全等證明解題方法歸納教學(xué)內(nèi)容

資料收集于網(wǎng)絡(luò)，如有侵權(quán)請聯(lián)系網(wǎng)站刪除【第1部分 全等基礎(chǔ)知識(shí)歸納、小結(jié)】1、全等三角形的定義： 能夠完全重合的兩個(gè)三角形叫全等三角形。兩個(gè)全等三角形中，互相重合的頂點(diǎn)叫做對應(yīng)頂點(diǎn)，互相重合的邊叫對應(yīng)邊，互相重合的角叫對應(yīng)角。概念深入理解：（1）形狀一樣，大小也一樣的兩個(gè)三角形稱為全等三角形。 （外觀長的像）（2）經(jīng)過平移、旋轉(zhuǎn)、翻折之后能夠完全重合的兩個(gè)三角形稱為全等三角形。 （位置變化）圖1 圖2 圖32、全等三角形的表示方法： 若△ABC和△A′B′是C全′等的，記作“△ ABC≌△A′B′”C′其中，“≌”讀作“全等于”。記兩個(gè)三角形全等時(shí)，通常把表示對應(yīng)頂點(diǎn)的字母寫在對應(yīng)的位置上。、全等三角形的性質(zhì)：全等是工具、手段，最終是為了得到邊等或角等，從而解決某些問題。1）全等三角形的對應(yīng)角相等、對應(yīng)邊相等。2）全等三角形的對應(yīng)邊上的高，中線，角平分線對應(yīng)相等。3）全等三角形周長，面積相等。、尋找對應(yīng)元素的方法（1）根據(jù)對應(yīng)頂點(diǎn)找如果兩個(gè)三角形全等，那么，以對應(yīng)頂點(diǎn)為頂點(diǎn)的角是對應(yīng)角；以對應(yīng)頂點(diǎn)為端點(diǎn)的邊是對應(yīng)邊。通常情況下，兩個(gè)三角形全等時(shí)，對應(yīng)頂點(diǎn)的字母都寫在對應(yīng)的位置上，因此，由全等三角形的記法便可寫出對應(yīng)的元素。（2）根據(jù)已知的對應(yīng)元素尋找全等三角形對應(yīng)角所對的邊是對應(yīng)邊，兩個(gè)對應(yīng)角所夾的邊是對應(yīng)邊；word可編輯資料收集于網(wǎng)絡(luò)，如有侵權(quán)請聯(lián)系網(wǎng)站刪除（3）通過觀察，想象圖形的運(yùn)動(dòng)變化狀況，確定對應(yīng)關(guān)系。通過對兩個(gè)全等三角形各種不同位置關(guān)系的觀察和分析， 可以看出其中一個(gè)是由另一個(gè)經(jīng)過下列各種運(yùn)動(dòng)而形成的；運(yùn)動(dòng)一般有 3種：平移、對稱、旋轉(zhuǎn)；5、全等三角形的判定：（深入理解）①邊邊邊（SSS） ②邊角邊（SAS） ③角邊角（ASA） ④角角邊（AAS）⑤斜邊，直角邊（ HL）注意：（容易出錯(cuò)）（1）在判定兩個(gè)三角形全等時(shí)，至少有一邊對應(yīng)相等（邊定全等） ；（2）不能證明兩個(gè)三角形全等的是，㈠三個(gè)角對應(yīng)相等，即 AAA；㈡有兩邊和其中一角對應(yīng)相等，即 SSA。全等三角形是研究兩個(gè)封閉圖形之間的基本工具， 同時(shí)也是移動(dòng)圖形位置的工具。 在平面幾何知識(shí)應(yīng)用中， 若證明線段相等或角相等， 或需要移動(dòng)圖形或移動(dòng)圖形元素的位置， 常常需要借助全等三角形的知識(shí)。6、常見輔助線寫法：（照著輔助線說明要能做出圖、養(yǎng)成嚴(yán)謹(jǐn)、嚴(yán)密的習(xí)慣）如： ⑴過點(diǎn)A作BC的平行線AF交DE于F⑵過點(diǎn)A作BC的垂線，垂足為 D⑶延長AB至C，使BC＝AC⑷在AB上截取AC，使AC＝DE⑸作∠ABC的平分線，交 AC于D⑹取AB中點(diǎn)C，連接CD交EF于G點(diǎn)同一條輔助線，可以說法不一樣，那么得到的條件、證明的方法也不同。word可編輯資料收集于網(wǎng)絡(luò)，如有侵權(quán)請聯(lián)系網(wǎng)站刪除【第2部分 中點(diǎn)條件的運(yùn)用】、還原中心對稱圖形（倍長中線法）

