高等數(shù)學（經(jīng)管類）PPT高職完整全套教學課件

目錄第一章微積分

?第一節(jié)導數(shù)的概念及運算

?第二節(jié)微分的概念及運算

?第三節(jié)偏導數(shù)與全微分

?第四節(jié)不定積分

?第五節(jié)定積分

?第六節(jié)數(shù)學實驗

一、導數(shù)的概念第一節(jié)導數(shù)的概念及運算其中β為割線MN的傾斜角.當動點N沿曲線無限靠近定點M時，即Δx→0時，上式的極限存在并設為k，即

一、導數(shù)的概念第一節(jié)導數(shù)的概念及運算

曲線??=??(??)在點M的切線斜率反映了該曲線在點M升降的快慢程度.

因此，切線斜率k又稱為曲線??=??(??)在x=x0處的變化率.

一、導數(shù)的概念第一節(jié)導數(shù)的概念及運算

1．設函數(shù)??=??(??)在點x0的某個鄰域內(nèi)有定義，當自變量x在x0處有增量Δx（Δx≠0）時，相應的函數(shù)有增量

，如果極限存在,則稱此極限值為函數(shù)??=??(??)在點x0處的導函數(shù)值.并稱函數(shù)??=??(??)在點x0處可導.記作.

此時若該極限不存在,則稱函數(shù)??=??(??)在點x0處不可導.若設x=x0+Δx，也有

一、導數(shù)的概念第一節(jié)導數(shù)的概念及運算

2．若設函數(shù)??=??(??)在區(qū)間(a,b)內(nèi)的每一點都可導，則稱函數(shù)??=??(??)在區(qū)間(a,b)內(nèi)可導.這時對于區(qū)間(a,b)內(nèi)的每一個x值，都對應一個確定的導數(shù)值，因此構(gòu)成了一個新的函數(shù)，這個函數(shù)叫做f(x)的導函數(shù)，記作

通常在不發(fā)生混淆的情況下，我們將導函數(shù)值與導函數(shù)統(tǒng)稱為導數(shù).

導數(shù)f′(x0)的幾何意義表示的是曲線??=??(??)在點M(x0,y0)處切線的斜率.即切線方程為y-y0=f′(x0)(x-x0)，法線方程為.

如果??=??(??)在點x0處的導數(shù)為無窮大，這時曲線??=??(??)在點M(x0,y0)處的切線方程為x=x0，該切線垂直于x軸.

一、導數(shù)的概念第一節(jié)導數(shù)的概念及運算求導數(shù)的步驟：（1）求增量：

；（2）算比值：；（3）取極限：.

一、導數(shù)的概念第一節(jié)導數(shù)的概念及運算例2求曲線y=x2+3在點（1，4）處的切線斜率，并寫出切線及法線方程.

二、導數(shù)的運算第一節(jié)導數(shù)的概念及運算1．基本公式第一節(jié)導數(shù)的概念及運算

二、導數(shù)的運算2．運算法則設函數(shù)u=u(x),v=v(x),w=w(x)在點x處均可導，則有如下運算法則推廣到有限個函數(shù)有第一節(jié)導數(shù)的概念及運算

二、導數(shù)的運算例3設

，求y′.例4設.解解第一節(jié)導數(shù)的概念及運算

二、導數(shù)的運算3．復合函數(shù)求導設函數(shù)y=f(u),u=φ(x)且y=f(u)的定義域由u=φ(x)的值域確定，則稱y=f［φ(x)］是由y=f(u),u=φ(x)復合而成的函數(shù)，簡稱復合函數(shù).u=φ(x)稱為中間變量.復合函數(shù)求導法則：設函數(shù)u=φ(x)在點x處可導，函數(shù)y=f(u)在對應點u=φ(x)處可導，則復合函數(shù)y=f［φ(x)］在點x處可導，且

上式也可寫成y′x=y′u·u′x或(f［φ(x)］)′=f′［φ(x)］·φ′(x).推廣到有限個中間變量有：設y=f(u),u=φ(v),v=ψ(x)均可導，則第一節(jié)導數(shù)的概念及運算

二、導數(shù)的運算例5設y=（2x+5）3，求y′x.3．復合函數(shù)求導熟練掌握復合函數(shù)的分解后，運算時不必寫出中間變量，直接由外向里逐層求導即可,但注意每層變量是不相同的.解將y=(2x+5)3分解為y=u3,u=2x+5而y′u=3u2,u′x=2，所以y′x=y′u·u′x=6u2=6(2x+5)2.例6求函數(shù)

的導數(shù).解第一節(jié)導數(shù)的概念及運算

二、導數(shù)的運算4．隱函數(shù)求導形如y=f(x)所表示的函數(shù)稱為顯函數(shù)，而x2+y2=R2,ey=xy同樣表示了函數(shù)關系，這種由方程F(x,y)=0所確定的函數(shù)稱為隱函數(shù).顯然所有的顯函數(shù)都可以表示為隱函數(shù)，而有些隱函數(shù)是不能表示為顯函數(shù)的，因此求隱函數(shù)的導數(shù)尤為重要.

隱函數(shù)求導法則：

（1）將等式兩端同時關于x求導，其中y是x的函數(shù)，由復合函數(shù)求導法則得到一個含有y′的方程；

（2）從方程中解出y′.第一節(jié)導數(shù)的概念及運算

二、導數(shù)的運算4．隱函數(shù)求導解將方程的兩端同時對x求導，這里y是x的函數(shù)，y2是x的復合函數(shù).根據(jù)復合函數(shù)求導法則有解得顯然此函數(shù)也可以通過表示為顯函數(shù)去求導.例7求由方程x2+y2=4所確定的隱函數(shù)的導數(shù).第一節(jié)導數(shù)的概念及運算

二、導數(shù)的運算4．隱函數(shù)求導解兩邊同時取以e為底的對數(shù)有l(wèi)ny=xlnsinx，兩邊對x求導得解得例8

求冪指函數(shù)y=(sinx)x的導數(shù)y′.對于形如的函數(shù)稱為冪指函數(shù).第一節(jié)導數(shù)的概念及運算

二、導數(shù)的運算5．高階導數(shù)例9設y=7x4，求y(5).如函數(shù)y=f(x)的導數(shù)y′=f′(x)仍是x的可導函數(shù)，則稱f′(x)的導數(shù)為f(x)的二階導數(shù).記由定義知，類似地，函數(shù)y=f(x)的三階導數(shù)，…….函數(shù)y=f(x)的n-1階導數(shù)的導數(shù)叫做函數(shù)y=f(x)的n階導數(shù)，記作我們把y=f(x)的導數(shù)f′(x)稱為函數(shù)的一階導數(shù)，二階及二階以上的導數(shù)統(tǒng)稱為高階導數(shù).第一節(jié)導數(shù)的概念及運算

