帶電粒子在有界磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的分析方法-

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一、帶電粒子在有界磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的分析方法

1．圓心的確定

因?yàn)槁鍌惼澚指向圓心，根據(jù)F⊥v，畫出粒子運(yùn)動(dòng)軌跡中任意兩點(diǎn)（一般是射入和射出磁場(chǎng)兩點(diǎn)），先作出切線找出v的方向再確定F的方向，沿兩個(gè)洛倫茲力F的方向畫其延長(zhǎng)線，兩延長(zhǎng)線的交點(diǎn)即為圓心，或利用圓心位置必定在圓中一根弦的中垂線上，作出圓心位置，如圖1所示。

2．半徑的確定和計(jì)算

利用平面幾何關(guān)系，求出該圓的可能半徑（或圓心角），并注意以下兩個(gè)重要的幾何特點(diǎn)：

①粒子速度的偏向角φ等于轉(zhuǎn)過的圓心角α，并等于AB弦與切線的夾角（弦切角）θ的2倍，如圖2所示，即φ=α=2θ。

②相對(duì)的弦切角θ相等，與相鄰的弦切角θ′互補(bǔ)，即θ+θ′=180°。

3．粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)間的確定

若要計(jì)算轉(zhuǎn)過任一段圓弧所用的時(shí)間，則必須確定粒子轉(zhuǎn)過的圓弧所對(duì)的圓心角，利用圓心角α與弦切角的關(guān)系，或者利用四邊形內(nèi)角和等于360°計(jì)算出圓心角α的大小，并由表達(dá)式，確定通過該段圓弧所用的時(shí)間，其中T即為該粒子做圓周運(yùn)動(dòng)的周期，轉(zhuǎn)過的圓心角越大，所用時(shí)間t越長(zhǎng)，注意t與運(yùn)動(dòng)軌跡的長(zhǎng)短無關(guān)。

4．帶電粒子在兩種典型有界磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)情況的分析

①穿過矩形磁場(chǎng)區(qū)：如圖3所示，一定要先畫好輔助線（半徑、速度及延長(zhǎng)線）。

a、帶電粒子在穿過磁場(chǎng)時(shí)的偏向角由sinθ=L/R求出；（θ、L和R見圖標(biāo)）

b、帶電粒子的側(cè)移由R2=L2-（R-y）2解出；（y見所圖標(biāo)）

c、帶電粒子在磁場(chǎng)中經(jīng)歷的時(shí)間由得出。

②穿過圓形磁場(chǎng)區(qū)：如圖4所示，畫好輔助線（半徑、速度、軌跡圓的圓心、連心線）。

a、帶電粒子在穿過磁場(chǎng)時(shí)的偏向角可由求出；（θ、r和R見圖標(biāo)）

b、帶電粒子在磁場(chǎng)中經(jīng)歷的時(shí)間由得出。

二、帶電粒子在有界磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)類型的分析

（一）軌跡的確定（1）確定入射速度的大小和方向，判定帶電粒子出射點(diǎn)或其它

【例1】（2001年江蘇省高考試題）如圖5所示，在y<0的區(qū)域內(nèi)存在勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁場(chǎng)方向垂直于xy平面并指向紙面外，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B。一帶正電的粒子以速度v0從O點(diǎn)射入磁場(chǎng)，入射方向在xy平面內(nèi)，與x軸正向的夾角為θ。若粒子射出磁場(chǎng)時(shí)的位置與O點(diǎn)的距離為l，求該粒子的電量和質(zhì)量之比q/m。

解析：帶正電粒子射入磁場(chǎng)后，由于受到洛侖茲力的作用，粒子將沿圖6所示的軌跡運(yùn)動(dòng)，從A點(diǎn)射出磁場(chǎng)，O、A間的距離為l，射出時(shí)速度的大小仍為v0，射出方向與x軸的夾角仍為θ。由洛侖茲力公式和牛頓定律可得，

，（式中R為圓軌道的半徑）

解得

R=mv0/qB①

圓軌道的圓心位于OA的中垂線上，由幾何關(guān)系可得

l/2=Rsinθ②

聯(lián)立①、②兩式，解得

。

點(diǎn)評(píng)：本題給定帶電粒子在有界磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的入射點(diǎn)和出射點(diǎn)，求該粒子的電量和質(zhì)量之比，也可以倒過來分析，求出射點(diǎn)的位置。在處理這類問題時(shí)重點(diǎn)是畫出軌跡圖，根據(jù)幾何關(guān)系確定軌跡半徑。

（2）確定入射速度的方向，而大小變化，判定粒子的出射范圍

【例2】如圖7所示，矩形勻強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)域的長(zhǎng)為L(zhǎng)，寬為L(zhǎng)/2。磁感應(yīng)強(qiáng)度為B，質(zhì)量為m，電荷量為e的電子沿著矩形磁場(chǎng)的上方邊界射入磁場(chǎng)，欲使該電子由下方邊界穿出磁場(chǎng)，求：電子速率v的取值范圍？

解析：（1）帶電粒子射入磁場(chǎng)后，由于速率大小的變化，導(dǎo)致粒子軌跡半徑的改變，如圖所示。當(dāng)速率最小時(shí)，粒子恰好從d點(diǎn)射出，由圖可知其半徑R1=L/4，再由R1=mv1/eB，得當(dāng)速率最大時(shí)，粒子恰好從c點(diǎn)射出，由圖可知其半徑R2滿足，即R2=5L/4，再由R2=mv2/eB，得

電子速率v的取值范圍為：。點(diǎn)評(píng)：本題給定帶電粒子在有界磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的入射速度的方向，由于入射速度的大小發(fā)生改變，從而改變了該粒子運(yùn)動(dòng)軌跡半徑，導(dǎo)致粒子的出射點(diǎn)位置變化。在處理這類問題時(shí)重點(diǎn)是畫出臨界狀態(tài)粒子運(yùn)動(dòng)的軌跡圖，再根據(jù)幾何關(guān)系確定對(duì)應(yīng)的軌跡半徑，最后求解臨界狀態(tài)的速率。

（3）確定入射速度的大小，而方向變化，判定粒子的出射范圍

【例3】（2004年廣東省高考試題）如圖8所示，真空室內(nèi)存在勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁場(chǎng)方向垂直于紙面向里，磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小B=0．60T，磁場(chǎng)內(nèi)有一塊平面感光板ab，板面與磁場(chǎng)方向平行，在距ab的距離l=16cm處，有一個(gè)點(diǎn)狀的α放射源S，它向各個(gè)方向發(fā)射α粒子，α粒子的速度都是v=3．0×106m/s，已知α粒子的電荷與質(zhì)量之比q/m=5．0×107C/kg，現(xiàn)只考慮在圖紙平面中運(yùn)動(dòng)的α粒子，求ab上被α粒子打中的區(qū)域的長(zhǎng)度。

解析：α粒子帶正電，故在磁場(chǎng)中沿逆時(shí)針方向做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，用R表示軌道半徑，有qvB=mv2/R，

