固體電子導(dǎo)論第三章

固體電子導(dǎo)論第三章第1頁，課件共62頁，創(chuàng)作于2023年2月一、微振動(dòng)方程及其解設(shè)晶體由N個(gè)原子組成，考慮原子振動(dòng)，每個(gè)原子的位矢：平衡位置位移矢量（原子偏離平衡位置）以位移矢量作為考察量：晶體的振動(dòng)動(dòng)能：第2頁，課件共62頁，創(chuàng)作于2023年2月晶體振動(dòng)勢能按的冪將勢能在平衡位置附近展開為泰勒級數(shù)高階項(xiàng)其中平衡位置處的勢能為零勢能點(diǎn)平衡位置處勢能為極小值略去高階項(xiàng)（簡諧近似）晶體的振動(dòng)勢能：第3頁，課件共62頁，創(chuàng)作于2023年2月拉格朗日函數(shù)代入拉格朗日方程由3N個(gè)線性齊次方程組成的方程組,其一組特解為第4頁，課件共62頁，創(chuàng)作于2023年2月所有原子在每個(gè)方向上都作同頻率,同相位,不同振幅的振動(dòng),稱為簡諧振動(dòng)。有N個(gè)原子組成的晶體，一共有3N組特解，即有3N種不同頻率的間歇振動(dòng)，也即有3N個(gè)振動(dòng)模式。每一個(gè)簡諧振動(dòng)并不表示某一個(gè)原子的振動(dòng)，而是表示整個(gè)晶體所有原子都參與的頻率，初相位的振動(dòng)，也稱為一個(gè)振動(dòng)模式。第5頁，課件共62頁，創(chuàng)作于2023年2月方程的一般解可表示為特解的線性疊加共有3N種疊加方式，表示在3N個(gè)方向上的振動(dòng)。對晶體中某一個(gè)原子而言，實(shí)際振動(dòng)是由許多振動(dòng)模式引起的振動(dòng)的疊加，形式極為復(fù)雜。借助簡諧振動(dòng)，可以將這一復(fù)雜的運(yùn)動(dòng)圖象簡化。晶體中原子的實(shí)際振動(dòng)由運(yùn)動(dòng)方程的一般解表示第6頁，課件共62頁，創(chuàng)作于2023年2月運(yùn)用線性變換的方法，引入簡正坐標(biāo)

