能量原理與變分法

關(guān)于能量原理與變分法第1頁，講稿共123頁，2023年5月2日，星期三§11-1彈性體的形變勢能主要內(nèi)容

§11-2位移變分方程§11-3位移變分法§11-4位移變分法應(yīng)用于平面問題§11-5應(yīng)力變分方程§11-6應(yīng)力變分法§11-7應(yīng)力變分法應(yīng)于平面問題§11-8應(yīng)力變分法應(yīng)于扭轉(zhuǎn)問題§11-9解答的唯一性§11-10功的互等定理第2頁，講稿共123頁，2023年5月2日，星期三§11-0引言1.彈性力學問題的微分提法及其解法：（1）平衡微分方程（2）幾何方程（3）物理方程（4）邊界條件應(yīng)力邊界條件；位移邊界條件；定解問題求解方法：（1）按位移求解基本方程：（a）以位移為基本未知量的平衡微分方程;（2）按應(yīng)力求解基本方程：（a）平衡微分方程；（b）邊界條件。（b）相容方程；（c）邊界條件。（a）歸結(jié)為求解聯(lián)立的微分方程組；求解特點：（b）難以求得解析解。

從研究微小單元體入手，考察其平衡、變形、材料性質(zhì)，建立基本方程：第3頁，講稿共123頁，2023年5月2日，星期三2.彈性力學問題的變分提法及其解法：基本思想：在所有可能的解中，求出最接近于精確解的解；將定解問題轉(zhuǎn)變?yōu)榍蠼饩€性方程組。彈性力學中的變分原理——能量原理

直接處理整個彈性系統(tǒng)，考慮系統(tǒng)的能量關(guān)系，建立一些泛函的變分方程，將彈性力學問題歸結(jié)為在給定約束條件下求泛函極（駐）值的變分問題。（變分解法也稱能量法）（a）以位移為基本未知量，得到最小勢（位）能原理等。（b）以應(yīng)力為基本未知量，得到最小余能原理等。（c）同時以位移、應(yīng)力、應(yīng)變?yōu)槲粗?，得到廣義（約束）變分原理。——位移法——力法——混合法——有限單元法、邊界元法、離散元法等數(shù)值解法的理論基礎(chǔ)。求解方法：里茲（Ritz）法，伽遼金（Galerkin）法，加權(quán)殘值（余量）法等。第4頁，講稿共123頁，2023年5月2日，星期三3.彈性力學問題的數(shù)值解法：（a）直接求解聯(lián)立的微分方程組（彈性力學的基本方程）——有限差分法；基本思想：將導數(shù)運算近似地用差分運算代替；將定解問題轉(zhuǎn)變?yōu)榍蠼饩€性方程組。典型軟件：FLAC實質(zhì)：將變量離散。（b）對變分方程進行數(shù)值求解——有限單元法、邊界元法、離散元法等典型軟件：ANSYS，MARC，ADINA，SAP，NASTRAN，ABAQUS等；——基于有限元法的分析軟件；UDEC——基于離散元法的分析軟件；基本思想：將求解區(qū)域離散，離散成有限個小區(qū)域（單元），在小區(qū)域（單元）上假設(shè)可能解，最后由能量原理（變分原理）確定其最優(yōu)解。——將問題轉(zhuǎn)變?yōu)榍蠼獯笮偷木€性方程組。第5頁，講稿共123頁，2023年5月2日，星期三§11-1彈性體的形變勢能1.形變勢能的一般表達式Pxl0l單向拉伸：PlOPl外力所做的功：

由于在靜載（緩慢加載）條件下，其它能量損失很小，所外力功全部轉(zhuǎn)化桿件的形變勢能（變形能）U：桿件的體積令：——單位體積的變形能，稱為比能。三向應(yīng)力狀態(tài)：一點的應(yīng)力狀態(tài)：

xyz第6頁，講稿共123頁，2023年5月2日，星期三三向應(yīng)力狀態(tài)：一點的應(yīng)力狀態(tài)：

xyz

由能量守恒原理，形變勢能的值與彈性體受力的次序無關(guān)，只取決于最終的狀態(tài)。

假定所有應(yīng)力分量與應(yīng)變分量全部按同樣的比例增加，此時，單元體的形變比能：（a）整個彈性體的形變勢能：（b）（c）若用張量表示：形變比能：整體形變勢能：第7頁，講稿共123頁，2023年5月2日，星期三2.形變勢能的應(yīng)力分量表示在線彈性的情況下，由物理方程（8-17）：代入式（a），整理得形變勢能的表達式：（d）（e）代入式（b），有：（11-1）將式（e）分別對6個應(yīng)力分量求導，并將其結(jié)果與物理方程比較，得：第8頁，講稿共123頁，2023年5月2日，星期三（11-2）表明：彈性體的比能對于任一應(yīng)力分量的改變率，就等于相應(yīng)的形變分量。3.形變勢能的應(yīng)變分量表示用應(yīng)變表示的物理方程（8-19）：（f）第9頁，講稿共123頁，2023年5月2日，星期三或：代入式（a）：（a）并整理可得：（g）（11-3）∵0<<1/2，∴U≥0即彈性體的形變勢能是非負的量。

