高二上學(xué)期期中（11月）檢測(cè)模擬試卷（立體幾何、直線與圓、橢圓、雙曲線）（解析版）

期中考試（11月）模擬試卷(時(shí)間：120分鐘，分值：150分）范圍：立體幾何，直線與圓，橢圓，雙曲線一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每個(gè)小題紿岀的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1．直線的傾斜角是（

）A． B． C． D．不存在【答案】A【分析】根據(jù)直線與軸垂直可直接得到結(jié)果.【詳解】直線與軸垂直，的傾斜角為.故選：A.2．如圖．空間四邊形OABC中，，點(diǎn)M在OA上，且滿足，點(diǎn)N為BC的中點(diǎn)，則（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】選擇基底，利用向量加法的三角形法則轉(zhuǎn)化化簡即可.【詳解】如圖，.故選：B.3．若方程表示橢圓，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】二次曲線表示橢圓的條件為.【詳解】變形為，要表示橢圓需要滿足，解得.故選：C.4．已知，，，，，則與夾角的余弦值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由向量的平行和垂直可得關(guān)于的關(guān)系式，解得的值，從而可得向量與的坐標(biāo)，進(jìn)而由夾角公式可得結(jié)論．【詳解】解：因?yàn)?，所以，解得，，?,，又因?yàn)?，所以，即，解得．所?4,，,,，所以,2,，,,，所以，，，設(shè)與的夾角為，則．故選：A.5．設(shè)直線系，對(duì)于下列四個(gè)結(jié)論：（1）當(dāng)直線垂直于軸時(shí)，或；（2）當(dāng)時(shí)，直線傾斜角為；（3）中所有直線均經(jīng)過一個(gè)定點(diǎn)；（4）存在定點(diǎn)不在中任意一條直線上．其中正確的是（

）A．①② B．③④ C．②③ D．②④【答案】D【分析】由直線斜率不存在可判斷（1），由直線斜率與傾斜角的關(guān)系可判斷（2），化簡消參可知直線系表示圓的切線的集合，故不經(jīng)過某一定點(diǎn)，由點(diǎn)不在直線上可知（4）正確.【詳解】，（1）當(dāng)直線垂直于軸時(shí)，則，解得或或，故（1）錯(cuò)誤；（2）當(dāng)時(shí)，直線方程為：，斜率，即，傾斜角，故（2）正確；（3）由直線系可令，消去可得，故直線系表示圓的切線的集合，故（3）不正確．（4）因?yàn)閷?duì)任意，存在定點(diǎn)不在直線系中的任意一條上，故（4）正確；故選：D．6．方程表示的幾何圖形是（

）A．一點(diǎn)和一圓 B．兩點(diǎn) C．一圓 D．兩圓【答案】A【分析】分，討論，結(jié)合條件及圓的方程即得.【詳解】由可得，當(dāng)時(shí)，，即表示以為圓心，以為半徑的圓，當(dāng)時(shí)，，即，表示點(diǎn)，綜上，方程表示的幾何圖形是一點(diǎn)和一圓.故選：A.7．已知圓和，動(dòng)圓M與圓，圓均相切，P是的內(nèi)心，且，則a的值為（

）A．9 B．11 C．17或19 D．19【答案】C【分析】由兩圓方程得圓內(nèi)含于圓，由P是的內(nèi)心，且得，動(dòng)圓M內(nèi)切于圓，分別討論圓內(nèi)切、外切于動(dòng)圓M，由圓心距得，即可求解【詳解】根據(jù)題意：圓，其圓心，半徑，圓，其圓心，半徑，又因?yàn)?，所以圓心距，所以圓內(nèi)含于圓，因?yàn)镻為的內(nèi)心，設(shè)內(nèi)切圓的半徑為，又由，則有，得，因?yàn)閯?dòng)圓M與圓，圓均相切，設(shè)圓M的半徑為r，（1）當(dāng)動(dòng)圓M內(nèi)切于圓，與圓外切（），則有，，所以，所以，得a＝17；（2）當(dāng)動(dòng)圓M內(nèi)切于圓，圓內(nèi)切于動(dòng)圓M，則有，，所以，所以，得a＝19.綜上可得：a＝17或19；故選：C．8．已知分別為雙曲線的左?右焦點(diǎn)，為雙曲線的右頂點(diǎn).過的直線與雙曲線的右支交于兩點(diǎn)（其中點(diǎn)在第一象限），設(shè)分別為的內(nèi)心，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】由內(nèi)心的性質(zhì)，可知M，N的橫坐標(biāo)都是a，得到MN⊥x軸，設(shè)直線AB的傾斜角為θ，有，將表示為θ的三角函數(shù)，結(jié)合正切函數(shù)的性質(zhì)可求得范圍.【詳解】設(shè)上的切點(diǎn)分別為H?I?J，則.由，得，∴，即.設(shè)內(nèi)心M的橫坐標(biāo)為，由軸得點(diǎn)J的橫坐標(biāo)也為，則，得，則E為直線與x軸的交點(diǎn)，即J與E重合.同理可得的內(nèi)心在直線上，設(shè)直線的領(lǐng)斜角為，則，，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，由題知，，因?yàn)锳，B兩點(diǎn)在雙曲線的右支上，∴，且，所以或，∴且，∴，綜上所述，.故選：B.二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9．已知平面，其中點(diǎn)是平面內(nèi)的一定點(diǎn)，是平面的一個(gè)法向量，若坐標(biāo)為，，則下列各點(diǎn)中在平面內(nèi)的是（