，總能量：簡正坐標(biāo)和諧振子：代入能量表達(dá)式，消除勢能交叉項(xiàng)（即消去相互作用）諧振子第7頁，課件共62頁，創(chuàng)作于2023年2月N個(gè)相互作用著的原子系統(tǒng)可看成3N個(gè)獨(dú)立的諧振子組成的系統(tǒng)。第8頁，課件共62頁，創(chuàng)作于2023年2月系統(tǒng)的總能量：每一個(gè)諧振子能量可表示為根據(jù)量子理論二、聲子聲子晶體系統(tǒng)的能量可看成由大量聲子組成。第9頁，課件共62頁，創(chuàng)作于2023年2月光子------電磁波的能量量子。電磁波可以認(rèn)為是光子流，光子攜帶電磁波的能量和動(dòng)量。聲子------聲子攜帶聲波的能量和動(dòng)量。若格波頻率為ω，波矢q為，則聲子的能量為?ω，動(dòng)量為?q。聲子和物質(zhì)相互作用服從能量和動(dòng)量守恒定律，如同具有能量?ω和動(dòng)量?q的粒子一樣?？梢詫⒏癫ㄅc物質(zhì)的互作用過程，理解為聲子和物質(zhì)的碰撞過程，使問題大大簡化。聲子的粒子性：返回第10頁，課件共62頁，創(chuàng)作于2023年2月§3.2一維布拉菲格子的晶格振動(dòng)一維布拉菲格子（一維單原子鏈）對一維格子晶格振動(dòng)的討論是了解和描述三維格子晶格振動(dòng)的重要基礎(chǔ)。第11頁，課件共62頁，創(chuàng)作于2023年2月一、簡諧近似下的運(yùn)動(dòng)解則原子間相互作用力近似1：簡諧近似下原子間作用力簡化為彈性力。作用力常數(shù)第12頁，課件共62頁，創(chuàng)作于2023年2月因此在簡諧近似下，原子間的相互作用類似于一個(gè)彈簧振子。一維原子鏈?zhǔn)且粋€(gè)耦合諧振子。第13頁，課件共62頁，創(chuàng)作于2023年2月+2nx第n+1個(gè)原子對第n個(gè)原子的作用力第n-1個(gè)原子對第n個(gè)原子的作用力第14頁，課件共62頁，創(chuàng)作于2023年2月每一個(gè)原子對應(yīng)一個(gè)方程，n個(gè)原子對應(yīng)n個(gè)方程聯(lián)立的線性齊次方程組.第n個(gè)原子的運(yùn)動(dòng)方程第n個(gè)原子受到的合力為：近似2：只考慮最近鄰原子間作用力第15頁，課件共62頁，創(chuàng)作于2023年2月正q對應(yīng)于沿+x方向的前進(jìn)波，負(fù)q對應(yīng)于沿-x方向的波，這種在晶體中傳播的波，稱為格波。試解：為波矢位于處的原子的振動(dòng)試探解一種振動(dòng)模式（n=1,2,…）為頻率第16頁，課件共62頁，創(chuàng)作于2023年2月試解代入運(yùn)動(dòng)方程——一維布拉菲晶格中格波的色散關(guān)系第17頁，課件共62頁，創(chuàng)作于2023年2月常將q限制在稱為一維布拉菲晶格的第一布里淵區(qū)。即一維布拉菲晶格的倒格子原胞色散關(guān)系具有周期性0q一維布拉菲晶格的色散關(guān)系曲線第18頁，課件共62頁，創(chuàng)作于2023年2月色散關(guān)系曲線中任意一點(diǎn)的坐標(biāo)代表一種振動(dòng)模式，即代表一種格波。例如：第19頁，課件共62頁，創(chuàng)作于2023年2月整個(gè)晶格象剛體一樣作整體運(yùn)動(dòng),因而恢復(fù)力為0,故長波極限，鄰近原子反向運(yùn)動(dòng)(位相相反)，所以恢復(fù)力和頻率取極大值第20頁，課件共62頁，創(chuàng)作于2023年2月二、周期性邊界條件考慮有限長的一維原子鏈，由N個(gè)原子組成，另有無窮多個(gè)相同的一維原子鏈與之聯(lián)結(jié)而形成無限長的一維原子鏈，各段相應(yīng)原子運(yùn)動(dòng)情況相同。第21頁，課件共62頁，創(chuàng)作于2023年2月有N種取值波矢點(diǎn)在波矢空間（第一布里淵區(qū)、倒格子原胞）均勻分布共有N種取值周期性邊界下一維布拉菲晶格的色散關(guān)系曲線0q周期性邊界條件下，頻率也相應(yīng)有N個(gè)取值。第22頁，課件共62頁，創(chuàng)作于2023年2月在周期性邊界條件的約束下，N個(gè)格點(diǎn)組成的一維布拉格晶格的振動(dòng)模式數(shù)共有N種，由色散關(guān)系曲線中N組分立的決定。