三、極值設函數(shù)y=f(x)在(a,b)內(nèi)可導，若在（a,b）內(nèi)f′(x)>0，那么函數(shù)y=f(x)在（a,b）內(nèi)單調(diào)遞增；若在（a,b）內(nèi)f′(x)<0，那么函數(shù)y=f(x)在（a,b）內(nèi)單調(diào)遞減.設函數(shù)f(x)在點x0的鄰域內(nèi)有定義，且對該區(qū)域的任意點x（點x0除外），如果有f(x)<f(x0)成立，則稱f(x0)為函數(shù)f(x)的一個極大值，點x0稱為函數(shù)f(x)的一個極大值點；如果有f(x)>f(x0)成立，則稱f(x0)為函數(shù)f(x)的一個極小值，點x0稱為函數(shù)f(x)的一個極小值點.函數(shù)的極大值與極小值統(tǒng)稱為函數(shù)的極值，極大值點與極小值點統(tǒng)稱為極值點.極值是一個局部概念.因此有時在研究的區(qū)域內(nèi)會有多個極值，有時極小值會大于極大值.第一節(jié)導數(shù)的概念及運算

三、極值在圖1－2中可以看出函數(shù)在取得極值的地方，曲線的切線或是水平的（如點x1、x5）或是垂直的（如點x4），而曲線有水平切線的地方，函數(shù)不一定取得極值（如點x3）.總之如果函數(shù)f(x)在點x0處有極值f(x0)，則f′(x0)=0或f′(x0)不存在.使f′(x)=0的點x稱為函數(shù)的駐點.可導函數(shù)的極值點必是駐點，反之不一定.第一節(jié)導數(shù)的概念及運算

三、極值判定方法一：設函數(shù)f(x)在點x0的左右鄰域連續(xù)，且在該某個鄰域（點x0除外）可導，（1）若x<x0時,f′(x)>0；當x>x0時，f′(x)<0，則函數(shù)f(x)在x0處有極大值；（2）若x<x0時,f′(x)<0；當x>x0時，f′(x)>0，則函數(shù)f(x)在x0處有極小值；（3）若x取x0左右兩側(cè)附近的值f′(x)不變號，那么函數(shù)f(x)在x0處沒有極值.第一節(jié)導數(shù)的概念及運算

三、極值判定方法二：如果函數(shù)f(x)在點x0處具有二階導數(shù)，且f′(x0)=0，則（1）當f″(x0)<0時，函數(shù)f(x)在x0處取得極大值；（2）當f″(x0)>0時，函數(shù)f(x)在x0處取得極小值；（3）當f″(x0)=0時，函數(shù)f(x)在x0處是否取得極值不確定，回到判定方法一.求函數(shù)f(x)極值的步驟為：（1）確定函數(shù)f(x)的定義域，求出導數(shù)f′(x)和f″(x)；（2）求出函數(shù)f(x)的全部駐點及一階導數(shù)不存在的點；（3）用判定方法一或判定方法二確定以上各點是否為極值點并求極值.第一節(jié)導數(shù)的概念及運算

三、極值例10

求函數(shù)的極值.第一節(jié)導數(shù)的概念及運算

四、函數(shù)的最值函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上有定義，點x0是[a,b]內(nèi)的點，若對于該區(qū)間內(nèi)任意的點x恒有f(x0)≥f(x)(或f(x0)≤f(x))，則稱f(x0)為函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上的最大值（或最小值），x0為最大值點（或最小值點）.最值是整體概念，因此在討論的區(qū)域內(nèi)最值一定存在且唯一，最值點可以是區(qū)間內(nèi)的點也可以是區(qū)間的端點.第一節(jié)導數(shù)的概念及運算

四、函數(shù)的最值解（1）令f′(x)=4x3-4x=4x(x-1)(x+1)=0，解得駐點x=-1,x=0,x=1.（2）f(0)=3,f(±1)=2,f(-2)=11,f(2)=11.（3）比較得在[-2,2]

上的最大值為f(±2)=11，最小值為f(±1)=2.例11

求函數(shù)f(x)=x4-2x2+3在[-2,2]上的最大值與最小值.特別地在開區(qū)間(a,b)內(nèi)，若函數(shù)f(x)有且僅有唯一的極大值點（或極小值點）x0，那么它同時也是該區(qū)間內(nèi)的最大值點（或最小值點）；函數(shù)f(x)在單調(diào)閉區(qū)間上的最值一定存在且在區(qū)間的端點取得.第一節(jié)導數(shù)的概念及運算

五、幾個常見的函數(shù)1．總成本函數(shù)總成本函數(shù)是指生產(chǎn)者用于生產(chǎn)產(chǎn)品的所有費用.一般可分為固定成本（用C0來表示）和可變成本（用C1表示）.設總成本為C，產(chǎn)品的產(chǎn)量為q，則總成本函數(shù)為

總成本函數(shù)隨產(chǎn)量的增加而增加，因此是一個單調(diào)遞增的函數(shù).生產(chǎn)單位產(chǎn)品所付出的成本稱為平均成本，用表示，即.第一節(jié)導數(shù)的概念及運算

五、幾個常見的函數(shù)2．總收入函數(shù)

第一節(jié)導數(shù)的概念及運算

五、幾個常見的函數(shù)3．總利潤函數(shù)

第一節(jié)導數(shù)的概念及運算

五、幾個常見的函數(shù)3．總利潤函數(shù)解

因為C(q)=14000+6.00q,R(q)=18.5q由C(q)=R(q)解得保本點q=1120（件）.因每天產(chǎn)品的保本產(chǎn)量低于每天的生產(chǎn)能力，可以投入生產(chǎn)，當生產(chǎn)量為1120≤q≤4000時，即可從中獲利.例12某廠生產(chǎn)某產(chǎn)品，若以18.5元的價格出售產(chǎn)品是暢銷的，該廠每天生產(chǎn)能力為4000件，每天固定成本14000元，單位可變成本6.00元，求保本點.第一節(jié)導數(shù)的概念及運算

五、幾個常見的函數(shù)4．邊際函數(shù)在經(jīng)濟學中，將經(jīng)濟函數(shù)y=f(x)的導數(shù)y′=f′(x)稱為邊際函數(shù)，f′(x0)稱為y=f(x)在x=x0處的邊際函數(shù)值.

