shù)

解二、隨機(jī)變量的分布函數(shù)

二、隨機(jī)變量的分布函數(shù)

二、隨機(jī)變量的分布函數(shù)分布函數(shù)的性質(zhì)

02

分布函數(shù)單調(diào)不減;

二、隨機(jī)變量的分布函數(shù)（1）非負(fù)性定義3

（2）規(guī)范性

三、離散型隨機(jī)變量及其分布律換句話說(shuō)，如果一個(gè)隨機(jī)變量只可能取有限個(gè)值或可列無(wú)限個(gè)值,那么稱這個(gè)隨機(jī)變量為（一維）離散型隨機(jī)變量.一維離散型隨機(jī)變量的分布律也可表示為：三、離散型隨機(jī)變量及其分布律

例2

求三、離散型隨機(jī)變量及其分布律解

三、離散型隨機(jī)變量及其分布律

定義4四、連續(xù)型隨機(jī)變量及其密度函數(shù)

概率密度函數(shù)滿足下面兩個(gè)條件:12

四、連續(xù)型隨機(jī)變量及其密度函數(shù)

12

這兩個(gè)條件同樣刻劃了密度函數(shù)的特征性質(zhì),即如果有實(shí)值函數(shù)具備這兩條性質(zhì),那么它必定是某個(gè)連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度函數(shù).

四、連續(xù)型隨機(jī)變量及其密度函數(shù)

分布函數(shù)和概率密度函數(shù)的關(guān)系在幾何上的體現(xiàn):

四、連續(xù)型隨機(jī)變量及其密度函數(shù)

連續(xù)型隨機(jī)變量的性質(zhì)

1

2四、連續(xù)型隨機(jī)變量及其密度函數(shù)連續(xù)型隨機(jī)變量的性質(zhì)

四、連續(xù)型隨機(jī)變量及其密度函數(shù)

例3求解

四、連續(xù)型隨機(jī)變量及其密度函數(shù)

解(2)四、連續(xù)型隨機(jī)變量及其密度函數(shù)目錄/Contents2.12.22.32.4隨機(jī)變量及其分布常用的離散型隨機(jī)變量常用的連續(xù)型隨機(jī)變量隨機(jī)變量函數(shù)的分布目錄/Contents2.2常見離散型隨機(jī)變量一、二項(xiàng)分布二、泊松分布三、超幾何分布四、幾何分布與負(fù)二項(xiàng)分布

一、二項(xiàng)分布

在概率論中,二項(xiàng)分布是一個(gè)重要的分布.在許多獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中,都具有二項(xiàng)分布的形式.一、二項(xiàng)分布

一、二項(xiàng)分布

某人向同一目標(biāo)重復(fù)獨(dú)立射擊5次，每次命中目標(biāo)的概率為0.8，求（1）此人能命中3次的概率；（2）此人至少命中2次的概率。例412一、二項(xiàng)分布

二、泊松分布泊松分布也是一種常用的離散型分布，它常常與計(jì)數(shù)過(guò)程相聯(lián)系，例如某一時(shí)段內(nèi)某網(wǎng)站的點(diǎn)擊量；早高峰時(shí)間段內(nèi)駛?cè)敫呒艿缆返能囕v數(shù)；一本書上的印刷錯(cuò)誤數(shù)。01OPTION02OPTION03OPTION二、泊松分布

例5解

二、泊松分布已知一購(gòu)物網(wǎng)站每周銷售的某款手表的數(shù)量X服從參數(shù)為6的泊松分布.問(wèn)周初至少預(yù)備多少貨源才能保證該周不脫銷的概率不小于0.9.假定上周沒有庫(kù)存,且本周不再進(jìn)貨.例6二、泊松分布

二、泊松分布解

定理（泊松定理）

泊松定理告訴我們:二項(xiàng)概率可以用泊松分布的概率值來(lái)近似.二、泊松分布設(shè)某保險(xiǎn)公司的某人壽保險(xiǎn)險(xiǎn)種有1000人投保，每個(gè)投保人在一年內(nèi)死亡的概率為0.005，且每個(gè)人在一年內(nèi)是否死亡是相互獨(dú)立的，試求在未來(lái)一年中這1000個(gè)投保人中死亡人數(shù)不超過(guò)10人的概率．例7二、泊松分布

二、泊松分布解

三、超幾何分布

三、超幾何分布

四、幾何分布與負(fù)二項(xiàng)分布幾何分布也是一種常用的離散型分布，例如01OPTION02OPTION03OPTION

四、幾何分布與負(fù)二項(xiàng)分布例8

證明

四、幾何分布與負(fù)二項(xiàng)分布這個(gè)例題說(shuō)明，幾何分布具有無(wú)記憶性的性質(zhì).

四、幾何分布與負(fù)二項(xiàng)分布目錄/Contents2.12.22.32.4隨機(jī)變量及其分布常用的離散型隨機(jī)變量常用的連續(xù)型隨機(jī)變量隨機(jī)變量函數(shù)的分布目錄/Contents2.3常用的連續(xù)型隨機(jī)變量一、均勻分布二、指數(shù)分布三、正態(tài)分布

一、均勻分布

一、均勻分布

一、均勻分布例9

一、均勻分布解

一、均勻分布解

一、均勻分布

二、指數(shù)分布

指數(shù)分布的密度函數(shù)圖形如下:指數(shù)分布的分布函數(shù)圖形如下:

二、指數(shù)分布證明

例10

二、指數(shù)分布

三、正態(tài)分布

正態(tài)分布的密度函數(shù)曲線圖形

三、正態(tài)分布正態(tài)分布概率密度函數(shù)的曲線特征:

132

三、正態(tài)分布正態(tài)分布概率密度函數(shù)的曲線特征:4

三、正態(tài)分布

標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布密度函數(shù)圖形

三、正態(tài)分布關(guān)于標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布有以下結(jié)果:

132三、正態(tài)分布

例11解三、正態(tài)分布

三、正態(tài)分布

查表并計(jì)算可得得

例12解三、正態(tài)分布三、正態(tài)分布

例13

解

▲▲▲右圖為分位數(shù)的幾何意義

標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的分位數(shù)概念:

三、正態(tài)分布

例14三、正態(tài)分布解

三、正態(tài)分布

綜述所求，可知，在此次考試中，分?jǐn)?shù)在88.384以上的，為等級(jí)A，分?jǐn)?shù)在73至88.384之間的，為等級(jí)B，分?jǐn)?shù)在57.616至73之間的，為等級(jí)C，分?jǐn)?shù)在57.616以下的，為等級(jí)D。三、正態(tài)分布目錄/Contents2.12.22.32.4隨機(jī)變量及其分布常用的離散型隨機(jī)變量常用的連續(xù)型隨機(jī)變量隨機(jī)變量函數(shù)的分布目錄/Contents2.4隨機(jī)變量函數(shù)的分布一、離散型隨機(jī)變量函數(shù)的分布二、連續(xù)型隨機(jī)變量函數(shù)的分布

