第五章7振動力學(xué)

簡諧振動的合成·同方向同頻率的簡諧振動的合成·同方向不同頻率的簡諧振動的合成·相互垂直的同頻率的簡諧振動的合成·相互垂直的不同頻率的簡諧振動的合成一、同方向同頻率的簡諧振動的合成分振動：一物體同時參與兩個在同一直線上的同頻率的簡諧振動，其表達式為x1=A1cos(wt+j1)x2=A2cos(wt+j2)合振動：x

=x1+x2x

=

A1

cos(wt

+j1

)

+

A2

cos(wt

+j2

)=

(

A1

cosj1

+

A2

cosj2

)

coswt

-(

A1

sin

j1

+

A2

sin

j2

)

sin

wt令A(yù)

cosj

=A1

cosj1

+A2

cosj2Asin

j

=

A1

sin

j1

+

A2

sin

j2注意：A與A1,A2及j2－j1都有關(guān)。x

=

A

cosj

coswt

-

Asinj

sinwt=

A

cos(w

t

+j)A

=

A2

+

A2

+

2

A

A

cos(j

-j

)1

2

1

2

2

1tgj

=

A1

sinj1

+

A2

sinj2A1

cosj1

+

A2

cosj2同方向同頻率的簡諧振動的合振動必然是簡諧振動，其角頻率仍為w1A1j2j·A，j

可由旋轉(zhuǎn)矢量法導(dǎo)出，這比用解析法方便。t=0時合成振動如右圖所示A2當(dāng)A1、A2同時以ω的角速度轉(zhuǎn)動時，A同樣以ω的角速度轉(zhuǎn)動。得合成運動為X=Acos(ωt+

j)1AA21jj2由矢量合成的平行四邊形法則：12A

=

A2

+

A2

+

2A

A

cos(j

-j

)1

2

1

2tgj

=

y1

+

y2A1

cosj1

+

A2

cosj2x1

+

x2=

A1

sin

j1

+

A2

sin

j2顯然合成振動的振幅不僅與A1、A2有關(guān)，也與φ1、φ2有關(guān)。如再有A1=A2，則A

=0。此情形下，“振動加振動等于不振動”。A2AA1A1A2A·其它情況下：│A1-A2│

<A

<│A1+A2│3.兩種特殊情況(討論振幅A）若兩分振動同相，j2

-j1

=–2kp，則A=A1+A2，兩分振動相互加強。若兩分振動反相，j2

-j1=–(2k+1)p,則A

=|A1

-A2|，兩分振動相互減弱。(以上k

=0,1,2,……)A2A1AA

=

A2

+

A2

+

2

A

A

cos(j

-j

)1

2

1

2

2

1tgj

=

A1

sinj1

+

A2

sinj24

cos

0

+

2

cosp

/

3=

4

sin

0

+

2

sin

p

/

3例：求兩同方向、同頻率諧振動X1=4cos(3t)、X2=2cos(3t+π/3)的合成諧振動方程。解：合成后w

不變，X=Acos(3t+φ)A1=4、A2=2

、φ1=0

、φ2

=π/3A

=

A

2

+

A

2

+

2

A

A

cos(

j

-

j

)1

2

1

2

2

1=

42

+

22

+

2

·

4

·

2

·

cos(p

/

3

-

0)

=

2

753=A1

cosj1

+

A2

cosj2合振動方程x

=

2 7

cos(3t

+

0.33)例、兩個同方向同頻率的簡諧振動，其振動表達式分別為：2Ax

=

6

·10-2

cos(5t

+

p

)

(SI

)Bx

=

2

·10-2

sin(p

-

5t)

(SI

)則它們的合振動的振幅及初位相為：p(

A)

0.04m,

3p

;2(B)

0.04m,

;2pp2

2; (

D)

0.08m,

-（B）2Bsin(

p

-

5t

)

=

sin

5t

=

cos(

5t

-p

/

2

)px

=

2

·10-2

cos(5t

-

)

(SI

)oxAA0AB

02=

p合=

0.04m

,

j由圖知:

A合(C)

0.08m,解：例、圖中所畫的是兩個簡諧振動曲線，若這兩個諧振動是可迭加的，則合成的余弦振動的初相為：oxt1xx2(B)

p

, (

C)

p

,

(D)3p2

2(

A)

0

,A10

>

A20j合=p（C）oxA10A20解：兩振動反相例題

三個諧振動方程分別為3x

=

A

cos(

w

t

+

11p

)21x

=

A

cos(

w

t

+

p

)6

62x

=

A

cos(

w

t

+

7p

)畫出它們的旋轉(zhuǎn)矢量圖。并在同一x-t坐標(biāo)上畫出振動曲線。寫出合振動方程。x3x1x3

x2

x1x2合振動方程X=0OA3aaN

PM

C

RNd

dx1

(t)

