高等數(shù)學(xué)(理)練習(xí)冊(cè)答案

第一章函數(shù)的極限與連續(xù)

【基本要求】

1、熟練掌握基本初等函數(shù)的表達(dá)式、圖形及主要性質(zhì)；

2、了解初等函數(shù)的概念，了解極限的直觀概念（一種變化趨勢(shì)），無(wú)窮小量、無(wú)窮大量的

概念；

3、熟練掌握函數(shù)極限四則運(yùn)算法則和無(wú)窮小量的性質(zhì)，掌握求極限的各種方法；

4、掌握兩個(gè)重要極限，會(huì)用它求有關(guān)極限問(wèn)題；

5、理解函數(shù)的連續(xù)性和連續(xù)函數(shù)的概念，會(huì)判斷?、二類間斷點(diǎn)，知道閉區(qū)間上連續(xù)函

數(shù)的性質(zhì).

第一節(jié)函數(shù)

【知識(shí)要點(diǎn)】鄰域、函數(shù)、基本初等函數(shù)、初等函數(shù)、復(fù)合函數(shù)、分段函數(shù)的概念：求定

義域、值域的方法；建立函數(shù)關(guān)系.

【基本訓(xùn)練】

1、鄰域|x+2kl的中心是2嗎？

答案：-2

2、確定函數(shù)的兩要素是定義域和值域嗎？

答案：不是。確定函數(shù)的兩要素是定義域和對(duì)應(yīng)法則。

3、函數(shù)有哪兒種表示方法？

答案：解析法、圖示法、表格法。

4、我們常用什么方法研究函數(shù)？

答案：圖示法。

5、函數(shù)"x）=J是否為初等函數(shù)?

Vx+5

答案：是

6、函數(shù)y=|x|是否為初等函數(shù)？

答案：都可能。

7、你能舉出一個(gè)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)的函數(shù)嗎？

答案：/（x）=0.

8、奇函數(shù)的圖形以（）對(duì)稱：偶函數(shù)的圖形以（）對(duì)稱.

答案：原點(diǎn)；y軸.

【能力提高】

一、單項(xiàng)選擇題：

1、B2、C3、B4、C5、D

二、確定下列函數(shù)的定義域：

(2)y=1虱一)+-/—

答案：[-2,1)U(1,2]答案：(-1,1)

/八.X2+1

(3)y=Jcosx(4)y=arcsin----

5

JrTC

答案：2k7i---,2%乃+—,keZ答案：[一2,2]

_22_

[-x,-1x<0

(5)y=In(siiu)(6)‘Ino<x<2

答案：[2&",(2Z+1)〃],ZwZ答案：[-LO)U(O,2)

三、下列各題中/(元)和g。)是否相同？

(1)/(X)=x2',g(X)=(x2)3(2)/(x)=x,g(x)=(?)2

答案：不同答案：不同

(3)/(x)=l,g(x)=sin2x+cokr(4)f(x)=\jx5-x4,g(x)=xy/x2-x

答案：相同答案：相同

2x-1<x<0

四、已知20<x<l,求：/(-0.5),/(0),/(2).

x-\1<x<3

答案：/(—0.5)=—1J(O)=2J⑵=1

五、已知(，一)=工(1+,。+1),x>o,求/(x).

答案：令」?=〃，x=—.

Xu

7

/(“)斗+[5+1]=斗+，河斗”+尸

〃(V〃Ju\u)u

/、x+Jl+x?

f(x)=^2

六、已知/(月=石",求/《｝/[/(切.(x>0)

1

答案:

X

Vl+2x2'

七、確定下列函數(shù)的奇偶性:

/\cos—

(1)/(X)=x4cosx⑵/(x)=e，

答案：偶函數(shù)答案：偶函數(shù)

⑶/⑺=比⑷/(x)=lax

答案：奇函數(shù)答案：非奇非偶函數(shù)

八、下列各題的函數(shù)是由哪些簡(jiǎn)單函數(shù)復(fù)合而成的?