C'A'BOB'A中心對稱與中心對稱圖形知識(shí)： C把一個(gè)圖形繞著某一個(gè)點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°，如果它能夠與另一個(gè)圖形重合，那么就說這兩個(gè)圖形關(guān)于這個(gè)點(diǎn)對稱或中心對稱，這個(gè)點(diǎn)叫做對稱中心。這兩個(gè)圖形中的對應(yīng)點(diǎn)叫做關(guān)于中心的對稱點(diǎn)。中心對稱的兩條基本性質(zhì)：1）關(guān)于中心對稱的兩個(gè)圖形，對稱點(diǎn)所連線段都經(jīng)過對稱中心，而且被對稱中心所平分。2）關(guān)于中心對稱的兩個(gè)圖形是全等圖形。中心對稱圖形把一個(gè)圖形繞著某一個(gè)點(diǎn)旋轉(zhuǎn) 180°，如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能夠與原來的圖形重合，那么這個(gè)圖形叫做中心對稱圖形，這個(gè)點(diǎn)就是它的對稱中心。 （一個(gè)圖形）如：平行四邊形線段本身就是中心對稱圖形 ，中點(diǎn)就是它的對稱中心， 所以遇到中點(diǎn)問題， 依托中點(diǎn)借助輔助線還原中點(diǎn)對稱圖形，可以把分散的條件集中起來（ 集散思想）。A例1、AD是△ABC中BC邊上的中線，若AB2，AC4，則AD的取值范圍是_________。B D C例2、已知在△ABC中，AD是BC邊上的中線，E是AD上一點(diǎn)，延長BE交AC于F，AAF EF，求證：AC BE。FEB D Cword可編輯資料收集于網(wǎng)絡(luò)，如有侵權(quán)請聯(lián)系網(wǎng)站刪除例3、如圖，D是△ABC的邊BC上的點(diǎn)，且CD=AB，∠ADB=∠BAD，AE是△ABD的中線。求證：AC=2AE例4△ABC中，AD、BE、CF是三邊對應(yīng)中線。（則O為重心）求證：①AD、BE、CF交于點(diǎn)O。（類倍長中線）； ②SAOB SBOC SCOAAF EOB D C練習(xí)1、在△ABC中，D為BC邊上的點(diǎn)，已知∠ BAD ∠CAD，BD CD，求證：AB ACAB D C2、如圖，已知四邊形ABCD中，ABCD，M、N分別為BC、AD中點(diǎn)，延長MN與AB、ECD延長線交于E、F，求證∠BEM∠CFMFADB CM3、如圖，AB=AE，AB⊥AE，AD=AC ，AD⊥AC，點(diǎn)M為BC的中點(diǎn)，求證： DE=2AM（基本型：同角或等角的補(bǔ)角相等、 K型）EDAB CMword可編輯資料收集于網(wǎng)絡(luò)，如有侵權(quán)請聯(lián)系網(wǎng)站刪除2、兩條平行線間線段的中點(diǎn)（“八字型”全等）Al1如圖，l1∥l2，C是線段AB的中點(diǎn)，那么過點(diǎn)C的任何Cl2直線都可以和二條平行線以及AB構(gòu)造“8字型”全等B例1已知梯形ABCD，AD∥BC，點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，連接DE、CE。1S梯ABCDAD求證：SDEC2EB C例2 如圖，在平行四邊形 ABCD中，AD=2AB ，M是AD的中點(diǎn)，CE⊥AB于點(diǎn)E，∠CEM=40° ，求∠DME的大小。（提示：直角三角形斜邊中線等于斜邊的一半）A M DEBC例3已知△ABD和△ACE都是直角三角形，且∠ABD∠ACE=90°，連接DE，設(shè)M為DE的中點(diǎn)。⑴求證：MBMC；⑵設(shè)∠BAD∠CAE，固定Rt△ABD，讓Rt△ACE移至圖示位置，此時(shí) MB MC是否成立？請證明你的結(jié)論。AACEME D CD MBBword可編輯資料收集于網(wǎng)絡(luò)，如有侵權(quán)請聯(lián)系網(wǎng)站刪除練習(xí) 1、已知：如圖，梯形 ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90° ．若BD=BC ，F(xiàn)是CD的中點(diǎn)，試問：∠ BAF與∠BCD的大小關(guān)系如何？請寫出你的結(jié)論并加以證明；A DFB C2、Rt△ABC中，∠BAC=90°，M為BC的中點(diǎn)，過 A點(diǎn)作某直線 l，過B作BD l于點(diǎn)D，過C作CE l于點(diǎn)E。1）求證：MD=ME（2）當(dāng)直線l與CB的延長線相交時(shí)，其它條件不變， （1）中的結(jié)論是否任然成立？E ll AADDMBCB M CE3、如圖（1），在正方形ABCD和正方形CGEF（CG＞BC）中，點(diǎn)B、C、G在同一直線上，M是AE的中點(diǎn)，（1）探究線段MD、MF的位置及數(shù)量關(guān)系，并證明；（2）將圖（1）中的正方形CGEF繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使正方形CGEF的對角線CE恰好與正方形ABCD的邊BC在同一條直線上，原問題中的其他條件不變。（1）中得到的兩個(gè)結(jié)論是否發(fā)生變化？寫出你的猜想并加以證明。（結(jié)合前面“8字型”全等，仔細(xì)思考）FEFMADAMDEBCBCGGword可編輯資料收集于網(wǎng)絡(luò)，如有侵權(quán)請聯(lián)系網(wǎng)站刪除、構(gòu)造中位線三角形中位線定義：連接三角形兩邊中點(diǎn)的線段叫做三角形的中位線三角形中位線性質(zhì)：三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半．重點(diǎn)區(qū)分：要把三角形的中位線與三角形的中線區(qū)分開，三角形中線是連結(jié)一頂點(diǎn)和它對邊的中點(diǎn)；而三角形中位線是連結(jié)三角形兩邊中點(diǎn)的線段。（全等法）在△ABC中，D、E分別是AB、AC邊的中點(diǎn)，證明：DE∥BC，DE=1BC2A證明：延長DE至F點(diǎn)，使DE=EF，連接CF（倍長中線）DEFBC三角形的中位線在位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系二方面把三角形有關(guān)線段聯(lián)系起來， 將題目給出的分散條件集中起來（集散思想） 。注：題目中給出多個(gè)中點(diǎn)時(shí)，往往中點(diǎn)還是不夠用的。例1 在四邊形 ABCD中，E、F、G、H分別是AB、BC、CD、DA的中點(diǎn)。A求證：四邊形 EFGH是平行四邊形。