……概率…………概率……

則Y=g(X)的分布律為一、離散型隨機(jī)變量函數(shù)的分布

例151

2

一、離散型隨機(jī)變量函數(shù)的分布

解

一、離散型隨機(jī)變量函數(shù)的分布

例16解

二、連續(xù)型隨機(jī)變量函數(shù)的分布

01OPTION02OPTION03OPTION

二、連續(xù)型隨機(jī)變量函數(shù)的分布

1324

二、連續(xù)型隨機(jī)變量函數(shù)的分布

例17解直接對(duì)上式求導(dǎo)有

二、連續(xù)型隨機(jī)變量函數(shù)的分布

二、連續(xù)型隨機(jī)變量函數(shù)的分布

例18解

定理1定理2

二、連續(xù)型隨機(jī)變量函數(shù)的分布總結(jié)/summary隨機(jī)變量分布函數(shù)離散型隨機(jī)變量：分布律二項(xiàng)分布、泊松分布、幾何分布連續(xù)型隨機(jī)變量：密度函數(shù)均勻分布、指數(shù)分布、正態(tài)分布隨機(jī)變量函數(shù)的分布謝謝觀賞《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》多維隨機(jī)變量及其分布《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》03目錄/Contents3.13.23.33.43.5多維隨機(jī)變量及其聯(lián)合分布常用的多維隨機(jī)變量邊緣分布條件分布二維隨機(jī)變量函數(shù)的分布目錄/Contents3.1多維隨機(jī)變量及其聯(lián)合分布一、多維隨機(jī)變量二、聯(lián)合分布函數(shù)三、二維離散型隨機(jī)變量及其聯(lián)合分布律四、二維連續(xù)型隨機(jī)變量及其聯(lián)合密度函數(shù)

定義1一、隨機(jī)試驗(yàn)

例1解

一、隨機(jī)試驗(yàn)

一、隨機(jī)試驗(yàn)一、隨機(jī)試驗(yàn)

定義2

二、聯(lián)合分布函數(shù)定義3

二、聯(lián)合分布函數(shù)定義4聯(lián)合分布函數(shù)的性質(zhì):

定理1

二、聯(lián)合分布函數(shù)123

聯(lián)合分布函數(shù)的矩形公式

二、聯(lián)合分布函數(shù)45

定義5定義6三、二維離散型隨機(jī)變量及其聯(lián)合分布律

三、二維離散型隨機(jī)變量及其聯(lián)合分布律

例2

三、二維離散型隨機(jī)變量及其聯(lián)合分布律解

三、二維離散型隨機(jī)變量及其聯(lián)合分布律

三、二維離散型隨機(jī)變量及其聯(lián)合分布律聯(lián)合概率密度函數(shù)兩個(gè)常見二維連續(xù)型分布邊緣概率密度函數(shù)四、二維連續(xù)型隨機(jī)變量及其聯(lián)合密度函數(shù)

定義7四、二維連續(xù)型隨機(jī)變量及其聯(lián)合密度函數(shù)四、二維連續(xù)型隨機(jī)變量及其聯(lián)合密度函數(shù)

定義8

（聯(lián)合密度函數(shù)的性質(zhì)）定理2四、二維連續(xù)型隨機(jī)變量及其聯(lián)合密度函數(shù)

（二維連續(xù)型隨機(jī)變量的性質(zhì)）定理3四、二維連續(xù)型隨機(jī)變量及其聯(lián)合密度函數(shù)123

例3

01OPTION02OPTION03OPTION求

四、二維連續(xù)型隨機(jī)變量及其聯(lián)合密度函數(shù)

解

四、二維連續(xù)型隨機(jī)變量及其聯(lián)合密度函數(shù)解

四、二維連續(xù)型隨機(jī)變量及其聯(lián)合密度函數(shù)12345

四、二維連續(xù)型隨機(jī)變量及其聯(lián)合密度函數(shù)

四、二維連續(xù)型隨機(jī)變量及其聯(lián)合密度函數(shù)解

目錄/Contents3.13.23.33.43.5多維隨機(jī)變量及其聯(lián)合分布常用的多維隨機(jī)變量邊緣分布條件分布二維隨機(jī)變量函數(shù)的分布目錄/Contents3.2常用的多維隨機(jī)變量一、二維均勻分布二、二維正態(tài)分布

定義1一、二維均勻分布

例11

一、二維均勻分布2

解

一、二維均勻分布(2)所求概率為

一、二維均勻分布

定義2

二、二維正態(tài)分布目錄/Contents3.13.23.33.43.5多維隨機(jī)變量及其聯(lián)合分布常用的多維隨機(jī)變量邊緣分布條件分布二維隨機(jī)變量函數(shù)的分布目錄/Contents3.3邊緣分布一、邊緣分布函數(shù)二、二維離散型隨機(jī)變量的邊緣分布律三、二維連續(xù)型隨機(jī)變量的邊緣密度函數(shù)四、隨機(jī)變量的相互獨(dú)立性

定義1

一、邊緣分布函數(shù)

例1一、邊緣分布函數(shù)

解一、邊緣分布函數(shù)

解一、邊緣分布函數(shù)

定義2

二、二維離散型隨機(jī)變量的邊緣分布律二、二維離散型隨機(jī)變量的邊緣分布律

例2解二、二維離散型隨機(jī)變量的邊緣分布律

二、二維離散型隨機(jī)變量的邊緣分布律

定義3三、二維連續(xù)型隨機(jī)變量的邊緣密度函數(shù)

例3解三、二維連續(xù)型隨機(jī)變量的邊緣密度函數(shù)

三、二維連續(xù)型隨機(jī)變量的邊緣密度函數(shù)

定理1證明

三、二維連續(xù)型隨機(jī)變量的邊緣密度函數(shù)

例4解所以三、二維連續(xù)型隨機(jī)變量的邊緣密度函數(shù)

定義4四、隨機(jī)變量的相互獨(dú)立性

定理2定理3四、隨機(jī)變量的相互獨(dú)立性

例5四、隨機(jī)變量的相互獨(dú)立性

解四、隨機(jī)變量的相互獨(dú)立性

解四、隨機(jī)變量的相互獨(dú)立性

例6解四、隨機(jī)變量的相互獨(dú)立性

四、隨機(jī)變量的相互獨(dú)立性

定理4證明四、隨機(jī)變量的相互獨(dú)立性

四、隨機(jī)變量的相互獨(dú)立性

四、隨機(jī)變量的相互獨(dú)立性對(duì)多維隨機(jī)變量獨(dú)立性的定義如下：定義5

四、隨機(jī)變量的相互獨(dú)立性對(duì)多維隨機(jī)變量獨(dú)立性的定義如下：

四、隨機(jī)變量的相互獨(dú)立性對(duì)多維隨機(jī)變量獨(dú)立性的定義如下：

四、隨機(jī)變量的相互獨(dú)立性對(duì)多維隨機(jī)變量獨(dú)立性的定義如下：

四、隨機(jī)變量的相互獨(dú)立性目錄/Contents3.13.23.33.43.5多維隨機(jī)變量及其聯(lián)合分布常用的多維隨機(jī)變量邊緣分布條件分布二維隨機(jī)變量函數(shù)的分布目錄/Contents3.4條件分布一、二維離散型隨機(jī)變量的條件分布律二、二維連續(xù)型隨機(jī)變量的條件密度函數(shù)

定義1一、二維離散型隨機(jī)變量的條件分布律01OPTION

一、二維離散型隨機(jī)變量的條件分布律02OPTION

定義1續(xù)一、二維離散型隨機(jī)變量的條件分布律

定義2

二、二維連續(xù)型隨機(jī)變量的條件密度函數(shù)