..sin21

(1)/(x)=2*

答案：/(?)-2",u-v2,v-sinw,w=—

X

(2)/(x)=sin2(cos3x)

答案：/(M)=W2,W=sinv,v=cosw,w=3x

⑶/(x)=Injsin^x+l

f(x)=^ln(sin2x+l),

答案:/(M)=-ln?,u=r+l,u=sinx

(4)y-arctan2x2-1

答案：y-u2,u-arctanv,v=>/vv,w=x2-1

九、在半徑為R的半圓內(nèi)內(nèi)接一梯形，梯形的一個(gè)底邊與半圓的直徑重合，另一底邊的兩

個(gè)端點(diǎn)在半圓上，試將梯形的面積表示成其高的函數(shù).

設(shè)梯形ABCD即為題中要求的梯形，設(shè)高為h,即OE=h,下底CD=2R

直角三角形AOE中，利用勾股定理得

AE=ylOA2-OE2=

則上底=2AE=2y/R2-h2

故S="（2R+2,/?2_力2）=小+1片_弓

第二節(jié)數(shù)列的極限

【知識(shí)要點(diǎn)】數(shù)列概念、數(shù)列極限存在的定義.

【基本訓(xùn)練】

1、數(shù)列是函數(shù)嗎？

答案：是

2、如何在數(shù)軸上和平面直角坐標(biāo)系上表示數(shù)列？

3、下列做法是否改變數(shù)列的斂散性？

（1）任意改變數(shù)列的有限項(xiàng)；不會(huì)（2）各項(xiàng)同取絕對(duì)值；會(huì)

（3）各項(xiàng)乘以同一常數(shù)左；會(huì)（4）去掉所有偶數(shù)項(xiàng).會(huì)

4、如果數(shù)列｛%｝極限存在，limx“=a,limx,=b,則。與b相等嗎？

答案：是

5、收斂的數(shù)列一定有界嗎？

答案：是

6、無(wú)界的數(shù)列會(huì)收斂嗎？

答案：否

7、有界的數(shù)列一定收斂嗎？

答案：否

【能力提高】

觀察下列數(shù)列的變化趨勢(shì)，對(duì)存在極限的數(shù)列，寫出它的極限：

（1）%J+f答案：0

n

(2)=〃+(—1)”答案：不存在

.1

(3)J%=sin—答案:0

n

sinn

(4);%=答案:0

n

(5)Jcfl=sinnjr答案:0

.JI

(6)Jcn=sin(—+2H^)答案:1

答案:不存在

(7)Xfl=COS/77T

(8)J='Jn+1答案：不存在

「2〃-1?為奇數(shù)

n

(9)J%=,答案：2

2〃+1〃為偶數(shù)

n

第三節(jié)函數(shù)的極限

【知識(shí)要點(diǎn)】函數(shù)極限、左右極限的概念、函數(shù)極限存在與左右極限的關(guān)系.

【基本訓(xùn)練】

1、在討論函數(shù)極限時(shí)自變量X的變化趨勢(shì)大體分為哪兩種情況？

答案：X—>oo,X—>xQ

2、數(shù)列極限和函數(shù)極限的區(qū)別是什么？

3,函數(shù)/(x)在點(diǎn)與處無(wú)定義，則函數(shù)/(x)在點(diǎn)/處一定無(wú)極限嗎？

答案：不一定

4、函數(shù)/(x)在點(diǎn)九°處有定義，且函數(shù)/(x)在無(wú)0處極限存在，則極限值一定為了(%)嗎？

答案：不一定

5、函數(shù)/(x)在點(diǎn)％0處左右極限一定相等嗎？如果函數(shù)/(x)在點(diǎn)玉)處極限存在，它在點(diǎn)

玉）處左右極限一定相等嗎？

答案：不一定；是

6、如果函數(shù)/（x）在點(diǎn)％0處左右極限存在且相等，函數(shù)在點(diǎn)％°處極限存在嗎？

答案：存在

【能力提高】

-、從函數(shù)的圖形觀察極限是否存在，若有極限等于多少？

(1)limcosx=(1),limcosx=(0),

XTO一

2

limcosx=(不存在），limcosx=（不存在）;

Xf+ooX—>-O0

71

(2)limarctairr=(0),limarctaav=(a)，

x->0XTl

7C71

limarctaiu=(i)，limarctanr=)，

Xf+oO2

limarctaax=（不存在）；

(3)/(x)=ax(〃〉1)當(dāng)x-?O,x—>3,x—>+8,X——8時(shí)；

答案：lima"=l,lim<2x=a3,limax=+oo,limax=0.