將上式對6個應(yīng)變分量分別求導，再與應(yīng)力表示的物理方程（8-17）比較，可得：第10頁，講稿共123頁，2023年5月2日，星期三（11-4）將幾何方程（8-9）代入上式，得：彈性體的比能對于任一應(yīng)變分量的改變率，就等于相應(yīng)的應(yīng)力分量?！窳止?.形變勢能的位移分量表示表明：（11-5）第11頁，講稿共123頁，2023年5月2日，星期三§11-2位移變分方程1.泛函與變分的概念（1）泛函的概念函數(shù)：x——自變量；y——因變量，或稱自變量x

的函數(shù)。泛函：x——自變量；y——為一變函數(shù)；F——為函數(shù)y的函數(shù)，稱為泛函。例1：P1——彎矩方程梁的形變勢能：ABlx——泛函例2：第12頁，講稿共123頁，2023年5月2日，星期三例2：因為所以，U被稱為形變勢能泛函。（2）變分與變分法設(shè)：當自變量x有一增量：函數(shù)y也有一增量：dy與dx，分別稱為自變量x與函數(shù)y的

微分?！⒎謫栴}P1ABlx設(shè)：函數(shù)y有一增量：泛函U也有一增量：第13頁，講稿共123頁，2023年5月2日，星期三P1ABlx設(shè)：函數(shù)y也有一增量：泛函U也有一增量：

函數(shù)的增量y、泛函的增量U等稱為變分。

研究自變函數(shù)的增量與泛函的增量間關(guān)系稱為變分問題。例如：Pcr

（1）壓桿穩(wěn)定問題

尋求壓桿形變勢能

U達到最大值時的壓力P值。

（2）球下落問題12

球從位置1下落至位置2，所需時間為T，當——最速下降問題——泛函的變分問題第14頁，講稿共123頁，2023年5月2日，星期三（3）變分及其性質(zhì)定義：泛函增量：函數(shù)連續(xù)性：稱函數(shù)z在x0點連續(xù)。當有稱泛函U在y0(x)

處零階接近。當有稱泛函U在y0(x)

處一階接近。當有稱泛函U在y0(x)

處二階接近。第15頁，講稿共123頁，2023年5月2日，星期三泛函函數(shù)微分：當x→0時，→0，則

z可用其線性主部表示其微分。即——U增量的線性主部變分：當max|y|→0時，max→0，則

U可用其線性主部表示,即極值：若在x0處有極值，則有：若U[y(x)]

在y0(x)

處有極值，條件：——一階變分為零。當取得極值——稱為強極值當取得極值——稱為弱極值極值：第16頁，講稿共123頁，2023年5月2日，星期三（4）變分的運算變分與微分運算：變分運算與微分運算互相交換。變分與積分運算：變分運算與積分運算互相交換。復合函數(shù)的變分：其中：一階變分：第17頁，講稿共123頁，2023年5月2日，星期三復合函數(shù)的變分：其中：一階變分：——自變量x的變分

x≡0二階變分：——二階變分用于判別駐值點是取得極大值還是極小值。第18頁，講稿共123頁，2023年5月2日，星期三2.位移變分方程建立：彈性體的形變勢能與位移間變分關(guān)系——位移變分方程qP應(yīng)力邊界

S位移邊界

Su設(shè)彈性體在外力作用下，處于平衡狀態(tài)。邊界：位移場：應(yīng)力場：滿足：平衡方程、幾何方程、物理方程、邊界條件。——稱為真實解（1）任給彈性體一微小的位移變化：滿足兩個條件：（1）不破壞平衡狀態(tài)；（2）不破壞約束條件，即為約束所允許。第19頁，講稿共123頁，2023年5月2日，星期三任給彈性體一微小的位移變化：滿足兩個條件：（1）不破壞平衡狀態(tài)；（2）不破壞約束條件，即為約束所允許。qP應(yīng)力邊界

S位移邊界

Su變化后的位移狀態(tài)：——稱為位移的變分，或虛位移。（2）考察彈性體的能量變化：由能量守恒原理：彈性體變形勢能的增加，等于外力勢能的減少。（在沒有溫度改變、動能改變的情況下）設(shè)：——表示彈性變形勢能的增量；——表示外力在虛位移上所做的功，它在數(shù)值上等于外力勢能的減少。則有：第20頁，講稿共123頁，2023年5月2日，星期三外力的虛功：體力：面力：——外力代入前式：（11-6）表明：物體形變勢能的變分，等于外力在虛位移上所做的虛功?！剑?1-6）稱為位移變分方程，也稱Lagrange變分方程。第21頁，講稿共123頁，2023年5月2日，星期三3.虛功方程由式（b）:兩邊求變分:將U1

視為應(yīng)變分量的函數(shù)由格林公式:（11-4）第22頁，講稿共123頁，2023年5月2日，星期三表示：實際應(yīng)力在虛應(yīng)變上所做的虛功——內(nèi)力的虛功將上式代入位移變分方程（11-6），有（11-7）——虛功方程表明：如果在虛位移發(fā)生前，彈性體處于平衡狀態(tài)，則在虛位移發(fā)生過程中，外力在虛位移上所做的虛功，等于應(yīng)力在虛應(yīng)變上所做的虛功。虛功方程——是有限單元法的理論基礎(chǔ)，也是許多變分原理的基礎(chǔ)。第23頁，講稿共123頁，2023年5月2日，星期三4.最小勢能原理——也是位移變分方程的一個應(yīng)用由位移變分方程：