1

二、二維連續(xù)型隨機(jī)變量的條件密度函數(shù)2

二、二維連續(xù)型隨機(jī)變量的條件密度函數(shù)

定義3二、二維連續(xù)型隨機(jī)變量的條件密度函數(shù)在第一節(jié)例4中

例101OPTION02OPTION03OPTION04OPTION二、二維連續(xù)型隨機(jī)變量的條件密度函數(shù)⑴例4中隨機(jī)變量的聯(lián)合密度函數(shù)為

解

二、二維連續(xù)型隨機(jī)變量的條件密度函數(shù)

二、二維連續(xù)型隨機(jī)變量的條件密度函數(shù)所以

二、二維連續(xù)型隨機(jī)變量的條件密度函數(shù)

二、二維連續(xù)型隨機(jī)變量的條件密度函數(shù)

故

二、二維連續(xù)型隨機(jī)變量的條件密度函數(shù)

例2解

二、二維連續(xù)型隨機(jī)變量的條件密度函數(shù)

目錄/Contents3.13.23.33.43.5多維隨機(jī)變量及其聯(lián)合分布常用的多維隨機(jī)變量邊緣分布條件分布二維隨機(jī)變量函數(shù)的分布目錄/Contents3.5二維隨機(jī)變量函數(shù)的分布一、二維離散型隨機(jī)變量函數(shù)的分布二、二維連續(xù)型隨機(jī)變量函數(shù)的分布

定理1（分布的可加性）

一、二維離散型隨機(jī)變量函數(shù)的分布

證明一、二維離散型隨機(jī)變量函數(shù)的分布

，一、二維離散型隨機(jī)變量函數(shù)的分布

(2)因?yàn)樗砸?、二維離散型隨機(jī)變量函數(shù)的分布

例1解一、二維離散型隨機(jī)變量函數(shù)的分布

因此，有如下結(jié)論。

一、二維離散型隨機(jī)變量函數(shù)的分布

例2解

二、二維連續(xù)型隨機(jī)變量函數(shù)的分布

二、二維連續(xù)型隨機(jī)變量函數(shù)的分布

該公式稱為卷積公式.定理2二、二維連續(xù)型隨機(jī)變量函數(shù)的分布

證明二、二維連續(xù)型隨機(jī)變量函數(shù)的分布

，二、二維連續(xù)型隨機(jī)變量函數(shù)的分布

正態(tài)分布的可加性:

更一般地,有

定理3

二、二維連續(xù)型隨機(jī)變量函數(shù)的分布由卷積公式得

證明

二、二維連續(xù)型隨機(jī)變量函數(shù)的分布

二、二維連續(xù)型隨機(jī)變量函數(shù)的分布

例3

解二、二維連續(xù)型隨機(jī)變量函數(shù)的分布

二、二維連續(xù)型隨機(jī)變量函數(shù)的分布例4

二、二維連續(xù)型隨機(jī)變量函數(shù)的分布

二、二維連續(xù)型隨機(jī)變量函數(shù)的分布例4

二、二維連續(xù)型隨機(jī)變量函數(shù)的分布

解二、二維連續(xù)型隨機(jī)變量函數(shù)的分布

所以

二、二維連續(xù)型隨機(jī)變量函數(shù)的分布總結(jié)/summary理解

二維隨機(jī)變量的定義了解

二維隨機(jī)變量的聯(lián)合分布函數(shù)的定義、性質(zhì)及計(jì)算掌握

聯(lián)合分布律和聯(lián)合密度函數(shù)的定義、性質(zhì)及計(jì)算掌握

二維隨機(jī)變量相關(guān)事件概率的計(jì)算掌握

二維隨機(jī)變量的邊緣分布函數(shù)的定義及計(jì)算熟練兩個(gè)隨機(jī)變量相互獨(dú)立的定義及判別方法了解

個(gè)隨機(jī)變量相互獨(dú)立的定義及判別方法理解

隨即變量獨(dú)立的概念掌握

隨機(jī)變量獨(dú)立的判斷方法

掌握

二維隨機(jī)變量的條件分布函數(shù)的定義及計(jì)算掌握二維隨機(jī)變量函數(shù)分布的計(jì)算熟練

相互獨(dú)立的隨機(jī)變量的最大值最小值分布函數(shù)的計(jì)算了解二維正態(tài)分布的密度函數(shù)理解二維正態(tài)分布的密度函數(shù)中參數(shù)的概率意義。掌握二維正態(tài)分布的性質(zhì)謝謝觀賞《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》隨機(jī)變量的數(shù)字特征《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》04目錄/Contents4.14.24.34.4數(shù)學(xué)期望方差和標(biāo)準(zhǔn)差協(xié)方差和相關(guān)系數(shù)其他數(shù)字特征目錄/Contents4.1數(shù)學(xué)期望一、數(shù)學(xué)期望的定義二、隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望三、數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)例1設(shè)甲、乙兩班各40名學(xué)生,概率統(tǒng)計(jì)成績(jī)及得分人數(shù)如表所示,成績(jī)以10的倍數(shù)表示.甲、乙兩班概率統(tǒng)計(jì)的平均成績(jī)各是多少？甲班分?jǐn)?shù)60708090100人數(shù)291892頻率一、數(shù)學(xué)期望的定義乙班分?jǐn)?shù)4060708090100人數(shù)3181387頻率

班級(jí)平均成績(jī)=總分÷總?cè)藬?shù)甲班平均成績(jī)同理，乙班平均成績(jī)=80(分)

一、數(shù)學(xué)期望的定義解定義1

一、數(shù)學(xué)期望的定義物理含義:單位質(zhì)量的細(xì)棒,重心坐標(biāo)

注：

1*

一、數(shù)學(xué)期望的定義23

3一、數(shù)學(xué)期望的定義復(fù)習(xí)：1234例2

一、數(shù)學(xué)期望的定義

解一、數(shù)學(xué)期望的定義

一、數(shù)學(xué)期望的定義

一、數(shù)學(xué)期望的定義定義2

一、數(shù)學(xué)期望的定義

*

一、數(shù)學(xué)期望的定義-210.20.8

解

例3一、數(shù)學(xué)期望的定義解

例4

一、數(shù)學(xué)期望的定義

一、數(shù)學(xué)期望的定義

解

例5

一、數(shù)學(xué)期望的定義解

由期望的定義得

一、數(shù)學(xué)期望的定義解

由期望的定義得

一、數(shù)學(xué)期望的定義解

例6

一、數(shù)學(xué)期望的定義解由期望的定義得

一、數(shù)學(xué)期望的定義解

由課前導(dǎo)讀中的積分公式1得或

一、數(shù)學(xué)期望的定義解

由期望的定義得上式使用了密度函數(shù)的規(guī)范性

一、數(shù)學(xué)期望的定義二、隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望

,

14概率3/41/4-118概率1/41/21/4

-112概率1/41/21/4

定理1（隨機(jī)變量一元函數(shù)的期望公式）二、隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望

二、隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望

定理1（隨機(jī)變量一元函數(shù)的期望公式）二、隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望

定理2（隨機(jī)變量二元函數(shù)的期望公式）

二、隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望

例8

二、隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望

二、隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望，

解：方法一略

定理3數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)：

01OPTION02OPTION03OPTION04OPTION三、數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)

（2）由隨機(jī)變量一元函數(shù)的期望公式及積分的性質(zhì)得：

三、數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)（3）由隨機(jī)變量二元函數(shù)的期望公式及期望的定義得

三、數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)

三、數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)

公司每售出一臺(tái)機(jī)器可獲利1600元，若機(jī)器售出后使用2.2萬(wàn)小時(shí)之內(nèi)出故障，則應(yīng)予以更換，這時(shí)每臺(tái)虧損1200元；若在2.2到3萬(wàn)小時(shí)之間出故障，則予以維修，由公司負(fù)擔(dān)維修費(fèi)400元；在使用3萬(wàn)小時(shí)后出故障，則用戶自己負(fù)責(zé)。求該公司售出每臺(tái)機(jī)器的平均獲利。

三、數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)

三、數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)

故，該公司售出每臺(tái)機(jī)器的平均獲利為1394元.