）A． B． C． D．【答案】ABC【分析】對(duì)各選項(xiàng)中點(diǎn)的坐標(biāo)是否滿足進(jìn)行驗(yàn)證，即可得出合適的選項(xiàng).【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，，，A滿足；對(duì)于B選項(xiàng)，，，B滿足；對(duì)于C選項(xiàng)，，，C滿足；對(duì)于D選項(xiàng)，，，D不滿足.故選：ABC.10．下列結(jié)論正確的是（

）A．若三點(diǎn)共線，則的值為0；B．已知兩點(diǎn)，過點(diǎn)的直線與線段有公共點(diǎn)，則直線的斜率的取值范圍為；C．圓上有且僅有3個(gè)點(diǎn)到直線的距離都等于1；D．與圓相切，且在軸?軸上的截距相等的直線有三條.【答案】ACD【分析】根據(jù)三點(diǎn)共線、直線與線段有公共點(diǎn)、直線和圓的位置關(guān)系等知識(shí)對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行分析，從而確定正確答案.【詳解】A選項(xiàng)，，由于三點(diǎn)共線，所以共線，所以，A選項(xiàng)正確.B選項(xiàng)，，結(jié)合圖象可知，直線的斜率的取值范圍為，所以B選項(xiàng)錯(cuò)誤.C選項(xiàng)，圓的圓心為，半徑為，圓心到直線的距離為，所以圓上有且僅有3個(gè)點(diǎn)到直線的距離等于，C選項(xiàng)正確.D選項(xiàng)，當(dāng)直線過原點(diǎn)時(shí)，設(shè)直線方程為，圓心到直線的距離等于半徑，即，解得，直線方程為或.當(dāng)直線不過原點(diǎn)時(shí)，設(shè)直線方程為，圓心到直線的距離等于半徑，即，解得或（舍去）.直線方程為，綜上所述，與圓相切，且在軸?軸上的截距相等的直線有三條，D選項(xiàng)正確.故選：ACD11．已知橢圓，C的左、右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)B是短軸的一個(gè)端點(diǎn)，為正三角形，且面積為，經(jīng)過焦點(diǎn)的直線l交橢圓C于P，Q兩點(diǎn)（P，Q不在x軸上），則（

）A．橢圓C離心率為B．的周長為定值8C．的長度最小值為3D．的面積最大值為【答案】ABC【分析】根據(jù)為正三角形面積為求出、，利用求出，再由可判斷A；由的周長為可判斷B；設(shè)，設(shè)直線l的方程為，與橢圓方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理和弦長公式，根據(jù)得出的范圍可判斷C；設(shè)，的面積為，當(dāng)最大時(shí)面積最大可判斷D.【詳解】已知橢圓，C的左、右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)B是短軸的一個(gè)端點(diǎn)，對(duì)于A，因?yàn)闉檎切?，且面積為，所以，，即，解得，，所以，，所以橢圓C離心率為，故A正確；對(duì)于B，的周長為，故B正確；對(duì)于C，根據(jù)A可得，設(shè)，設(shè)直線l的方程為，橢圓方程為，聯(lián)立，整理得，所以，，因?yàn)椋?，即，故C正確；對(duì)于D，設(shè)，根據(jù)A可得，，則的面積為，當(dāng)時(shí)面積最大，為，故D錯(cuò)誤.故選：ABC.12．已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，且，A，P，B為雙曲線上不同的三點(diǎn)，且A，B兩點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，直線與斜率的乘積為1，則（

