實(shí)際問(wèn)題與二次函數(shù)

第二十二章二次函數(shù)22.3

實(shí)際問(wèn)題與二次函數(shù)九年級(jí)數(shù)學(xué)·上新課標(biāo)

[人]一次函數(shù)與二次函數(shù)的綜合應(yīng)用理出如下信息:①該產(chǎn)品90天內(nèi)日銷(xiāo)售量(m件)與時(shí)間(第x天)滿(mǎn)足一次函數(shù)關(guān)系,部分?jǐn)?shù)據(jù)如下表:考查角度1

指明函數(shù)關(guān)系求解析式(2015·茂名中考)某公司生產(chǎn)的某種產(chǎn)品每件成本為40元,經(jīng)市場(chǎng)調(diào)查整②該產(chǎn)品90天內(nèi)每天的銷(xiāo)售價(jià)格與時(shí)間(第x天)的關(guān)系如下表:例1求m關(guān)于x的一次函數(shù)表達(dá)式;設(shè)銷(xiāo)售該產(chǎn)品每天利潤(rùn)為y元,請(qǐng)寫(xiě)出y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式,并求出在90天內(nèi)該產(chǎn)品哪天的銷(xiāo)售利潤(rùn)最大,最大利潤(rùn)是多少.【提示:每天銷(xiāo)售利潤(rùn)=日銷(xiāo)售量×(每件銷(xiāo)售價(jià)格-每件成本)】在該產(chǎn)品銷(xiāo)售的過(guò)程中,共有多少天銷(xiāo)售利潤(rùn)不低于5400元,請(qǐng)直接寫(xiě)出結(jié)果.時(shí)間(第x天)13610…日銷(xiāo)量(m件)198194188180…時(shí)間(第x天)1≤x<5050≤x≤90銷(xiāo)售價(jià)格(元/件)x+60100〔解析〕(1)用待定系數(shù)法即可求出一次函數(shù)的解析式;(2)根據(jù)利潤(rùn)=日銷(xiāo)售量×(每件銷(xiāo)售價(jià)格-每件成本)列出y與x的函數(shù)關(guān)系式,然后在自變量的取值范圍內(nèi)利用函數(shù)的性質(zhì)求出最大值;(3)1≤x<50時(shí),令-2(x-40)2=5400,解得x1=10,x2=70,由函數(shù)圖象的增減性可知從第10天到第49天,共有40天銷(xiāo)售利潤(rùn)不低于5400元;當(dāng)50≤x≤90時(shí),令-120x

=5400,解得x=55,即從第50天到第55天共6天銷(xiāo)售利潤(rùn)不低于5400元.所以一共有46天銷(xiāo)售利潤(rùn)不低于5400元.解:(1)∵m與x滿(mǎn)足一次函數(shù)關(guān)系，∴m關(guān)于x的一次函數(shù)表達(dá)式為m=-2x+200.(經(jīng)檢驗(yàn),符合題意)

k

+

b

=

198,∴設(shè)m=kx+b,將x=1,m=198,x=3,m=194代入,

得

3k

+

b

=

194,解得b

=200.(2)由題意知y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式為:當(dāng)1≤x<50時(shí),y=-2x2+160x=-2(x-40)2,

k

=

-2,

-2

x

2

+

160

x

+

4000

(1

￡

x

￡

50

,y

=

-120

x

+

12000

(50

￡

x

￡

90

),∵-2<0,∴當(dāng)x=40時(shí),y有最大值,最大值是7200.當(dāng)50≤x≤90時(shí),y=-120x

，∵-120<0,∴y隨x的增大而減小,

即當(dāng)x=50時(shí),y的值最大,最大值是6000.綜上所述,當(dāng)x=40時(shí),y的值最大,最大值是7200.(3)有46天銷(xiāo)售利潤(rùn)不低于5400元.【解題歸納】本題為二次函數(shù)與一次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用,求解此類(lèi)問(wèn)題時(shí)一定要明白相應(yīng)的等量關(guān)系,如本題中的“每天銷(xiāo)售利潤(rùn)=日銷(xiāo)售量×(每件銷(xiāo)售價(jià)格-每件成本)”.1.(2015·莆田中考)某動(dòng)車(chē)站在原有的普通售票窗口外新增了無(wú)人售票窗口,普通售票窗口從上午8點(diǎn)開(kāi)放,而無(wú)人售票窗口從上午7點(diǎn)開(kāi)放.某日從上午7點(diǎn)至10點(diǎn),每個(gè)普通售票窗口售出的車(chē)票數(shù)y1(張)與售票時(shí)間x(小時(shí))的變化趨勢(shì)如圖(1)所示,每個(gè)無(wú)人售票窗口售出的車(chē)票數(shù)y2(張)與售票時(shí)間x(小時(shí))的變化趨勢(shì)是以原點(diǎn)為頂點(diǎn)的拋物線的一部分,如圖(2)所示.若該日截至上午9點(diǎn),每個(gè)普通售票窗口與每個(gè)無(wú)人售票窗口售出的車(chē)票數(shù)恰好相同.求圖(2)中的拋物線的解析式;若該日共開(kāi)放5個(gè)無(wú)人售票窗口,截至上午10點(diǎn),兩種窗口共售出的車(chē)票數(shù)不少于900張,則至少需要開(kāi)放多少個(gè)普通售票窗口?解:(1)由題意可設(shè)y2=ax2,當(dāng)x=2時(shí),y2=y1=40.把(2,40)代入y2=ax2,得a=10.∴y2=10x2.(2)設(shè)y1=kx+b