三、數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)目錄/Contents4.14.24.34.4數(shù)學(xué)期望方差和標(biāo)準(zhǔn)差協(xié)方差和相關(guān)系數(shù)其他數(shù)字特征目錄/Contents4.2方差和標(biāo)準(zhǔn)差一、方差和標(biāo)準(zhǔn)差的定義二、方差的性質(zhì)

定義1

一、方差和標(biāo)準(zhǔn)差的定義

一、方差和標(biāo)準(zhǔn)差的定義

在實(shí)際計(jì)算方差時(shí)，我們更多的是使用下列公式，這樣更簡(jiǎn)便，

一、方差和標(biāo)準(zhǔn)差的定義

4321例1一、方差和標(biāo)準(zhǔn)差的定義

解01OPTION02OPTION一、方差和標(biāo)準(zhǔn)差的定義

03OPTION一、方差和標(biāo)準(zhǔn)差的定義

04OPTION一、方差和標(biāo)準(zhǔn)差的定義

定理1方差具有下列性質(zhì)，1二、方差的性質(zhì)234那么，由方差的性質(zhì)得

例2解二、方差的性質(zhì)

由方差的性質(zhì)得，

（1）由期望的性質(zhì)得，例3證明二、方差的性質(zhì)

（2）由期望的性質(zhì)得，由方差的性質(zhì)得，

二、方差的性質(zhì)

故所以

例4解

二、方差的性質(zhì)目錄/Contents4.14.24.34.4數(shù)學(xué)期望方差和標(biāo)準(zhǔn)差協(xié)方差和相關(guān)系數(shù)其他數(shù)字特征目錄/Contents4.3協(xié)方差和相關(guān)系數(shù)一、協(xié)方差二、相關(guān)系數(shù)

定義1

一、協(xié)方差在實(shí)際計(jì)算協(xié)方差時(shí)，更多的是使用下列公式，

一、協(xié)方差

定理1協(xié)方差具有下列性質(zhì)：

4

一、協(xié)方差321證明01OPTION02OPTION03OPTION

一、協(xié)方差

由協(xié)方差的計(jì)算式及期望的性質(zhì)得04OPTION

一、協(xié)方差例1

二、相關(guān)系數(shù)解

二、相關(guān)系數(shù)例1續(xù)

二、相關(guān)系數(shù)由數(shù)學(xué)期望的定義、隨機(jī)變量函數(shù)的期望公式和【課前導(dǎo)讀】中的積分公式3得：

二、相關(guān)系數(shù)例1續(xù)

二、相關(guān)系數(shù)例1續(xù)

定義2

二、相關(guān)系數(shù)例2解：由0-1分布的期望和方差公式得使用隨機(jī)變量函數(shù)的期望計(jì)算公式得

二相關(guān)系數(shù)

例2

二相關(guān)系數(shù)解例3

二、相關(guān)系數(shù)例3續(xù)

二、相關(guān)系數(shù)

定義3

二、相關(guān)系數(shù)

定理3

二、相關(guān)系數(shù)

二、相關(guān)系數(shù)證明

二、相關(guān)系數(shù)

二、相關(guān)系數(shù)

二、相關(guān)系數(shù)定義401OPTION02OPTION03OPTION04OPTION05OPTION

二、相關(guān)系數(shù)

隨機(jī)變量相互獨(dú)立和線性無(wú)關(guān)都刻畫了隨機(jī)變量之間的關(guān)系，它們兩者有什么聯(lián)系與區(qū)別呢？相互獨(dú)立時(shí)一定線性無(wú)關(guān)，但反之不一定成立，例如下面的例子。二、相關(guān)系數(shù)例4解

二、相關(guān)系數(shù)

隨機(jī)變量相互獨(dú)立和線性無(wú)關(guān)都刻畫了隨機(jī)變量之間的關(guān)系，它們兩者有什么聯(lián)系與區(qū)別呢？相互獨(dú)立時(shí)一定線性無(wú)關(guān)，但反之不一定成立，例如下面的例子。二、相關(guān)系數(shù)例5解

二、相關(guān)系數(shù)

二、相關(guān)系數(shù)相互獨(dú)立與線性無(wú)關(guān)、線性相關(guān)之間的關(guān)系二、相關(guān)系數(shù)

定理4證明

二、相關(guān)系數(shù)

定理給出了不相關(guān)與相互獨(dú)立相統(tǒng)一的例子，這樣的例子不是唯一的?？梢赃@樣說(shuō)，獨(dú)立是從整體也即分布的角度刻畫隨機(jī)變量之間的關(guān)系，它意味著兩個(gè)隨機(jī)變量無(wú)任何關(guān)系，而不相關(guān)僅僅是從數(shù)字特征角度刻畫隨機(jī)變量之間的關(guān)系，它意味著兩個(gè)隨機(jī)變量之間無(wú)線性關(guān)系，但不意味著兩個(gè)隨機(jī)變量之間無(wú)其它關(guān)系。二、相關(guān)系數(shù)目錄/Contents4.14.24.34.4數(shù)學(xué)期望方差和標(biāo)準(zhǔn)差協(xié)方差和相關(guān)系數(shù)其他數(shù)字特征目錄/Contents4.4其他數(shù)字特征

二、變異系數(shù)三、分位數(shù)和中位數(shù)

定義1

例1

證明

例2

解

證明

其中

定義2

二、變異系數(shù)定義3

三、分位數(shù)和中位數(shù)

例3三、分位數(shù)和中位數(shù)

三、分位數(shù)和中位數(shù)定義4

三、分位數(shù)和中位數(shù)總結(jié)/summary理解

離散型、連續(xù)型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望的

定義及其概率含義熟悉

數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)掌握

隨機(jī)變量函數(shù)的期望公式熟練

常用隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望理解

隨機(jī)變量方差的定義及方差的概率含義熟悉

方差的性質(zhì)掌握

隨機(jī)變量的方差計(jì)算公式熟練

常用隨機(jī)變量的方差總結(jié)/summary理解

隨機(jī)變量協(xié)方差、相關(guān)系數(shù)的定義

及概率含義熟悉

協(xié)方差、相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)掌握

協(xié)方差、相關(guān)系數(shù)的計(jì)算理解

階矩的定義掌握

正態(tài)分布的階原

點(diǎn)矩的計(jì)算公式了解

期望向量、協(xié)方差矩陣的定義了解

期望向量、協(xié)方差矩陣的簡(jiǎn)單計(jì)算了解

變異系數(shù)、分位數(shù)、中位數(shù)及眾數(shù)