由于虛位移為微小的、為約束所允許的，所以，可認為在虛位移發(fā)生過程中，外力的大小和方向都不變，只是作用點位置有微小變化。

于是，有：以為零勢能狀態(tài)，并用V表示任意狀態(tài)的外力勢能，則外力在可能位移上所做的功W，即代入前式，有第24頁，講稿共123頁，2023年5月2日，星期三其中：——形變勢能與外力勢能的總和，稱為系統(tǒng)的總勢能表明：

在給定的外力作用下，實際存在的位移應(yīng)使系統(tǒng)的總勢能的變分為零。等價于總勢能

U+V

取駐值?！獦O值勢能原理平衡狀態(tài)：（1）穩(wěn)定平衡狀態(tài)；（2）不穩(wěn)定平衡狀態(tài)；（3）隨宜平衡狀態(tài)；穩(wěn)定平衡不穩(wěn)定平衡隨宜平衡——勢能取極小值——勢能取極大值——不定最小勢能原理：

在給定的外力作用下，滿足位移邊界條件的各組位移中，實際存在的位移，應(yīng)使系統(tǒng)的總勢能成為駐值。當系統(tǒng)處于穩(wěn)定平衡時，總勢能取極小值，通常也為最小值。第25頁，講稿共123頁，2023年5月2日，星期三實際存在的位移應(yīng)滿足：（1）位移邊界條件；（2）平衡方程（位移形式）；（3）應(yīng)力邊界條件。（1）位移邊界條件；（2）位移變分方程。因而，有：位移變分方程（1）平衡方程；（2）應(yīng)力邊界條件。（可互相導出）（最小勢能原理）5.伽遼金變分方程

由虛功方程建立當位移分量滿足：位移邊界條件、應(yīng)力邊界條件時，彈性體的位移變分應(yīng)滿足的條件。

將虛應(yīng)變用虛位移表示：（c）將其代入虛功方程：第26頁，講稿共123頁，2023年5月2日，星期三（11-7）第27頁，講稿共123頁，2023年5月2日，星期三

同理，可得到其余各項的結(jié)果：

將其代入虛功方程左邊，有：（11-7）第28頁，講稿共123頁，2023年5月2日，星期三

將其代入虛功方程，并整理有：

當應(yīng)力邊界條件滿足時，000

上式可簡化為：（11-7）第29頁，講稿共123頁，2023年5月2日，星期三（10-8）——伽遼金（Galerkin）變分方程表明：當所取位移分量同時滿足：位移邊界條件、應(yīng)力邊界條件時，其位移變分需滿足的方程。第30頁，講稿共123頁，2023年5月2日，星期三（11-6）（1）位移變分方程（2）虛功方程（11-7）位移變分方程小結(jié)：——也稱Lagrange變分方程：（3）最小勢能原理說明：（1）只要求：可能（虛）位移滿足位移邊界條件；（2）對虛功方程，也適用各種材料的物理方程。如：塑性材料、非線性彈性材料等。第31頁，講稿共123頁，2023年5月2日，星期三（4）伽遼金（Galerkin）變分方程要求：可能（虛）位移滿足：（1）位移邊界條件；（2）應(yīng)力邊界條件。（10-8）第32頁，講稿共123頁，2023年5月2日，星期三§11-3位移變分法1.里茲（Ritz）法基本思想：設(shè)定位移函數(shù)的表達形式，使其滿足位移邊界條件，其中含有若干待定常數(shù)，然后利用位移變分方程確定這些常數(shù)，即得位移解。設(shè)取位移的表達式如下：（11-9）其中：為互不相關(guān)的3m個系數(shù)；為設(shè)定的函數(shù)，且在邊界上有：為邊界上為零的設(shè)定函數(shù)

顯然，上述函數(shù)滿足邊界條件。此時，位移的變分只能由系數(shù)Am、Bm、Cm的變分來實現(xiàn)。與變分無關(guān)。第33頁，講稿共123頁，2023年5月2日，星期三（a）位移的變分：形變勢能的變分：由式（11-5），可知：（b）將式（a）、（b）代入位移變分方程，有：（11-5）第34頁，講稿共123頁，2023年5月2日，星期三將上式整理、移項、合并，可得：完全任意，且互相獨立，要使上式成立，則須有：第35頁，講稿共123頁，2023年5月2日，星期三（11-10）——Ritz法方程或稱Rayleigh-Ritz法方程說明：（1）由U的位移表達式（11-5）可知，U是系數(shù)的二次函數(shù)，因而，方程（11-10）為各系數(shù)的線性方程

組。互不相關(guān)，因而，總可以求出全部的系數(shù)。（2）求出了系數(shù)就可求得其它量，如位移、應(yīng)力等（3）在假定位移函數(shù)時，須保證其滿足全部位移邊界條件。第36頁，講稿共123頁，2023年5月2日，星期三2.伽遼金（Galerkin）法設(shè)取位移的表達式如下：（11-9）同時滿足：（1）位移邊界條件；（2）應(yīng)力邊界條件；位移的變分：將其代入伽遼金變分方程（10-8）：得到：第37頁，講稿共123頁，2023年5月2日，星期三完全任意，且互相獨立，要使上式成立，則須有：第38頁，講稿共123頁，2023年5月2日，星期三將物理方程和幾何方程代入，有（11-11）——伽遼金（Galerkin）法方程說明：（1）與Ritz法類似，得3m

