2022-2023學年山東省臨沂市高一年級下冊學期期中考試數學試題【含答案】

一、單選題1．設是虛數單位，若復數的實部與虛部互為相反數，則實數（

）A．5 B． C．3 D．A【分析】根據已知結合復數的定義列式，即可解出答案.【詳解】復數的實部與虛部互為相反數，，解得：，故選：A.2．下列說法中，正確的是（

）A．以直角三角形的一邊所在直線為軸旋轉一周所得的幾何體是圓錐B．以正方體的頂點為頂點可以構成正四棱錐C．用一個平面截圓錐，得到一個圓錐和圓臺D．用一個平面去截球，得到的截面是一個圓面D【分析】利用圓錐定義判斷選項A；利用正四棱錐定義判斷選項B；利用圓臺定義判斷選項C；利用球的性質判斷選項D.【詳解】選項A：以直角三角形的一個直角邊所在直線為軸旋轉一周所得的幾何體是圓錐.判斷錯誤；選項B：由正四棱錐定義可得以正方體的頂點為頂點不可以構成正四棱錐.判斷錯誤；選項C：用一個平行于底面的平面截圓錐，得到一個圓錐和圓臺.判斷錯誤；選項D：用一個平面去截球，得到的截面是一個圓面.判斷正確.故選：D3．已知向量不共線，若，，，則四邊形是A．梯形 B．平行四邊形C．矩形 D．菱形A【分析】根據線性運算可求得，得到平行關系和模長關系，從而得到四邊形形狀.【詳解】且

四邊形為梯形本題正確選項：本題考查根據向量線性運算結果判斷四邊形形狀的問題，關鍵是能夠通過向量加法運算得到向量平行和模長的關系.4．圓臺的體積為7π，上、下底面的半徑分別為1和2，則圓臺的高為()A．3 B．4 C．5 D．6A【詳解】由題意，V＝(π＋2π＋4π)h＝7π，∴h＝3.故選A.5．如圖所示的中，點分別在邊上，且，則向量（

）

A． B．C． D．D【分析】根據題目條件，結合平面向量運算的三角形法則，進行推導即可．【詳解】；；，；；又；；故選：D．6．在正方體中，二面角的大小是（

）A． B． C． D．C【分析】根據二面角的定義確定平面角，結合正方體的性質求解.【詳解】

因為平面，又平面所以，所以即為二面角的平面角，因為，所以二面角的大小是．故選：C．7．若的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且b＝2，c＝，△ABC的面積S＝cosA，則a＝（

）A．1 B．C． D．A由三角形的面積公式和已知條件得出sinA＝cosA，再由同角三角函數間的關系求得cosA＝，運用余弦定理可求得邊a.【詳解】因為b＝2，c＝，S＝cosA＝bcsinA＝sinA，所以sinA＝cosA.所以sin2A＋cos2A＝cos2A＋cos2A＝cos2A＝1.又，所以所以，故解得cosA＝.所以a2＝b2＋c2－2bccosA＝4＋5－2×2××＝9－8＝1，所以a＝1.故選：A.本題綜合考查運用三角形面積公式和余弦定理求解三角形，屬于中檔題.8．一個側棱長為的直棱柱的底面用斜二測畫法所畫出的水平放置的直觀圖為如圖所示的菱形，其中，則該直棱柱的體積為（

）

A． B． C． D．A【分析】先利用題給條件求得該直棱柱的底面積，進而求得該直棱柱的體積.【詳解】該直棱柱的底面則該直棱柱的底面為長2寬1的矩形，其面積為，則該直棱柱的體積為

故選：A二、多選題9．已知復數，則下列結論中正確的是（

）A．對應的點位于第二象限 B．的虛部為C． D．BCD【分析】求得對應的點所在象限判斷選項A；求得的虛部判斷選項B；求得的值判斷選項C；求得的值判斷選項D.【詳解】，則選項A：對應的點為，位于第一象限.判斷錯誤；選項B：的虛部為.判斷正確；選項C判斷正確；選項D判斷正確.故選：BCD10．下列說法中不正確的是（