）A．B．雙曲線C的離心率為C．直線傾斜角的取值范圍為D．若，則三角形的面積為2【答案】ABD【分析】根據(jù)雙曲線的幾何性質(zhì)，再對(duì)各個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行逐個(gè)計(jì)算檢驗(yàn)即可得出結(jié)論.【詳解】設(shè)焦距為，則，設(shè)，則，，作差得，即，，故，又，所以，A正確；而離心率，B正確；雙曲線C的漸近線方程為，直線過原點(diǎn)，由題可知直線與C有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，所以直線傾斜角的取值范圍為，C錯(cuò)誤；若，則，由雙曲線的定義以及選項(xiàng)A的結(jié)論可得，故，又，可得，所以三角形的面積為，D正確．故選：ABD.【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線的簡單性質(zhì)的應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力的應(yīng)用，是較難題.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共計(jì)20分.13．已知一束光線從點(diǎn)射出，經(jīng)y軸反射后，反射光線所在直線與直線垂直，則反射光線所在直線l的方程為_________．【答案】【分析】根據(jù)反射的性質(zhì)，結(jié)合互相垂直的直線的性質(zhì)進(jìn)行求解即可.【詳解】因?yàn)榉瓷涔饩€所在直線與直線垂直，所以可設(shè)反射光線所在直線方程為：，點(diǎn)關(guān)于y軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為，顯然點(diǎn)在直線上，所以，即，故答案為：14．已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，是橢圓上一點(diǎn)，且直線的斜率為，若半徑為的圓同時(shí)與的延長線，的延長線以及線段相切，則橢圓的離心率為______．【答案】##【分析】根據(jù)切線長、橢圓的定義、二倍角公式等知識(shí)列方程，化簡求得.【詳解】設(shè)圓分別與的延長線，的延長線以及線段相切于點(diǎn)，，，則，，，所以，，，所以，解得，即，又，，整理得，所以橢圓的離心率為．故答案為：15．在中，，點(diǎn)是邊上的一點(diǎn)，且，當(dāng)?shù)拿娣e最大時(shí)，則____________.【答案】##0.5【分析】建立平面直角坐標(biāo)系，求出點(diǎn)?的軌跡為以?為圓心，半徑為2的圓，數(shù)形結(jié)合，得到當(dāng)?在?處時(shí)，?的面積最大，從而求出.【詳解】建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系.則?.令?.由?，即?.所以?，即點(diǎn)?的軌跡為以?為圓心，半徑為2的圓.所以當(dāng)?在?處時(shí)，?的面積最大.所以.故答案為：16．在正三棱錐中，，為的中點(diǎn)，為上靠近的三等分點(diǎn)，在平面上，且滿足，在的邊界上運(yùn)動(dòng)，則直線與所成角的余弦值的取值范圍是___________.【答案】【分析】分析可知的軌跡以點(diǎn)為圓心，半徑長為的圓，分析出取最大值和最小值時(shí)，點(diǎn)、的位置，利用余弦定理可求得直線與所成角的余弦值的最小值和最大值，即可得解.【詳解】設(shè)點(diǎn)在平面內(nèi)的射影為點(diǎn)，則為正的中心，為的中點(diǎn)，則，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、的方向分別為、、軸的正方向建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，，則，平面，平面，，，則、、、、、，設(shè)點(diǎn)，，，所以，，可得，易知的內(nèi)切圓半徑為，故點(diǎn)在內(nèi)運(yùn)動(dòng)，所以點(diǎn)在以點(diǎn)為圓心，半徑長為的圓上運(yùn)動(dòng)，作出的平面圖如下圖所示：由于點(diǎn)是固定的，當(dāng)取最大值，此時(shí)取最大值，且此時(shí)點(diǎn)為的某個(gè)頂點(diǎn)，不妨設(shè)點(diǎn)與點(diǎn)重合，則為線段的中點(diǎn)，此時(shí)，，，所以，；當(dāng)取最小值時(shí)，則取最小值，此時(shí)點(diǎn)為某邊的中點(diǎn)，不妨設(shè)點(diǎn)與點(diǎn)重合，則點(diǎn)為的中點(diǎn)，則，，所以，.因此，直線與所成角的余弦值的取值范圍是.故答案為：.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查異面直線所成角余弦值的取值范圍，解本題的關(guān)鍵就是要確定點(diǎn)的軌跡，確定取最大值和最小值時(shí)的位置，再結(jié)合余弦定理求解.四、解答題：本題共6小題，共計(jì)70分．解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.