階的線方程組，可求出3m個系數(shù)。（2）伽遼金（Galerkin）法與Ritz法的區(qū)別：在于設(shè)位移函數(shù)時，前者要求同時滿足應(yīng)力、位移邊界條件，而后者只要求滿足位移邊界條件。第39頁，講稿共123頁，2023年5月2日，星期三位移變分法的應(yīng)用：（1）求解彈性體的近似解；（2）推導彈性體的平衡微分方程與自然（力）邊界條件；第40頁，講稿共123頁，2023年5月2日，星期三§11-4位移變分法應(yīng)用于平面問題1.形變勢能表達式對于平面應(yīng)變問題：且由式（11-5）（11-12）對于平面應(yīng)力問題：（11-13）（11-5）第41頁，講稿共123頁，2023年5月2日，星期三2.位移函數(shù)設(shè)定

由于，兩種平面問題中，都不必考慮z方向的位移w，所以位移分量可設(shè)為：（11-14）式中：各系數(shù)的含義和以前相同。3.變分法方程Ritz法方程：（在z方向取單位長度）（11-15）Galerkin法方程：第42頁，講稿共123頁，2023年5月2日，星期三Galerkin法方程：（11-16）——適用于平面應(yīng)變問題式中：對于平面應(yīng)力問題：（11-17）第43頁，講稿共123頁，2023年5月2日，星期三例：圖示薄板，寬為a，高度為b，左邊和下邊受連桿支承，右邊和上邊分別受有均布壓力q1和q2作用，不計體力。試求薄板的位移。解：（1）假設(shè)位移函數(shù)（a）滿足邊界條件：試在式（a）中只取兩個系數(shù)：A1、B1

，即（b）（2）計算形變勢能U將式（b）代入（11-13），有（平面應(yīng)力情形下形變勢能公式）積分得：（c）第44頁，講稿共123頁，2023年5月2日，星期三（c）（3）代入Ritz法方程求解∵體力∴有在右邊界：在上邊界：于是有：將式（c）代入，得（11-15）第45頁，講稿共123頁，2023年5月2日，星期三聯(lián)立求解，得：（f）代入位移表達式（b），得：（g）討論：（1）如果在位移式（a）中再多取一此系數(shù)如：A2、B2等，但是經(jīng)計算，這些系數(shù)全為零。（2）位移解（g）滿足幾何方程、平衡方程和邊界條件。表明：位移解（g）為問題的精確解。第46頁，講稿共123頁，2023年5月2日，星期三例：圖示矩形薄板，寬為2a，高度為2b，左右兩邊和下邊均被固定，而上邊的給定位移為：（h）不計體力。試求薄板的位移和應(yīng)力。解：（1）假設(shè)位移函數(shù)取m=1,將位移分量設(shè)為：（i）顯然，可滿足位移邊界條件：第47頁，講稿共123頁，2023年5月2日，星期三（2）代入Galerkin法方程求解∵該問題中，無應(yīng)力邊界條件，式（i）滿足全部條件。∴可用伽遼金（Galerkin）法求解?！遆=Y=0，m=1，∴伽遼金法方程變?yōu)椋海?1-17）（j）第48頁，講稿共123頁，2023年5月2日，星期三

將其代入伽遼金方程（j）,可求得：代回位移式（h）,有：第49頁，講稿共123頁，2023年5月2日，星期三代回位移表達式（h）,得位移解答：當b=a，取=0.2時，上述解答成為：第50頁，講稿共123頁，2023年5月2日，星期三（3）求應(yīng)力分量應(yīng)用幾何方程及物理方程，可求得應(yīng)力為：第51頁，講稿共123頁，2023年5月2日，星期三在處，相應(yīng)的面力：第52頁，講稿共123頁，2023年5月2日，星期三例：如圖所示簡支梁，中點處承受有集中P，試求的梁的撓曲線方程。

PABlxy解：（1）假設(shè)位移試探函數(shù)（必須滿足位移邊界條件）設(shè)位移試探函數(shù)為（取一項）：式中：a為待定常數(shù)。（2）計算：（a）（b）顯然，式（a）滿足端點的位移邊界條件:（3）代入Ritz法方程，求解（c）（d）第53頁，講稿共123頁，2023年5月2日，星期三PABlxy討論：（1）中點的撓度：（e）而材料力學的結(jié)果：兩者比較：式（a）的結(jié)果偏小2%。如果取如下位移函數(shù)：式中項數(shù)m

取得越多，則求得精度就越高。（2）所取的位移函數(shù)必須滿足位移邊界條件。（3）位移函數(shù)選取不是唯一的，如：第54頁，講稿共123頁，2023年5月2日，星期三PABlxy例：如圖所示簡支梁，中點處承受有集中P，試求的梁的撓曲線方程。

解：（1）假設(shè)位移試探函數(shù)式中：A1、A2

為待定常數(shù)。顯然，式（a）滿足端點的位移邊界條件:（2）計算：梁的形變勢能:（3）代入Ritz法方程:第55頁，講稿共123頁，2023年5月2日，星期三PABlxy例：如圖所示簡支梁，中點處承受有集中P，試求的梁的撓曲線方程。