Δy≈f′(x0)說明邊際函數(shù)值近似地等于函數(shù)的改變量，表示自變量x在原有水平x=x0基礎之上，若產(chǎn)生一個單位的改變，y相應近似地變化f′(x0)個單位.總成本函數(shù)C(q)的導數(shù)C′(q)稱為邊際成本.其經(jīng)濟意義是當產(chǎn)量為q時，再生產(chǎn)一個單位的產(chǎn)品帶來總成本增加的近似值（通常省略“近似”二字）.顯然當邊際成本小于平均成本時，增加產(chǎn)品的生產(chǎn)量將會帶來利潤的增加.總收入函數(shù)R(q)的導數(shù)R′(q)稱為邊際收入.其經(jīng)濟意義是當銷量為q時，再多銷售一個單位產(chǎn)品帶來總收入的改變.總利潤函數(shù)L(q)的導數(shù)L′(q)稱為邊際利潤.其經(jīng)濟意義是當產(chǎn)量（或銷量）為q時，再多生產(chǎn)（或銷售）一個單位產(chǎn)品帶來總利潤的改變.同樣類似地還有邊際需求，邊際供給等.第一節(jié)導數(shù)的概念及運算

五、幾個常見的函數(shù)4．邊際函數(shù)利用邊際分析理論有如下重要結(jié)論：（1）平均成本最小化原理即當平均成本等于邊際成本時，平均成本取得最小值.（2）利潤最大化原理即當邊際收入等于邊際成本時，總利潤取得最大值.第一節(jié)導數(shù)的概念及運算

五、幾個常見的函數(shù)4．邊際函數(shù)

第一節(jié)導數(shù)的概念及運算

五、幾個常見的函數(shù)4．邊際函數(shù)解（2）由已知

由利潤最大化原理有160-10p=10p-340，解得p=25（萬元/噸），將p=25代入Q(p)=160-5p有q=35噸/月.當產(chǎn)品的銷售價格定為25萬元/噸時，獲得的利潤最高，最優(yōu)月銷售數(shù)量為35噸.

第一節(jié)導數(shù)的概念及運算

五、幾個常見的函數(shù)5．彈性理論

第一節(jié)導數(shù)的概念及運算

五、幾個常見的函數(shù)5．彈性理論

第一節(jié)導數(shù)的概念及運算

五、幾個常見的函數(shù)5．彈性理論

經(jīng)濟意義：當p=3時，價格上漲1%時，需求量減少0.6％，需求量變化的幅度小于價格變化的幅度，此時價格對需求的影響不大；當p=5時，價格上漲1％，需求量減少1％，需求量變化的幅度與價格變化的幅度相同；當p=6時，價格上漲1%，需求量減少1.2%，需求量變化的幅度大于價格變化的幅度，此時價格對需求的影響較大.第一節(jié)導數(shù)的概念及運算

五、幾個常見的函數(shù)5．彈性理論

第二節(jié)微分的概念及運算

一、微分的概念設正方形的面積為y=x2,而y′=2x，當邊長為x0時，對應于邊長改變量Δx>0，則面積y相應的改變量為如圖1-4所示，當Δx很小時，(Δx)2相對于2x0Δx來說變小的速度更快，所以面積y的改變量Δy可以近似地用2x0Δx來替代，即Δy≈2x0Δx，兩者相差(Δx)2.因此我們把y=x2改變量的近似值2x0Δx稱為函數(shù)在點x0處的微分值，記作第二節(jié)微分的概念及運算

一、微分的概念

1．若函數(shù)y=f(x)在x0處具有導數(shù)f′(x0)，那么f′(x0)·Δx叫做函數(shù)y=f(x)在點x0處的微分值.記作這時稱函數(shù)y=f(x)在x0處可微分，或簡稱函數(shù)可微.

2．函數(shù)y=f(x)在任意點x的微分，稱為函數(shù)的微分，記為dy或df(x).即當y=x時，由于dy=dx=(x)′Δx=Δx，即自變量的微分等于自變量的增量.于是函數(shù)y=f(x)的微分又可記作顯然，即函數(shù)的微分dy與自變量的微分dx的商等于該函數(shù)的導數(shù).因此導數(shù)又稱為微商.第二節(jié)微分的概念及運算

一、微分的概念例1求y=sin(6x+2)的微分dy.解dy=［sin(6x+2)］′dx=6cos(6x+2)dx.在直角坐標系中，設曲線y=f(x)有定點M(x0,y0)，當自變量x有微小改變Δx時，得曲線上點N(x0+Δx,y0+Δy)，由圖1-5可知：

MQ=Δx,QN=Δy，過點M作曲線的切線MT，其傾角為α，則QP=MQ·tanα=f′(x0)Δx,即dy=QP，因此函數(shù)y=f(x)在點M(x0,y0)處的微分的幾何意義是曲線y=f(x)在點M(x0,y0)處切線的縱坐標的改變量.第二節(jié)微分的概念及運算

二、微分的運算1．基本公式第二節(jié)微分的概念及運算

二、微分的運算2．運算法則

設函數(shù)u=u(x)和v=v(x)在點x處均可導，則有：第二節(jié)微分的概念及運算

二、微分的運算3．微分形式不變性設函數(shù)y=f(u),u=φ(x)，則復合函數(shù)y=f［φ(x)］的微分為因為φ′(x)dx=du，所以dy=f′(u)du，這個性質(zhì)稱為微分形式不變性，也稱為復合函數(shù)的微分法則.例2設y=ln(1+ex),求dy.解第二節(jié)微分的概念及運算

三、微分在近似計算中的應用

設y=f(x)的導數(shù)y′=f′(x)在點x=x0連續(xù)，當自變量的改變量為Δx時，函數(shù)的改變量.當很小時，有或特別地令x0=0，當

很小時，有

.第二節(jié)微分的概念及運算例3證明：證設代入得

三、微分在近似計算中的應用第三節(jié)偏導數(shù)與全微分

一、二元函數(shù)的概念

設有三個變量x,y和z，當x和y在一定范圍內(nèi)任意取定一對值時，變量z按照一定的規(guī)律，總有確定的數(shù)值與之對應，則變量z稱為變量x,y的二元函數(shù)，記作z=f(x,y).二元函數(shù)同樣有定義域、值域、極限和連續(xù)的概念，且顯然類似地我們將y=f(x1,x2,…,xn)稱為n元函數(shù).第三節(jié)偏導數(shù)與全微分

二、偏導數(shù)與一元函數(shù)一樣，多元函數(shù)也需討論變化率的問題，即偏導數(shù)的概念.