的定義及簡(jiǎn)單計(jì)算謝謝觀賞《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》隨機(jī)事件與概率《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》05目錄/Contents5.15.2大數(shù)定律中心極限定理目錄/Contents5.1大數(shù)定律一、切比雪夫（Chebyshev）不等式二、依概率收斂三、大數(shù)定律

例1

一、切比雪夫不等式定理1（切比雪夫不等式）

一、切比雪夫不等式

例2

解

一、切比雪夫不等式

例3

一、切比雪夫不等式定義1

二、依概率收斂

依概率收斂性具有下列性質(zhì)：

定理2二、依概率收斂定理3伯努利大數(shù)定律

三、大數(shù)定律

證明

三、大數(shù)定律

定理4（獨(dú)立同分布大數(shù)定律）

三、大數(shù)定律

定理5（伯努利大數(shù)定律）

顯然伯努利大數(shù)定律是獨(dú)立同分布大數(shù)定律的特例。這里三、大數(shù)定律

三、大數(shù)定律

例4123

三、大數(shù)定律

解

三、大數(shù)定律例4續(xù)01OPTION02OPTION03OPTION

三、大數(shù)定律目錄/Contents5.15.2大數(shù)定律中心極限定理例5（高爾頓釘板實(shí)驗(yàn)）

如圖，有一排有一個(gè)板上面有排釘子，每排相鄰的兩個(gè)釘子之間的距離均相等。上一排釘子的水平位置恰巧位于下一排緊鄰的兩個(gè)釘子水平位置的正中間。從上端入口處放入小球，在下落過(guò)程中小球碰到釘子后以相等的可能性向左或向右偏離，碰到下一排相鄰的兩個(gè)釘子中的一個(gè)。如此繼續(xù)下去，直到落入底部隔板中的一格中。問(wèn)當(dāng)有大量的小球從上端依次放入，任其自由下落,問(wèn)小球最終在底板中堆積的形態(tài).

設(shè)釘子有16排中心極限定理高爾頓釘板中心極限定理

中心極限定理

由于中心極限定理的證明需要使用其它的數(shù)學(xué)工具，因此這里不給出證明。

定理6（列維—林德伯格中心極限定理）

中心極限定理

解

中心極限定理例5

中心極限定理

中心極限定理

解

中心極限定理（2）設(shè)加數(shù)最多有??個(gè)才能使誤差總和的絕對(duì)值不超過(guò)5的概率超過(guò)0.95。有所以最多有78個(gè)加數(shù)，才能使誤差總和的絕對(duì)值不超過(guò)5的概率超過(guò)0.95。

中心極限定理例6

在街頭賭博中,莊家在高爾頓釘板的底板兩端距離原點(diǎn)超出8格的位置放置了值錢的東西來(lái)吸引顧客，試用中心極限定理來(lái)揭穿這個(gè)街頭賭博中的騙術(shù)。解中心極限定理

-110.50.5

中心極限定理

中心極限定理

定理7（德莫弗—拉普拉斯中心極限定理）

中心極限定理

某單位的局域網(wǎng)有100個(gè)終端,每個(gè)終端有10%的時(shí)間在使用,如果各個(gè)終端使用與否是相互獨(dú)立的.（1）計(jì)算在任何時(shí)刻同時(shí)最多有15個(gè)個(gè)終端在使用的概率；（2）用中心極限定理計(jì)算在任何時(shí)刻同時(shí)最多有15個(gè)個(gè)終端在使用的概率的近似值；（3）用泊松定理計(jì)算在任何時(shí)刻同時(shí)最多有15個(gè)終端在使用的概率近似值。例7中心極限定理解

中心極限定理即在任何時(shí)刻同時(shí)最多有15個(gè)終端在使用的概率為0.9601。

中心極限定理解即在任何時(shí)刻同時(shí)最多有15個(gè)終端在使用的概率近似值為0.9522.

中心極限定理解即在任何時(shí)刻同時(shí)最多有15個(gè)終端在使用的概率近似值為0.9513.

中心極限定理切比雪夫不等式理解切比雪夫不等式的定義，掌握用切比雪夫不等式求解概率上界大數(shù)定律理解依概率收斂的定義了解切比雪夫大數(shù)定律了解伯努利大數(shù)定律了解辛欽大數(shù)定律中心極限定理掌握運(yùn)用列維-林德伯格中心定理和棣莫弗-拉普拉斯中心極限定理求解獨(dú)立隨機(jī)變量之和的近似概率值總結(jié)/summary謝謝觀賞《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》統(tǒng)計(jì)量和抽樣分布《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》

06目錄/Contents6.16.26.36.4總體與樣本統(tǒng)計(jì)量三大分布正態(tài)總體的抽樣分布6.1總體與樣本一、總體二、樣本目錄/Contents研究對(duì)象的全體稱為總體,組成總體的每個(gè)成員稱為個(gè)體.研究對(duì)象的某項(xiàng)數(shù)量指標(biāo)的全體稱為總體,組成總體的每個(gè)成員的該項(xiàng)數(shù)量指標(biāo)稱為個(gè)體.特指一、總體

一、總體

例1解例2解

一、總體

總體抽樣樣本推斷

二、樣本

二、樣本

二、樣本

二、樣本

二、樣本

二、樣本

例3解二、樣本

例4解二、樣本例5解

二、樣本

例6解二、樣本

例7聯(lián)合密度函數(shù)為解二、樣本

例8

二、樣本6.16.26.36.4總體與樣本統(tǒng)計(jì)量三大分布正態(tài)總體的抽樣分布目錄/Contents6.2統(tǒng)計(jì)量一、樣本均值和樣本方差二、次序統(tǒng)計(jì)量數(shù)理統(tǒng)計(jì)的基本任務(wù)之一是利用樣本所提供的信息來(lái)對(duì)總體分布中未知的量進(jìn)行推斷,但是樣本觀測(cè)值常常表現(xiàn)為一大堆數(shù)字,很難直接用來(lái)解決我們所要研究的具體問(wèn)題.人們常常把數(shù)據(jù)加工成若干個(gè)簡(jiǎn)單明了的數(shù)字特征,由數(shù)據(jù)加工后的數(shù)字特征就是統(tǒng)計(jì)量的觀測(cè)值.目錄/Contents

例11統(tǒng)計(jì)量的定義23

由定義即知⑵不是統(tǒng)計(jì)量,而⑴⑶是.

解統(tǒng)計(jì)量的定義

一、樣本均值和樣本方差

一、樣本均值和樣本方差

相應(yīng)的觀測(cè)值

由此可得：一、樣本均值和樣本方差

一、樣本均值和樣本方差顯然有由此知

一、樣本均值和樣本方差

定理一、樣本均值和樣本方差證（1）

一、樣本均值和樣本方差證（2）

一、樣本均值和樣本方差

一、樣本均值和樣本方差

例2

一、樣本均值和樣本方差

解一、樣本均值和樣本方差

根據(jù)題意可知一、樣本均值和樣本方差

根據(jù)題意可知一、樣本均值和樣本方差*例3解

一、樣本均值和樣本方差

二、次序統(tǒng)計(jì)量則最小次序統(tǒng)計(jì)量具有概率密度函數(shù):最大次序統(tǒng)計(jì)量具有概率密度函數(shù):

二、次序統(tǒng)計(jì)量

二、次序統(tǒng)計(jì)量

例4解

二、次序統(tǒng)計(jì)量

二、次序統(tǒng)計(jì)量例5

二、次序統(tǒng)計(jì)量解

二、次序統(tǒng)計(jì)量6.16.26.36.4總體與樣本統(tǒng)計(jì)量三大分布正態(tài)總體的抽樣分布目錄/Contents6.3總體與樣本

目錄/Contents

⑴定義

123

則：

分位數(shù)值可查表得到,比如

分位數(shù)9.488

例101OPTION02OPTION03OPTION

(3)

1

2

解

（1）定義

該性質(zhì)類似于正態(tài)分布的分位數(shù)性質(zhì).分位數(shù)值查表可得.