解：位移函數(shù)（a）（3）代入Ritz法方程:所求撓曲線方程:第56頁，講稿共123頁，2023年5月2日，星期三PABlxy所求撓曲線方程:中點撓度:而材料力學的結(jié)果：說明：（1）設(shè)定的待定系數(shù)個數(shù)與所得的線性方程數(shù)相同；（2）亦可用最小勢能原理求解上述問題。第57頁，講稿共123頁，2023年5月2日，星期三例：如圖所示簡支梁，中點處承受有集中P，試求的梁的撓曲線方程。

PABlxy解：（1）假設(shè)位移試探函數(shù)（必須滿足位移邊界條件）設(shè)位移試探函數(shù)為：式中：a為待定常數(shù)。（2）求系統(tǒng)的總勢能（a）（b）（c）將式（a）代入，計算得顯然，式（a）滿足端點的位移邊界條件:（3）由最小勢能原理確定常數(shù)（d）第58頁，講稿共123頁，2023年5月2日，星期三PABlxy說明：（1）（e）與Ritz法結(jié)果相同；（2）所取的位移函數(shù)必須滿足位移邊界條件。（3）位移函數(shù)選取不是唯一的，如：第59頁，講稿共123頁，2023年5月2日，星期三例：如圖所示，一端固定，另一端有彈性支承的梁，跨度為

l

，抗彎剛度為EI，彈簧的剛度為k，梁上作用有分布載荷q(x)，試用最小勢能原理導出梁的彎曲微分方程和邊界條件。

解：（1）求系統(tǒng)的總勢能系統(tǒng)的總勢能=梁的彎曲變形能+

彈簧的變形能+

外力勢能(a)式中：w為梁的撓度。由最小勢能原理：(b)分部積分：（2）對總勢能求變分第60頁，講稿共123頁，2023年5月2日，星期三將其代入式（b），有第61頁，講稿共123頁，2023年5月2日，星期三∵梁的左端固定，∴有代入上式，有：的任意性與相互獨立性，∴有（3）利用位移邊界條件和變分的任意性確定所需的結(jié)果。第62頁，講稿共123頁，2023年5月2日，星期三——彎曲微分方程——力的邊界條件表明：最小勢能原理等價于平衡微分方程和力的邊界條件；第63頁，講稿共123頁，2023年5月2日，星期三Ritz法解題步驟：（1）假設(shè)位移函數(shù)，使其滿足邊界條件；（2）計算形變勢能U

；（3）代入Ritz法方程求解待定系數(shù)；（4）回代求解位移、應(yīng)力等。用最小勢能原理解題步驟：（1）假設(shè)位移函數(shù)，使其滿足邊界條件；（2）計算系統(tǒng)的總勢能；（3）由最小勢能原理：=0