1．設函數(shù)z=f(x,y)在點(x0,y0)的某一個領域內(nèi)有定義，當y固定在y0，而x在x0處有增量Δx時，相應地函數(shù)有增量f(x0+Δx,y0)-f(x0,y0)，稱之為函數(shù)關于自變量x的偏增量，記為Δxz.如果存在，則稱此極限值為函數(shù)z=f(x,y)在點(x0,y0)處對自變量x的偏導數(shù)值.記作類似地，函數(shù)z=f(x,y)在點(x0,y0)處對自變量y的偏導數(shù)值為記作第三節(jié)偏導數(shù)與全微分

二、偏導數(shù)

2．若函數(shù)z=f(x,y)在區(qū)域內(nèi)每一點(x,y)處對x的偏導數(shù)都存在且仍是x,y的函數(shù)，則稱它為函數(shù)z=f(x,y)對自變量x的偏導函數(shù).記為.即類似地z=f(x,y)對自變量y的偏導函數(shù)記為.即在不發(fā)生混淆的情形下偏導函數(shù)值和偏導函數(shù)統(tǒng)稱為偏導數(shù).由定義可知，二元函數(shù)偏導數(shù)的求導方法：確定其中一個自變量為變量的同時將另一個自變量暫時看作常量，轉(zhuǎn)化為一元函數(shù)來求導.第三節(jié)偏導數(shù)與全微分

二、偏導數(shù)例１求函數(shù)在點(1,2)處的偏導數(shù).第三節(jié)偏導數(shù)與全微分

二、偏導數(shù)

3．設函數(shù)z=f(x,y)在區(qū)域內(nèi)有偏導數(shù)存在且都是x,y的函數(shù).則它們的偏導數(shù)稱為函數(shù)z=f(x,y)的二階偏導數(shù).因?qū)ψ兞壳髮?shù)的次序不同，有下列四個二階偏導數(shù)：其中fxy(x,y)和fyx(x,y)稱為二階混合偏導數(shù).類似地可有三階及三階以上的偏導數(shù)，我們將二階及二階以上的偏導數(shù)統(tǒng)稱為高階偏導數(shù).第三節(jié)偏導數(shù)與全微分

二、偏導數(shù)例２求函數(shù)的二階偏導數(shù).

如果二元函數(shù)z=f(x,y)的二階混合偏導數(shù)在區(qū)域內(nèi)連續(xù)，則在該區(qū)域內(nèi)有

.第三節(jié)偏導數(shù)與全微分

三、全微分如果函數(shù)z=f(x,y)在點(x,y)處的偏導數(shù)存在，函數(shù)z=f(x,y)在點(x,y)處的全微分記為與一元函數(shù)一樣，由于Δx=dx,Δy=dy，函數(shù)z=f(x,y)的全微分也可寫為例３求函數(shù)的全微分.第三節(jié)偏導數(shù)與全微分

四、全微分在近似計算中的應用設二元函數(shù)z=f(x,y)的偏導數(shù)fx(x,y),fy(x,y)在點(x0,y0)處連續(xù)，當自變量的改變量分別為Δx,Δy時，函數(shù)的改變量Δz=f(x0+Δx,y0+Δy)-f(x0,y0).當都很小時，有或例４計算(1.03)2.02的近似值.第三節(jié)偏導數(shù)與全微分

五、二元函數(shù)的極值與最值對于二元函數(shù)z=f(x,y)在點(x0,y0)左右附近內(nèi)的所有點，若總有f(x,y)<f(x0,y0)((x,y)≠(x0,y0))，則稱f(x0,y0)為函數(shù)f(x,y)的極大值；若總有f(x,y)>f(x0,y0)((x,y)≠(x0,y0))，則稱f(x0,y0)為函數(shù)f(x,y)的極小值.函數(shù)的極大值與極小值統(tǒng)稱為函數(shù)的極值，(x0,y0)稱為函數(shù)的極值點.如果函數(shù)z=f(x,y)在點(x0,y0)處有極值，那么．或中至少有一個不存在.使函數(shù)z=f(x,y)一階偏導數(shù)同時為零的點，稱為駐點.可導二元函數(shù)的極值點一定是駐點，但駐點不一定是極值點.第三節(jié)偏導數(shù)與全微分

五、二元函數(shù)的極值與最值判定方法：如果函數(shù)f(x,y)在點(x0,y0)的某一領域內(nèi)有連續(xù)的二階偏導數(shù)，且(x0,y0)為駐點，若記，則（1）當B2-AC<0且A>0時，函數(shù)f(x,y)在點(x0,y0)處有極小值f(x0,y0)，當B2-AC<0且A<0時，函數(shù)f(x,y)在點(x0,y0)處有極大值f(x0,y0)；（2）當B2-AC>0時，函數(shù)f(x,y)在點(x0,y0)處無極值；（3）當B2-AC=0時，函數(shù)f(x,y)在點(x0,y0)處極值不確定，需另做討論.第三節(jié)偏導數(shù)與全微分

五、二元函數(shù)的極值與最值解因為解方程組，得駐點(3,2),(3,-2).在駐點(3,2)處因A=-2,B=0,C=12且B2-AC=24>0，所以點(3,2)不是極值點；在駐點(3,-2)處因A=-2,B=0,C=-12且B2-AC=-24<0且A<0，所以點(3,-2)是極大值點，極大值為f(3,-2)=30.例５求函數(shù)f(x,y)=y3-x2+6x-12y+5的極值.第四節(jié)不定積分

一、原函數(shù)已知函數(shù)F(x)在某區(qū)間上可導，且F′(x)=f(x)，則稱函數(shù)F(x)為f(x)在該區(qū)間上的一個原函數(shù).例如在-∞,+∞內(nèi)，因為(x2)′=2x，所以x2是2x的一個原函數(shù).又因為(x2+C)′=2x(C為任意常數(shù))，所以函數(shù)2x在-∞,+∞內(nèi)有無窮多個原函數(shù)，且這些原函數(shù)之間僅相差一個常數(shù).如果函數(shù)F(x)是f(x)的一個原函數(shù)，則函數(shù)F(x)+C（C為任意常數(shù)）是f(x)的全體原函數(shù)，顯然(F(x)+C)′=f(x).第四節(jié)不定積分

二、不定積分的概念函數(shù)f(x)在區(qū)間上的全體原函數(shù)F(x)+C稱為f(x)的不定積分，記作∫f(x)dx=F(x)+C.其中∫稱為積分號，f(x)稱為被積函數(shù)，f(x)dx稱為被積表達式，x稱為積分變量，C稱為積分常數(shù).由此可知，求已知函數(shù)的不定積分，就歸結(jié)為求它的一個原函數(shù)問題.例１

求.第四節(jié)不定積分不定積分的幾何意義：設F(x)是f(x)的一個原函數(shù)，則曲線y=F(x)稱為被積函數(shù)f(x)的一條積分曲線，于是不定積分y=∫f(x)dx=F(x)+C表示一族積分曲線，稱為積分曲線族，它是由其中任何一條曲線沿y軸上下移動而得到的.如圖1-6所示.