由此得

R=mv/qB，代入數(shù)值得R=10cm。

可見，2R>l>R，如圖9所示，因朝不同方向發(fā)射的α粒子的圓軌跡都過S，由此可知，某一圓軌跡在圖中N左側(cè)與ab相切，則此切點(diǎn)P1就是α粒子能打中的左側(cè)最遠(yuǎn)點(diǎn)。為定出P1點(diǎn)的位置，可作平行于ab的直線cd，cd到ab的距離為R，以S為圓心，R為半徑，作弧交cd于Q點(diǎn)，過Q作ab的垂線，它與ab的交點(diǎn)即為P1。

，

再考慮N的右側(cè)。任何α粒子在運(yùn)動(dòng)中離S的距離不可能超過2R，以2R為半徑、S為圓心作圓，交ab于N右側(cè)的P2點(diǎn)，此即右側(cè)能打到的最遠(yuǎn)點(diǎn)。

由圖中幾何關(guān)系得

，

所求長(zhǎng)度為P1P2=NP1+NP2，

代入數(shù)值得P1P2=20cm。

點(diǎn)評(píng)：本題給定帶電粒子在有界磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的入射速度的大小，其對(duì)應(yīng)的軌跡半徑也就確定了。但由于入射速度的方向發(fā)生改變，從而改變了該粒子運(yùn)動(dòng)軌跡圖，導(dǎo)致粒子的出射點(diǎn)位置變化。在處理這類問題時(shí)重點(diǎn)是畫出臨界狀態(tài)粒子運(yùn)動(dòng)的軌跡圖（對(duì)應(yīng)的臨界狀態(tài)的速度的方向），再利用軌跡半徑與幾何關(guān)系確定對(duì)應(yīng)的出射范圍。

2．給定動(dòng)態(tài)有界磁場(chǎng)

（1）確定入射速度的大小和方向，判定粒子出射點(diǎn)的位置

【例4】（2006年天津市理綜試題）在以坐標(biāo)原點(diǎn)O為圓心、半徑為r的圓形區(qū)域內(nèi)，存在磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B、方向垂直于紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，如圖10所示。一個(gè)不計(jì)重力的帶電粒子從磁場(chǎng)邊界與x軸的交點(diǎn)A處以速度v沿-x方向射入磁場(chǎng)，恰好從磁場(chǎng)邊界與y軸的交點(diǎn)C處沿+y方向飛出。

（1）請(qǐng)判斷該粒子帶何種電荷，并求出其比荷q/m；

（2）若磁場(chǎng)的方向和所在空間范圍不變，而磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小變?yōu)锽′，該粒子仍從A處以相同的速度射入磁場(chǎng)，但飛出磁場(chǎng)時(shí)的速度方向相對(duì)于入射方向改變了60°角，求磁感應(yīng)強(qiáng)度B′多大？此次粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)所用時(shí)間t是多少？

解析：（1）由粒子的飛行軌跡，利用左手定則可知，該粒子帶負(fù)電荷。

如圖11所示，粒子由A點(diǎn)射入，由C點(diǎn)飛出，其速度方向改變了90°，則粒子軌跡半徑r=R，又

，

則粒子的荷質(zhì)比為

。

（2）粒子從D點(diǎn)飛出磁場(chǎng)速度方向改變了60°角，故AD弧所對(duì)圓心角60°，粒子做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑，又，所以，

粒子在磁場(chǎng)中飛行時(shí)間：。

點(diǎn)評(píng)：本題給定帶電粒子在有界磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的入射速度的大小和方向，但由于有界磁場(chǎng)發(fā)生改變（包括磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小或方向的改變），從而改變了該粒子在有界磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的軌跡圖，導(dǎo)致粒子的出射點(diǎn)位置變化。在處理這類問題時(shí)重點(diǎn)是畫出磁場(chǎng)發(fā)生改變后粒子運(yùn)動(dòng)的軌跡圖，再利用軌跡半徑與幾何關(guān)系確定對(duì)應(yīng)的出射點(diǎn)的位置。

（二）已知入射速度和出射速度，判定動(dòng)態(tài)有界磁場(chǎng)的邊界位置

【例5】（1994年全國(guó)高考試題）如圖12所示，一帶電質(zhì)點(diǎn)，質(zhì)量為m，電量為q，以平行于Ox軸的速度v從y軸上的a點(diǎn)射入圖中第一象限所示的區(qū)域。為了使該質(zhì)點(diǎn)能從x軸上的b點(diǎn)以垂直于Ox軸的速度v射出，可在適當(dāng)?shù)牡胤郊右粋€(gè)垂直于xy平面、磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場(chǎng)。若此磁場(chǎng)僅分布在一個(gè)圓形區(qū)域內(nèi)，試求這圓形磁場(chǎng)區(qū)域的最小半徑。重力忽略不計(jì)。

解析：質(zhì)點(diǎn)在磁場(chǎng)中作半徑為R的圓周運(yùn)動(dòng)，

qvB=（Mv2）/R，得R=（MV）/（qB）。

根據(jù)題意，質(zhì)點(diǎn)在磁場(chǎng)區(qū)域中的軌道是半徑等于R的圓上的1/4圓周，這段圓弧應(yīng)與入射方向的速度、出射方向的速度相切。如圖13所示，過a點(diǎn)作平行于x軸的直線，過b點(diǎn)作平行于y軸的直線，則與這兩直線均相距R的O′點(diǎn)就是圓周的圓心。質(zhì)點(diǎn)在磁場(chǎng)區(qū)域中的軌道就是以O(shè)′為圓心、R為半徑的圓（圖中虛線圓）上的圓弧MN，M點(diǎn)和N點(diǎn)應(yīng)在所求圓形磁場(chǎng)區(qū)域的邊界上。

在通過M、N兩點(diǎn)的不同的圓周中，最小的一個(gè)是以MN連線為直徑的圓周。所以本題所求的圓形磁場(chǎng)區(qū)域的最小半徑為：

，

所求磁場(chǎng)區(qū)域如圖13所示中實(shí)線圓所示。

點(diǎn)評(píng)：本題給定帶電粒子在有界磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的入射速度和出射速度的大小和方向，但由于有界磁場(chǎng)發(fā)生改變（磁感應(yīng)強(qiáng)度不變，但磁場(chǎng)區(qū)域在改變），從而改變了該粒子在有界磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的軌跡圖，導(dǎo)致粒子的出射點(diǎn)位置變化。在處理這類問題時(shí)重點(diǎn)是畫出磁場(chǎng)發(fā)生改變后粒子運(yùn)動(dòng)的軌跡圖，確定臨界狀態(tài)的粒子運(yùn)動(dòng)軌跡圖，再利用軌跡半徑與幾何關(guān)系確定對(duì)應(yīng)的磁場(chǎng)區(qū)域的位置。

綜上所述，運(yùn)動(dòng)的帶電粒子垂直進(jìn)入有界的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，若僅受洛侖茲力作用時(shí)，它一定做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，這類問題雖然比較復(fù)雜，但只要準(zhǔn)確地畫出運(yùn)動(dòng)軌跡圖，并靈活運(yùn)用幾何知識(shí)和物理規(guī)律，找到已知量與軌道半徑R、周期T的關(guān)系，求出粒子在磁場(chǎng)中偏轉(zhuǎn)的角度或距離以及運(yùn)動(dòng)時(shí)間不太難。