X->0X->3*T+O0XT-00

2v-2—1x<1

(4)當(dāng)x—1時(shí)，f(x)=\的極限.

3%+1x>1

答案：lim(2x2-1)=1,lim(3x+l)=4,lim/。)不存在.

XflX->1+XT1

二、單項(xiàng)選擇題：

1、C2、A3、A

x?+a尤<0

三、設(shè)函數(shù)/(x)=1在xf0時(shí)極限存在，求常數(shù)a的值.

exx〉0

2

答案：lim(x+a)=aflim=1,a=1.

xf(rxfo+

2r-1

四、設(shè)函數(shù)=r一，討論函數(shù)在xfo時(shí)極限是否存在.

2X-12X-1

答案：lim----=---=1,lim/(x)不存在.

."A.K'Al1I▲，..、八+1A'

XT。n--XT0+-XT。

2"+l2X+1

第四節(jié)無(wú)窮小量與無(wú)窮大量

【知識(shí)要點(diǎn)】無(wú)窮小量、無(wú)窮大量的概念與性質(zhì)、無(wú)窮小量與無(wú)窮大量的關(guān)系.

【基本訓(xùn)練】

1、零是無(wú)窮小量嗎？

答案：是

2、若lim/(x)=A,則在xfa時(shí)，/(x)—A是無(wú)窮小量嗎？

答案：是

3、有限個(gè)無(wú)窮小量的和、差、積仍然為無(wú)窮小量嗎？

答案：是

4、無(wú)窮小量的商一定是無(wú)窮小量嗎？

答案：不一定

5、無(wú)窮小量與有界函數(shù)之積仍然為無(wú)窮小量嗎？

答案：是

6、無(wú)窮大量乘任意常數(shù)一定是無(wú)窮大量嗎？

答案：不一定

7、無(wú)窮大量與無(wú)窮大量之差一定是無(wú)窮小量嗎？

答案：不一定

8、無(wú)窮大量的倒數(shù)?定是無(wú)窮小量嗎？無(wú)窮小量的倒數(shù)一定是無(wú)窮大量嗎？

答案：不一定，不一定

9、當(dāng)xf2時(shí)?，下列函數(shù)中不是無(wú)窮小量的是(C).

A.x3-8B.sin(x2-4)C.ex~2D.ln(3-x)

【能力提高】

?、下列函數(shù)在什么情況下是無(wú)窮小量？什么情況下是無(wú)窮大量？

(1)e-x；(2)lor；

答案：；X->-oo答案：xfi；%->+℃

答案：x—^—2,x—>1答案：x—>3,x-0

(5)5'-1；(6)--1.

5V

答案：x—>0,xf+oo答案：x—>0,X—>-oo

二、當(dāng)Xf8時(shí)，將/(X)表示為一個(gè)常數(shù)與無(wú)窮小量之和.

⑴f(x)=^―

X+1

2x3-1

答案：limS~L=2,

5X+1

⑵/⑴/

小山2x_12,/、25

答案：hm-----=—f(x)=----------

3x+l333(3x+l)

第五節(jié)函數(shù)極限的運(yùn)算

【知識(shí)要點(diǎn)】函數(shù)極限的四則運(yùn)算法則、兩個(gè)重要極限及應(yīng)用、無(wú)窮小量的比較.

【基本訓(xùn)練】

1、下面的解法對(duì)嗎？為什么？

limxsin—=limxlimsin—=0

A->0XA->0A->0X

答案：錯(cuò)

2、下面的解法對(duì)嗎？為什么？

1212

limf----------7)=lim-----lim-----=oo-oo=0

31-x1-x211-xTl-x

答案：錯(cuò)

3、當(dāng)x30時(shí)，2x——與x2—d哪一個(gè)是更高階的無(wú)窮小量？

答案：當(dāng)尤—0時(shí)，/一X3是比2x—/更高階的無(wú)窮小量

210

4、當(dāng)工-1時(shí)，無(wú)窮小量1一天與(1)1-x3,(2)QU-尤2)是否同階？是否等價(jià)？

1—y1

答案：lim—',當(dāng)x-1時(shí)，無(wú)窮小量1—x與1—Y是同階無(wú)窮小量。

3

1_r1

lim,=1,當(dāng)x-1時(shí)，無(wú)窮小量1—x與是等價(jià)無(wú)窮小量。

/I3)2

【能力提高】

一、單項(xiàng)選擇題：

1、D2、C3、D4、A5、D

二、計(jì)算：

.x2+x—6

(1)lim-----(2)hm---------

x"l-xTX-2

答案：2答案：5

x~—2x+1

(3)lim—(4)hm---------

Ix-1HX-1

答案：0答案：0

2

(5)lim(l———)(6)limx(>/x+1-x)