二、不定積分的概念第四節(jié)不定積分

三、不定積分的運算1．計算不定積分的基本公式第四節(jié)不定積分

三、不定積分的運算2．不定積分的性質(zhì)與法則第四節(jié)不定積分

三、不定積分的運算3．運算方法（1）直接積分法利用基本積分公式和不定積分的性質(zhì)，通過對被積函數(shù)作適當代數(shù)或三角恒等變形，可求簡單函數(shù)的不定積分稱為直接積分法.例２求不定積分.例３求不定積分.例４求不定積分

.解解解第四節(jié)不定積分

三、不定積分的運算3．運算方法（2）第一類換元法（湊微分法）設Fu是fu的一個原函數(shù)，則F′u=fu,∫fudu=Fu+C.如果u是x的函數(shù)u=φx，且φx可微，那么，由復合函數(shù)微分法有即有這個計算方法稱為第一類換元法（湊微分法）.第四節(jié)不定積分

三、不定積分的運算例５求不定積分∫（3x-1）20dx.解令φ(x)=3x-1,φ′(x)=3，u=3x-1，于是原式=1/3∫(3x-1)20·3dx

=1/3∫(3x-1)20d(3x-1)(湊微分)

=1/3∫u20du(換元)

=1/3×1/21·u21+C(用公式)

=1/63(3x-1)21+C.(還原)熟悉了湊微分的方法后，可在運算過程中省略換元和還原步驟，直接求得結(jié)果.即此時積分變量是中間變量u=φ(x).第四節(jié)不定積分

三、不定積分的運算（3）第二類換元法（變量代換法）令x=φ(t)，則∫f(x)dx=∫f［φ(t)］dφ(t)=∫f［φ(t)］φ′(t)dt，直接求積分即可.為計算方便，常令t=φ-1(x).根式代換：被積函數(shù)中含有

的不定積分，令

，即作變換

.例7求不定積分.第四節(jié)不定積分

三、不定積分的運算（3）第二類換元法（變量代換法）

三角代換：被積函數(shù)中含有二次根式

的不定積分，即分別設例8求不定積分.第四節(jié)不定積分

三、不定積分的運算

（4）分部積分法

設函數(shù)u=u(x)和v=v(x)有連續(xù)導數(shù)，根據(jù)乘積求導公式(uv)′=u′v+uv′，則有分部積分公式

或

，分部積分的計算的關鍵是恰當?shù)剡x擇函數(shù)u=u(x),v=vx.例9求不定積分.（冪三選冪）例10求不定積分.（冪指選冪）第五節(jié)定積分

一、定積分的概念1．定義設函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上有界，在[a,b]內(nèi)任意插入n-1個分點x1,x2,…,xn-1，且并記，任取，作和

，

記，如果極限存在，且此極限值與對[a,b]的分法及點ξi的取法無關，則稱函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上是可積的，并稱此極限值為函數(shù)f(x)在[a,b]區(qū)間上的定積分，記作.即這時稱函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上可積，其中[a,b]稱為積分區(qū)間，a稱為積分下限，b稱為積分上限，其他與不定積分相同.注意1．定積分是和式的極限，它是一個數(shù)，與不定積分不同.2．定積分的值只與被積函數(shù)f(x)和積分區(qū)間[a,b]有關，而與積分變量的記號無關，即第五節(jié)定積分

一、定積分的概念2．曲邊梯形所謂曲邊梯形是指由曲線y=f(x)，直線x=a，x=b(a<b)與x軸所圍成的圖形.如圖1-7，其中（乙）、（丙）是直線x=a，x=b中一條或兩條退縮為一點的特殊情形，同樣視為曲邊梯形.用曲邊梯形的面積來解釋定積分的幾何意義.第五節(jié)定積分

一、定積分的概念2．曲邊梯形求曲邊梯形的面積可按下列步驟進行：

（1）分割：如圖1-８所示，曲邊梯形的面積為

（2）取近似：如圖1-9所示，曲邊梯形的面積即

（3）求和：曲邊梯形面積S的近似值

（4）取極限：曲邊梯形AabB的面積即

定積分

的幾何意義：

——表示由曲線y=f(x)、直線x=a、x=b及x軸所圍成的平面圖形面積的代數(shù)和.第五節(jié)定積分

二、定積分的性質(zhì)第五節(jié)定積分

二、定積分的性質(zhì)第五節(jié)定積分

三、微積分基本定理1．積分上限函數(shù)及其導數(shù)已知函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)，x是[a,b]上的任意一點，則f(x)在區(qū)間[a，x]上也連續(xù)，從而

一定存在，這時對任意x∈[a，b]，都有唯一確定的

與之對應，因此

是定義于區(qū)間[a，b]上的函數(shù)，稱為積分上限函數(shù)，記作Φ(x)，即

若函數(shù)f(x)在區(qū)間[a，b]上連續(xù)，則積分上限函數(shù)Φ(x)在a，b可導，其導數(shù)為2．牛頓—萊布尼茨公式設函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)，F(xiàn)(x)是f(x)在[a,b]上的一個原函數(shù)，則第五節(jié)定積分

三、微積分基本定理例2

計算.例4

計算.第五節(jié)定積分

四、廣義積分當積分區(qū)間為無窮區(qū)間或被積函數(shù)為無界函數(shù)的積分運算稱為廣義積分.1．無窮限的廣義積分設函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,+∞]內(nèi)連續(xù)，取實數(shù)b>a，如果

存在，則此極限值叫做函數(shù)f(x)在[a,+∞]上的廣義積分，記作.即若此極限值存在，則稱廣義積分收斂，否則稱廣義積分發(fā)散.類似地此時與都收斂（c為任意常數(shù)）.第五節(jié)定積分

四、廣義積分例５

計算.例６

計算.第五節(jié)定積分

四、廣義積分2．無界函數(shù)的廣義積分設函數(shù)f(x)在區(qū)間(a,b]上連續(xù)，且

，取ε＞0，如果存在，則此極限值稱為函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上的廣義積分（或瑕積分），記作.即若此極限值存在則稱廣義積分收斂，否則稱廣義積分發(fā)散.例7

計算.第五節(jié)定積分

五、平面圖形的面積

1．由曲線y=f(x)，直線x=a，x=b及x軸所圍成的曲邊梯形，由定積分的幾何意義知其面積可表示為

，如圖1-10、1-11、1-12所示.

第五節(jié)定積分

五、平面圖形的面積

2．由曲線x=φ(y)，直線y=c，y=d及y軸所圍成的平面圖形,由定積分的幾何意義知其面積可表示為.如圖1-13所示.

3．由曲線y=f(x)，y=g(x)，直線x=a，x=b及x軸所圍成的平面圖形面積為如圖1-14、1-15所示.第五節(jié)定積分

五、平面圖形的面積

4．由曲線x=φ(y)，x=ψ(y)，直線y=c，y=d及y軸所圍成的平面圖形的面積為.如圖1-16所示.例8求由曲線y=ex，直線x=0，x=1及y=0軸所圍成的平面圖形的面積.解（1）作圖1-17.（2）求交點確定x,y的變化范圍，由得交點(0，1)，(1，e).

（3）取x為積分變量，第五節(jié)定積分

六、旋轉(zhuǎn)體的體積所謂旋轉(zhuǎn)體就是平面上的一條封閉曲線繞此平面上的一條定直線旋轉(zhuǎn)一周而形成的幾何體.其中定直線叫旋轉(zhuǎn)軸，旋轉(zhuǎn)體的截面是圓，可求其面積.