3．（2007年武漢市理綜模擬試題）如圖16所示，現(xiàn)有一質(zhì)量為m、電量為e的電子從y軸上的P（0，a）點(diǎn)以初速度v0平行于x軸射出，為了使電子能夠經(jīng)過x軸上的Q（b，0）點(diǎn)，可在y軸右側(cè)加一垂直于xoy平面向里、寬度為L(zhǎng)的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B，該磁場(chǎng)左、右邊界與y軸平行，上、下足夠?qū)挘▓D中未畫出）。已知，L＜b。試求磁場(chǎng)的左邊界距坐標(biāo)原點(diǎn)的可能距離。（結(jié)果可用反三角函數(shù)表示）

答案：⑴當(dāng)r>L時(shí)（r為電子的軌跡半徑），磁場(chǎng)左邊界距坐標(biāo)原點(diǎn)的距離為：

（其中）；

（2）當(dāng)r≤L時(shí)，磁場(chǎng)左邊界距坐標(biāo)原點(diǎn)的距離為：。最小磁場(chǎng)面積1、磁場(chǎng)范圍為圓形例1一質(zhì)量為、帶電量為的粒子以速度從O點(diǎn)沿軸正方向射入磁感強(qiáng)度為的一圓形勻強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)域，磁場(chǎng)方向垂直于紙面，粒子飛出磁場(chǎng)區(qū)后，從處穿過軸，速度方向與軸正向夾角為30°，如圖1所示（粒子重力忽略不計(jì)）。試求：（1）圓形磁場(chǎng)區(qū)的最小面積；（2）粒子從O點(diǎn)進(jìn)入磁場(chǎng)區(qū)到達(dá)點(diǎn)所經(jīng)歷的時(shí)間；（3）點(diǎn)的坐標(biāo)。解析：（1）由題可知，粒子不可能直接由Ｏ點(diǎn)經(jīng)半個(gè)圓周偏轉(zhuǎn)到點(diǎn)，其必在圓周運(yùn)動(dòng)不到半圈時(shí)離開磁場(chǎng)區(qū)域后沿直線運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)?？芍潆x開磁場(chǎng)時(shí)的臨界點(diǎn)與Ｏ點(diǎn)都在圓周上，到圓心的距離必相等。如圖2，過點(diǎn)逆著速度的方向作虛線，與軸相交，由于粒子在磁場(chǎng)中偏轉(zhuǎn)的半徑一定，且圓心位于軸上，距O點(diǎn)距離和到虛線上點(diǎn)垂直距離相等的點(diǎn)即為圓周運(yùn)動(dòng)的圓心，圓的半徑。由，得。弦長(zhǎng)為：，要使圓形磁場(chǎng)區(qū)域面積最小，半徑應(yīng)為的一半，即：，面積（2）粒子運(yùn)動(dòng)的圓心角為1200，時(shí)間。（3）距離，故點(diǎn)的坐標(biāo)為（，0）。點(diǎn)評(píng)：此題關(guān)鍵是要找到圓心和粒子射入、射出磁場(chǎng)邊界的臨界點(diǎn)，注意圓心必在兩臨界點(diǎn)速度垂線的交點(diǎn)上且圓心到這兩臨界點(diǎn)的距離相等；還要明確所求最小圓形磁場(chǎng)的直徑等于粒子運(yùn)動(dòng)軌跡的弦長(zhǎng)。2、磁場(chǎng)范圍為矩形例2如圖3所示，直角坐標(biāo)系第一象限的區(qū)域存在沿軸正方向的勻強(qiáng)電場(chǎng)?，F(xiàn)有一質(zhì)量為，電量為的電子從第一象限的某點(diǎn)（，）以初速度沿軸的負(fù)方向開始運(yùn)動(dòng)，經(jīng)過軸上的點(diǎn)（，0）進(jìn)入第四象限，先做勻速直線運(yùn)動(dòng)然后進(jìn)入垂直紙面的矩形勻強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)域，磁場(chǎng)左邊界和上邊界分別與軸、軸重合，電子偏轉(zhuǎn)后恰好經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)O，并沿軸的正方向運(yùn)動(dòng)，不計(jì)電子的重力。求（1）電子經(jīng)過點(diǎn)的速度；（2）該勻強(qiáng)磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度和磁場(chǎng)的最小面積。解析：（1）電子從點(diǎn)開始在電場(chǎng)力作用下作類平拋運(yùn)動(dòng)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)，可知豎直方向：，水平方向：。解得。而，所以電子經(jīng)過點(diǎn)時(shí)的速度為：，設(shè)與方向的夾角為θ，可知，所以θ＝300。（2）如圖4，電子以與成30°進(jìn)入第四象限后先沿做勻速直線運(yùn)動(dòng)，然后進(jìn)入勻強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)域做勻速圓周運(yùn)動(dòng)恰好以沿軸向上的速度經(jīng)過Ｏ點(diǎn)。可知圓周運(yùn)動(dòng)的圓心一定在Ｘ軸上，且點(diǎn)到O點(diǎn)的距離與到直線上M點(diǎn)（M點(diǎn)即為磁場(chǎng)的邊界點(diǎn)）的垂直距離相等，找出點(diǎn)，畫出其運(yùn)動(dòng)的部分軌跡為弧MNO，所以磁場(chǎng)的右邊界和下邊界就確定了。設(shè)偏轉(zhuǎn)半徑為，，由圖知ＯＱ＝＝，解得，方向垂直紙面向里。矩形磁場(chǎng)的長(zhǎng)度，寬度。矩形磁場(chǎng)的最小面積為：點(diǎn)評(píng)：此題中粒子進(jìn)入第四象限后的運(yùn)動(dòng)即為例1中運(yùn)動(dòng)的逆過程，解題思路相似，關(guān)鍵要注意矩形磁場(chǎng)邊界的確定。3、磁場(chǎng)范圍為三角形例3如圖5，一個(gè)質(zhì)量為，帶電量的粒子在BC邊上的M點(diǎn)以速度垂直于BC邊飛入正三角形ABC。為了使該粒子能在AC邊上的N點(diǎn)（CM＝CN）垂真于AC邊飛出ABC，可在適當(dāng)?shù)奈恢眉右粋€(gè)垂直于紙面向里，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場(chǎng)。若此磁場(chǎng)僅分布在一個(gè)也是正三角形的區(qū)域內(nèi)，且不計(jì)粒子的重力。試求：（1）粒子在磁場(chǎng)里運(yùn)動(dòng)的軌道半徑ｒ及周期T；（2）該粒子在磁場(chǎng)里運(yùn)動(dòng)的時(shí)間t；（3）該正三角形區(qū)域磁場(chǎng)的最小邊長(zhǎng)；解析：（1）由和，得：