，確定待定系數(shù)；（4）回代求解位移、應(yīng)力等。第64頁，講稿共123頁，2023年5月2日，星期三圖示簡支梁，兩端受軸向壓力P

作用，在距左端距離c處受集中力偶M作用，梁的跨度為l。試用最小勢能原理求的梁的撓曲線方程。

例：設(shè)梁的撓曲線方程可設(shè)為：解：設(shè)定梁的撓曲線函數(shù)求系統(tǒng)的總勢：第65頁，講稿共123頁，2023年5月2日，星期三代入總勢能計算公式：由最小勢能原理求出待定系數(shù)：由于，Am不能等于零，可求得：第66頁，講稿共123頁，2023年5月2日，星期三梁的撓曲線方程為：梁的最小失穩(wěn)載荷為：第67頁，講稿共123頁，2023年5月2日，星期三§11-5應(yīng)力變分方程1.形變余能Pxl0lO（1）單向應(yīng)力狀態(tài)設(shè)：——一般的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系形變勢能（比能）：dd00——單位體積的形變勢能（比能）形變余能（比能）：——單位體積的形變余能（比余能）對線彈性體，顯然有：——形變勢能（比能）等于形變余能（比余能）表明：形變比余能在數(shù)值上等于圖中矩形面積減去U1后余下的面積。第68頁，講稿共123頁，2023年5月2日，星期三（2）三向應(yīng)力狀態(tài)對線彈性體，有：物體形變余能：對線彈性體：物體形變余能常用應(yīng)力表示：第69頁，講稿共123頁，2023年5月2日，星期三（3）形變余能的變分對照形變余比能的表達式，有：由應(yīng)力表示的卡氏（Castigliano）定理代入形變余比能的變分表達式，有：第70頁，講稿共123頁，2023年5月2日，星期三若將上式中應(yīng)變分量利用幾何方程表示成位移形式，有：代入形變余比能的變分表達式，有：第71頁，講稿共123頁，2023年5月2日，星期三2.應(yīng)力變分方程設(shè)有任一彈性體，在外力的作用下處于平衡狀態(tài)。其應(yīng)力和位移分別為：——實際的應(yīng)力和位移建立：物體形變余能的變化與應(yīng)力變分之間的關(guān)系。（1）應(yīng)力的變分假設(shè)：作用于物體的體力不變，而應(yīng)力分量發(fā)生如下變分：——常稱為虛應(yīng)力滿足：（1）平衡微分方程；（2）應(yīng)力邊界條件（即：在應(yīng)力邊界上變分應(yīng)為零）。變化后應(yīng)力狀態(tài)：（2）應(yīng)力變分方程都滿足平衡方程并作用于同樣的體力，將其分別代入平衡微分方程，并進行比較，應(yīng)有：第72頁，講稿共123頁，2023年5月2日，星期三（a）張量表示在位移給定的邊界上，由于應(yīng)力的變分必然引起該邊界上面力的變分：由邊界上應(yīng)力與邊界面間關(guān)系，在位移給定邊界上，應(yīng)有：（b）張量表示第73頁，講稿共123頁，2023年5月2日，星期三由形變余能的變分：利用奧-高公式，將上式每一項作變換，如：將其代入應(yīng)變余能的變分，并整理有：第74頁，講稿共123頁，2023年5月2日，星期三000得到：（11-18）上式表明：由于應(yīng)力的變分，形變余能的變分等于面力的變分在實際位移上所做的功（虛功）?！獞?yīng)力變分方程，也稱Castigliano變分方程。第75頁，講稿共123頁，2023年5月2日，星期三說明：（1）要求應(yīng)力的變分滿足：平衡微分方程；應(yīng)力邊界條件；（2）由位移變分方程：可得；右邊的積分僅當在給定非零位移的邊界上才不為零；而在應(yīng)力邊界和固定位移邊界均為零。（3）實際存在的應(yīng)力應(yīng)滿足：（1）平衡方程；（2）相容方程；（3）應(yīng)力邊界條件；（4）位移邊界條件。（1）平衡方程；（2）應(yīng)力邊界條件；（3）應(yīng)力變分方程可見：應(yīng)力變分方程（1）相容方程；（2）位移邊界條件。特別當位移邊界為固定邊界時，應(yīng)力變分方程等價于相容方程，且有：第76頁，講稿共123頁，2023年5月2日，星期三3.最小余能原理將應(yīng)力變分方程：改寫為：（c）∵在要積分的邊界上，位移是給定的，其變分恒為零，∴上式可寫為（d）式中：U*為形變余能；——外力余能；——總余能；于是式（d）可寫成：（d）′第77頁，講稿共123頁，2023年5月2日，星期三（d）（d）′或：上式表明：在滿足平衡微分方程和應(yīng)力邊界條件的各組應(yīng)力中，實際存在的應(yīng)力應(yīng)使彈性體的總余能成為極值。如果考慮二階變分，可以證明該極值為極小值?！钚∮嗄茉碜钚∮嗄茉恚菏菓?yīng)力變分方程的一個應(yīng)用，等價于彈性體的相容方程與位移邊界條件。說明：應(yīng)力變分方程或最小余能原理，僅限于單連體問題。對于多連體問題，還需考慮位移單值條件，而在應(yīng)力變分方程中考慮位移單值是非常復雜的問題。第78頁，講稿共123頁，2023年5月2日，星期三§11-6應(yīng)力變分法1.應(yīng)力分量的設(shè)定——以應(yīng)力為未知量的近似解法滿足平衡微分方程；應(yīng)力分量設(shè)定的要求：滿足應(yīng)力邊界條件。帕普考維奇應(yīng)力分量設(shè)定：（11-19）其中：（1）Am

為互不相關(guān)的m個系數(shù)；平衡方程與應(yīng)力邊界條件的設(shè)定函數(shù)；為滿足（2）（3）為滿足“沒有面力與體力作用時的平衡方程與應(yīng)力邊界條件”的設(shè)定函數(shù)；

此時應(yīng)力的變分僅由系數(shù)Am的變分實現(xiàn)。第79頁，講稿共123頁，2023年5月2日，星期三2.應(yīng)力變分法方程（1）彈性體的位移邊界為固定邊界此時，應(yīng)力變分方程為：將設(shè)定應(yīng)力分量代入形變余能表達式：將其代入應(yīng)力變分方程，有：由于Am為互相獨立，且任意，有：（11-20）由此得到m

個線性方程，可確定m個系數(shù)Am。（2）彈性體具有給定的非零位移邊界條件第80頁，講稿共123頁，2023年5月2日，星期三（2）彈性體具有給定的非零位移邊界條件此時，應(yīng)力變分方程為：（a）式中：u、v、w為已知函數(shù)；而非零位移邊界條件上的面力變分：可由邊界上應(yīng)力應(yīng)滿足的條件確定：（b）將設(shè)定的應(yīng)力分量式（11-19）代入上式，并積分式（a）的右邊，得：（c）式中：Bm為積分所得的常數(shù)。而式（a）左邊為：（d）第81頁，講稿共123頁，2023年5月2日，星期三由式（c）、（d）、（a）可得：由于Am為互相獨立，且任意，所以有：（e）式（c）仍為一m階的線性方程組，可求解出m

個系數(shù)Am，將系數(shù)Am代回應(yīng)力分量設(shè)定式（11-19），即得所求的應(yīng)力。說明：（1）如果無位移被給定，且不等于零的邊界，則所有的Bm都為零，此時式（e）簡化為：（2）要求設(shè)定的應(yīng)力分量既滿足平衡微分方程、又滿足應(yīng)力邊界條件，往往比較困難。但若某些問題存在應(yīng)力函數(shù)，由于應(yīng)力函數(shù)表示的應(yīng)力分量已滿足平衡微分方程，所以，假設(shè)的應(yīng)力分量只需滿足應(yīng)力邊界條件即可。第82頁，講稿共123頁，2023年5月2日，星期三§11-7應(yīng)力變分法應(yīng)于平面問題1.應(yīng)力函數(shù)的設(shè)定對于平面問題，如果體力為常量，則存在應(yīng)力函數(shù)，使得應(yīng)力表示為：（a）