1．已知y=f(x)是區(qū)間[a,b]上的連續(xù)曲線，曲邊梯形AabB(如圖1-19所示)繞x軸旋轉(zhuǎn)一周形成一個旋轉(zhuǎn)體，其體積記為Vx.任取[a,b]上的一點x，過此點作垂直于x軸的平面，所得截面的面積為

，則第五節(jié)定積分

六、旋轉(zhuǎn)體的體積所謂旋轉(zhuǎn)體就是平面上的一條封閉曲線繞此平面上的一條定直線旋轉(zhuǎn)一周而形成的幾何體.其中定直線叫旋轉(zhuǎn)軸，旋轉(zhuǎn)體的截面是圓，可求其面積.

2．已知x=g(y)是區(qū)間[c,d]上的連續(xù)曲線，曲邊梯形AcdB(如圖1-20所示)繞y軸旋轉(zhuǎn)一周形成一個旋轉(zhuǎn)體，其體積記為Vy.任取[c,d]上的一點y，過此點作垂直于y軸的平面，所得截面的面積為

，則第五節(jié)定積分

六、旋轉(zhuǎn)體的體積解如圖1-21所示，積分變量x的變化區(qū)間為[0,1]，此處f(x)=x2，則體積例10

求由y=x2及x=1，y=0所圍成的平面圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)一周形成的旋轉(zhuǎn)體的體積.解如圖1-22所示，積分變量y的變化區(qū)間為0,8，此處

.則體積例11

求由y=x3及y=8及y軸所圍成的曲邊梯形繞y軸旋轉(zhuǎn)一周形成的旋轉(zhuǎn)體的體積.第六節(jié)數(shù)學實驗

一、導數(shù)1．函數(shù)求導命令：diff（f）；2．求n階導數(shù)命令：diff（f,n）；3．求偏導數(shù)：diff（f,x），diff（f,y）；4．求n階偏導數(shù)：diff（f,x,n）.5．隱函數(shù)求導例1求y=x3+sinx的導數(shù).輸入：symsx

diff(x^3+sin(x))執(zhí)行以后得到：ans=3*x^2+cos(x)或者可以輸入：symsx

y=x^3+sin(x)

diff(y);執(zhí)行以后得到：ans=3*x^2+cos(x)再輸入：diff（y,10）執(zhí)行以后得到：ans=-sin(x)輸入：symsxy

z=(1+x*y)^y;

diff(z,x)

diff(z,y)輸出：ans=(1+x*y)^y*y^2/(1+x*y)ans=(1+x*y)^y*(log(1+x*y)+y*x/(1+x*y))例２

.輸入：symsxy

Z=2*x^2-2*x*y+x+2*y+1;

Daoshu=-diff(z,x)/diff(z,y)輸出：Daoshu=(-4*x+2*y-1)/(-2*x+2)例3求由方程2x2-2xy+y2+x+2y+1=0確定的隱函數(shù)的導數(shù).第六節(jié)數(shù)學實驗

二、不定積分與積分1．函數(shù)積分命令：int（f）%求函數(shù)f關于syms定義的符號變量的不定積分；2．函數(shù)積分命令：int（f,v）%求函數(shù)f關于變量v的不定積分；3．函數(shù)積分命令：int（f,a,b）%求函數(shù)f關于syms定義的符號變量從a到b的定積分；4．函數(shù)積分命令：int（f,v,a,b）%求函數(shù)f關于變量v從a到b的定積分；5．定積分近似值：guad(＇f＇,a,b)%求定積分的近似值.輸入：symsx

int(＇atan(x)*x^2＇,x)輸出：ans=1/3*x^3*atan(x)-1/6*x^2+1/6*log(x^2+1)輸入：symsx

f=abs(x-2);

y=int(f,0,4)輸出：y=4例4

求.例5求

.第六節(jié)數(shù)學實驗

三、函數(shù)最值輸入：symsx

f=’x/(1+x.^2)’;

[xmin,ymin]=fminbnd(f,-10,10)輸出：

xmin=-1.0000

ymin=-0.5000表明x=-1是最小值點，最小值是-0.5000.接下來將求最大值的問題轉(zhuǎn)換成求最小值，再輸入：

f1=’-x/(1+x.^2)’;

[xmax,ymax]=fminbnd(f1,-10,10)輸出為：

xmax=1.0000

ymax=-0.5000注意f=-f1,所以x=1是最大值點，最大值是-（-0.5000）=0.5000.函數(shù)的最小值：[x,y]=fminbnd(f,x1,x2)%求函數(shù)f在（x1,x2）上的最小值.若要求函數(shù)f(x)的最大值，只需求-f(x)的最小值即可.例6求函數(shù)的最值.目錄第二章微積方程

?第一節(jié)微分方程的基本概念

?第二節(jié)一階微分方程

?第三節(jié)幾種二階微分方程

?第四節(jié)數(shù)學實驗

第一節(jié)微分方程的基本概念像方程y′=2x或dydx=2x，含有自變量、未知函數(shù)以及未知函數(shù)的導數(shù)（或微分）的方程，就稱為微分方程.未知函數(shù)為一元函數(shù)的微分方程，稱為常微分方程，未知函數(shù)是多元函數(shù)的微分方程稱為偏微分方程.

注意：微分方程中，未知函數(shù)和自變量可以不出現(xiàn)，但未知函數(shù)的導數(shù)（或微分）必須出現(xiàn).微分方程中所出現(xiàn)的未知函數(shù)導數(shù)的最高階數(shù)，稱為微分方程的階.例如：方程y′=2x是一階微分方程；y″+4y=2x是二階微分方程；y(4)+2y5-3y′′′=sinx是四階微分方程.一般地，n階微分方程的形式是其中x為自變量，y為未知函數(shù)，且y(n)一定要出現(xiàn).例1某曲線通過點1,3，且在該曲線上任意點M（x,y）處的切線斜率為2x，求該曲線方程.

解設所求曲線方程為y=f(x)，根據(jù)導數(shù)的幾何意義有y′=2x或

.