，

（2）由題意可知，粒子剛進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)應(yīng)該先向左偏轉(zhuǎn)，不可能直接在磁場(chǎng)中由M點(diǎn)作圓周運(yùn)動(dòng)到N點(diǎn)，當(dāng)粒子剛進(jìn)入磁場(chǎng)和剛離開磁場(chǎng)時(shí)，其速度方向應(yīng)該沿著軌跡的切線方向并垂直于半徑，如圖6作出圓O，粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡為弧GDEF，圓弧在Ｇ點(diǎn)與初速度方向相切，在F點(diǎn)與出射速度相切。畫出三角形，其與圓弧在D、E兩點(diǎn)相切，并與圓Ｏ交于F、G兩點(diǎn)，此為符合題意的最小磁場(chǎng)區(qū)域。由數(shù)學(xué)知識(shí)可知∠FOG＝600，所以粒子偏轉(zhuǎn)的圓心角為3000，運(yùn)動(dòng)的時(shí)間

（3）連接并延長(zhǎng)與交與Ｈ點(diǎn)，由圖可知，，＝點(diǎn)評(píng)：這道題中粒子運(yùn)動(dòng)軌跡和磁場(chǎng)邊界臨界點(diǎn)的確定比較困難，必須將射入速度與從AC邊射出速度的反向延長(zhǎng)線相交后根據(jù)運(yùn)動(dòng)半徑已知的特點(diǎn)，結(jié)合幾何知識(shí)才能確定。另外，在計(jì)算最小邊長(zhǎng)時(shí)一定要注意圓周運(yùn)動(dòng)的軌跡并不是三角形磁場(chǎng)的內(nèi)切圓。4、磁場(chǎng)范圍為樹葉形例4在平面內(nèi)有許多電子（質(zhì)量為、電量為），從坐標(biāo)O不斷以相同速率沿不同方向射入第一象限，如圖7所示?，F(xiàn)加一個(gè)垂直于平面向內(nèi)、磁感強(qiáng)度為的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，要求這些電子穿過磁場(chǎng)后都能平行于軸向正方向運(yùn)動(dòng)，求符合該條件磁場(chǎng)的最小面積。解析：電子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)半徑是確定的，設(shè)磁場(chǎng)區(qū)域足夠大，作出電子可能的運(yùn)動(dòng)軌道如圖8所示，因?yàn)殡娮又荒芟虻谝幌笙奁矫鎯?nèi)發(fā)射，其中圓O1和圓O2為從圓點(diǎn)射出，經(jīng)第一象限的所有圓中的最低和最高位置的兩個(gè)圓。圓O2在ｘ軸上方的個(gè)圓弧odb就是磁場(chǎng)的上邊界。其它各圓軌跡的圓心所連成的線必為以點(diǎn)O為圓心，以R為半徑的圓弧O1OmO2。由于要求所有電子均平行于x軸向右飛出磁場(chǎng)，故由幾何知識(shí)知電子的飛出點(diǎn)必為每條可能軌跡的最高點(diǎn)?？勺C明，磁場(chǎng)下邊界為一段圓弧，只需將這些圓心連線（圖中虛線O1O2）向上平移一段長(zhǎng)度為的距離即圖9中的弧ocb就是這些圓的最高點(diǎn)的連線，即為磁場(chǎng)區(qū)域的下邊界。兩邊界之間圖形的陰影區(qū)域面積即為所求磁場(chǎng)區(qū)域面積：。

還可根據(jù)圓的知識(shí)求出磁場(chǎng)的下邊界。設(shè)某電子的速度V0與x軸夾角為θ，若離開磁場(chǎng)速度變?yōu)樗椒较驎r(shí)，其射出點(diǎn)也就是軌跡與磁場(chǎng)邊界的交點(diǎn)坐標(biāo)為（x，y），從圖10中看出，，即（x＞0，y＞0），這是個(gè)圓方程，圓心在（0，R）處，圓的圓弧部分即為磁場(chǎng)區(qū)域的下邊界。點(diǎn)評(píng)：這道題與前三題的區(qū)別在于要求學(xué)生通過分析確定磁場(chǎng)的形狀和范圍，磁場(chǎng)下邊界的處理對(duì)學(xué)生的數(shù)理結(jié)合能力和分析能力要求較高。由以上題目分析可知，解決此類問題的關(guān)鍵是依據(jù)題意，分析物體的運(yùn)動(dòng)過程和運(yùn)動(dòng)形式，扣住運(yùn)動(dòng)過程中的臨界點(diǎn)，應(yīng)用幾何知識(shí)，找出運(yùn)動(dòng)的軌跡圓心，畫出粒子運(yùn)動(dòng)的部分軌跡，確定半徑，再用題目中規(guī)定形狀的最小磁場(chǎng)覆蓋粒子運(yùn)動(dòng)的軌跡，然后應(yīng)用數(shù)學(xué)工具和相應(yīng)物理規(guī)律分析解出所求的最小面積即可。（三）動(dòng)態(tài)圓法巧解帶電粒子運(yùn)動(dòng)問題

帶電粒子在垂直于磁場(chǎng)方向的平面上受洛倫茲力做圓周運(yùn)動(dòng)，以恒定的速率從某點(diǎn)A開始運(yùn)動(dòng)，隨方向不同，軌跡不同。但無論方向向哪里，所有軌跡一定會(huì)過定點(diǎn)A，并且所有軌跡的半徑相等，A點(diǎn)是帶電粒子在磁場(chǎng)中所有圓周運(yùn)動(dòng)的公共點(diǎn)，如圖1所示。利用這一個(gè)規(guī)律，可以幫助同學(xué)們分析解決帶電粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的問題，可以化難為易，直觀、形象、簡(jiǎn)捷。解題時(shí)只需將圓一轉(zhuǎn)，思路即出?；驹恚簬щ娏Ｗ釉诖怪庇诖艌?chǎng)的平面內(nèi)的運(yùn)動(dòng)軌跡是一個(gè)半徑為的圓，帶電粒子可能到達(dá)的地方就在半徑為的圓繞A點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)所掃過的面積范圍內(nèi)。例1.

如圖2所示，真空室內(nèi)存在勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁場(chǎng)方向垂直于圖中紙面向里，磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小B＝0.6T。磁場(chǎng)內(nèi)有一塊平面感光平板ab，板面與磁場(chǎng)方向平行。在距ab的距離為L(zhǎng)＝16cm處。有一個(gè)點(diǎn)狀的粒子放射源S，它向各個(gè)方向發(fā)射粒子，粒子的速度都是。已知粒子的電荷與質(zhì)量之比。現(xiàn)在只考慮在圖紙平面中運(yùn)動(dòng)的粒子，求ab上被粒子打中的區(qū)域的長(zhǎng)度。解析：粒子帶正電，故在磁場(chǎng)中沿逆時(shí)針方向做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，用R表示軌道半徑，有：由此得，代入數(shù)據(jù)得R＝10cm。可見，。因向不同的方向發(fā)射粒子的圓軌跡都經(jīng)過了S，由此可知，將通過S點(diǎn)半徑為R的圓，繞S點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)，此圓就會(huì)與ab直線相交，其相交部分就是題里要求的ab直線上粒子打中的區(qū)域的長(zhǎng)度。其中圓與ab右側(cè)最遠(yuǎn)點(diǎn)相交于點(diǎn)，且，繼續(xù)轉(zhuǎn)動(dòng)圓，此圓會(huì)與ab線相交于許多點(diǎn)，構(gòu)成線段，圓與ab直線上最左邊的交點(diǎn)為圓與ab的切點(diǎn)，即為ab直線上粒子打中區(qū)域的左側(cè)最遠(yuǎn)點(diǎn)，如圖3所示。作SN⊥ab，由幾何知識(shí)得由圖中的幾何關(guān)系得：所求的寬度為：即ab上被粒子打中的區(qū)域的長(zhǎng)度為：例2.

