2021-2022學(xué)年北京長(zhǎng)辛店第一中學(xué)高三數(shù)學(xué)理月考試卷含解析

2021-2022學(xué)年北京長(zhǎng)辛店第一中學(xué)高三數(shù)學(xué)理月考試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.已知全集U=R，集合A={x|x＜2}，B={x|x＜0}，那么A∩?UB=（）A．{x|0≤x＜2} B．{x|0＜x＜2} C．{x|x＜0} D．{x|x＜2}參考答案：A【考點(diǎn)】交、并、補(bǔ)集的混合運(yùn)算．【分析】根據(jù)題意，由集合B以及補(bǔ)集的定義可得?UB={x|x≥0}，又由集合A，結(jié)合交集的定義計(jì)算可得A∩?UB，即可得答案．【解答】解：根據(jù)題意，全集U=R，B={x|x＜0}，則?UB={x|x≥0}，又由A={x|x＜2}，則A∩?UB={x|0≤x＜2}；故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查集合的混合運(yùn)算，關(guān)鍵是掌握集合交、并、補(bǔ)集的意義．2.圓心在直線上，經(jīng)過原點(diǎn)，且在軸上截得弦長(zhǎng)為2的圓的方程為（

）

A．

B．

C．

D．

參考答案：C略3.已知是的共軛復(fù)數(shù)，若（是虛數(shù)單位），則（

）A．

B．

C．

D．[來參考答案：D略4.要得到函數(shù)y=sin2x的圖象，只要將函數(shù)y=sin（2x﹣）的圖象（）A．向左平移單位 B．向右平移單位C．向左平移單位 D．向右平移單位參考答案：C【考點(diǎn)】函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換．【分析】根據(jù)函數(shù)y=Asin（ωx+?）的圖象變換規(guī)律得出結(jié)論．【解答】解：將函數(shù)y=sin（2x﹣）的圖象向左平移個(gè)單位，可得函數(shù)y=sin[2（x+）﹣]=sin2x的圖象，故選C．5.已知函數(shù)的圖象關(guān)于對(duì)稱，則函數(shù)的圖象的一條對(duì)稱軸是

（

）A.

B.

C.

D.

參考答案：A6.下列選項(xiàng)中，是的必要不充分條件的是（

）A.

B.?U?UC.

D.參考答案：A:是的充分不必要條件；B:是的充要條件；C:是的充分不必要條件；∴答案D7.若為第一象限角，且，則的值為（

）A． B． C． D．參考答案：B∵，為第一象限角∴∴故選B

8.已知集合A={－1,0,1}，，則A∩B=（

）A．{－1}

B．{0} C．{1}

D．{0,1}參考答案：D根據(jù)題意可知，根據(jù)交集中元素的特征，可以求得，故選D.

9.已知z=i（1+i），則在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限參考答案：B【考點(diǎn)】復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算．【專題】轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)．【分析】利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則、幾何意義即可得出．【解答】解：z=i（1+i）=﹣1+i，則在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)（﹣1，1）在第二象限，故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則、幾何意義，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．10.設(shè)傾斜角為α的直線l經(jīng)過拋物線C：y2=2px（p＞0）的焦點(diǎn)F，與拋物線C交于A，B兩點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)A在x軸上方，點(diǎn)B在x軸下方．若，則cosα的值為（）A．

B． C．

D．參考答案：A【分析】由題意可知：∠BAC等于直線AB的傾斜角α，根據(jù)拋物線的定義，分別求得丨AC丨及丨AB丨，即可求得cosα的值．【解答】解：設(shè)拋物線y2=2px（p＞0）的準(zhǔn)線為l：x=﹣．如圖所示，分別過點(diǎn)A，B作AM⊥l，BN⊥l，垂足為M，N．在三角形ABC中，∠BAC等于直線AB的傾斜角α，由，|AF|=m|BF|，丨AB丨=丨AF丨+丨BF丨=（m+1）丨BF丨，根據(jù)拋物線的定義得：|AM|=丨AF丨=m|BF|，丨BN丨=丨BF丨，∴|AC|=丨AM丨﹣丨MC丨=m|BF|﹣丨BF丨=（m﹣1）丨BF丨，在直角三角形ABC中，cosα=cosα∠BAC===；故選A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查拋物線的性質(zhì)，直線與拋物線的性質(zhì)，考查數(shù)形結(jié)合思想，屬于中檔題．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.數(shù)列的前項(xiàng)和為，，則數(shù)列的前50項(xiàng)和為______________

