不等式的證明(一)課件

二、形法三、比較法一、不等式常用的證明方法1.作差比較法2.作商比較法1.函數(shù)圖象2.線性規(guī)劃3.其他圖象……§159不等式的證明(一)1.形法2.數(shù)法不等式概述概念性質(zhì)應(yīng)用解不等式證不等式求最值不等式的性質(zhì)(一)作用：變形化簡(jiǎn)不等式2.運(yùn)算性質(zhì)1.基本性質(zhì)(二)性質(zhì)：3.重要的不等式多多益善十四條文字背誦是關(guān)鍵1.基本性質(zhì)①大小的定義②對(duì)稱性③傳遞性⑴對(duì)一個(gè)不等式的運(yùn)算(變形)④加(減):如果a>b，那么a+c>b+c⑤乘(除)：如果a>b,且c>0,那么ac>bc如果a>b,且c<0,那么ac<bc⑥方：2.運(yùn)算性質(zhì)正值可方奇無限⑵對(duì)多個(gè)不等式的運(yùn)算(變形)⑨同號(hào)可倒：⑧乘：注1.若2個(gè)不等式需進(jìn)行減(除)運(yùn)算，一般是轉(zhuǎn)換成加(乘)注2.若變量間具有約束關(guān)系時(shí)，等號(hào)沒有可加(乘)性⑦加：同向可正值同向可3.重要的(經(jīng)典)不等式⑩11均值不等式：當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時(shí)，“=”成立當(dāng)且僅當(dāng)○=□時(shí)等號(hào)成立□2+○2≥±2□○

當(dāng)且僅當(dāng)□=○時(shí)等號(hào)成立若□,○∈R+,則21□○1+□○2□○+≤□2+○213柯西不等式

i：一般式

ii：向量式12三角形(絕對(duì)值)不等式|□|-|○|≤|□±○|≤|□|+|○|14排序不等式反序和≤亂序和≤順序和解不等式概述1.題型：二元不等式一元不等式抽象不等式含參不等式整式不等式分式不等式不等式組絕對(duì)值不等式根式不等式連不等式指數(shù)不等式對(duì)數(shù)不等式三角不等式線性規(guī)劃四成立……解不等式概述1.題型：3.一般的，不等式解集的端點(diǎn)值是方程的根2.解法：形法數(shù)法函數(shù)圖像線性規(guī)劃“純”不等式法函數(shù)(單調(diào)性)法標(biāo)根法解一元n次不等式一正二方三穿線奇穿偶切右上方上大下小中為等函數(shù)簡(jiǎn)圖是本質(zhì)解分式不等式1.“左右”去分母法2.“上下”去分母法1.圖象(標(biāo)根)法：2.公式(口訣)法：口訣1：大于號(hào)要兩頭小于號(hào)要中間解一元二次不等式口訣2：一正二方三大頭無根大全小為空數(shù)形結(jié)合“或”字型書寫格式整體觀解不等式組通法:“截”成不等式組解連不等式特法:左右是常數(shù)時(shí)，可變形成高次不等式解絕對(duì)值不等式1.單絕對(duì)值號(hào)+右端常數(shù)型：2.單絕對(duì)值號(hào)+右端變量型：3.雙絕對(duì)值號(hào)型：1.數(shù)法：解根式不等式2.形法：①零點(diǎn)分段法②函數(shù)圖象法③絕對(duì)值幾何意義法大于號(hào)要中間,小于號(hào)要兩頭數(shù)法形法要靈活陷阱有三：①正值可方②Domain③“=”的取舍形法數(shù)法巧構(gòu)函數(shù)是關(guān)鍵上大下小中方程同底法取對(duì)數(shù)法其他法單調(diào)性法注：對(duì)數(shù)不等式要注意Domain解指對(duì)不等式解三角不等式（一）基礎(chǔ)型——背誦法1.若02.若03.若0,則4.若5.若,則,則,則,則數(shù)形結(jié)合周期性上大下小中方程（二）其他型——圖象法（一）基礎(chǔ)型——背誦法1.若02.若03.若0,則4.若5.若,則,則,則,則若x為銳角，則線性規(guī)劃簡(jiǎn)述點(diǎn)坐標(biāo)線方程面不等式形數(shù)1.含義：簡(jiǎn)言之，圖象法解二元不等式2.步驟：一面二線三找點(diǎn)來先去后為最值解析幾何的基礎(chǔ)1.直線對(duì)坐標(biāo)平面的劃分和2.類似直線,圓錐曲線也將坐標(biāo)平面劃分成兩個(gè)區(qū)域,將坐標(biāo)平面劃分成兩個(gè)半平面直線其坐標(biāo)必適合同一個(gè)不等式,位于同一半平面內(nèi)的點(diǎn)（同側(cè)同號(hào)，異側(cè)異號(hào)）二元不等式與平面域注：直線劃分坐標(biāo)面先畫直線定邊線有等為實(shí)反為虛特點(diǎn)驗(yàn)證確定面左小右大A要正上大下小B要正(二元一次不等式表示平面域)1.直線型：常見的幾類目標(biāo)函數(shù)2.曲線型：3.其他型：①直線平移型：②直線旋轉(zhuǎn)型：③直線旋移型：④點(diǎn)線距離型：(a,b為常數(shù),截距……)(x0,y0為常數(shù),斜率……)(λ,μ為參量,截距……)(a,b,c為常數(shù),距離…)⑤圓伸縮型：(x0,y0為常數(shù),半徑…)⑥向量型：……已知兩正數(shù)□,○，若四個(gè)式子中有一個(gè)為常數(shù)，且□與○能夠相等，則其他三個(gè)式子有最值注1：此法非通法多元有優(yōu)勢(shì)小作抓“等”字大作“正常等”注2：書寫格式三因一果注3：常見題型明考暗考配湊連用嵌積重點(diǎn)1□○1+□○□○+□2+○2，，，二、形法三、比較法一、不等式常用的證明方法1.作差比較法2.作商比較法1.函數(shù)圖象2.線性規(guī)劃3.其他圖象……§159不等式的證明(一)1.形法2.數(shù)法2.綜合法一、不等式常用的證明方法1.比較法3.分析法6.放縮法4.數(shù)學(xué)歸納法7.輔助函數(shù)法……作差比較法作商比較法5.反證法形法數(shù)法1.函數(shù)圖象2.線性規(guī)劃3.其他圖象……形法是構(gòu)造法的特例1.函數(shù)圖象2.線性規(guī)劃3.其他圖象……二、形法證明不等式(1)用幾何圖形解釋均值不等式練習(xí)1.形法證明不等式均值不等式的幾何解釋方法甚多現(xiàn)只順延課本的方法ADCBHFGE法1：課本P：97探究ab1.正方形ABCD的面積S=__________２.四個(gè)直角三角形的面積和Sl=______３.S與S1的大小關(guān)系是…？S≥Sl即ABOCDGEOF=OD在RT⊿OFC中,CF＞OFF則易得在RT⊿OCD中,OD＞CD在RT⊿CDG中,CD＞DGCF＞＞CD＞DG下證：故如圖，AB為圓O的直徑，法2：課本P：98探究CG⊥OD弦DE⊥AB，OF⊥AB，令A(yù)C=a，CB=b(不妨設(shè)a＞b)，CF=CD=OF=OD=DG=ABOCDF故半徑如圖，因AB為圓O的直徑，且AC=aOF=OD=即直徑AB=AC+CB=a+b，ab，CB=b，ABOCF由勾股定理得CF=OF=如圖，在RT⊿OFC中,所以O(shè)C=OB-BC=ABOCD如圖，因AB為圓O的直徑，且AC=aab，CB=b，故⊿ABD為直角三角形，CD=由射影定理得ABOCDG，CD=OD==如圖，在RT⊿CDG中,由射影定理得即ABOCDGEOF=OD在RT⊿OFC中,CF＞OFF則易得在RT⊿OCD中,OD＞CD在RT⊿CDG中,CD＞DGCF＞＞CD＞DG又因故如圖，AB為圓O的直徑，CG⊥OD弦DE⊥AB，OF⊥AB，令A(yù)C=a，CB=b(不妨設(shè)a＞b)，CF=CD=OF=OD=DG=故（當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)，取“=”號(hào)）(2)三角混合不等式:

sinx＜x＜tanx法1：如圖，易得0＜x＜若,則

y=tanx

y=x

y=sinx(2)三角混合不等式:

sinx＜x＜tanxMOATP法2：如圖單位圓O中，角x的終邊為OT，易得S⊿APO＜S扇形APO＜S⊿ATO而S⊿ATO=S⊿APO=S扇形APO=即sinx＜x＜tanx(0＜x＜)0＜x＜若,則(3)排序不等式:OA1A2B2B1已知0＜a1≤a2≤a3…，0＜b1≤b2≤b3…則反序和≤亂序和≤順序和令OA1=a1,OA2=a2,OB1=b1,OB2=b2證明：如圖，則易得而即3個(gè)以上的,逐步調(diào)整法證之……A-B=…=x1

·x2·x3···xnx21+x22+···

+x2nO作差變形三判斷不是化簡(jiǎn)是變形

變到顯然與O比因式分解及配方三、比較法：1.作差比較法簡(jiǎn)介：若a,b∈R+，則2.作商比較法簡(jiǎn)介：練習(xí)2.比較法證明不等式(4)課本P：75B組Ex1④(5)課本P：75B組Ex1③補(bǔ)充1：類似于x2+y2≥2xy補(bǔ)充2：，有x3+y3+z3≥3xyz(x±y)3=x3±3x2y+3xy2±y3a3±b3=(2)(a±b)(a2ab+b2)(3)x2+y2+z2-xy-yz-xz=(x－y)2+(y－z)2+(z－x)22(1)(6)已知x＞0,y＞0,z＞0,證明：x3+y3+z3≥3xyz=(x3+3x2y+3xy2+y3)+z3－3x2y－3xy2－3xyz(x－y)2+(y－z)2+(z－x)22(6)已知x＞0,y＞0,z＞0,證明：x3+y3+z3≥3xyz證明：x3+y3+z3－3xyz而=[(x+y)3+z3]－3xy(x+y+z)=(x+y+z)(x2+y2+z2-xy-yz-xz)=(x+y+z)[(x+y)2－(x+y)z+z2]－3xy(x+y+z)≥0所以x3+y3+z3≥3xyz=(x+y+z)×已知x＞0,y＞0,z＞0證明：因所以，原不等式成立作業(yè)：1.課本P：7