第一節(jié)微分方程的基本概念建立微分方程，重要的是要找出變量之間的函數(shù)關系，所以需要求解微分方程.在方程y′=2x或

中，對方程兩端同時求積分，可得y=x2+C，其中C為任意常數(shù).當C為某一個確定的值時，就得到一個確定的函數(shù)，將這個函數(shù)代入微分方程后，方程兩端恒等，稱此函數(shù)為該微分方程的解.方程y=x2+C是由積分所得到的曲線族，是此微分方程的全部解，如果微分方程的解中所含相互獨立的任意常數(shù)的個數(shù)等于微分方程的階數(shù)，則此解稱為該微分方程的通解.通解中應包含的任意常數(shù)的個數(shù)等于微分方程的階數(shù).為確定通解中任意常數(shù)所給的附加條件，叫做初始條件.確定了通解中任意常數(shù)后的解，稱為微分方程的特解.例如x=1，y=3是初始條件，y=x2+c是y′=2x的通解，而y=x2+2是y′=2x的特解.第二節(jié)一階微分方程

一、可分離變量的一階微分方程

一階微分方程的一般形式為F(x,y,y′)=0，其中，x為自變量，y為未知函數(shù)，y′為y對x的一階導數(shù).下面討論幾種特殊情況.形如的一階微分方程，稱為可分離變量的微分方程.將上式兩端同時積分，得通解第二節(jié)一階微分方程

解

(1)建立微分方程：依題意，當S=I時，有

;

(2)求微分方程的通解：分離變量，,兩邊同時積分，

，解得通解，;

(3)求微分方程的特解：將初始條件t=0時，y=5代入通解，得C=5，于是國民收入函數(shù)為

，而儲蓄函數(shù)和投資函數(shù)為.第二節(jié)一階微分方程在實際問題中，有些不是可分離變量的微分方程，但可經(jīng)過變換將其化為可分離變量的方程.形如

的一階微分方程，稱為齊次微分方程.例如，

二、齊次微分方程第二節(jié)一階微分方程齊次微分方程的解法是通過引進變量，使之化為可分離變量的微分方程，然后求解.具體求解步驟：

1．令，則y=xu，兩邊分別對x求導，得，

2．

3．分離變量為，

4．兩邊同時積分得，即，則齊次微分方程的通解為最后將回代整理.

二、齊次微分方程第二節(jié)一階微分方程例4求微分方程

的通解.注意：如果函數(shù)中每一項關于x和y的指數(shù)和均相等，則必為齊次微分方程.第二節(jié)一階微分方程

三、一階線性微分方程形如的微分方程，稱為一階線性微分方程，其中Px、Q(x)都是連續(xù)函數(shù).當Q(x)≡0時有，稱為所對應的一階線性齊次微分方程.當Q(x)≠0時，稱為一階線性非齊次微分方程.第二節(jié)一階微分方程1．一階線性齊次微分方程的通解

三、一階線性微分方程一階線性齊次微分方程y′+P(x)y=0是可分離變量方程，分離變量得兩邊積分后得通解公式為（C為任意常數(shù)）.解這是一階線性齊次微分方程，而

，代入通解公式得

（C為任意常數(shù)）.例5求微分方程

的通解.第二節(jié)一階微分方程1．一階線性非齊次微分方程的通解

三、一階線性微分方程一階線性非齊次微分方程的通解與對應的一階線性齊次微分方程的通解密切相關，若y′+P(x)y=0的通解，則y′+P(x)y=Q(x)的通解公式為此公式是通過常數(shù)變易法推得的.不難看出上述通解公式可整理為，即一階線性非齊次微分方程y′+P(x)y=Q(x)的通解還可表示為對應一階線性齊次微分方程的通解與其自身的一個特解之和.第二節(jié)一階微分方程解例6求微分方程

的通解.第二節(jié)一階微分方程例7求微分方程

滿足

的特解.解第三節(jié)幾種二階微分方程

一、最簡單的二階微分方程

二階微分方程的一般形式為

，這里僅介紹幾種最簡單的、經(jīng)過適當變換可將二階降為一階的微分方程.形如y″=f(x)的微分方程，是最簡單的一種二階微分方程.只要將y″=f(x)通過二次積分即可得到通解.

第一次積分得,

第二次積分得(C1，C2為任意常數(shù)).例1求微分方程

的通解.

解積分一次得再積分一次得通解（

C1，C2為任意常數(shù)）.

二、不顯含未知函數(shù)y的二階微分方程形如的微分方程稱為不顯含未知函數(shù)y的二階微分方程.令y′=p,則y″=p′，代入y″=f(x,y′)變形為p′=f(x,p)，設其通解為，而，因此得到一個一階微分方程，對其積分得的通解為第三節(jié)幾種二階微分方程例2求微分方程

的通解.

二、不顯含未知函數(shù)y的二階微分方程第三節(jié)幾種二階微分方程

三、不顯含自變量x的二階微分方程形如的微分方程稱為不顯含自變量x的二階微分方程.令y′=p，而為對y的導數(shù)，這樣原方程就降為以p為未知函數(shù)y為自變量的一階微分方程：，設方程的通解為：，分離變量后積分，便得原方程的通解為第三節(jié)幾種二階微分方程例3求微分方程

的通解.

三、不顯含自變量x的二階微分方程第三節(jié)幾種二階微分方程第四節(jié)數(shù)學實驗例1求微分方程

的通解.求微分方程命令：dsolve(’eq1,eq2,…’,’cond1，cond2,…’,’v’)

%’eq1,eq2,…’表示常微分方程（組），’cond1，cond2,…’表示初始條件.在常微分方程中大寫字母D表示對自變量的微分，即D=d/dt，D2=d^2/dt^2，….輸入：dsolve(’x*Dy+y-exp(-x)=0’,’y(1)=2’,’x’)輸出：ans=(-exp(-x)+exp(-1)+2exp(1))/x

輸入：dsolve(’Dy+2*x*y=x*exp(-x^2)’,’x’)輸出：ans=(1/2*x^2+C1)*exp(-x^2)例2求微分方程

在初始

條件

下的特解.目錄第三章矩陣與線性方程組

?第一節(jié)矩陣的概念及常用矩陣

?第二節(jié)矩陣的運算及性質(zhì)

?第三節(jié)逆矩陣及矩陣的秩

?第四節(jié)線性方程組

?第五節(jié)數(shù)學實驗第一節(jié)矩陣的概念及常用矩陣矩陣就是一張矩形數(shù)表，它可以多方位地反映研究對象的狀態(tài)及相互關聯(lián)的數(shù)量信息。

一、矩陣的概念某商場在一天內(nèi)售出的家用電器如下表3-1：第一節(jié)矩陣的概念及常用矩陣

一、矩陣的概念取其表中之數(shù)，按原順序排成數(shù)表該數(shù)表反映了商場一天內(nèi)的銷售情況。又如，在線性方程組第一節(jié)矩陣的概念及常用矩陣

一、矩陣的概念其中，未知數(shù)的系數(shù)和常數(shù)項可以排成一個m行n列數(shù)表由于該表由方程組唯一地確定，故該表可代表此方程組。類似的問題還有火車時刻表、生產(chǎn)活動中的各種報表等。由于表中的數(shù)據(jù)是人們所關心的，也是最為重要的，所以當只考慮表中數(shù)據(jù)，保持其位置不變時就可以簡化成下面的形式，數(shù)學上把這種具有一定排列規(guī)則的矩形陣表稱為矩陣。第一節(jié)矩陣的概念及常用矩陣