根據(jù)問題的應(yīng)力邊界條件、及應(yīng)力分量與應(yīng)力函數(shù)

的關(guān)系，可將應(yīng)力函數(shù)

設(shè)為：（11-21）其中：Am

為互不相關(guān)的m個系數(shù)；0給出應(yīng)力分量實際滿足的應(yīng)力邊界條件；m給出應(yīng)力分量滿足的無面力的應(yīng)力邊界條件；第83頁，講稿共123頁，2023年5月2日，星期三2.形變余能的計算（1）平面應(yīng)力問題對于平面應(yīng)力問題，有：且不隨坐標z變化?！抻诳紤]線彈性問題在z方向取單位厚度，則有：（11-22）（2）平面應(yīng)變問題（11-23）（3）平面單連體問題∵無論是平面應(yīng)力問題還是平面應(yīng)變問題，兩者的應(yīng)力分量x、

y、xy均與材料常數(shù)無關(guān)

，∴不妨取

=0，此時平面問題的形變余能可用統(tǒng)一的形式：第84頁，講稿共123頁，2023年5月2日，星期三將上式中的應(yīng)力分量用應(yīng)力函數(shù)表示，有（11-24）3.應(yīng)力變分方程對于應(yīng)力邊界條件問題，面力的變分恒為零，所以有：將式（11-24）代入，得第85頁，講稿共123頁，2023年5月2日，星期三（11-25）——單連體、應(yīng)力邊界條件問題應(yīng)力變分方程由上述方程可決定全部的待定系數(shù)Am。第86頁，講稿共123頁，2023年5月2日，星期三例：圖示矩形板或長柱，體力不計，在兩對邊上受有按拋物線分布的拉應(yīng)力，其最大集度為q，其邊界條件為：求彈性體中的應(yīng)力。解：設(shè)定應(yīng)力函數(shù)先設(shè)：則：

顯然，0

可以滿足全部的應(yīng)力邊界條件。

為使m

滿足無面力的應(yīng)力邊界條件，可取m具有因子：或：第87頁，講稿共123頁，2023年5月2日，星期三

為使m

滿足無面力的應(yīng)力邊界條件，可取m具有因子：或：顯然有：由此可知，應(yīng)力函數(shù)可?。?/p>

若在式只取一個系數(shù)，則為：（b）（c）第88頁，講稿共123頁，2023年5月2日，星期三（c）由應(yīng)力變分方程或最小余能原理，確定待定常數(shù)將式（c）代入，積分得：對正方形的薄板或長柱，取b/a=1，可求得：將其代入式（c），并取b/a=1，可求得應(yīng)力分量：（11-25）第89頁，講稿共123頁，2023年5月2日，星期三薄板或長柱中心（x=y=0）處的應(yīng)力：較精確的解約為:

若要求得較精確的解，需在式（b）中取較多系數(shù)項。解題步驟小結(jié)：（1）確定應(yīng)力函數(shù)

的形式由應(yīng)力邊界條件、應(yīng)力函數(shù)與應(yīng)力分量間的關(guān)系來設(shè)定。（2）確定應(yīng)力函數(shù)中的待定系數(shù)由應(yīng)力變分方程或最小勢能原理確定。（3）計算應(yīng)力分量第90頁，講稿共123頁，2023年5月2日，星期三例：設(shè)平面應(yīng)力問題，全部邊界上為給定應(yīng)力邊界條件，不計體力。試用最小余能原理證明Airy應(yīng)力函數(shù)（x，y）滿足雙調(diào)和方程：證：計算系統(tǒng)的總余能：

因為，全部邊界為應(yīng)力邊界條件，不計體力，所以其外力余能為零。系統(tǒng)的總余能就等于物體的形變余能：（a）第91頁，講稿共123頁，2023年5月2日，星期三（a）計算總余能變分，并使其等于零第92頁，講稿共123頁，2023年5月2日，星期三在應(yīng)力邊界上，有：即：第93頁，講稿共123頁，2023年5月2日，星期三利用奧—高公式，有：第94頁，講稿共123頁，2023年5月2日，星期三對上式中每一項進行分部積分，有：因為在邊界上，有：在域內(nèi)，所以，有，第95頁，講稿共123頁，2023年5月2日，星期三§11-8應(yīng)力變分法應(yīng)于扭轉(zhuǎn)問題1.扭轉(zhuǎn)應(yīng)力變分方程等截面直桿的扭轉(zhuǎn)問題中，存在應(yīng)力函數(shù)，橫截面剪應(yīng)力可表示為：形變余能及其變分式中：函數(shù)為Prandtl應(yīng)力函數(shù)。將其代入形變余能計算式：∵應(yīng)力函數(shù)僅為x、y的函數(shù)，可將上述積分變?yōu)椋浩渲校篖為桿的長度；G為剪切彈性模量。第96頁，講稿共123頁，2023年5月2日，星期三（a）外力的功及其變分