參考答案：4912.某單位有老年人人，中年人人，青年人人，為調(diào)查身體健康狀況，需要從中抽取一個(gè)容量為的樣本，用分層抽樣方法應(yīng)分別從老年人、中年人、青年人中各抽取

_________人、

人、

人。參考答案：

解析：總?cè)藬?shù)為13.不等式組表示的平面區(qū)域內(nèi)的整點(diǎn)（橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)均為整數(shù)）坐標(biāo)是

.參考答案：答案：

14.關(guān)于x的不等式x2﹣2ax﹣8a2＜0（a＞0）的解集為（x1，x2），且x2﹣x1=15，則a=

．參考答案：考點(diǎn)：一元二次不等式的解法．專題：不等式的解法及應(yīng)用．分析：關(guān)于x的不等式x2﹣2ax﹣8a2＜0（a＞0）的解集為（x1，x2），則x1，x2是一元二次方程x2﹣2ax﹣8a2=0（a＞0）的實(shí)數(shù)根，利用根與系數(shù)的關(guān)系即可得出．解答： 解：∵關(guān)于x的不等式x2﹣2ax﹣8a2＜0（a＞0）的解集為（x1，x2），∴x1，x2是一元二次方程x2﹣2ax﹣8a2=0（a＞0）的實(shí)數(shù)根，∴△=4a2+32a2＞0．∴x1+x2=2a，x1x2=﹣8a2．∵x2﹣x1=15，∴152==4a2+32a2，又a＞0．解得a=．故答案為：．點(diǎn)評(píng)：本題考查了一元二次不等式的解集與相應(yīng)的一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題．15.記不等式所表示的平面區(qū)域?yàn)镈，直線與D有公共點(diǎn)，則的取值范圍是________參考答案：16.已知U={1，3，x3+3x2+2x}，A={1，|2x﹣1|}，若?UA={0}，則x的取值為

．參考答案：﹣1【考點(diǎn)】補(bǔ)集及其運(yùn)算．【專題】集合．【分析】根據(jù)集合的基本運(yùn)算和關(guān)系進(jìn)行求解即可．【解答】解：∵A={1，|2x﹣1|}，?UA={0}，∴|2x﹣1|=3且x3+3x2+2x=0，即x=﹣1，故答案為：﹣1．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查集合的基本運(yùn)算以及集合關(guān)系的推導(dǎo)，考查學(xué)生的推理能力．17.曲線和在它們的交點(diǎn)處的兩條切線與軸所圍成的三角形的面積是___________.參考答案：答案：解析：曲線和在它們的交點(diǎn)坐標(biāo)是(1，1)，兩條切線方程分別是y=－x+2和y=2x－1，它們與軸所圍成的三角形的面積是.三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知曲線C的極坐標(biāo)方程是ρ=4cosθ．以極點(diǎn)為平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)，極軸為x軸的正半軸，建立平面直角坐標(biāo)系，直l的參數(shù)方程是（t是參數(shù)）（1）將曲線C的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程；（2）若直線l與曲線C相交于A、B兩點(diǎn)，且|AB|=，求直線的傾斜角α的值．參考答案：【考點(diǎn)】參數(shù)方程化成普通方程．【分析】本題（1）可以利用極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)互化的化式，求出曲線C的直角坐標(biāo)方程；（2）先將直l的參數(shù)方程是（t是參數(shù)）化成普通方程，再求出弦心距，利用勾股定理求出弦長(zhǎng)，也可以直接利用直線的參數(shù)方程和圓的普通方程聯(lián)解，求出對(duì)應(yīng)的參數(shù)t1，t2的關(guān)系式，利用|AB|=|t1﹣t2|，得到α的三角方程，解方程得到α的值，要注意角α范圍．【解答】解：（1）∵ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ2=x2+y2，∴曲線C的極坐標(biāo)方程是ρ=4cosθ可化為：ρ2=4ρcosθ，∴x2+y2=4x，∴（x﹣2）2+y2=4．（2）將代入圓的方程（x﹣2）2+y2=4得：（tcosα﹣1）2+（tsinα）2=4，化簡(jiǎn)得t2﹣2tcosα﹣3=0．設(shè)A、B兩點(diǎn)對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為t1、t2，則，∴|AB|=|t1﹣t2|==，∵|AB|=，∴=．∴cos．∵α∈[0，π），∴或．∴直線的傾斜角或．19.（本題滿分12分）如圖,在三棱錐中,側(cè)面與底面垂直,分別是的中點(diǎn),,,.(1)若點(diǎn)在線段上,問:無論在的何處,是否都有?請(qǐng)證明你的結(jié)論;(2)求二面角的平面角的余弦．參考答案：（1）在△SAB中，