=

a

coswtx2

(t)

=

a

cos(wt

+d)x3

(t)

=

a

cos(wt

+

2d)xN

(t)

=

a

cos[wt

+(N

-1)d]

a1A

=

2R

sin(

Nd

/

2)a

=

2R

sin(d

/

2)在DOCP中：·

同方向的N個同頻率簡諧振動的合成設(shè)它們的振幅相等，初相位依次差一個恒量。其表達式為：x

=

A

cos(wt

+j

)合成后仍為諧振動。A

=

a

sin(Nd

/

2)sind

/

2—

COM

=

(p

-

Nd)

/

2—

COP

=

(p

-d)

/

2j

=

—

COP

-

—

COM

=

N

-1d上兩式相除得2sin(d

/

2)=

a

sin(Nd

/

2)

cos(wt

+

N

-1d)2所以，合振動的表達式x(t)

=

A

cos(w

t

+j

)Oa1A3aaN

PM

C

RNddk

=

0,–1,–2,討論1：當(dāng)d

=2kpA

=lima

sin(Nd

/

2)

=

Nak

=1,2,N

-1,N

+1,即：Nd

=2k

p這時各分振動矢量依次相接，構(gòu)成閉合的正多邊形，合振動的振幅為零。以上討論的多個分振動的合成在說明光的干涉和衍射規(guī)律時有重要的應(yīng)用。sin(d

/

2)即各分振動同相位時，合振動的振幅最大。討論2：

當(dāng)d

=

2k'p

/

N

且

k'

?

kNA

=

a

=

0sin(

k

'p

/

N

)sin(

k

'p

)重要的特例:可得A

=

na(k

=

0,–1,–2)各分振動同相d

=

2k

π各分振動的初相差為n2k

,

πd

=（

k

,為

不

等

于

nk

的整數(shù))封閉多邊形!可得A

=0例.n=4

時k

,

=

(0),–1,–2,–3,

(–4),–5,–6,–7k￠=1k￠=3k￠=2二.同方向不同頻率的簡諧振動的合成2.合振動：x2

=

A2

cos(w

2

t

+f2

)1.分振動：設(shè)為x1

=

A1

cos(w

1

t

+f1

)x(t)

=

x1

+

x2

=

A1

cos(w1t

+j1

)

+

A2

cos(w

2t

+j2

)同方向不同頻率的簡諧振動合振動不是簡諧振動。當(dāng)兩個分振動的振幅相等而且在兩個分振動矢量重合的時刻開始計時，x1

=

Acos(w1t

+j)x2

=

Acos(w

2t

+j)w

+wt

+j2t

cos212=

2

A

cos

w

2

-w1合成也是非簡諧振動：x

=

x1

+

x2w

-w(w

t

+j112t

cos2x

=

2A

cos隨t緩變 隨t快變?nèi)魒1，w2

均較大，而差值較小，w

1

?

w

2

>>|

w

1

-w

2

|上式變?yōu)?/p>

t2A'

=

2

Acos12w

-w令合振動的?振幅?時而大（為2A），時而?。?）。這時振動方程可以看成是被

A’ 調(diào)制的振動，是振幅有周期性變化的“簡諧振動”。這種兩個頻率都較大但是相差又很小、同方向簡諧振動合成時，合振動有忽強忽弱的現(xiàn)象，稱為“拍”。單位時間內(nèi)振動加強（或減弱）的次數(shù)叫拍頻。v拍=|

v1

-v2

|·拍tx1n2=6x2n1=7txt拍頻n

=‰n

1

-n2

‰（可測頻，或得到更低頻的振動）播放教學(xué)片CD2

拍振動合成后，振幅出現(xiàn)時而加強，時而減弱的現(xiàn)象----“拍”。三.相互垂直的同頻率簡諧振動的合成(1)同頻率x

=

A1

cos

(w

t

+j1

)y

=

A2

cos

(w

t

+j2

)將兩式聯(lián)立，消去t,可得2

1

2

1

1

22

12

11

2A

A

x

sinf

-

y

sinf

=

coswt

sin(j

-j

)A

A

x

cosf

-

y

cosf

=

sinw

t

sin(j

-j

)再將上兩式平方后相加即可得cos(2

122

11

22221j

-j

)j

-j

)

=

sin

(+

-A

A2xyAAx2

y2合運動一般不是簡諧振動。合運動一般是在2A1(x向)、2A2(y向)范圍內(nèi)的一個橢圓。橢圓的性質(zhì)(方位、長短軸、左右旋)