（2）分位數(shù)

例3解

補(bǔ)充例題

解

（1）定義

補(bǔ)充例題

（2）分位數(shù)

證明

例4解

6.16.26.36.4總體與樣本統(tǒng)計(jì)量三大分布正態(tài)總體的抽樣分布目錄/Contents

則有

定理1

正態(tài)總體的抽樣分布

則有

定理2正態(tài)總體的抽樣分布證明

由定理1可知

正態(tài)總體的抽樣分布

證明根據(jù)t分布的定義，可得正態(tài)總體的抽樣分布

正態(tài)總體的抽樣分布12

正態(tài)總體的抽樣分布

請(qǐng)證明以下結(jié)論補(bǔ)例01OPTION02OPTION03OPTION

正態(tài)總體的抽樣分布定理3

正態(tài)總體的抽樣分布定義：

正態(tài)總體的抽樣分布01OPTION02OPTION03OPTION則有04OPTION

正態(tài)總體的抽樣分布

證明（1）

正態(tài)總體的抽樣分布12

證明（2）由定理1可知

正態(tài)總體的抽樣分布

正態(tài)總體的抽樣分布結(jié)論（1）和（2）分別轉(zhuǎn)變?yōu)橄旅嫘问剑鹤C明（4）

正態(tài)總體的抽樣分布12

即

正態(tài)總體的抽樣分布統(tǒng)計(jì)量和抽樣分布總體與樣本常用統(tǒng)計(jì)量樣本均值，樣本方差，次序統(tǒng)計(jì)量三大分布分布，t分布，F(xiàn)分布正態(tài)總體的抽樣分布總結(jié)/summary謝謝觀賞《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》參數(shù)估計(jì)《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》07目錄/Contents7.17.27.37.47.5點(diǎn)估計(jì)點(diǎn)估計(jì)的優(yōu)良性評(píng)判標(biāo)準(zhǔn)置信區(qū)間單正態(tài)總體下未知參數(shù)的置信區(qū)間兩個(gè)正態(tài)總體下未知參數(shù)的置信區(qū)間目錄/Contents7.1點(diǎn)估計(jì)一、矩估計(jì)二、極大似然估計(jì)

兩個(gè)常用方法:矩估計(jì)法和極大似然估計(jì)法.所求出的估計(jì)量則分別稱為矩估計(jì)量和極大似然估計(jì)量.

AB一、矩估計(jì)

例101OPTION02OPTION

一、矩估計(jì)

解一、矩估計(jì)

一、矩估計(jì)

一、矩估計(jì)解（1）

一、矩估計(jì)解（2）

例3一、矩估計(jì)

解

一、矩估計(jì)

關(guān)于矩估計(jì)量有下列結(jié)論:一、矩估計(jì)

例4解

一、矩估計(jì)01OPTION02OPTION03OPTION

一、矩估計(jì)

補(bǔ)例解一、矩估計(jì)

補(bǔ)例由已知條件可求得

解

一、矩估計(jì)例5

設(shè)一箱子中裝有黑和白兩種顏色的球，其中一種顏色的球有99個(gè)，另一種顏色的球只有1個(gè).但是不知道那個(gè)顏色的球是只有1個(gè).我們隨機(jī)地從這個(gè)箱子里有放回地取2個(gè)球，結(jié)果取得的都是白球，問(wèn)這個(gè)箱子中那個(gè)顏色的球只有1個(gè)？二、極大似然估計(jì)

二、極大似然估計(jì)

二、極大似然估計(jì)

二、極大似然估計(jì)分析：

二、極大似然估計(jì)

二、極大似然估計(jì)極大似然估計(jì)的定義：

二、極大似然估計(jì)

二、極大似然估計(jì)可微函數(shù)時(shí),則將似然函數(shù)取對(duì)數(shù)：

二、極大似然估計(jì)

建立并求解似然方程組:一般說(shuō)來(lái),極大似然估計(jì)值可由解對(duì)數(shù)似然方程得到.當(dāng)似然函數(shù)不可微時(shí),也可直接尋求使得似然函數(shù)達(dá)到最大的解來(lái)得到極大似然估計(jì)值和估計(jì)量.二、極大似然估計(jì)

例7

二、極大似然估計(jì)

二、極大似然估計(jì)②對(duì)似然函數(shù)取對(duì)數(shù):解（1）①寫出似然函數(shù)

例8

二、極大似然估計(jì)解方程組得③建立似然方程組:

二、極大似然估計(jì)④由此即得未知參數(shù)的極大似然估計(jì)量為

二、極大似然估計(jì)

二、極大似然估計(jì)

二、極大似然估計(jì)

解樣本的似然函數(shù)為

二、極大似然估計(jì)

二、極大似然估計(jì)

二、極大似然估計(jì)于是從原始定義出發(fā)討論,發(fā)現(xiàn)

二、極大似然估計(jì)

二、極大似然估計(jì)

解總體分布為補(bǔ)例二、極大似然估計(jì)

②對(duì)似然函數(shù)取對(duì)數(shù)二、極大似然估計(jì)這就是使似然函數(shù)達(dá)到最大的參數(shù)取值,即極大似然估計(jì)值.

③對(duì)未知參數(shù)求導(dǎo)并令其為零,即建立似然方程:

二、極大似然估計(jì)

④寫出未知參數(shù)的極大似然估計(jì)量:

性質(zhì)二、極大似然估計(jì)

二、極大似然估計(jì)

解樣本觀測(cè)值的似然函數(shù)為

二、極大似然估計(jì)

二、極大似然估計(jì)

取對(duì)數(shù):二、極大似然估計(jì)

建立并求解似然方程組:一般說(shuō)來(lái),極大似然估計(jì)值可由解對(duì)數(shù)似然方程得到.似然函數(shù)不可微時(shí),也可直接尋求使得似然函數(shù)達(dá)到最大的解來(lái)得到極大似然估計(jì)值和估計(jì)量.二、極大似然估計(jì)極大似然估計(jì)求解對(duì)數(shù)似然求導(dǎo)法直接法似然函數(shù)二、極大似然估計(jì)目錄/Contents7.17.27.37.47.5點(diǎn)估計(jì)點(diǎn)估計(jì)的優(yōu)良性評(píng)判標(biāo)準(zhǔn)置信區(qū)間單正態(tài)總體下未知參數(shù)的置信區(qū)間兩個(gè)正態(tài)總體下未知參數(shù)的置信區(qū)間目錄/Contents7.2點(diǎn)估計(jì)的優(yōu)良性評(píng)判標(biāo)準(zhǔn)一、無(wú)偏性二、有效性三、相合性

如果定義1一、無(wú)偏性

解

(1)由矩估計(jì)定義可知

試求1

23例1一、無(wú)偏性

故

一、無(wú)偏性

一、無(wú)偏性

例2一、無(wú)偏性

解

一、無(wú)偏性

則有

因此,樣本均值是總體均值的無(wú)偏估計(jì),樣本方差是總體方差的無(wú)偏估計(jì),而樣本的二階中心矩是總體方差的漸近無(wú)偏估計(jì)。定理1一、無(wú)偏性

由統(tǒng)計(jì)量性質(zhì)知

補(bǔ)例解

一、無(wú)偏性

定義2

例1續(xù)二、有效性

又

進(jìn)一步可得二、有效性

試求解下列問(wèn)題:試比較這兩個(gè)估計(jì)的有效性.