如圖4所示，在xOy平面內(nèi)有許多電子（質(zhì)量為m，電量為e），從坐標(biāo)原點(diǎn)O不斷的以相同大小的速度沿不同方向射入I象限，現(xiàn)加一個(gè)垂直于xOy平面的磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，要求這些電子穿過該磁場(chǎng)后都能平行于x軸向＋x方向運(yùn)動(dòng)，試求符合該條件的磁場(chǎng)的最小面積。解析：設(shè)磁場(chǎng)B的方向垂直紙面向里，當(dāng)電子以與x軸成角從O點(diǎn)進(jìn)入B中做圓周運(yùn)動(dòng)，從A點(diǎn)出磁場(chǎng)時(shí)其速度方向平行于x軸，也就是圓弧在y軸正向的最高點(diǎn)，如圖5所示，所有滿足題意的點(diǎn)可看作是過定點(diǎn)O，以半徑為的圓在紙面內(nèi)繞O轉(zhuǎn)動(dòng)90°角過程中圓弧最高點(diǎn)的集合，如圖5所示。（A為其上一點(diǎn)）。設(shè)A點(diǎn)坐標(biāo)為（x，y），對(duì)應(yīng)于圓心為，由幾何關(guān)系知：可得由圓的知識(shí)得，滿足題意要求的磁場(chǎng)區(qū)域邊界是一段圓弧，對(duì)應(yīng)圓心為，坐標(biāo)（O，R）。最小磁場(chǎng)區(qū)域的面積即為圖中陰影部分面積，由幾何關(guān)系得：點(diǎn)評(píng)：解本類題的關(guān)鍵就是弄清楚題目設(shè)立的情景，而這種情景比較抽象，學(xué)生不易理解。教師講解時(shí)可用硬紙板提前制作一個(gè)圓（學(xué)生解題時(shí)也可以自己簡(jiǎn)單的做一個(gè)圓），分析例1時(shí)讓圓繞S點(diǎn)做圓周運(yùn)動(dòng)，與ab依次相交于、還有其他許多點(diǎn)最后是圓與ab相切，切點(diǎn)為，線段即為帶電粒子與ab交點(diǎn)的集合；分析例2時(shí)，也是將圓繞O點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)，在轉(zhuǎn)動(dòng)過程中將圓的最頂端（切點(diǎn)）依次描下來即為所求軌跡。用此法可以使抽象問題形象化，培養(yǎng)學(xué)生的空間想象能力和分析問題的能力。

例3、（11廣東）如圖19（a）所示，在以O(shè)為圓心，內(nèi)外半徑分別為和的圓環(huán)區(qū)域內(nèi)，存在輻射狀電場(chǎng)和垂直紙面的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，內(nèi)外圓間的電勢(shì)差U為常量，,一電荷量為+q，質(zhì)量為m的粒子從內(nèi)圓上的A點(diǎn)進(jìn)入該區(qū)域，不計(jì)重力．（1）已知粒子從外圓上以速度射出，求粒子在A點(diǎn)的初速度的大?。?）若撤去電場(chǎng)，如圖19（b）,已知粒子從OA延長(zhǎng)線與外圓的交點(diǎn)C以速度射出，方向與OA延長(zhǎng)線成45°角，求磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小及粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間（3）在圖19（b）中，若粒子從A點(diǎn)進(jìn)入磁場(chǎng)，速度大小為，方向不確定，要使粒子一定能夠從外圓射出，磁感應(yīng)強(qiáng)度應(yīng)小于多少？【解析】(1)根據(jù)動(dòng)能定理，qU＝eq\f(1,2)mveq\o\al(2,1)－eq\f(1,2)mveq\o\al(2,0)，所以v0＝eq\r(v\o\al(2,1)－\f(2qU,m)).(2)如圖所示，設(shè)粒子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的半徑為R，由幾何知識(shí)可知R2＋R2＝(R2－R1)2，解得R＝eq\r(2)R0.根據(jù)洛倫茲力公式qv2B＝meq\f(v\o\al(2,2),R)，解得B＝eq\f(mv2,q\r(2)R0)＝eq\f(\r(2)mv2,2qR0).根據(jù)公式eq\f(t,T)＝eq\f(θ,2π)，2πR＝v2T，qv2B＝meq\f(v\o\al(2,2),R)，解得t＝eq\f(T,4)＝eq\f(2πm,4Bq)＝eq\f(2πm,4×\f(mv2,\r(2)R))＝eq\f(\r(2)πR0,2v2).(3)考慮臨界情況，如圖所示①qv3B′1＝meq\f(v\o\al(2,3),R0)，解得B′1＝eq\f(mv3,qR0)，②qv3B′2＝meq\f(v\o\al(2,3),2R0)，解得B′2＝eq\f(mv3,2qR0)，綜合得：B′<eq\f(mv3,2qR0).【例1】如圖1所示，經(jīng)X軸的上方（）存在著垂直紙面向外的磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B，在原點(diǎn)O處有一離子源向X軸上方任意方向發(fā)射質(zhì)量為m，電量為q的正離子，速率都為V。對(duì)那些在XOY平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)的離子，在磁場(chǎng)中可能達(dá)到的最大位移X=，最大位移Y=。