TX-1A—>0Q

答案：00答案：~

2

3

r2%—3x+5..3x~-x+2

(7)hm—；------——(8)hm-1

324

XT85x+2x-1EVX+1

i2

答案：一答案：3

5

/,、「x3-5x

(9)lim——(10)lim----------

?IXX+Jxis2x~+3x+l

答案：0答案：8

(2x-1)2°(3X+2)3。一arctaiu

(11)lim----------------(12)hm-------

(5x-l)5018X

答案:答案：0

550

三、計(jì)算下列極限:

「sin3x3

(1)lim-----答案：—

—otan5x5

x-sin2x

(2)lim--------

x+sin3x

Isin2x1csin2x

1—2?——1

「x-sin2x「

答案:lim--------=lim-----rhm------=——

XTOx+sin3xI。］+sin3xA->Osm3x4

1+3?-----

x3x

arctanr…］.tan5x

(3)lim(4)lim-----

Xf0xmsin3x

arctaaxarctaax小心「tan5xtan5a—4)5

答案:limlim=1答案：hm-----=hm-----------

x->0xx-?0tan(arctanr)x-尸sin3xXT汗-sin3(x-萬(wàn))3

x

(5)limnsin—

n->oo幾

答案：limnsin—=limn?—=x

n->oo〃〃一>8幾

，八sin(x4-/)-sinx

(6)lim--——------

/~>0t

2cos(x+—)sin—

sin(x+h-siiu

答案:lim--------------=lim---------------COSX

TOtrrOt

四、若hm---------=4試確定常數(shù)。力之值.

x-2x-2

lim(6zx+/?-4)=0,2o+b-4=0,b=4-2a

XT2

「ax+4-2a-4,rax-2aAA.A

lim-------------=4,lim-------=4,a=4fb=-4

TX-2Kf2x-2

五、計(jì)算下列極限：

(1)lim(1+2x)x

XTO

-1-L?(2、)

答案：lim(1+2x)*=lim(1+2］產(chǎn)=e

x-?0x-?0

k。

(2)lim(I--)2

n—>oo"

“2k--

答案：lim(l—±)2=lim(l—t)人2贄2

W->°°n"T8n

(3)limVl-3x

XTO

________2

答案：lim</l-3x=lim(l-3x?=/

x->0,v->0'/

(4)lim(—)2j-,

XT0°X+l

答案：lim(3)2，T

I00X+l

(5)hm則出)

XTOx

ln(x+1)'/J

答案：lim--------=limln(zx+l)x=ln+=\ne=l

XT0XA->0'/KTO\

/_]

(6)lim-——

x

答案：令￡=/-1,x=ln(l+/)

,x

lim——-=lim---=1

r—ox1。ln(l+r)

六、選取。力之值，使X—>-8時(shí)，/(x)=Jx?-4x+5-(。X+〃)為無(wú)窮小量.

222

答案：limy/x2-4x+5-(ax4-h)=lim(l-t7)x+(2^-4)x+(5-/?)

X->-00X—>-00vx2-4%+5+3+。)

_j.5-b~

2ab-4H-------

1—/=(),原式=山”平^一書(shū)^+於二〃-1lim.x—

2

~Vx-4x+5+(ax+fe)XaL45b

Jl-—1丁+a4—

Vx廠x

2ab-4

1+a

2*4=0,a=\,b=2

第六節(jié)函數(shù)的連續(xù)性

【知識(shí)要點(diǎn)】函數(shù)連續(xù)的概念、左連續(xù)和右連續(xù)的概念、判別間斷點(diǎn)類型的方法、閉區(qū)間

上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì).