在A1，A2

確定之后，主要決定于

Dj

=

j2

-

j1討論：1、j

2

－j

1=2k

πy

=

A2

xA1直線是退化了的橢圓22

1

2

1221

2

1

2j

-j

)j

-j

)

=

sin

(+

-

cos(2xyA AAAx2

y22、j

2－j

1=(2k+1)πY=A2cos(ωt+

j

2)=

－

A2cos(ωt+

j

1)A1y

=

-

A2

xx1AA2oyj

2－

j

1=2kπj

2

－

j

1=（2k+1）π3、j

2

－j

1=±π/2Y=A2cos(ωt+

j

2)=

±

A2sin(ωt+

j

1)=1

2

1

+

A

A

y

2

x

2是長短軸分別在x、y方向上的橢圓。當(dāng)A1=A2時是圓形。1A

xyA2o討論：j

1

－j

2=π/2x方向的振動比y方向的振動超前π/2

即無法顯示該圖片。21

1

1

2y

=

A2

cos(wt

+j2

)x

=

A

cos(wt

+j

)

=

A

cos(wt

+j

+

p

)2

2=0,則x

=0,y=A當(dāng)某一瞬時，wt

+jA1A即質(zhì)點在圖中p點，經(jīng)過很短時間后，wt

+j2略大于零，y將略小于A2，為正，而22wt

+j

+

p略大于π/2，x將為負(fù)，所以質(zhì)點運動到第二y相位領(lǐng)先,則為右旋!x相位領(lǐng)先,則為左旋!所以xyo2

P象限，即質(zhì)點沿橢圓逆時針運動。反之φ2－φ1=π/2

，質(zhì)點沿橢圓順時針方向運動4、一般情況表示一個長短軸在任意方向的橢圓。軌跡的旋轉(zhuǎn)矢量作圖法:為例124567081123345566770

8x以

f2

-

f1

=

π

4y80(y相位領(lǐng)先)yx2

43y

相位領(lǐng)先,則為右旋!x

相位領(lǐng)先,則為左旋!設(shè)

x

1y

2Dj

=

pDj

=

5p/4

Dj

=

3p/2

Dj

=

7p/4Dj

=

p·/4PDj

=

0yxDj

=

p/2

Dj

=

3p/4（-3p/4）

（-p/2）

（-p/4）兩個沿垂直方向的同頻簡諧振動的合運動的軌跡四.相互垂直的不同頻率簡諧振動的合成·其情形復(fù)雜，軌跡曲線一般不穩(wěn)定(隨t變化)，也不一定閉合，即合成運動不一定是周期性運動。如果兩個互相垂直的振動頻率成整數(shù)比，合成運動的軌道是封閉曲線，運動也具有周期。這種運動軌跡的圖形稱為李薩如圖形。yxA1A2o-A2-

A1[例]下圖是wx

:wy=3:2，j2

=0，j1

=p/4時的李薩如圖形。下圖給出李薩如圖形的幾種情況，可知振動曲線與w1

:

w

2

,j1,j2的不同取值有很大關(guān)系。阻尼振動實際振動系統(tǒng)因受阻力作用其振幅會不斷減小，稱為阻尼振動。常見的阻力可寫成：dtf

=

-gv

=

-g

dx質(zhì)量為m的物體在彈性回復(fù)力和上述阻力作用下的動力學(xué)方程：k220

0dt

2

dt

m

2md

2

x

dxgw

＝

,

b

=+2b

+w

x

=0,其中上式的解與阻尼因素β的大小有關(guān)，分為欠阻尼、臨界阻尼和過阻尼三種情形。（g為阻力系數(shù)）220

00cos(

w-

b

t

+j

)x(t)

=

A

e1、β<ω。欠阻尼情況：方程的解-bt0w

=

w

2

-

b

2(20000w

2v

+

bx

)A

=

x2

+系統(tǒng)作準(zhǔn)周期振動，振幅不斷減小，頻率為可由初始條件（x0，v0）求出為表示阻尼的大小，定義：對數(shù)簡縮=

bTA

e-btA

e-b

(t

+T

)0L

=

ln

0

=

ln

ebT3、β＝ω。臨界阻尼情況：方程的解x(t)

=

(C

+

C

t)e-bt1

2此時振動系統(tǒng)剛剛不能作準(zhǔn)周期振動，而很快回到平衡位置。1

2002

2-(

b

+

b

2

-w

2

)t-(

b

-

b

-w

)t+

C

ex(t)

=

C

e上兩式中C1,C2均由初始條件確定，此時根本無振動發(fā)生。臨界阻尼過阻尼欠阻尼xt02、β>ω。過阻尼情況：方程的解受迫振動和共振系統(tǒng)受彈性力,阻力外,還受周期性策動力F

=

F0

cosw

t其動力學(xué)方程mFm

2mdtk