）A．向量能作為平面內所有向量的一組基底B．已知為單位向量，若，則在上的投影向量為C．若，則與垂直的單位向量坐標為或D．若，則與的夾角是鈍角ABD【分析】依據向量的基底定義判斷選項A；求得在上的投影向量判斷選項B；求得與垂直的單位向量坐標判斷選項C；求得與的夾角判斷選項D.【詳解】選項A：，則，則向量不能作為平面內所有向量的一組基底.判斷錯誤；選項B：已知為單位向量，若，則在上的投影向量為.判斷錯誤；選項C：若，設與垂直的單位向量坐標為，則，解之得或則與垂直的單位向量坐標為或.判斷正確；選項D：若，則與的夾角是鈍角或平角.判斷錯誤.故選：ABD11．如圖所示，是的直徑，垂直于所在的平面，點是圓周上不同于的任意一點，分別為的中點，則下列結論正確的是（

）

A．B．與所成的角為C．平面D．平面平面ACD【分析】求得位置關系判斷選項A；求得與所成的角判斷選項B；求得與平面位置關系判斷選項C；求得平面與平面位置關系判斷選項D.【詳解】選項A：是的直徑，則，又分別為的中點，則，則.判斷正確；選項B：由可得與所成的角為.判斷錯誤；選項C：垂直于所在的平面，則平面，又平面，則，又，，平面，則平面.判斷正確；選項D：由平面，平面，可得平面平面.判斷正確.故選：ACD12．如圖，已知棱長為1的正方體中，下列命題正確的是（

）

A．正方體外接球的直徑為B．點在線段上運動，則四面體的體積不變C．與所有12條棱都相切的球的體積為D．是正方體的內切球的球面上任意一點，則長的最小值是ABC【分析】求得正方體外接球的直徑判斷選項A；求得四面體的體積是否變化判斷選項B；求得與所有12條棱都相切的球的體積判斷選項C；求得長的最小值判斷選項D.【詳解】選項A：連接，則為正方體外接球的直徑，又，則正方體外接球的直徑為.判斷正確；選項B：點在線段上運動，點到平面的距離恒為1，則四面體的體積不變.判斷正確；選項C：與所有12條棱都相切的球的半徑為，該球體積為，則與所有12條棱都相切的球的體積為.判斷正確；選項D：正方體的內切球的半徑為，球心為中點，是球面上任意一點，則長的最小值是.判斷錯誤.