【基本訓(xùn)練】

1、4一定是正數(shù)嗎？

答案：不一定

2、函數(shù)/(x)在點(diǎn)/處有定義，則函數(shù)/(x)在點(diǎn)玉)處一定連續(xù)嗎？

答案：不一定

3、函數(shù)/(x)在點(diǎn)/處極限存在，則函數(shù)/(x)在點(diǎn)/處一定連續(xù)嗎？

答案：不一定

4、函數(shù)“X)在點(diǎn)/處連續(xù)，則函數(shù)“X)在點(diǎn)玉,處極限一定存在嗎？

答案：一定

5、第一類間斷點(diǎn)都可以變?yōu)檫B續(xù)點(diǎn)嗎？

答案：不一定(可去間斷點(diǎn)可以)

6^求若函數(shù)/(x)在點(diǎn)X。處連續(xù)，則=/(%),對(duì)嗎？

答案：對(duì)

7、閉區(qū)間可上連續(xù)的函數(shù)一定有最值存在嗎？

答案：是

【能力提高】

一、若自變量由x變到x+Xo,求下列函數(shù)的增量:

(I)y=x2+2

答案：/y=(X+%。)2+2—f—2—2XXQ+x；

、3

(2)y=一

x

答案：Ay=—____j.=3X3(X+XO)=___阻_

X+XoXX(X+X0)X(X+X0)

(3)y=lax

答案：Ay=ln(x+x0)-\nx=ln(l+—)

x

(4)y=cosx

答案：Ay=cos(x+x0)-cosx=-2sin(x+)sin

二、單項(xiàng)選擇題：

1、D2、B3、B

三、討論下列函數(shù)在分段點(diǎn)的連續(xù)性：

.1

xsin—xw0

⑴/(%)=<x

0x=0

答案：連續(xù)。因?yàn)閘inV（x）=li"xsin』=0=/（0）

sinx-

----xwO

⑵/(%)=<x

1x=O

cinV

答案：連續(xù)。因?yàn)樵?（》）=也干=1=/（0）

x—1—l〈x<0

⑶〃x)=.

siar。”后

答案：lim(x-1)=-1,limsiar=0,不連續(xù)

xf(T.r-?O+

2y/~X0<X<1

(4)f(x)=<4-2x\<x<2

2x+1x>2

答案：lim2Vx=2,lim(4-2x)=2,x=l連續(xù)

x->rA->I+

lim(4-2x)=0,lim(2x+l)=5,x=2不連續(xù)

XT2-.12+

a+bx2x<0

四、設(shè)〃x)=sinbx在x=0處連續(xù)，則常數(shù)。力要滿足什么關(guān)系？

------x>0

c1v\r)x

答案：lim(a4-bx2)=a,lim-----=b,a=h

XT。-A->0+X

2x2+a-oo<x<-l

五、設(shè)〃x)=,x3-1<X<1在定義域上連續(xù)，則常數(shù)a力的值是多少?

bx-3x>1

答案：lim(lx1+a)=2+61,limx3=-1,a=-3

x->-rx->-i+

limx3=1,lim(bx-3)=Z?-3,8=4

x->r11+

■/IY

六、設(shè)函數(shù)/(x)在x=l處連續(xù)，且/⑴=1,求則In2+fe1之值.

-(i

答案：limIn2+fex=limln[2+/(l)]=ln3

XT+OO

七、求下列函數(shù)的間斷點(diǎn)，并指出其類型：

Y-111

答案：lim--=lim——=一，x=l第一類(可去)間斷點(diǎn)

—X-1KT1JC+12

(/2)\y=arctan—1

x

Ijr1jr

答案：limarctan—=——,limarctan—=—,x=0第一類(跳躍)間斷點(diǎn)

xf。-x2io*x2

X-2Y

(3)y=—：一r(4)y='一

ln|l-x|sinx

x—2

答案：limr一r=oo,%=0第二類間斷點(diǎn)

io1叩_討

lim與？1=0,x=1第一類(可去)間斷點(diǎn)

—ln|l-x|

x—2x-2

lim—：---1=lim-------=1,x=2第一類(可去)間斷點(diǎn)

12ln|l-x|121n(1)

⑷y=--

S11U

X

答案：lim——=1,x=0第一類(可去)間斷點(diǎn)

XT。siru

x

x=kn[x0),lim——=oo,x=wO)第二類間斷點(diǎn)

issinx

1_/

八、討論函數(shù)〃x)=!吧臺(tái)*的連續(xù)性，若有間斷點(diǎn)，判斷類型，并指出“X)是否

為初等函數(shù)?