（重力不計(jì)）圖2圖1【分析與解答】x·····圖2圖1x············yBO·yxBACDOQP【點(diǎn)評(píng)】離子以相同的速率、不同方向射入磁場(chǎng)，動(dòng)態(tài)圓的圓心在半個(gè)圓周上?！纠?】如圖,在邊界為AA/、DD/狹長(zhǎng)區(qū)域內(nèi)，勻強(qiáng)磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度為B，方向垂直紙面向里，磁場(chǎng)區(qū)域?qū)挾葹閐。電子以不同的速率V從邊界AA/的S處沿垂直于磁場(chǎng)方向射入磁場(chǎng)，入射方向跟AA/的夾角為θ.已知電子的質(zhì)量為m，帶電量為e。為使電子能從另一邊界DD/射出，問電子的速率應(yīng)滿中足什么條件？（重力不計(jì)）DD/××××DD/××××××××××××AA/SVθ圖3圖4不同速率的電子以相同的方向射入磁場(chǎng)后，做半徑不同的圓周運(yùn)動(dòng)。由左手定則決定的這些動(dòng)態(tài)圓的圓心都在與V方向垂直的射線SP上，如圖A所示。圖中沿1、2軌跡運(yùn)動(dòng)的電子均從AA/射出，而沿4、5軌跡運(yùn)動(dòng)的電子均從DD/射出。于是動(dòng)態(tài)圓由1、2向4、5漸變過程中，總存在一個(gè)臨界圓，相應(yīng)的臨界半徑為r0,如圖4中軌跡3所示。圖3圖4當(dāng)r<r0jf,電子從AA/射出；當(dāng)r>r0時(shí)，電子從DD/射出。因此，該臨界圓心與DD/相切。由幾何關(guān)系得：將代入上式求解，得臨界速率為：故當(dāng)時(shí)，電子俑從另一邊界DD/射出?！军c(diǎn)評(píng)】電子以相同方向不同大小的速率由同一點(diǎn)射入磁場(chǎng)，動(dòng)態(tài)圓的半徑不同，但其圓心都在過入射點(diǎn)且與初速度方向垂直的射線上?！纠?】如圖5，在邊界AA/、DD/狹長(zhǎng)區(qū)域內(nèi)，勻強(qiáng)磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度為B，方向街紙面向里，磁場(chǎng)區(qū)域的寬度為d。電子槍S發(fā)射質(zhì)量為m、電量為e的電子，當(dāng)電子槍水平發(fā)射時(shí)；在DD/右側(cè)發(fā)現(xiàn)了電子當(dāng)電子槍在豎直平面內(nèi)發(fā)射時(shí)，剛剛在AA/左側(cè)發(fā)現(xiàn)了電子，試畫出電子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的軌跡，并計(jì)算該電子在邊界AA/的射入點(diǎn)和射出點(diǎn)間的距離（電子射入的速度始終為V0）【分析解答】在0-π范圍內(nèi)由電子槍S射入磁場(chǎng)的電子，其動(dòng)態(tài)圓的圓心都在以S為圓心，半徑為r的圓周EOF上，如圖5中的紅線所示，當(dāng)電子水平發(fā)射時(shí)，在DD/的右側(cè)發(fā)DD/×DD/××××××××××××AA/SVθ圖5CSrEFOQBdV。因此。只有圓心在O，動(dòng)態(tài)圓剛好與DD/相切所對(duì)應(yīng)的電子才能從AA/邊界射出，所以該電子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)軌跡是弧線SQC，由幾何關(guān)系，得：AAA/DD/V0OrCSBB圖6【點(diǎn)評(píng)】很多同學(xué)求解的結(jié)果看似正確，但卻畫出了如圖6所示的錯(cuò)誤軌跡圖，其原因在于忽略了r>d這一隱含約束條件。如果能從動(dòng)態(tài)圓這一思維過程考慮，就能有效地避免錯(cuò)誤?！痢痢痢痢痢痢痢痢痢痢痢痢痢痢痢痢痢痢痢痢痢痢痢痢痢痢痢痢痢痢痢痢罬NSB圖7若使電子源發(fā)射的電子有可能到達(dá)擋板，則發(fā)射的電子速率至少是多大？發(fā)射方向如何？若發(fā)射的電子的速率為（1）中所求的速率的2倍，則擋板被電子擊中的區(qū)域范圍有多大？發(fā)射方向的范圍如何？【分析與解答】（1）由：evB=mv2/r,得：MNMNObvb/PQaBACSB圖8因此，欲使電子能到達(dá)擋板，且速率最小的條件是r0=L/2，其電電子的最小速率為：，由左手定則，電子應(yīng)平行于MN板水平向左發(fā)射。當(dāng)V=2V0時(shí)，電子在磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑r=2r0=L在由左手定則所確定的所有動(dòng)態(tài)圓中，其圓心都應(yīng)在以S為圓心、半徑為L(zhǎng)的圓周上，如圖8所示。在這個(gè)圓周上，只有以上半圓周上各點(diǎn)為圓心的動(dòng)態(tài)圓上的電子才能擊中擋板。因此，電子發(fā)射方向只能在沿SO和SA發(fā)射方向左側(cè)的0-π范圍內(nèi)，如圖8所示的箭頭所示的角度范圍內(nèi)。在如圖8所示中，由SA方向順時(shí)針方向至SP方向發(fā)射的電子，其圓心在相應(yīng)的弧OQ上，打在板上的點(diǎn)b/