周期性邊界下一維布拉菲晶格的色散關(guān)系曲線0q第23頁，課件共62頁，創(chuàng)作于2023年2月三、色散關(guān)系周期性的物理意義：0q第一布里淵區(qū)第24頁，課件共62頁，創(chuàng)作于2023年2月波矢相差倒格矢，晶格振動(dòng)相同?????第25頁，課件共62頁，創(chuàng)作于2023年2月波矢空間中，晶格振動(dòng)模式（代表點(diǎn)）均勻分布。晶格的獨(dú)立振動(dòng)模式數(shù)等于N，等于晶體的自由度數(shù)。色散關(guān)系中一組對應(yīng)一種格波，或振動(dòng)模式。一維布拉菲晶格中原子振動(dòng)的特解是格波周期性邊界條件限制0q小結(jié)：第26頁，課件共62頁，創(chuàng)作于2023年2月2aMm2n2n+1§3.3一維復(fù)式格子的晶格振動(dòng)一維復(fù)式格子（一維雙原子鏈）對一維復(fù)式格子晶格振動(dòng)的討論是了解和描述大量三維復(fù)式晶格的重要基礎(chǔ)。第27頁，課件共62頁，創(chuàng)作于2023年2月一、運(yùn)動(dòng)方程試解：2aMm2n2n+1采用簡諧近似和最近鄰原子作用近似波矢為，頻率為的格波，同一原胞中的兩個(gè)原子振幅不同。第28頁，課件共62頁，創(chuàng)作于2023年2月齊次方程非零解條件代入運(yùn)動(dòng)方程——一維復(fù)式晶格中格波的色散關(guān)系第29頁，課件共62頁，創(chuàng)作于2023年2月稱為一維復(fù)式晶格的第一布里淵區(qū)如m<M，色散關(guān)系中存在頻隙0q一維復(fù)式晶格的色散關(guān)系曲線將q限制在：色散關(guān)系具有周期性，即一維復(fù)式晶格的倒格子原胞第30頁，課件共62頁，創(chuàng)作于2023年2月周期性邊界條件：一維雙原子鏈由N個(gè)原胞組成，每個(gè)原胞中含有兩個(gè)不同的基，將若干個(gè)相同的一維雙原子鏈?zhǔn)孜蚕嘟樱纬蔁o限長的一維鏈。則有，共有N種取值有N種取值所以第31頁，課件共62頁，創(chuàng)作于2023年2月波矢的取值數(shù)=N（晶格原胞數(shù)）對每一個(gè)波矢q，有兩類獨(dú)立的振動(dòng)振動(dòng)模式數(shù)=2N（總自由度數(shù)）0q第32頁，課件共62頁，創(chuàng)作于2023年2月稱為聲頻支，相應(yīng)的格波稱為聲學(xué)波0q聲學(xué)波相鄰原子振動(dòng)方向相同二、聲頻支和光頻支Mm2n2n+1第33頁，課件共62頁，創(chuàng)作于2023年2月表示聲頻支在長波極限下，原胞內(nèi)兩個(gè)原子的振幅相同，且相鄰原子振動(dòng)位相差振動(dòng)情況一致.聲頻支在長波限描述了原胞的整體運(yùn)動(dòng).長聲學(xué)波與聲波的性質(zhì)類似，可近似連續(xù)介質(zhì)的彈性波。0q彈性波的色散關(guān)系考慮長波極限第34頁，課件共62頁，創(chuàng)作于2023年2月稱為光頻支，相應(yīng)的格波稱為光學(xué)波0q光學(xué)波相鄰原子振動(dòng)方向相反Mm2n2n+1第35頁，課件共62頁，創(chuàng)作于2023年2月考慮長波極限表明光頻支在長波極限下，相鄰原子反向振動(dòng)，原胞質(zhì)心保持靜止。若是離子晶體，在電場作用下異號離子受力相反，可用光波來激發(fā)離子晶體中的這種長波振動(dòng)。0q第36頁，課件共62頁，創(chuàng)作于2023年2月小結(jié)：1、簡諧近似和最近鄰原子作用近似原子之間的作用力近似為彈性力，且只受到最近鄰原子作用。第37頁，課件共62頁，創(chuàng)作于2023年2月2、一維晶格中原子振動(dòng)的特解是格波布拉菲晶格：復(fù)式晶格：一組確定的決定一種格波，或振動(dòng)模式。第38頁，課件共62頁，創(chuàng)作于2023年2月3、格波的具體模式由色散關(guān)系確定一維布拉菲晶格0q0q一維復(fù)式晶格第一布里淵區(qū)（倒格子原胞）的范圍第一布里淵區(qū)內(nèi)波矢點(diǎn)均勻分布，波矢點(diǎn)的取值波矢點(diǎn)的取值個(gè)數(shù)（原胞數(shù)），晶格的振動(dòng)模式數(shù)（自由度數(shù)）第39頁，課件共62頁，創(chuàng)作于2023年2月對于實(shí)際三維的晶體，上述的分析方法和結(jié)論是普適的。三維情形下，若基由n個(gè)原子組成，原胞內(nèi)的原子共有3n個(gè)自由度，因而存在3n種色散關(guān)系。其中3支為聲頻支；