一、矩陣的概念

定義1

將個數(shù)

排成m行n列的矩形數(shù)表，稱為m行n列矩陣，簡稱

矩陣，記作

其中稱為矩陣中位于第i行第j列的元素，下標i

是行標，下標j是列標。一般常用大寫英文字母表示矩陣?；蛴洖榈鹊?。第一節(jié)矩陣的概念及常用矩陣

二、常用矩陣

對于行標、列標及元素的不同取值分別有如下常用矩陣：

只有一行（即m=1）的矩稱為行矩陣，如

只有一列（即n=1）的矩陣稱為列矩陣，如

如果矩陣的行的數(shù)目與列的數(shù)目相等，則稱此矩陣為方陣，有n行n列的矩陣稱為n

階方陣。一階方陣就是單獨一個數(shù)，例如

等等。第一節(jié)矩陣的概念及常用矩陣

二、常用矩陣

設A為n階方陣，從A的左上角元素

沿到達的n個元素組成A的主對角線；若除主對角線上的元素不全為零外，其余的元素全都為零的方陣稱為對角矩陣，對角矩陣的一般形式是

主對角線下（上）方元素全為零的方陣稱為上（下）三角矩陣；第一節(jié)矩陣的概念及常用矩陣

二、常用矩陣

方陣中當主對角線上的元素皆為1，其余元素皆為零時稱為單位矩陣，記作。單位矩陣中主對角線上的元素均為常數(shù)k（k≠1）時得到的矩陣稱為數(shù)量矩陣；

要注意有各種階數(shù)不同的單位矩陣，不同階的單位矩陣是不同的矩陣。必要時，將n階單位方陣記作

當矩陣中的所有元素均為零時稱矩陣為零矩陣，記作O。第一節(jié)矩陣的概念及常用矩陣

二、常用矩陣

將矩陣A的行與列互換，得到的矩陣稱為矩陣A的轉(zhuǎn)置矩陣，記作如果兩個同階矩陣的對應元素均為互反數(shù)，則稱其中一個是另一個的負矩陣。A的負矩陣記作-A，則第一節(jié)矩陣的概念及常用矩陣

二、常用矩陣

對于方陣若滿足，則稱A為反對稱矩陣，如；反對稱矩陣為例如為行陣；為列陣；為三階單位陣；為數(shù)量矩陣；為對角矩陣；為上三角矩陣；第一節(jié)矩陣的概念及常用矩陣

二、常用矩陣

的轉(zhuǎn)置矩陣為。的負矩陣為第二節(jié)矩陣的運算及性質(zhì)

一、矩陣的運算1、矩陣相等：若矩陣A、B的行數(shù)、列數(shù)相同，且對應位置上的元素皆相等，則A矩陣等于B矩陣，記作A=B。對于方陣A若滿足，則A為對稱矩陣，如。2、矩陣與矩陣的加（減）法運算：將兩個m行n列矩陣和對應位置的元素相加（減）得到的m行n列矩陣為矩陣A與矩陣B的和（差），記作

。即簡記為。第二節(jié)矩陣的運算及性質(zhì)

一、矩陣的運算

3、數(shù)與矩陣的乘法運算：用數(shù)k乘A矩陣的每一個元素所得到的矩陣為數(shù)乘矩陣，記作kA。即

簡記為。

4、矩陣與矩陣的乘法：對于矩陣，和，當是矩陣A的第行元素與B矩陣的第列元素對應位置乘積之和，即時，矩陣C

為矩陣A

與矩陣B的乘積，記作。第二節(jié)矩陣的運算及性質(zhì)

一、矩陣的運算（2）兩個矩陣可以相乘時，將第一個矩陣A

的第行與第二個矩陣B的第列的元素對應相乘所得的積相加之和，作為乘積的第元素。（3）兩個矩陣可以相乘時，乘積是個矩陣：乘積矩陣的行數(shù)等于第一個矩陣的行數(shù)，乘積矩陣的列數(shù)等于第二個矩陣的列數(shù)。特別，兩個同階方陣之積仍為同階方陣。（4）兩個矩陣可以相乘時，乘法一般不滿足交換律，即AB≠BA。所以做矩陣乘法運算時，要分清A左乘B或A右乘B；（5）兩個非零矩陣相乘可以是零矩陣，即A≠0,B≠0,可得AB≠0；（6）矩陣乘法一般不滿足消去律，即不能由AC=BC消去C,推出A=B；（7）對于，有。特別地當A為方陣時，我們將稱為方陣A的冪。對于乘法運算定義，我們應該注意以下幾點：

（1）兩個矩陣可以相乘，當且僅當?shù)谝粋€矩陣A的列數(shù)與第二個矩陣B的行數(shù)相等。AB=C才有意義；特別，兩個同階的方陣可以相乘。第二節(jié)矩陣的運算及性質(zhì)

二、矩陣的性質(zhì)

1、矩陣加減法：（1）交換律（2）結(jié)合律（3）（4）2、矩陣數(shù)乘：（1）結(jié)合律（2）分配律，.3、矩陣與矩陣乘法：（1）結(jié)合律，（2）分配律、4、矩陣轉(zhuǎn)置：（1）（2）（3）（4）5、冪矩陣：（1）；（2）。第二節(jié)矩陣的運算及性質(zhì)

二、矩陣的性質(zhì)

例1

已知矩陣，矩陣，求、。解第二節(jié)矩陣的運算及性質(zhì)

二、矩陣的性質(zhì)

例2

解因為矩陣B的列數(shù)為3，矩陣A的行數(shù)為2，所以BA無意義。第二節(jié)矩陣的運算及性質(zhì)

二、矩陣的性質(zhì)

例3

解

此時AC=BC，但A≠B。

例4

解

即兩個非零矩陣相乘可以是零矩陣。第二節(jié)矩陣的運算及性質(zhì)

二、矩陣的性質(zhì)

例5已知。解

例6設,求解

所以第三節(jié)逆矩陣及矩陣的秩

一、矩陣的初等變換

定義2

矩陣的下列三種變換稱為矩陣的初等變換。

(1)矩陣的兩行（列）互換位置，記作（）；(2)用一個非零的常數(shù)乘矩陣的某一行（列），記作（）；(3)將矩陣的某一行（列）乘以常數(shù)后加到另一行（列），記作（）。僅對矩陣的行施行初等變換，稱為矩陣的初等行變換；僅對矩陣的列施行初等變換，稱為矩陣的初等列變換，它們統(tǒng)稱為矩陣的初等變換。利用初等變換可以改變矩陣的形狀，經(jīng)過初等變換后所得到的矩陣與原矩陣用“→”或“～”連接。例如

第三節(jié)逆矩陣及矩陣的秩

二、用行初等變換化矩陣為階梯形