第一章 三角形的證明（回顧與思考）【備課精講精研】 八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊 教學(xué)課件(北師大版)

第一章

三角形的證明回顧與思考

北師大版·八年級(jí)上冊性質(zhì)內(nèi)容數(shù)學(xué)語言圖示等邊對(duì)等角

三線合一等腰三角形的兩個(gè)底角相等等腰三角形頂角平分線、底邊上的中線及底邊上的高互相重合∵在△ABC中，AB＝AC∴∠B＝∠C①∵AB＝AC，∠1＝∠2

∴BD＝DC，AD⊥BC②∵AB＝AC，BD＝DC

∴∠1＝∠2，AD⊥BC

③∵AB＝AC，AD⊥BC∴∠1＝∠2，BD＝DCACBD12ACB一、知識(shí)梳理(一)等腰三角形的性質(zhì)及判定判定方法內(nèi)容數(shù)學(xué)語言圖示

定義法

判定定理有兩條邊相等的三角形是等腰三角形有兩個(gè)角相等的三角形是等腰三角形∵在△ABC中，AB＝AC

∴△ABC是等腰三角形ACB一、知識(shí)梳理(一)等腰三角形的性質(zhì)及判定∵在△ABC中，∠B=∠C,∴AB＝AC性質(zhì)內(nèi)容數(shù)學(xué)語言圖示

內(nèi)角性質(zhì)

三線合一等邊三角形的三個(gè)內(nèi)角都相等，并且每一個(gè)角都等于60°三條頂角平分線、底邊上的中線及底邊上的高互相重合∵在△ABC中，AB＝AC=BC∴∠A=∠B＝∠C=60°

ACBD12ACB(二)等邊三角形的性質(zhì)及判定∴∠1=∠2=30°

判定方法內(nèi)容符號(hào)語言圖示定義法判定定理1判定定理2三邊相等的三角形是等邊三角形.三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形有一個(gè)角為60°的等腰三角形是等邊三角形∵在△ABC中，

∠A=∠B=∠C=60°，

∴△ABC是等邊三角形．∵在△ABC中，BC=AC，∠A=60°（或∠B=60°），∴△ABC是等邊三角形．ABC∵在△ABC中，

AB=AC=BC

，∴△ABC是等邊三角形．(二)等邊三角形的性質(zhì)及判定性質(zhì)內(nèi)容數(shù)學(xué)語言圖示角

邊邊角關(guān)系直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方(三)直角三角形的性質(zhì)及判定直角三角形的兩個(gè)銳角互余.∵在△ABC中，∠C=90°

∴∠A+∠B=90°．∵在△ABC中，∠C=90°

∴a2＋b2＝c2

在直角三角形中，30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半∵在△ABC中,∠C=90°,∠A=30°．∴BC=AB．ABC30°acbABC判定內(nèi)容數(shù)學(xué)語言圖示定義定理

定理(三)直角三角形的性質(zhì)及判定有一個(gè)角是直角的三角形是直角三角形∵在△ABC中，∠C=90°

∴△ABC是直角三角形．∵在△ABC中，∠A+∠B=90°∴△ABC是直角三角形．

如果三角形兩邊的平方和等于第三邊的平方,那么這個(gè)三角形是直角三角形.∵在△ABC中,a2＋b2＝c2∴△ABC是直角三角形acbABC有兩個(gè)角互余的三角形是直角三角形.(四)逆命題和逆定題性質(zhì)定義注意互逆命題互逆定理在兩個(gè)命題中，如果一個(gè)命題的條件和結(jié)論是另一個(gè)命題的結(jié)論和條件，那么這兩個(gè)命題叫做互逆命題.