∵OE∥AS，∠ASC=90°∴OE⊥SC

∵平面SAC⊥平面ABC，∠BCA=90°

∴BC⊥平面ASC，OE?平面ASC

∴BC⊥OE∴OE⊥平面BSC

∵SF?平面BSC

∴OE⊥SF所以無論F在BC的何處，都有OE⊥SF

…（6分）

（2）由（1）BC⊥平面ASC∴BC⊥AS

又∵∠ASC=90°∴AS⊥SC

∴AS⊥平面BCS

∴AS⊥SB

∴∠BSC是二面角B-AS-C的平面角

在Rt△BCS中，，所以二面角B-AS-C的平面角的余弦值為………（12分）20.如圖1，是全國(guó)最大的瓷碗造型建筑，座落于江西景德鎮(zhèn)，整體造型概念來自“宋代影青斗笠碗”，造型莊重典雅，象征“萬瓷之母”．小敏為了計(jì)算該建筑物橫斷面(瓷碗橫斷面ABCD為等腰梯形)的高度，如圖2，她站在與瓷碗底部AB位于同一水平面的點(diǎn)P處測(cè)得瓷碗頂部點(diǎn)D的仰角為45°，而后沿著一段坡度為0.44(坡面與水平線夾角的正切值)的小坡PQ步行到點(diǎn)Q(此過程中AD，AP，PQ始終處于同一平面)后測(cè)得點(diǎn)D的仰角減少了5°.已知坡面PQ的水平距離為20米，小敏身高忽略不計(jì)，試計(jì)算該瓷碗建筑物的高度．(參考數(shù)據(jù)：sin40°≈0.64，tan

40°≈0.84)參考答案：該瓷碗建筑物的高度約為50米．【分析】根據(jù)∠DPA=45°得到DH=PH，根據(jù)正切的定義求出PM，求出a；【詳解】分別過點(diǎn)D，P向水平線作垂線，與過點(diǎn)Q水平線分別交于點(diǎn)N，M，DN與PA交于點(diǎn)H，如解圖所示，則四邊形PMNH是矩形.∴PM＝HN，PH＝MN.由題意可知∠DPA＝45°，∠DQN＝45°－5°＝40°.在Rt△DHP中，∵∠DPA＝45°，∴DH＝PH.設(shè)該瓷碗建筑物的高度DH為x，則PH＝DH＝MN＝x.在Rt△PQM中，∵tan∠PQM＝＝0.44，QM＝20，∴PM＝0.44QM＝0.44×20＝8.8，∴DN＝DH＋HN＝x＋8.8，QN＝QM＋MN＝x＋20.在Rt△DQN中，tan∠DQN＝，∴≈0.84，解得x≈50.答：該瓷碗建筑物的高度約為50米．【點(diǎn)睛】本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用，掌握仰角俯角的概念、坡度坡角的概念、熟記銳角三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．21.已知拋物線的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)為，點(diǎn)是點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)，過點(diǎn)的直線交拋物線于兩點(diǎn)。（1）試問在軸上是否存在不同于點(diǎn)的一點(diǎn)，使得與軸所在的直線所成的銳角相等，若存在，求出定點(diǎn)的坐標(biāo)，若不存在說明理由。（2）若的面積為，求向量的夾角；參考答案：（1）由題意知：拋物線方程為：且

-------1分設(shè)設(shè)直線代入得

--------2分假設(shè)存在滿足題意，則

-----

------5分

存在T（1,0）----------------6分（2）（法一）

----------------7分設(shè)直線OA,OB的傾斜角分別為，--------9分設(shè)------11分

----------------------12分法二：

-----------------------7分---------9分-------11分

--------------------12分略22.在直角坐標(biāo)系中，以原點(diǎn)為極點(diǎn)，以軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，已知曲線的極坐標(biāo)方程為．（1）求曲線的直角坐標(biāo)方程并指出其形狀；（2）設(shè)是曲線上的動(dòng)點(diǎn)，求的取值范圍．參考答案：（1）；（2）.試題解析：(1)由ρ2－4ρcos＋7＝0可得ρ2－4ρcosθ－4ρsinθ＋7＝0，化為直角坐標(biāo)方程得x2＋y2－4x－4y＋7＝0，即(x－2)2＋(y－2)2＝1，它表示以(2,2)為圓心，以1為半徑的圓．(2)由題意可設(shè)x＝2＋cosθ，y＝2＋sinθ，則t＝(x＋1)(y＋1)＝(3＋cosθ)(3＋sinθ)＝9＋3(sinθ＋cosθ)＋sinθco