故選：ABC三、填空題13．已知向量，，則________．2【分析】根據向量的數量積的坐標運算可得.【詳解】解：，故本題考查平面向量的數量積的坐標運算，屬于基礎題.14．若是虛數單位，復數滿足，則___________.【分析】根據復數的四則運算法則和復數的模的計算公式，即可化簡得到答案.【詳解】由題意，復數滿足，則,所以.故答案為本題主要考查了復數的運算與化簡和復數模的求解，其中熟記復數的四則運算和復數模的計算公式是解答的關鍵，著重考查了推理與運算能力.15．直三棱柱的各個頂點都在球O的球面上，且．若球O的表面積為，則這個三棱柱的體積是_________．【分析】由已知直三棱柱的底面為直角三角形，所以其外接球的球心位于側面的中心，根據球的半徑計算棱柱的高即可求出棱柱的體積．【詳解】解：，，，直三棱柱外接球的球心即為側面的中心，設球半徑為，則，，即，直三棱柱的高，直三棱柱的體積，故．四、雙空題16．在矩形中，平面，則與平面所成的角是_____．四棱錐的外接球的表面積為____．/【分析】先求得與平面所成的角，進而求得其大小；先求得四棱錐的外接球半徑，進而求得其表面積.【詳解】四棱錐中，平面，則是與平面所成的角，又矩形中，，則，又，，則，，又，則，則與平面所成的角是；四棱錐可以補形為長方體，則四棱錐的外接球的直徑為，又，則四棱錐的外接球的半徑為1，則四棱錐的外接球的表面積為.故；五、解答題17．已知復平面內復數，，所對應的點分別為，，．(1)求，的值；(2)求．(1)，(2)【分析】（1）首先根據復數在復平面內的坐標得到復數，，，再根據復數代數形式的運算法則計算可得；（2）首先求出，，再根據向量的夾角公式計算可得；【詳解】（1）解：因為復平面內復數，，所對應的點分別為，，，所以，，，所以，（2）解：因為，，，所以，，所以，，所以18．的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c.已知.（1）求角C；（2）若，，求的周長.（1）（2）【詳解】試題分析：（1）根據正弦定理把化成，利用和角公式可得從而求得角；（2）根據三角形的面積和角的值求得，由余弦定理求得邊得到的周長.試題解析：（1）由已知可得（2）又，的周長為正余弦定理解三角形.19．已知向量，．(1)求；(2)已知，且，求向量與向量的夾角．(1)；(2).【分析】（1）利用向量的坐標表示，再借助坐標計算向量的模作答.（2）由向量的模，結合向量的數量積運算律轉化求出向量的數量積，再求出夾角作答.【詳解】（1）向量，，則，所以.（2）由，，得，解得，由，得，于是，而，則有，所以向量與向量的夾角.20．如圖所示，四邊形ABCD是正方形，DE⊥平面ABCD，DE＝DA＝2.(1)求證：AC⊥平面BDE；(2)求AE與平面BDE所成的角的大小.（1）證明見解析；（2）30°.【分析】(1)由四邊形ABCD是正方形，得到AC⊥BD，再由DE⊥平面ABCD，得到AC⊥DE，然后利用線面垂直的判定定理證明；(2)設AC∩BD＝O，連接EO，根據AC⊥平面BDE，得到∠AEO即為AE與平面BDE所成的角.求解.【詳解】(1)∵四邊形ABCD是正方形，∴AC⊥BD.∵DE⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，∴AC⊥DE，∵BD，DE?平面BED，BD∩DE＝D，∴AC⊥平面BDE.(2)設AC∩BD＝O，連接EO，如圖所示.∵AC⊥平面BDE，∴EO是直線AE在平面BDE上的射影，∴∠AEO即為AE與平面BDE所成的角.在RtEAD中，EA＝，∴在Rt△EOA中，sin∠AEO＝，∴∠AEO＝30°，即AE與平面BDE所成的角為30°.方法點睛：幾何法求線面角、二面角的常用方法：（1）線面角的求法，找出斜線在平面上的射影，關鍵是作垂線，找垂足，要把線面角轉化到一個三角形中求解．（2）二面角的求法，二面角的大小用它的平面角來度量．平面角的作法常見的有①定義法；②垂面法．注意利用等腰、等邊三角形的性質．21．在三棱錐中，平面ABC，平面平面PBC.求證證明見解析【分析】利用面面垂直的性質定理可證出平面PBC，從而證出，再結合，即可證出平面PAB，進而證出.【詳解】證明：如圖所示，在平面AB內作于點D.∵平面平面PBC，且平面平面，∴平面PBC.又平面PBC，∴.∵平面ABC，平面ABC，∴.∵，∴平面PAB.又平面PMB，∴.本題考查了平面與平面垂直的性質定理、線面垂直的判定定理，考查了學生的推理能力，屬于基礎題.22．如圖，已知點是正方形所在平面外一點，，分別是，的中點.(1)求證：平面；(2)若中點為，求證：平面平面.(3)若平面，，求直線與面所成的角.(1)證明見解析(2)證明見解析(3)【分析】（1）取的中點，連接，，即可證明四邊形為平行四邊形，所以，從而得證；（2）依題意可得即可得到平面，再結合（1）的結論，即可得證；（3）依題意可得平面平面