3(n-1)支為光頻支。三、三維晶格金剛石【100】方向的色散關(guān)系第40頁，課件共62頁，創(chuàng)作于2023年2月原胞內(nèi)含原子數(shù)原胞數(shù)自由度數(shù)q數(shù)格波數(shù)聲學(xué)格波數(shù)光學(xué)格波數(shù)單原子鏈雙原子鏈三維晶體12nNNNN2N3nNNNNNN3N0N3(n-1)N

格波數(shù)與晶體的維數(shù)及晶胞內(nèi)原子數(shù)的關(guān)系第41頁，課件共62頁，創(chuàng)作于2023年2月一、晶格熱容的量子理論§3.4晶格熱容及其理論模型1）根據(jù)量子統(tǒng)計(jì)理論，聲子是玻色子，由玻色分布知，溫度為T時(shí)，角頻率為的聲子數(shù)為：由3N個(gè)諧振子組成的晶格系統(tǒng)，其總能量為：2）頻率為的諧振子能量為：第42頁，課件共62頁，創(chuàng)作于2023年2月稱為頻率分布函數(shù)，表示單位頻率間隔內(nèi)的振動(dòng)模式數(shù)。

諧振子數(shù)近似處理：1）取值的密集性可將求和近似用求積分代替；2）忽略零點(diǎn)振動(dòng)能量3）整個(gè)晶格振動(dòng)對應(yīng)的內(nèi)能為：4）晶格振動(dòng)的內(nèi)能可用積分求出：5）與原子的晶格振動(dòng)對應(yīng)的熱容第43頁，課件共62頁，創(chuàng)作于2023年2月二、愛因斯坦模型假設(shè)：晶格包含N個(gè)原胞、每個(gè)原胞內(nèi)包含n個(gè)原子，共有種振動(dòng)模式，每個(gè)振動(dòng)模式都具有相同的振動(dòng)頻率，愛因斯坦模型的頻率分布函數(shù)：愛因斯坦模型的色散關(guān)系第44頁，課件共62頁，創(chuàng)作于2023年2月稱為愛因斯坦比熱容函數(shù)其中愛因斯坦特征溫度熱容：內(nèi)能：第45頁，課件共62頁，創(chuàng)作于2023年2月①高溫區(qū)HE與經(jīng)典的實(shí)驗(yàn)結(jié)論相符②低溫區(qū)HE討論：與實(shí)驗(yàn)定性相符低溫下，與的實(shí)驗(yàn)結(jié)論有差異愛因斯坦模型的缺陷：愛因斯坦模型的色散關(guān)系第46頁，課件共62頁，創(chuàng)作于2023年2月三、德拜模型假設(shè)：晶格振動(dòng)的頻率與波矢成正比(C為常數(shù))即將晶體看成是各向同性的連續(xù)介質(zhì)，把晶格振動(dòng)看成是連續(xù)介質(zhì)中傳播的彈性波。德拜模型的色散關(guān)系德拜模型的頻率分布函數(shù)：第47頁，課件共62頁，創(chuàng)作于2023年2月內(nèi)能：熱容：其中德拜溫度德拜頻率第48頁，課件共62頁，創(chuàng)作于2023年2月②低溫區(qū)與固體的低溫比熱容相符德拜模型的局限性：在短波部分與實(shí)驗(yàn)結(jié)果不符討論：①高溫區(qū)與經(jīng)典的實(shí)驗(yàn)結(jié)論相符德拜模型的色散關(guān)系第49頁，課件共62頁，創(chuàng)作于2023年2月四、頻率分布函數(shù)（模式密度）1)在波矢空間，晶格振動(dòng)模式是均勻分布的——表示單位頻率間隔中晶格振動(dòng)的模式數(shù)。頻率分布函數(shù)的定義：對于三維情形，分布密度為晶體體積二維晶格模式的分布密度為：一維晶格模式分布密度為：q第50頁，課件共62頁，創(chuàng)作于2023年2月空間內(nèi)，頻率為的模式所占體積dq——表示兩等頻面間的垂直距離dsdqds——為面積元——兩等頻面間的體積2）求頻率在范圍內(nèi)的模式數(shù)第51頁，課件共62頁，創(chuàng)作于2023年2月其中表示色散關(guān)系的斜率又因?yàn)榉e分對q空間的等頻面進(jìn)行。3）求頻率分布函數(shù)第52頁，課件共62頁，創(chuàng)作于2023年2月(三維)(二維)(一維)第53頁，課件共62頁，創(chuàng)作于2023年2月例：德拜模型中假設(shè)(C為大于0常數(shù))空間中的等頻面為球面，半徑為第54頁，課件共62頁，創(chuàng)作于2023年2月晶體銅的實(shí)際模式密度與德拜近似模式密度的比較第55頁，課件共62頁，創(chuàng)作于2023年2月例：

是一種常見的色散關(guān)系，

在三維情形，空間中等頻率面為球面，半徑為二維情形：一維情形：第56頁，課件共62頁，創(chuàng)作于2023年2月3.7設(shè)三維晶格的光學(xué)振動(dòng)在q=0附近的長波極限有：證明：頻率分布函數(shù)

三維晶格振動(dòng)的態(tài)密度dq間隔內(nèi)的狀態(tài)數(shù)對