其中一個(gè)叫做另一個(gè)的逆命理．如果一個(gè)定理的逆命題經(jīng)過證明是真命題，那么，它也是一個(gè)定理，這兩個(gè)定理叫做互逆定理，其中一個(gè)叫做另一個(gè)的逆定理．每個(gè)命題都有逆命題一個(gè)定理不一定有逆定理定理內(nèi)容數(shù)學(xué)語言圖示

性質(zhì)

定理

判定

定理三角形線段垂直平分線性質(zhì)

到一條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)，在這條線段的垂直平分線上(五)線段的垂直平分線性質(zhì)與判定

線段垂直平分線上的點(diǎn)到這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等∵OP

是∠AOB的平分線，

PD⊥OA，PE⊥OB，∴PD=PE∵PA=PB，∴點(diǎn)P

在AB

的垂直平分線上

三角形三條邊的垂直平分線相交于一點(diǎn),并且這一點(diǎn)到三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等ACBPMNABCPabc∵在△ABC，點(diǎn)P為△ABC三邊垂直平分線的交點(diǎn)∴PA=PB=PC定理內(nèi)容數(shù)學(xué)語言圖示

性質(zhì)

定理

判定

定理三角形三個(gè)內(nèi)角平分線性質(zhì)

在一個(gè)角的內(nèi)部，到角兩邊距離相等的點(diǎn)在角的平分線(六)角平分線性質(zhì)與判定

角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等.∵OP

是∠AOB的平分線，

PD⊥OA，PE⊥OB，∴PD=PE∵PD⊥OA,PE⊥OB，

PD=PE.

∴點(diǎn)P在∠AOB的平分線上

三角形的三條內(nèi)角平分線相交于一點(diǎn)，且到三邊的距離相等.PAOBCDEA

B

C

P

E

DF∵在△ABC中，∠A、∠B、∠C的平分線相交于點(diǎn)P，

∴PD=PE=PF二、考點(diǎn)精講考點(diǎn)一：逆命題例1：判斷下列命題的逆命題，并判斷每隊(duì)命題的真假．(1)如果a＝0，那么ab＝0；(2)如果點(diǎn)P到線段AB兩端點(diǎn)的距離相等，那么P在線段AB的垂直平分線上．解：(1)原命題是真命題．

逆命題：如果ab＝0，那么a＝0.逆命題為假．(2)原命題是真命題．

逆命題：如果P在線段AB的垂直平分線上，那么點(diǎn)P到線段AB兩端點(diǎn)的距離相等．其逆命題也是真命題．二、考點(diǎn)精講考點(diǎn)二：等腰（等邊）三角形的性質(zhì)與判定例2：如圖，在△ABC中，點(diǎn)D是BC上一點(diǎn)，且AD=AB，AE∥BC，

∠BAD=∠CAE，連接DE交AC于點(diǎn)F．（1）若∠B=70°，求∠C的度數(shù)；（2）若AE=AC=4，AB=3，求△ADF的周長解：（1）∵∠B=70°，AB=AD，∴∠ADB=∠B=70°，∴∠BAD=180-∠B-∠ADB=40°，∵∠CAE=∠BAD，∴∠CAE=40°，∵AE∥BC，∴∠C=∠CAE=40°；二、考點(diǎn)精講例2：如圖，在△ABC中，點(diǎn)D是BC上一點(diǎn)，且AD=AB，AE∥BC，

∠BAD=∠CAE，連接DE交AC于點(diǎn)F．（1）若∠B=70°，求∠C的度數(shù)；（2）若AE=AC=4，AB=3，求△ADF的周長（2）∵∠BAD=∠CAE，∴∠BAD+∠CAD=∠CAE+∠CAD，即∠BAC=∠DAE，在△BAC和△DAE中，AB＝AD，∠BAC＝∠DAE，AC＝AE∴△BAC≌△DAE（SAS），∴∠C=∠E，∵AE∥BC，∴∠E=∠FDC，∴∠C=∠FDC，∴FD=FC，∵AD=AB=3，AC=4，∴△ADF的周長=AD+DF+AF=AD+FC+AF=AD+AC=3+4=7．二、考點(diǎn)精講考點(diǎn)三：直角三角形的性質(zhì)及判定例3：已知，如圖，Rt△ABC中，∠B=90°，AB=6，BC=4，以斜邊AC為底邊作等腰三角形ACD，腰AD剛好滿足AD∥BC，并作腰上的高AE.（1）求證：AB=AE；（2）求CD．證明：（1）∵DA=DC，∴∠DAC=∠DCA，∵AD∥BC，∴∠DAC=∠BCA，∴∠ACB=∠DCA，又∵AE⊥CD，∴∠A=∠AEC=90°，在△ABC和△AEC中，∠B＝∠AEC ,∠ACB＝∠DCA,AC＝AC ∴△ABC≌△AEC（AAS）∴AB=AE；二、考點(diǎn)精講考點(diǎn)三：直角三角形的性質(zhì)及判定例3：已知，如圖，Rt△ABC中，∠B=90°，AB=6，BC=4，以斜邊AC為底邊作等腰三角形ACD，腰AD剛好滿足AD∥BC，并作腰上的高AE.（1）求證：AB=AE；（2）求CD．解：(2)由(1)得：AE=AB=6，CE=CB=4，設(shè)DC=x，則DA=x，DE=x-4，由勾股定理得：DE2+AE2=DA2，即(x-4)2+62=x2，解得：x=6.5，即CD=6.5二、考點(diǎn)精講考點(diǎn)四：線段的垂直平分線性質(zhì)例4：如圖，在△ABC中，DE垂直平分BC，分別交BC、AB于D、E，連接CE，BF平分∠ABC，交CE于F，若BE=AC，∠ACE=12°，求∠EBF的度數(shù)．解：∵DE垂直平分BC，∴EB=EC，