Xx<[

1_v2"\\

答案：f(x]=lim-^-x=\0H=1

一XW>i

=limx=l,Iimf(x)=lim(-x)=-l,x=l第一類(跳躍)間斷點(diǎn)

limf(x}=lim(-x)=l,limf(x}=limx=-l,x=—1第一類(跳躍)間斷點(diǎn)

x—>-1'x—>-Tx—?-l+x—>-l+

7171

九、證明方程sin%+x+l=O在開(kāi)區(qū)間內(nèi)至少有一個(gè)根.

2f2

答案：在開(kāi)區(qū)間一工，工內(nèi)，令/(x)=siiu+x+l,在上連續(xù)

{2222

f()=<0,f()=2+—>0；

2222

則在(d)內(nèi)至少有一點(diǎn)｝使f?>=°

即方程sior+x+1=0在開(kāi)區(qū)間(一、,內(nèi)至少有一個(gè)根.

單元練習(xí)題

一、是非題：

/_1

1、函數(shù)/(》)=一+X+1與函數(shù)g(x)=^——相同.

X-1

答案：錯(cuò)誤???當(dāng)兩個(gè)函數(shù)的定義域和函數(shù)關(guān)系相同時(shí)，則這兩個(gè)函數(shù)是相同的。

r3_1

.../(X)=/+X+1與g(x)=-----函數(shù)關(guān)系相同，但定義域不同，所以/(X)

x-1

與g(x)是不同的函數(shù)。

2、如果數(shù)列有界，則極限存在.

答案：錯(cuò)誤

3、=a,lima〃=a.

〃TocJ1n->oo

答案：錯(cuò)誤

4、如果lim/(x)=A,則/(x)=A+a(當(dāng)xf8時(shí)，a為無(wú)窮小).

Xf8

答案：正確

5、如果a~p,則a-p=o(a).

答案：正確

6、當(dāng)x-0時(shí)，l-cosx與一是同階無(wú)窮小.

答案：正確

7、limxsin—=limx-limsin—=0.

xf0xxfOx->0x

答案：錯(cuò)誤

8、limf1+—

x

答案：錯(cuò)誤

9、點(diǎn)x=0是函數(shù))，=型Ix的l無(wú)窮間斷點(diǎn).

x

答案：錯(cuò)誤

10、函數(shù)/(x)=，必在閉區(qū)間卜,司內(nèi)取得最大值、最小值.

X

答案：錯(cuò)誤

二、填空題：

1、設(shè)),=/(X)的定義域是(0,1),則

(1)/(/)的定義域是((-oo,0))；

(2)/(1-sin?x)的定義域是(W上肛xHkTr+l["eZ))；

(3)/(igx)的定義域是((1,10)).

x+2-2<x<0

2、函數(shù)/(x)=<0x=0的定義域是((-2,4]).

x2-30<x<4

3、若/(x)=x2,g(x)=sinx,/[g(x)]=(sin2x),g[/(x)]=(sinx2).

“1??X/、

4、limnsin—=(x).

1-xx<-l

5、設(shè)/(%)=<cos-1<x<1,則lim/(x)=(2)，螞/(*0).

葭xf-1-0

x-lX>1

1-COSX]

6、設(shè)=-如果/(x)在X=0處連續(xù)，則4=(-).

ax=02

7、設(shè)點(diǎn)是初等函數(shù)/(x)定義區(qū)間內(nèi)的點(diǎn)，則lim/(x)=(/(x0)).

8、函數(shù)y=~，■當(dāng)x->(1)時(shí)為無(wú)窮大，當(dāng)x—(oo)時(shí)為無(wú)窮小.

9、若lim(jx〉-x+1-ax-b)=0,貝Ua=(1),b=(--).

.x2—X+1—((IX+。)

hm---------------1

X^klx2-x+i^ax+b\

(I-/)/(]+2QZ?)X+(]—/?2)

lim

.r-yjx2-x+l-^-ax+b

欲使上式成立，令1一/=0,...a=±i,

上式化筒為

2

~(l+2ah)x+(l-h)-(l+2a/?)+——~(\+2ab]

lim-/---------=lim,=------=lim---------

一+8&2]+〃Xf?o11hXT例\+a

J1——+0+〃+—

\XXX

l+2ab=0,b=~-

2

10、函數(shù)/(x)=—Lp的間斷點(diǎn)是(x=0,x=-l).