到點(diǎn)b上，與最遠(yuǎn)點(diǎn)b對(duì)應(yīng)的圓心為點(diǎn)Q，發(fā)射方向?yàn)镾O，由幾何關(guān)系，得Ob=L,所以板MN上被電子打中的范圍為線段ab，則：ab=oa+ob=【點(diǎn)評(píng)】確定動(dòng)態(tài)圓圓心的軌跡考慮電子在磁場(chǎng)中順時(shí)針運(yùn)動(dòng)才能擊中板的約束條件，進(jìn)一步確定電子發(fā)射方向的范圍，再由動(dòng)態(tài)圓的漸變到突變，在臨界狀態(tài)通過簡(jiǎn)單的幾何關(guān)系求解極值，是解決這類問題的有效方法。如果能用動(dòng)態(tài)圓模型（紙板）直觀教學(xué)和練習(xí)，學(xué)生更是一目了然。常見題型1、帶電粒子速度大小相同，方向不同——旋轉(zhuǎn)的動(dòng)態(tài)圓例1（全國(guó)I卷第26題）如圖1所示，在0≤≤區(qū)域內(nèi)存在與平面垂直的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小為B。在時(shí)刻，一位于坐標(biāo)原點(diǎn)的粒子源在平面內(nèi)發(fā)射出大量同種帶電粒子，所有粒子的初速度大小相同，方向與y軸正方向的夾角分布在0～180°范圍內(nèi)。已知沿y軸正方向發(fā)射的粒子在時(shí)刻剛好從磁場(chǎng)邊界上點(diǎn)離開磁場(chǎng)。求：(1)粒子在磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑R及粒子的比荷；(2)此時(shí)刻仍在磁場(chǎng)中的粒子的初速度方向與軸正方向夾角的取值范圍；(3)從粒子發(fā)射到全部粒子離開磁場(chǎng)所用的時(shí)間?！窘馕觥?1)具體思路是做出從P點(diǎn)離開磁場(chǎng)的帶電粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡，如圖2所示，由幾何關(guān)系求出半徑，對(duì)應(yīng)的圓心角為，周期，在由周期得，也容易得弦OP與y軸正方向夾角為60°。(2)下面重點(diǎn)分析此問，由于帶電粒子的初速度大小相同，可見半徑R相同，做出從不同方向射出的粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡，其動(dòng)態(tài)圓如圖3所示的。結(jié)合帶電粒子在磁場(chǎng)中做勻速圓周速度的特點(diǎn)，可知同一時(shí)刻仍在磁場(chǎng)內(nèi)的粒子到O點(diǎn)距離相同。在時(shí)刻仍在磁場(chǎng)內(nèi)的粒子應(yīng)位于以O(shè)點(diǎn)為圓心、OP為半徑的圓弧上，如圖4所示。設(shè)此時(shí)位于P、M、N三點(diǎn)的粒子初速度分別為、、。由幾何關(guān)系可知，與OP、與OM、與ON的夾角均為60°，故所求答案為60°～120°。(3)由上面的分析也易得在磁場(chǎng)中飛行時(shí)間最長(zhǎng)的粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡應(yīng)與磁場(chǎng)右邊界相切，如圖5所示，由幾何關(guān)系可知OP=OM=MF，運(yùn)動(dòng)軌跡對(duì)應(yīng)的圓心角為240°，故所求答案為。需要說明的是求R還要其他數(shù)學(xué)方法，本文不做一一分析。例2（全國(guó)新課標(biāo)卷第25題）如圖6所示，在0≤≤、0≤≤范圍內(nèi)有垂直于xy平面向外的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B。坐標(biāo)原點(diǎn)O處有一個(gè)粒子源，在某時(shí)刻發(fā)射大量質(zhì)量為m、電荷量為q的帶正電粒子，它們的速度大小相同，速度方向均在xy平面內(nèi)，與y軸正方向的夾角分布在0～90°范圍內(nèi)。己知粒子在磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑介于到之間，從發(fā)射粒子到粒子全部離開磁場(chǎng)經(jīng)歷的時(shí)間恰好為粒子在磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)周期的四分之一。求最后離開磁場(chǎng)的粒子從粒子源射出時(shí)的(1)速度大??；(2)速度方向與y軸正方向夾角正弦。【解析】與上題分析類似，做出從不同方向射出的粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡，動(dòng)態(tài)圓如圖7所示的。設(shè)初速度與y軸正向的夾角為θ，當(dāng)θ較小時(shí)，粒子從磁場(chǎng)上邊界離開，θ越大，粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)時(shí)間越長(zhǎng)；當(dāng)θ較大時(shí)，粒子從磁場(chǎng)右邊界或x軸正向離開，θ越大，粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)時(shí)間越短?？梢娮詈箅x開磁場(chǎng)的粒子即在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)間最長(zhǎng)的粒子，其軌跡圓應(yīng)與磁場(chǎng)的上邊界相切，如圖8所示。具體的求解是設(shè)粒子的發(fā)射速度大小為，則做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑，由該粒子在磁場(chǎng)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為T/4得：∠OCA=90° 由幾何關(guān)系可得：又聯(lián)立解得：、、。2、帶電粒子速度方向相同，大小不同——膨脹的動(dòng)態(tài)圓例3（全國(guó)II卷第26題）如圖9所示左邊有一對(duì)平行金屬板，兩板相距為d，電壓為U；兩板之間有勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B0，方向平行于板面并垂直于紙面朝里。圖中右邊有一邊長(zhǎng)為a的正三角形區(qū)域EFG（EF邊與金屬板垂直），在此區(qū)域內(nèi)及其邊界上也有勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B，方向垂直于紙面朝里。假設(shè)一系列電荷量為q的正離子沿平行于金屬板面、垂直于磁場(chǎng)的方向射入金屬板之間，沿同一方向射出金屬板之間的區(qū)域，并經(jīng)EF邊中點(diǎn)H射入磁場(chǎng)區(qū)域。不計(jì)重力。(1)已知這些離子中的離子甲到達(dá)磁場(chǎng)邊界EG后，從邊界EF穿出磁場(chǎng)，求離子甲的質(zhì)量；(2)已知這些離子中的離子乙從EG邊上的I點(diǎn)(圖中未畫出)穿出磁場(chǎng)，且GI長(zhǎng)為3a/4，求離子乙的質(zhì)量；(3)若這些離子中的最輕離子的質(zhì)量等于離子甲質(zhì)量的一半，而離子乙的質(zhì)量是最大的，問磁場(chǎng)邊界上什么區(qū)域內(nèi)可能有離子到達(dá)？【解析】由題意知，所有離子在平行金屬板之間做勻速直線運(yùn)動(dòng)，則有，解得粒子速度（為一定數(shù)值）本題雖然速度大小不變，但質(zhì)量m變，結(jié)合帶電粒子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的半徑公式分析，等價(jià)此類問題，可做出不同質(zhì)量的帶電粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)軌跡，其動(dòng)態(tài)圓如圖10所示的。(1)由題意知，離子甲的運(yùn)動(dòng)軌跡如圖11所示半圓，半圓與EG邊相切與A點(diǎn)，與EF邊垂直相交與B點(diǎn)，由幾何關(guān)系可得半徑，從而求到甲離子的質(zhì)量。(2)離子乙的運(yùn)動(dòng)軌跡如圖12所示，在△EIO2中，由余弦定理得解到，從而求到乙離子的質(zhì)量(3)由半徑公式可知，結(jié)合(1)(2)問分析可得：a.若離子質(zhì)量滿足，則所有離子都垂直EH邊離開磁場(chǎng)，離開磁場(chǎng)的位置到H的距離界于R甲到2R甲之間，即～；b.若離子質(zhì)量滿足，則所有離子都從EG邊離開磁場(chǎng)，離開磁場(chǎng)的位置界于A到I之間，其中AE距離，IE距離。