補(bǔ)例01OPTION02OPTION二、有效性

故因此可見這兩個(gè)估計(jì)都是無(wú)偏的;

二、有效性

解⑵又因?yàn)橐虼硕⒂行?/p>

定義3

三、相合性

定理2

三、相合性

例3證明

三、相合性

補(bǔ)例

證明三、相合性7.17.27.37.47.5點(diǎn)估計(jì)點(diǎn)估計(jì)的優(yōu)良性評(píng)判標(biāo)準(zhǔn)置信區(qū)間單正態(tài)總體下未知參數(shù)的置信區(qū)間兩個(gè)正態(tài)總體下未知參數(shù)的置信區(qū)間目錄/Contents

置信區(qū)間

置信區(qū)間6

置信區(qū)間6

置信區(qū)間置信水平95%的幾何解釋

6置信區(qū)間置信水平50%的幾何解釋

6置信區(qū)間定義2

置信區(qū)間

置信區(qū)間定義3

求參數(shù)置信區(qū)間的一般步驟:

1置信區(qū)間2

置信區(qū)間34

置信區(qū)間

置信區(qū)間

置信區(qū)間7.17.27.37.47.5點(diǎn)估計(jì)點(diǎn)估計(jì)的優(yōu)良性評(píng)判標(biāo)準(zhǔn)置信區(qū)間單正態(tài)總體下未知參數(shù)的置信區(qū)間兩個(gè)正態(tài)總體下未知參數(shù)的置信區(qū)間目錄/Contents7.4單正態(tài)總體下未知參數(shù)的置信區(qū)間一、均值的置信區(qū)間二、方差的置信區(qū)間

目錄/Contents

12一、均值的置信區(qū)間

取

一、均值的置信區(qū)間

相應(yīng)的置信區(qū)間觀測(cè)值為:

一、均值的置信區(qū)間

一、均值的置信區(qū)間

例1

故期望的雙側(cè)0.95置信區(qū)間為

一、均值的置信區(qū)間

一、均值的置信區(qū)間相應(yīng)的置信區(qū)間觀測(cè)值為

一、均值的置信區(qū)間

一、均值的置信區(qū)間

一、均值的置信區(qū)間一、均值的置信區(qū)間

單側(cè)下限單側(cè)上限一、均值的置信區(qū)間

12二、方差的置信區(qū)間

二、方差的置信區(qū)間

二、方差的置信區(qū)間

二、方差的置信區(qū)間而標(biāo)準(zhǔn)差的置信區(qū)間為

二、方差的置信區(qū)間

例2續(xù)

二、方差的置信區(qū)間

補(bǔ)例二、方差的置信區(qū)間

二、方差的置信區(qū)間

二、方差的置信區(qū)間二、方差的置信區(qū)間7.17.27.37.47.5點(diǎn)估計(jì)點(diǎn)估計(jì)的優(yōu)良性評(píng)判標(biāo)準(zhǔn)置信區(qū)間單正態(tài)總體下未知參數(shù)的置信區(qū)間兩個(gè)正態(tài)總體下未知參數(shù)的置信區(qū)間目錄/Contents7.5兩個(gè)正態(tài)總體下未知參數(shù)的置信區(qū)間一、均值差的置信區(qū)間二、方差比的置信區(qū)間目錄/Contents

一、均值差的置信區(qū)間

1一、均值差的置信區(qū)間2

一、均值差的置信區(qū)間1

相應(yīng)的單側(cè)置信區(qū)間：

一、均值差的置信區(qū)間

例1解一、均值差的置信區(qū)間

一、均值差的置信區(qū)間

2

一、均值差的置信區(qū)間

一、均值差的置信區(qū)間相應(yīng)的單側(cè)置信區(qū)間：

一、均值差的置信區(qū)間

一、均值差的置信區(qū)間

一、均值差的置信區(qū)間

一、均值差的置信區(qū)間

12

二、方差比的置信區(qū)間

1

二、方差比的置信區(qū)間

二、方差比的置信區(qū)間

二、方差比的置信區(qū)間2

二、方差比的置信區(qū)間

例3解二、方差比的置信區(qū)間

二、方差比的置信區(qū)間參數(shù)估計(jì)點(diǎn)估計(jì)點(diǎn)估計(jì)的定義點(diǎn)估計(jì)的方法矩估計(jì)極大似然估計(jì)評(píng)判標(biāo)準(zhǔn)無(wú)偏性有效性相合性區(qū)間估計(jì)置信區(qū)間定義正態(tài)總體參數(shù)的置信區(qū)間單正態(tài)總體情形兩個(gè)正態(tài)總體情形總結(jié)/summary謝謝觀賞《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》假設(shè)檢驗(yàn)《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》08目錄/Contents8.18.28.3檢驗(yàn)的基本原理正態(tài)總體參數(shù)的假設(shè)檢驗(yàn)擬合優(yōu)度檢驗(yàn)假設(shè)檢驗(yàn)與參數(shù)估計(jì)的區(qū)別參數(shù)估計(jì)是用樣本數(shù)據(jù)對(duì)總體參數(shù)進(jìn)行估計(jì);檢驗(yàn)的基本原理12如工廠生產(chǎn)的產(chǎn)品，長(zhǎng)期以來(lái)不合格品率不超過(guò)0.01，某天開工后，為檢驗(yàn)生產(chǎn)過(guò)程是否正常，隨機(jī)地抽取了100件產(chǎn)品，發(fā)現(xiàn)其中有3件不合格，能否認(rèn)這天的生產(chǎn)過(guò)程是正常的？假設(shè)檢驗(yàn)是用樣本數(shù)據(jù)對(duì)總體參數(shù)的某個(gè)特定假設(shè)進(jìn)行檢驗(yàn)，進(jìn)而判斷是否拒絕該假設(shè).檢驗(yàn)的基本原理在前例這個(gè)假設(shè)就是：生產(chǎn)過(guò)程是正常的，或者說(shuō)不合格品率不超過(guò)0.01。但估計(jì)問(wèn)題，在收集數(shù)據(jù)之前并不對(duì)參數(shù)真值進(jìn)行假設(shè)，這是兩者的重要差別。此外，檢驗(yàn)問(wèn)題的回答是定性的，而估計(jì)問(wèn)題的結(jié)論是定量的。檢驗(yàn)與估計(jì)是既有密切聯(lián)系，又有重要區(qū)別的一種推斷方法，假設(shè)檢驗(yàn)在收集數(shù)據(jù)之前，就已有一個(gè)有關(guān)問(wèn)題的假設(shè)，要通過(guò)收集到的樣本回答這個(gè)假設(shè)是否成立。檢驗(yàn)的基本原理也即，觀察的數(shù)據(jù)與假設(shè)的差異只是由隨機(jī)性引起的呢？還是反映了總體的真實(shí)差異？即關(guān)于總體的假設(shè)仍然成立呢？還是不再成立？