1+-

丫2,__o

11,/(x)=-........的連續(xù)區(qū)間是((—00,1),(1,3),(3,+8)).

x-4x+3

〃x+2sinx八e,、

12、若lim----------=2,則。=(2).

X—>00X

1

13、補(bǔ)充定義/(0)=(—1)使得/(彳)=一[111%-111(0/+幻]在苫=0連續(xù).

X

三、選擇填空題:

1、如果lirnx,,=a,則數(shù)列x”是(B)

n—>x

A.單調(diào)遞增數(shù)列B.有界數(shù)列C.發(fā)散數(shù)列

2、函數(shù)/（x）=log“（x+Jx?+1）是（A

）

A.奇函數(shù)B.偶函數(shù)c.非奇非偶函數(shù)

3、當(dāng)xf0時(shí)，6*-1是》的（C）

A.高階無(wú)窮小B.低階無(wú)窮小C.等價(jià)無(wú)窮小

4、如果函數(shù)/（x）在/點(diǎn)的某個(gè)鄰域內(nèi)恒有（M是正數(shù)），則函數(shù)/（X）在該

鄰域內(nèi)（C）

A.極限存在B.連續(xù)C.有界

5、函數(shù)/（x）=—1—在（

C)條件下趨于+8.

1-x

A.x-1B.x—1+0C.x—1—0

6、設(shè)函數(shù)/(x)=WM

則lim/(x)=(C）

Xx->0

A.1B.-1C.不存在

7、如果函數(shù)/（x）當(dāng)xf/時(shí)極限存在，則函數(shù)/（x）在點(diǎn)（C）

A.有定義B.無(wú)定義C.不一定有定義

8、數(shù)列1,1,—，2,—,3,,,,,—n,…當(dāng)〃-?oo時(shí)為（C）

23n

A.無(wú)窮大B.無(wú)窮小C.發(fā)散但不是無(wú)窮大

9、函數(shù)/（x）在/點(diǎn)有極限是函數(shù)/（x）在/點(diǎn)連續(xù)的（B）

A.充分條件B.必要條件C.充分必要條件

10、點(diǎn)x=0是函數(shù)arctan」的（B）

x

A.連續(xù)點(diǎn)B.第一類間斷點(diǎn)C.第二類間斷點(diǎn)

11、點(diǎn)x=0是函數(shù)sin，的（C）

x

A.連續(xù)點(diǎn)B.第一類間斷點(diǎn)C.第二類間斷點(diǎn)

四、計(jì)算下列極限：

解limJ"=limVx=1

xfvx-1f

limx(x->Jx2+1j

2、

J->+00

解lim\x\x-ylx2+11=lim----J=——

z+ooL'〃XT+OOX+A/7772

3、

解

lim—JX-VX4"

X->+8

=lim

XT+CO

1+8yjx~4x+Vx+Vx

-2lim=—1

x->+<?

xsinx

4、lim

x—O7i+x2-i

X2?仲+12+1/+1

xsinx「

解lim/——=limlim

1°Jl+%2_1A。(Vl+X2-1)(71+x2+1)x->0X2

(Vl+x2+1)=2

lim

x->0

J1+%2

5、lim---------

—o+ox+sinx

J/+/

「xvl+xlimJT+7=1

解lim----l--i-m---------

x-o+ox+sinxXTO+Ox+sinx.9o+o<sinx2

1+----

X

X

6、lim

XTO-OV1-cos2x

12、

解lim.=(*/x—>0,1-COSX—X)

LOJl—cos2x2

tanx-sinx

7、hm-----------------

I。X-

J_2

X

a”tanx-sinx「sinx-(l-cosx)「911

解hm-----------------lim----------------------=lim—?dú)?------------二—

xf0x'XT°XCOSX1°xcosx2

1、

(Vx—>0,1-cosx^—x2sinx)

「x-COSX

8、lim------------

XT0°X+COSX

Icosx

解lim%-C°SX=lim-------匚=]