扭轉(zhuǎn)桿件側(cè)面上無外力，因而不存在面力的功。在兩端作用有方向相反的兩扭矩M，兩端的相對轉(zhuǎn)角為：KL

，則面力在位移上的功為：W=MKL

由上一章的結(jié)果：得外力的功為：外力的功的變分為：（b）扭轉(zhuǎn)變分方程將式（a）（b）代入變分方程，有：第97頁，講稿共123頁，2023年5月2日，星期三扭轉(zhuǎn)變分方程將式（a）（b）代入變分方程，有：或：（c）以上兩式即為扭轉(zhuǎn)問題的變分方程或最小余能原理。（1）式（c）中：——扭轉(zhuǎn)問題的總余能說明：（2）式（c）中的應(yīng)力函數(shù)已滿足了兩端的邊界條件。第98頁，講稿共123頁，2023年5月2日，星期三2.扭轉(zhuǎn)問題的變分方法由于扭轉(zhuǎn)應(yīng)力函數(shù)要求在邊界上的值等于零，其形式可設(shè)為：其中：Am為互不相關(guān)的m個系數(shù)。

為使應(yīng)力函數(shù)在邊界上的值等于零，必須要求函數(shù)m都在橫截面的邊界上的值為零。將代入扭轉(zhuǎn)變分方程，注意到其變分是由系數(shù)Am的變分來實現(xiàn)的，所以有：（11-26）得到一m階的線性方程組，恰好可用來m個系數(shù)Am。第99頁，講稿共123頁，2023年5月2日，星期三例：圖示矩形扭轉(zhuǎn)桿，材料的剪切彈模為G。試求其單位長度扭轉(zhuǎn)角，剪應(yīng)力等。yxOAa/2a/2解：設(shè)定扭轉(zhuǎn)應(yīng)力函數(shù)矩形四根邊界線的方程：為滿足在邊界上的值為零，可?。海╠）

由截面的對稱性，或薄膜比擬，應(yīng)力函數(shù)應(yīng)為x、y的偶數(shù)，所以，式中m、n都只需取為偶數(shù)。

對正方形截面桿（b=a），若在（d）中只取一項（m=n=0）,則有第100頁，講稿共123頁，2023年5月2日，星期三

對正方形截面桿（b=a），若在（d）中只取一項（m=n=0）,則有yxOAa/2a/2代入式（11-26）有：（11-26）代入扭轉(zhuǎn)變分方程確定待定系數(shù)第101頁，講稿共123頁，2023年5月2日，星期三經(jīng)積分運算，得：從而，有：（e）由公式（10-5）：有：由此求得：對照式（10-21）：有：的精確值：0.141，相差：0.14%。兩者僅將求得的K代入式（e），有：第102頁，講稿共123頁，2023年5月2日，星期三（10-2）對照式（10-22）：由公式（10-2），可求得應(yīng)力分量：精確值為：0.208,相差：6.8%。兩者

如果要得更精確的解，需在式（d）中較多的系數(shù)項。如：第103頁，講稿共123頁，2023年5月2日，星期三

進行與上相同的運算，得到：

由此算出的單位扭轉(zhuǎn)角

K比精確值只小0.14%；最大剪應(yīng)力max比精確值只大出4%。第104頁，講稿共123頁，2023年5月2日，星期三§11-9解答的唯一性1.問題的提出彈性力學問題的求解方法與途徑：（1）解析解：就所取未知量，有：按應(yīng)力求解；按位移求解；就所用坐標系，有：直角坐標求解；極坐標求解；就解的函數(shù)形式，有：多項解；級數(shù)解；其它函數(shù)解；復變函數(shù)解；（2）數(shù)值解：有限差分解（FDM）；有限單元法（FEM）；邊界單元法（BEM）；離散單元法（UDEC）；不同方法、不同途徑得到的不同形式的解，其數(shù)值是否唯一？第105頁，講稿共123頁，2023年5月2日，星期三2.解答的唯一性及其證明相應(yīng)于一定的體力和邊界條件，某一彈性力學問題的解是唯一的?！卜Q解的唯一性定理。解的唯一性定理證明：（反證法）假設(shè)：在一定的體力、面力、邊界條件下，某個彈性力學問題存在兩組解：（1）（2）考察這兩組解是否相同？∵它們都為同一問題的解，∴應(yīng)滿足相的平衡方程和邊界條件。對于第一組解，有：第106頁，講稿共123頁，2023年5月2日，星期三對于第一組解，類似有：將上述兩組不同的解方程兩邊分相減，有：第107頁，講稿共123頁，2023年5月2日，星期三可見：兩組不同的解的差，對應(yīng)的狀態(tài)為：——這就證明了彈性力學解的唯一性。等價于：該彈性體無外力作功，總形變勢能為零，即：因為，物體的形變勢能恒為非負，所以，兩組解的差對應(yīng)的是零解。表明：上述兩組解答必須相同。該彈性體不受體力、面力、邊界位移均為零的狀態(tài)。第108頁，講稿共123頁，2023年5月2日，星期三§11-10功的互等定理1.功的互等定理設(shè)某一彈性體（位移邊界條件相同），具有兩種受力狀態(tài)。第一種狀態(tài)：外力：應(yīng)力：應(yīng)變：位移：第二種狀態(tài)：外力：應(yīng)力：應(yīng)變：位移：計算第一種狀態(tài)的外力，在第二種狀態(tài)位移上所做的功：（a）利用應(yīng)力邊界條件，有第109頁，講稿共123頁，2023年5月2日，星期三利用奧—