HE DGB F C例2 已知四邊形 ABCD的對角線 AC與BD相交于點(diǎn) O，且AC=BD，M、N分別是AB、CD的中點(diǎn)，MN分別交BD、AC于點(diǎn)E、F.A你能說出 OE與OF的大小關(guān)系并加以證明嗎？

DOME NFB C練習(xí) 1、三角形 ABC中，AD是∠BAC的角平分線， BD⊥AD，點(diǎn)D是垂足，點(diǎn) E是邊BC的中點(diǎn)，如果 AB=6，AC=14 ，求DE的長。 ADB E Cword可編輯資料收集于網(wǎng)絡(luò)，如有侵權(quán)請聯(lián)系網(wǎng)站刪除2、AB∥CD，BC∥AD ，DE⊥BE，DF=EF，甲從B出發(fā)，沿著 BA->AD->DF 的方向運(yùn)動(dòng)，乙B出發(fā)，沿著BC->CE->EF 的方向運(yùn)動(dòng)，如果兩人的速度是相同的， 且同時(shí)從 B出發(fā)，則誰先到達(dá) F點(diǎn)？

DA FCEB3、等腰Rt△ABC與等腰Rt△CDE中，∠ACB=∠EDC=90°，連AE、BE，點(diǎn)M為BE的中點(diǎn)，連 DM。（1）當(dāng)D點(diǎn)在BC上時(shí)，求 DM的值A(chǔ)E（2）當(dāng)△CDE繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一個(gè)銳角時(shí)，上結(jié)論是否任然成立，試證明BBM MDE E DA C A Cword可編輯資料收集于網(wǎng)絡(luò)，如有侵權(quán)請聯(lián)系網(wǎng)站刪除4、△ABC、△CEF都為等腰直角三角形，當(dāng)E、F在AC、BC上，∠ACB=90°，連BE、AF，點(diǎn)M、N分別為AF、BE的中點(diǎn)（1）MN與AE的數(shù)量關(guān)系（2）將△CEF繞C點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一個(gè)銳角，MN與AE的數(shù)量關(guān)系BBNF