XfsX+COSXJ8]+COSX

X

9、limr—

XTO+OJ1-COSX

sinx

府「|lvsinxjrsinx仄

m-limJ-=hmf------=V2lim--------=V2

Xf0+°Jl—COSXXTO+O/12XTO+OX

V2X

10、

11limxlnl1+—

X->00X

解limxln1+—=limln1+—=Inlim1+—=1

XTOOIX)XT8IX)XJ

21

12^lim

illx~~\x—I

解limf------L]=lim±^=-lim—!—

-1x-lJx^'X2-1X7l]+x2

第二章一元函數(shù)微分學(xué)

【基本要求】

1、掌握導(dǎo)數(shù)的概念、導(dǎo)數(shù)的幾何意義、可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系；

2、熟練掌握基本初等函數(shù)的求導(dǎo)公式、四則運(yùn)算的求導(dǎo)法則、復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)方法，熟

練掌握初等函數(shù)的求導(dǎo)；

3、了解隱函數(shù)和參數(shù)方程所確定的函數(shù)的定義，會(huì)求隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及參數(shù)方程的一階導(dǎo)

數(shù)；

4、會(huì)求函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)；

5、理解函數(shù)的微分概念，會(huì)求函數(shù)的微分.掌握函數(shù)可導(dǎo)與可微的關(guān)系，了解微分的近

似計(jì)算.

第一節(jié)導(dǎo)數(shù)的概念

【知識(shí)要點(diǎn)】增量、變化率、瞬時(shí)變化率、導(dǎo)數(shù)的定義；導(dǎo)數(shù)的幾何意義、物理意義；可

導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系；基本初等函數(shù)的求導(dǎo)公式.

【基本訓(xùn)練】

1、什么是函數(shù)/（X）在（x,x+/x）上的平均變化率？什么是函數(shù)/（X）在點(diǎn)X處的變化率？

答案：/（X）在（x,x+/x）上的平均變化率：［（x，"+'x）T（x）

Ax

/（X）在點(diǎn)X處的變化率：lim+

2、函數(shù)/(x)在點(diǎn)/處連續(xù)是在該點(diǎn)可導(dǎo)的充要條件嗎？

答案：不是

3、若廣(X。)=0，則必有/(%)=0嗎？若/(x0)=0，則必有((x0)=0嗎？

答案：否，否

4、如何理解f'(x0)=8的幾何意義？

答案：過(guò)(%,右)的垂直于x軸的切線.

5、下列計(jì)算對(duì)嗎？為什么？

X<—1

求/(%)=.一的導(dǎo)數(shù).

X>-1

0,x<—1

解：這是個(gè)分段函數(shù)，在各段區(qū)間上分別求導(dǎo)，有/(x)=<—J-x>-l

I---------，人/A

2y/x+2

【能力提高】

-、將一個(gè)物體鉛直上拋，設(shè)經(jīng)過(guò)時(shí)間f(s)后，物體上升的高度為力=10f-；g/(〃?)，

求下列各值:

(1)物體在1(5)到(1+△/)($)這段時(shí)間內(nèi)的平均速度:(2)物體在l(s)時(shí)的速度;

(3)物體在f0(s)到%+A，(s)這段時(shí)間內(nèi)的平均速度；(4)物體在，0(S)時(shí)的速度-

_S(l+Af)-S(l)U0(l+Af)-：g(l+Af)2]-(10g)

答案：(1)V='⑴=-----------?-----------------?_=io_g_gg.

△t△t

⑵h'=v(t)=\0-gt,v(l)=10-g

(3)

J2

_S(r+Ar)-S(f)[1。&+4)—58(互+加)]一。。無(wú)一

00步*飛劣也

V~~—

△t△t

lOz-gt

2

(4)V=limV=lims(/)-s(%)

lO(r-o)-；g卜-記)

二、單項(xiàng)選擇題：

1、B2、D3、A4、D5、C

三、求函數(shù)y=/在x=2處的切線方程和法線方程.

答案：y'=2x,k=4

所求切線方程為y-4=4(x-2),即y-4x+4=0

所求法線方程為y-4=--(x-2)

即x+4y—18=0。

四、下列各題中均假設(shè)/(4)=1,請(qǐng)按導(dǎo)數(shù)的定義求以下極限:

⑴lim/(x0-Ar)-/(x0)

心一。Ax

於空l(shuí)imf(X-Ax)-f(X)_/(X-Zix)-/(X)_

令采：Hm----0-----------0-——iiin-----0-----------0-——

/XT。Ax-Ax

Iini/Uo+3/7)-/(xo-2/7)

'Jf0