檢驗(yàn)的基本原理例1分析：在這個(gè)問(wèn)題中，我們要討論的是實(shí)際車輛行駛速度有沒有超過(guò)50km/h，因此，我們用一對(duì)假設(shè)：檢驗(yàn)的基本原理

檢驗(yàn)的基本原理

檢驗(yàn)的基本步驟一、建立假設(shè)二、給出拒絕域的形式三、確定顯著性水平四、建立檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量，給出拒絕域

檢驗(yàn)的基本原理原假設(shè)和備擇假設(shè)

雙側(cè)檢驗(yàn)單側(cè)（右側(cè)）檢驗(yàn)單側(cè)（左側(cè)）檢驗(yàn)

一、建立假設(shè)

一、建立假設(shè)

設(shè)某廠商聲稱他們研發(fā)的一款新車每百公里平均油耗低于5升，現(xiàn)隨機(jī)抽取了5位試駕后的數(shù)據(jù)，得百公里的油耗值為4.9,5.3,5.7,4.8,5.3,請(qǐng)問(wèn)，能否相信這款新車關(guān)于油耗的廣告宣傳呢？例2解

一、建立假設(shè)假設(shè)檢驗(yàn)的結(jié)論一個(gè)假設(shè)檢驗(yàn)可能有兩種結(jié)論如果我們不能找到足夠多的證據(jù)來(lái)支持備擇假設(shè)，則不拒絕原假設(shè)；01OPTION如果我們能找到足夠多的證據(jù)來(lái)支持備擇假設(shè)，則拒絕原假設(shè)。02OPTION二、給出拒絕域的形式假設(shè)檢驗(yàn)的基本思想我們總是先假定一個(gè)原假設(shè)是成立的，直到我們找到足夠多的證據(jù)來(lái)支持備擇假設(shè)。數(shù)據(jù)是否落在拒絕域內(nèi)就是表達(dá)是否有足夠多的證據(jù)來(lái)支持備擇假設(shè)。拒絕域二、給出拒絕域的形式

拒絕域的構(gòu)造形式：

拒絕域的構(gòu)造形式：

拒絕域的構(gòu)造形式：

二、給出拒絕域的形式二、給出拒絕域的形式當(dāng)有了具體的樣本觀測(cè)值后：

第一類錯(cuò)誤

三、確定顯著性水平和兩類錯(cuò)誤第二類錯(cuò)誤當(dāng)原假設(shè)是錯(cuò)誤的，而我們最終接受了原假設(shè)，稱這種錯(cuò)誤叫第二類錯(cuò)誤。三、確定顯著性水平和兩類錯(cuò)誤總體參數(shù)的實(shí)際情況檢驗(yàn)結(jié)論兩類錯(cuò)誤正確第二類錯(cuò)誤第一類錯(cuò)誤正確三、確定顯著性水平和兩類錯(cuò)誤兩類錯(cuò)誤概率:第一類錯(cuò)誤概率（又稱為棄真概率）第二類錯(cuò)誤概率（又稱為采偽概率）

三、確定顯著性水平和兩類錯(cuò)誤

三、確定顯著性水平和兩類錯(cuò)誤

三、確定顯著性水平和兩類錯(cuò)誤

四、建立檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量，給出拒絕域解12345

四、建立檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量，給出拒絕域檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量須滿足：AB在原假設(shè)下的分布是完全已知的或可以計(jì)算

四、建立檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量，給出拒絕域

例5

解

目錄/Contents8.18.28.3檢驗(yàn)的基本原理正態(tài)總體參數(shù)的假設(shè)檢驗(yàn)擬合優(yōu)度檢驗(yàn)?zāi)夸?Contents8.2正態(tài)總體參數(shù)的假設(shè)檢驗(yàn)一、單正態(tài)總體均值的假設(shè)檢驗(yàn)二、單正態(tài)總體方差的假設(shè)檢驗(yàn)三、兩個(gè)正態(tài)總體均值差的假設(shè)檢驗(yàn)四、兩個(gè)正態(tài)總體方差比的假設(shè)檢驗(yàn)

雙邊檢驗(yàn)：?jiǎn)芜叄ㄗ髠?cè)）檢驗(yàn)：?jiǎn)芜叄ㄓ覀?cè)）檢驗(yàn)：

一、單正態(tài)總體均值的假設(shè)檢驗(yàn)AB

一、單正態(tài)總體均值的假設(shè)檢驗(yàn)

一、單正態(tài)總體均值的假設(shè)檢驗(yàn)

一、單正態(tài)總體均值的假設(shè)檢驗(yàn)檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量：右側(cè)單邊檢驗(yàn)：給出拒絕域的構(gòu)造形式：拒絕域?yàn)椋?/p>

一、單正態(tài)總體均值的假設(shè)檢驗(yàn)檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量：左側(cè)單邊檢驗(yàn)：給出拒絕域的構(gòu)造形式：拒絕域?yàn)椋?/p>

一、單正態(tài)總體均值的假設(shè)檢驗(yàn)

例1解一、單正態(tài)總體均值的假設(shè)檢驗(yàn)

一、單正態(tài)總體均值的假設(shè)檢驗(yàn)

一、單正態(tài)總體均值的假設(shè)檢驗(yàn)

一、單正態(tài)總體均值的假設(shè)檢驗(yàn)構(gòu)造檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量：右側(cè)單邊檢驗(yàn)：給出拒絕域的構(gòu)造形式：拒絕域?yàn)椋?/p>

一、單正態(tài)總體均值的假設(shè)檢驗(yàn)構(gòu)造檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量：左側(cè)單邊檢驗(yàn)：給出拒絕域的構(gòu)造形式：拒絕域?yàn)椋?/p>

一、單正態(tài)總體均值的假設(shè)檢驗(yàn)例2

一、單正態(tài)總體均值的假設(shè)檢驗(yàn)

一、單正態(tài)總體均值的假設(shè)檢驗(yàn)

一、單正態(tài)總體均值的假設(shè)檢驗(yàn)

雙邊檢驗(yàn)：?jiǎn)芜叄ㄗ髠?cè)）檢驗(yàn)：?jiǎn)芜叄ㄓ覀?cè)）檢驗(yàn)：

二、單正態(tài)總體方差的假設(shè)檢驗(yàn)AB

二、單正態(tài)總體方差的假設(shè)檢驗(yàn)

給出拒絕域的構(gòu)造形式：

二、單正態(tài)總體方差的假設(shè)檢驗(yàn)

二、單正態(tài)總體方差的假設(shè)檢驗(yàn)類似可得：

二、單正態(tài)總體方差的假設(shè)檢驗(yàn)

二、單正態(tài)總體方差的假設(shè)檢驗(yàn)

二、單正態(tài)總體方差的假設(shè)檢驗(yàn)

例4二、單正態(tài)總體方差的假設(shè)檢驗(yàn)

首先：

二、單正態(tài)總體方差的假設(shè)檢驗(yàn)