（10分）已知直線，直線與相交于點(diǎn)；(1)求點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)若經(jīng)過點(diǎn)且與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為2，求實(shí)數(shù)的值.【答案】(1)(2)【分析】（1）通過聯(lián)立和的方程來求得點(diǎn)的坐標(biāo).（2）先求得直線的橫縱截距，利用與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積列方程來求得.（1）依題意，由解得，所以.（2）依題意，由于經(jīng)過點(diǎn)，所以①，由令得，令得，所以②，由①②解得.18．（12分）已知圓．(1)若圓C被直線截得的弦長為8，求圓C的直徑；(2)已知圓C過定點(diǎn)P，且直線與圓C交于A，B兩點(diǎn)，若，求a的取值范圍．【答案】(1)；(2).【分析】（1）根據(jù)弦長為8，利用弦心距、半徑、半弦長之間的關(guān)系列出方程求解即可；（2）求出動(dòng)圓所過定點(diǎn)，再聯(lián)立直線與圓的方程，求出交點(diǎn)坐標(biāo)，由數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算列出不等式即可求解.【詳解】（1）依題意可知圓的圓心為，到直線的距離，因?yàn)閳A被直線截得的弦長為8，所以，解得，故圓的直徑為.（2）圓的一般方程為，令，，解得，所以定點(diǎn)的坐標(biāo)為.聯(lián)立解得或所以，因?yàn)?，所?又方程表示一個(gè)圓，所以，所以的取值范圍是.19．（12分）如圖，在直三棱柱中，△ABC是以BC為斜邊的等腰直角三角形，，點(diǎn)D，E分別為棱BC，上的中點(diǎn)．(1)求證：AD//平面；(2)若二面角的大小為，求實(shí)數(shù)t的值．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）根據(jù)平行四邊形可得線線平行，根據(jù)線面平行的判定定理即可求證，（2）根據(jù)面面垂直得線面垂直，進(jìn)而根據(jù)幾何法可得二面角的平面角，進(jìn)而根據(jù)直角三角形的邊角關(guān)系即可求解，或者建立空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)空間向求解二面角.【詳解】（1）點(diǎn)D，E分別為BC，的中點(diǎn)，在直三棱柱中，，，所以四邊形為平行四邊形，連接DE，則，，所以，，所以四邊形是平行四邊形，所以．又因?yàn)槠矫?，平面，所以平面．?）方法一：在平面ABC內(nèi)，過點(diǎn)C作AD的垂線，由ABC為等腰直角三角形知垂足為D，由于平面平面,且交線為,由于平面,所以平面,平面,故,又,則為二面角的平面角，即，在等腰直角三角形ABC中，不妨設(shè)，，則，在中，，∴，∴．方法二：平面ABC，又，以為正交基底建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz，設(shè)，，則，則，，，所以，．設(shè)平面的一個(gè)法向量為，由，取，得，又平面ADC的一個(gè)法向量為，因?yàn)槎娼堑拇笮?，所以．即，，∴，∴?0．（12分）如圖，圓.(1)若圓與軸相切，求圓的方程；(2)當(dāng)時(shí)，圓與軸相交于兩點(diǎn)（點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)）.問：是否存在圓，使得過點(diǎn)的任一條直線與該圓的交點(diǎn)，都有？若存在，求出圓方程，若不存在，請(qǐng)說明理由.【答案】(1)或(2)存在，【分析】（1）根據(jù)題意可得代入則關(guān)于的二次方程判別式為0求解即可；（2）代入可求解，，再假設(shè)存在圓，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立圓的方程，設(shè)，將題意轉(zhuǎn)化為?的斜率互為相反數(shù)，進(jìn)而用的坐標(biāo)表示并代入韋達(dá)定理化簡，最后討論特殊情況當(dāng)直線與軸垂直時(shí)判斷是否滿足即可.【詳解】（1）因?yàn)橛桑傻?，由題意得，所以或，故所求圓的方程為或.（2）令，得，即，求得，或，所以，.假設(shè)存在圓，當(dāng)直線與軸不垂直時(shí)，設(shè)直線的方程為，代入得，設(shè)，從而，.因?yàn)?的斜率之和為，而因?yàn)?，所以?的斜率互為相反數(shù)，即，所以，即.當(dāng)直線與軸垂直時(shí)，仍然滿足，即?的斜率互為相反數(shù).綜上，存在圓，使得.21．（12分）已知橢圓C：的離心率為，F(xiàn)為橢圓C的右焦點(diǎn)，M為橢圓上的點(diǎn)，若|MF|的最小值為．(1)求橢圓C的方程；(2)若圓E：的切線l與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，求△FAB面積的最大值．【答案】(1);(2)4.【分析】（1）根據(jù)橢圓離心率及|MF|的最小值列方程求解即可；（2）分直線斜率存在不存在兩種情況討論，當(dāng)斜率存在時(shí)，設(shè)出直線方程與橢圓聯(lián)立，由韋達(dá)定理結(jié)合弦長公式、點(diǎn)到直線距離求出三角形面積，再換元求最值即可，當(dāng)斜率不存在時(shí)直接求解.【詳解】（1）橢圓的離心率，又|MF|的最小值為，