∴∠EBC=∠ECB，

∵EB=CA，∴EC=CA，

∵∠ACE=12°，

∴∠A=∠AEC=（180°-∠ACE）÷2=84°，

∴∠AEC=∠EBC+∠ECB=84°，

∴∠EBC=∠ECB=42°，

∵BF平分∠ABC，∴∠EBF=∠ABC=21°，

∴∠EBF的度數(shù)為21°．二、考點(diǎn)精講考點(diǎn)五：角平分線性質(zhì)例5：如圖，點(diǎn)P在∠AOB的平分線上，PC⊥OA于點(diǎn)C，∠AOB=30°，點(diǎn)D在邊OB上，且OD=DP=2．求線段CP的長．解：過P作PE⊥OB于E，∵點(diǎn)P在∠AOB的平分線上，PC⊥OA，∴PC=PE，∠AOP=∠BOP，∵OD=DP，∴∠BOP=∠DPO，∴∠AOP=∠DPO，∴PD∥OA，∴∠PDE=∠AOB，∵∠AOB=30°，∴∠PDE=30°，∵∠PEO=90°，DP=2，∴PE

=

DP=1，∴PC=1．1.用反證法證明命題“已知在△ABC中，AB=AC，則∠B＜90°”時(shí)，首先應(yīng)該假設(shè)（）A．∠B≥90° B．∠B＞90°C．AB≠AC D．AB≠AC且∠B≥90°三、課堂練習(xí)A2.如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，則點(diǎn)C到直線AB的距離是（）A．3.6B．3 C．2.4D．2三、課堂練習(xí)C3．如圖，在△ABC中，AB＝AC，D為AB邊的中點(diǎn)，DE⊥AC于點(diǎn)E，DF⊥BC于點(diǎn)F，DE＝DF．求證：△ABC是等邊三角形．

證明：∵D為AB的中點(diǎn)，∴AD＝BD．∵DE⊥AC，DF⊥BC，∴∠AED＝∠BFD＝90°．在Rt△ADE和Rt△BDF中，AC=BD，DE=DF∴Rt△ADE≌Rt△BDF（HL），∴∠A＝∠B，∴CA＝CB，∵AB＝AC，∴AB＝BC＝AC∴△ABC是等邊三角形．三、課堂練習(xí)4．如圖，在等邊三角形ABC中，點(diǎn)D，E分別在邊BC，AC上，且DE∥AB，過點(diǎn)E作EF⊥DE，交BC的延長線于點(diǎn)F．（1）求∠F的度數(shù)；（2）若CD＝2，求DF的長．

解：（1）∵△ABC是等邊三角形，∴∠A＝∠B＝∠ACB＝60°．∵DE∥AB，∴∠B＝EDC＝60°，∠A＝∠CED＝60°，∴∠EDC＝∠ECD＝∠DEC＝60°，∵EF⊥ED，∴∠DEF＝90°，∴∠F＝30°；（2）∵∠F+∠FEC＝∠ECD＝60°，∴∠F＝∠FEC＝30°，∴CE＝CF．∵∠EDC＝∠ECD＝∠DEC＝60°，∴CE＝DC