NEFM MA E C A C、與等面積相關(guān)的圖形轉(zhuǎn)換在涉及三角形的面積問題時(shí)，中點(diǎn)提供了底邊相等的條件，這里有個(gè)基本幾何圖形A如圖，△ABC中，E為BC邊的中點(diǎn)，那么顯然△ABE和△AEC有相同的高 AD，底邊也相等，故面積相等。B CD E例E、F是矩形ABCD的邊AB、BC的中點(diǎn)，連AF、CE交于點(diǎn)G，則S四邊形AGCD=S矩形ABCDD CG FA E Bword可編輯資料收集于網(wǎng)絡(luò)，如有侵權(quán)請聯(lián)系網(wǎng)站刪除擴(kuò)展如圖，等腰Rt△ACD與Rt△ABC組成一個(gè)四邊形ABCD，AC=4，對角線BD把四邊形ABCD分成了二部分，求SABDSBCD的值。DC A【5、等腰三角形中的“三線合一”】B“三線合一”是相當(dāng)重要的結(jié)論和解題工具，它告訴我們等腰三角形與直角三角形有著極為親密的關(guān)系。例△ABC中，AB=AC，BD⊥AC于D，問∠CBD和∠BAC的關(guān)系？AAAD D DB C B C B C分析：∠CBD和∠BAC分別位于不同類型的三角形中，可以考慮 轉(zhuǎn)為同類三角形 。例 在△ABC中，AB=AC=5 ，BC=6，點(diǎn)M為BC中點(diǎn)，MN⊥AC于點(diǎn)N，則MN=_____

ANBMC【6、直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半】這可以作為一個(gè)定理直接運(yùn)用，關(guān)于這個(gè)定理的證明有多種方法，包括利用前面所講中點(diǎn)的一些知識(shí)。例如圖Rt△ABC中，∠ACD=90° ，CD為斜邊AB上的中線1求證：CD= AB21）利用垂直平分線的性質(zhì)：垂直平分線上任一點(diǎn)到線段的二個(gè)端點(diǎn)的距離相等。

ADEC F Bword可編輯資料收集于網(wǎng)絡(luò)，如有侵權(quán)請聯(lián)系網(wǎng)站刪除取AC的中點(diǎn)E，連接DE。則DE∥BC（中位線性質(zhì)）ACB=90°BC⊥AC，DE⊥AC則DE是線段AC的垂直平分線 AD=CD（2）全等法，證法略。

ADC F B例在三角形ABC中，AD是三角形的高，點(diǎn)D是垂足，點(diǎn)E、F、G分別是BC、AB、AAC的中點(diǎn)，求證：四邊形EFGD是等腰梯形。FGB CE D練習(xí) 1、在Rt△ABC中，∠A=90°，AC=AB，M、N分別在AC、AB上，且AN=BM。AO為斜邊BC的中點(diǎn)。試判斷 △OMN的形狀，并說明理由。MNB CO2、ABC中，∠A=90°，D是BC的中點(diǎn)，DE⊥DF。求證:BE2CF2EF2（集散思想）AEFBDC3、 ABC中，AB=AC，點(diǎn)D在BC上，E在AB上，且 BD=DE ，點(diǎn)P、M、N分別為AAD、BE、BC的中點(diǎn)E（1）若∠BAC=90° ，則∠PMN=_______ ，并證明 PM2）若∠BAC=60°，則∠PMN=_______（3）若∠BAC=A，則∠PMN=_______BDNCAP EE PMMB D N CB D N Cword可編輯資料收集于網(wǎng)絡(luò)，如有侵權(quán)請聯(lián)系網(wǎng)站刪除【中點(diǎn)問題練習(xí)題】1、假設(shè)給出如下定義： 有一組相鄰內(nèi)角相等的四邊形叫做等鄰角四邊形． 請解答下列問題：1）寫出一個(gè)你所學(xué)過的特殊四邊形中是等鄰角四邊形的圖形的名稱；2）如圖1，在△ABC中，AB=AC，點(diǎn)D在BC上，且CD=CA，點(diǎn)E、F分別為BC、AD的中點(diǎn)，連接 EF并延長交 AB于點(diǎn)G．求證：四邊形 AGEC是等鄰角四邊形；（3）如圖2，若點(diǎn)D在△ABC的內(nèi)部，（2）中的其他條件不變， EF與CD交于點(diǎn)H，是否存在等鄰角四邊形，若存在，是哪個(gè)四邊形，不必證明；若不存在，請說明理由．A AGGFFDHB D E C B E C2、已知：△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠ ABC=∠ADE=90°，點(diǎn)M是CE的中點(diǎn)，連接 BM（1）如圖①，點(diǎn) D