通過以上三道例題分析不難發(fā)現(xiàn)，對(duì)于帶電粒子在有界勻強(qiáng)磁場(chǎng)的運(yùn)動(dòng)的兩類問題，解題的關(guān)鍵在于畫出帶電粒子在勻強(qiáng)磁場(chǎng)的運(yùn)動(dòng)的動(dòng)態(tài)圓，問題就迎刃而解，剩余的問題應(yīng)該說不難了。3、帶電粒子在環(huán)形或有孔磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)圖10例10、核聚變反應(yīng)需要幾百萬(wàn)度以上的高溫，為把高溫條件下高速運(yùn)動(dòng)的離子約束在小范圍內(nèi)（否則不可能發(fā)生核反應(yīng)），通常采用磁約束的方法（托卡馬克裝置）。如圖５所示，環(huán)狀勻強(qiáng)磁場(chǎng)圍成中空區(qū)域，中空區(qū)域中的帶電粒子只要速度不是很大，都不會(huì)穿出磁場(chǎng)的外邊緣而被約束在該區(qū)域內(nèi)。設(shè)環(huán)狀磁場(chǎng)的內(nèi)半徑為R1=0.5m，外半徑R2=1.0m，磁場(chǎng)的磁感強(qiáng)度B=1.0T，若被束縛帶電粒子的荷質(zhì)比為q/m=4×C/㎏，中空區(qū)域內(nèi)帶電粒子具有各個(gè)方向的速度．試計(jì)算圖10（1）粒子沿環(huán)狀的半徑方向射入磁場(chǎng)，不能穿越磁場(chǎng)的最大速度．（2）所有粒子不能穿越磁場(chǎng)的最大速度．解析：（1）要粒子沿環(huán)狀的半徑方向射入磁場(chǎng)，不能穿越磁場(chǎng)，則粒子的臨界軌跡必須要與外圓相切,軌跡如圖６所示．由圖中知，解得由得所以粒子沿環(huán)狀的半徑方向射入磁場(chǎng)，不能穿越磁場(chǎng)的最大速度為．圖７OO2（2）當(dāng)粒子以V2的速度沿與內(nèi)圓相切方向射入磁場(chǎng)且軌道與外圓相切時(shí)，則以圖７OO2由圖中知由得所以所有粒子不能穿越磁場(chǎng)的最大速度abcdSo圖11例11、如圖８所示，兩個(gè)共軸的圓筒形金屬電極，外電極接地，其上均勻分布著平行于軸線的四條狹縫a、b、c和d，外筒的外半徑為r，在圓筒之外的足夠大區(qū)域中有平行于軸線方向的均勻磁場(chǎng)，磁感強(qiáng)度的大小為B．在兩極間加上電壓，使兩圓筒之間的區(qū)域內(nèi)有沿半徑向外的電場(chǎng)．一質(zhì)量為ｍ、帶電量為＋q的粒子，從緊靠?jī)?nèi)筒且正對(duì)狹縫a的abcdSo圖11abcdSo圖９解析：如圖９所示，帶電粒子從S點(diǎn)出發(fā)，在兩筒之間的電場(chǎng)作用下加速，沿徑向穿過狹縫a而進(jìn)入磁場(chǎng)區(qū)，在洛倫茲力作用下做勻速圓周運(yùn)動(dòng)．粒子再回到S點(diǎn)的條件是能沿徑向穿過狹縫d.只要穿過了d，粒子就會(huì)在電場(chǎng)力作用下先減速，再反向加速，經(jīng)abcdSo圖９設(shè)粒子做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的半徑為R，由洛倫茲力公式和牛頓第二定律，有由前面分析可知，要回到S點(diǎn)，粒子從a到d必經(jīng)過圓周，所以半徑R必定等于筒的外半徑r，即R=r.由以上各式解得;基于C8051F單片機(jī)直流電動(dòng)機(jī)反饋控制系統(tǒng)的設(shè)計(jì)與研究基于單片機(jī)的嵌入式Web服務(wù)器的研究MOTOROLA單片機(jī)MC68HC（8）05PV8/A內(nèi)嵌EEPROM的工藝和制程方法及對(duì)良率的影響研究基于模糊控制的電阻釬焊單片機(jī)溫度控制系統(tǒng)的研制基于MCS-51系列單片機(jī)的通用控制模塊的研究基于單片機(jī)實(shí)現(xiàn)的供暖系統(tǒng)最佳啟停自校正（STR）調(diào)節(jié)器單片機(jī)控制的二級(jí)倒立擺系統(tǒng)的研究基于增強(qiáng)型51系列單片機(jī)的TCP/IP協(xié)議棧的實(shí)現(xiàn)基于單片機(jī)的蓄電池自動(dòng)監(jiān)測(cè)系統(tǒng)基于32位嵌入式單片機(jī)系統(tǒng)的圖像采集與處理技術(shù)的研究基于單片機(jī)的作物營(yíng)養(yǎng)診斷專家系統(tǒng)的研究基于單片機(jī)的交流伺服電機(jī)運(yùn)動(dòng)控制系統(tǒng)研究與開發(fā)基于單片機(jī)的泵管內(nèi)壁硬度測(cè)試儀的研制基于單片機(jī)的自動(dòng)找平控制系統(tǒng)研究基于C8051F040單片機(jī)的嵌入式系統(tǒng)開發(fā)基于單片機(jī)的液壓動(dòng)力系統(tǒng)狀態(tài)監(jiān)測(cè)儀開發(fā)模糊Smith智能控制方法的研究及其單片機(jī)實(shí)現(xiàn)一種基于單片機(jī)的軸快流CO〈,2〉激光器的手持控制面板的研制基于雙單片機(jī)沖床數(shù)控系統(tǒng)的研究基于CYGNAL單片機(jī)的在線間歇式濁度儀的研制基于單片機(jī)的噴油泵試驗(yàn)臺(tái)控制器的研制基于單片機(jī)的軟起動(dòng)器的研究和設(shè)計(jì)基于單片機(jī)控制的高速快走絲電火花線切割機(jī)床短循環(huán)走絲方式研究基于單片機(jī)的機(jī)電產(chǎn)品控制系統(tǒng)開發(fā)基于PIC單片機(jī)的智能手機(jī)充電器基于單片機(jī)的實(shí)時(shí)內(nèi)核設(shè)計(jì)及其應(yīng)用研究基于單片機(jī)的遠(yuǎn)程抄表系統(tǒng)的設(shè)計(jì)與研究基于單片機(jī)的煙氣二氧化硫濃度檢測(cè)儀的研制基于微型光譜儀的單片機(jī)系統(tǒng)單片機(jī)系統(tǒng)軟件構(gòu)件開發(fā)的技術(shù)研究基于單片機(jī)的液體點(diǎn)滴速度自動(dòng)檢測(cè)儀的研制基于單片機(jī)系統(tǒng)的多功能溫度測(cè)量?jī)x的研制基于PIC單片機(jī)的電能采集終端的設(shè)計(jì)和應(yīng)用基于單片機(jī)的光纖光柵解調(diào)儀的研制氣壓式線性摩擦焊機(jī)單片機(jī)控制系統(tǒng)的研制基于單片機(jī)的數(shù)字磁通門傳感器基于單片機(jī)的旋轉(zhuǎn)變壓器-數(shù)字轉(zhuǎn)換器的研究基于單片機(jī)的光纖Bragg光柵解調(diào)系統(tǒng)的研究單片機(jī)控制的便攜式多功能乳腺治療儀的研制基于C8051F020單片機(jī)的多生理信號(hào)檢測(cè)儀基于單片機(jī)的電機(jī)運(yùn)動(dòng)控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)Pico專用單片機(jī)核的可測(cè)性設(shè)計(jì)研究基于MCS-51單片機(jī)的熱量計(jì)基于雙單片機(jī)的智能遙測(cè)微型氣象站MCS-51單片機(jī)構(gòu)建機(jī)器人的實(shí)踐研究基于單片機(jī)的輪軌力檢測(cè)基于單片機(jī)的GPS定位儀的研究與實(shí)現(xiàn)基于單片機(jī)的電液伺服控制系統(tǒng)用于單片機(jī)系統(tǒng)的MMC卡文件系統(tǒng)研制基于單片機(jī)的時(shí)控和計(jì)數(shù)系統(tǒng)性能優(yōu)化的研究基于單片機(jī)和CPLD的粗光柵位移測(cè)量系統(tǒng)研究單片機(jī)控制的后備式方波UPS提升高職學(xué)生單片機(jī)應(yīng)用能力的探究基于單片機(jī)控制的自動(dòng)低頻減載裝置研究基于單片機(jī)控制的水下焊接電源的研究基于單片機(jī)的多通道數(shù)據(jù)采集系統(tǒng)基于uPSD3234單片機(jī)的氚表面污染測(cè)量?jī)x的研制基于單片機(jī)的紅外測(cè)油儀的研究96系列單片機(jī)仿真器研究與設(shè)計(jì)基于單片機(jī)的單晶金剛石刀具刃磨設(shè)備的數(shù)控改造基于單片機(jī)的溫度智能控制系統(tǒng)的設(shè)計(jì)與實(shí)現(xiàn)基于MSP430單片機(jī)的電梯門機(jī)控制器的研制基于單片機(jī)的氣體測(cè)漏儀的研究基于三菱M16C/6N系列單片機(jī)的CAN/USB協(xié)議轉(zhuǎn)換器基于單片機(jī)和DSP的變壓器油色譜在線監(jiān)測(cè)技術(shù)研究基于單片機(jī)的膛壁溫度報(bào)警系統(tǒng)設(shè)計(jì)基于AVR單片機(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