(1≤x≤3),把(1,0),(2,40)分別代入y1=kx+b,易得y1=40x-40.當(dāng)x=3時(shí),y1=80,y2=90.設(shè)需要開(kāi)放m個(gè)普通售票窗口,則80m+90×5≥900，5∴m

≥5

8

.∵m取整數(shù),∴m≥6.答:至少需要開(kāi)放6個(gè)普通售票窗口.考查角度2

根據(jù)圖象或表格判斷函數(shù)關(guān)系(2015·黃陂區(qū)校級(jí)模擬)在“母親節(jié)”期間,某校部分團(tuán)員參加社會(huì)公益活動(dòng),例2準(zhǔn)備購(gòu)進(jìn)一批許愿瓶進(jìn)行銷(xiāo)售,并將所得利潤(rùn)捐給慈善機(jī)構(gòu).根據(jù)市場(chǎng)調(diào)查,這種許愿瓶一段時(shí)間內(nèi)的銷(xiāo)售量y(個(gè))與銷(xiāo)售單價(jià)x(元)之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系如圖22-56所示.(1)試判斷y與x

之間的函數(shù)關(guān)系,并求出函數(shù)關(guān)系式;若許愿瓶的進(jìn)價(jià)為6元/個(gè),按照上述市場(chǎng)調(diào)查的銷(xiāo)售規(guī)律,求銷(xiāo)售利潤(rùn)w(元)與銷(xiāo)售單價(jià)x(元)之間的函數(shù)關(guān)系式;在(2)的前提下,若許愿瓶的進(jìn)貨成本不超過(guò)900元,要想獲得最大的利潤(rùn),試確定這種許愿瓶的銷(xiāo)售單價(jià),并求出此時(shí)的最大利潤(rùn).〔解析〕(1)觀察可得該函數(shù)圖象是一次函數(shù)的圖象，設(shè)出一次函數(shù)解析式,把其中兩點(diǎn)代入即可求得該函

數(shù)解析式,把其余兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)代入看函數(shù)值是否與

點(diǎn)的縱坐標(biāo)相同;(2)銷(xiāo)售利潤(rùn)=每個(gè)許愿瓶的利潤(rùn)×銷(xiāo)售量;(3)根據(jù)進(jìn)貨成本可得自變量的取值范圍,結(jié)合二次函數(shù)的關(guān)系式即可求得相應(yīng)的最大利潤(rùn).解:(1)y是x的一次函數(shù),設(shè)y=kx+b，∵圖象過(guò)點(diǎn)(10,300),(12,240)，∴

10k

+

b

=

300,

k

=

-30,7802·(-30)故y與x

之間的函數(shù)關(guān)系式為y=-30x+600,

當(dāng)x=14時(shí),y=180;當(dāng)x=16時(shí),y=120，即點(diǎn)(14,180),(16,120)均在函數(shù)y=-30x+600的圖象上.∴y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為y=-30x+600.w=(x-6)(-30x+600)=-30x2+780x-3600,即w與x之間的函數(shù)關(guān)系式為w=-30x2+780x-3600.由題意得6(-30x+600)≤900,解得x≥15，解得12k

+

b

=

240,

b

=

600.函數(shù)w=-30x2+780x-3600圖象的對(duì)稱(chēng)軸為直線x=-=13,∵a=-30<0,

∴拋物線開(kāi)口向下,當(dāng)x≥15時(shí),w隨x的增大而減小,∴當(dāng)x=15時(shí),w最大=1350.

∴當(dāng)銷(xiāo)售單價(jià)為15元時(shí)，銷(xiāo)售這批許愿瓶可獲得最大利潤(rùn),為1350元.【解題歸納】函數(shù)圖象上的點(diǎn)在同一直線上,則此函數(shù)是一次函數(shù),利用待定系數(shù)法即可求出函數(shù)解析式.2.某企業(yè)信息部進(jìn)行市場(chǎng)調(diào)研發(fā)現(xiàn):信息一:如果單獨(dú)投資A種產(chǎn)品,所獲利潤(rùn)yA(萬(wàn)元)與投資金額x(萬(wàn)元)之間存在某種關(guān)系的部分對(duì)應(yīng)值如下表:信息二:如果單獨(dú)投資B種產(chǎn)品,則所獲利潤(rùn)yB(萬(wàn)元)與投資金額x(萬(wàn)元)之間存在二次函數(shù)關(guān)系:yB=ax2+bx,且投資2萬(wàn)元時(shí)獲利潤(rùn)2.4萬(wàn)元,當(dāng)投資4萬(wàn)元時(shí),可獲利潤(rùn)3.2萬(wàn)元.求出yB與x的函數(shù)關(guān)系式;從所學(xué)過(guò)的一次函數(shù)、二次函數(shù)中確定哪種函數(shù)能表示yA與x之間的關(guān)系,并求出yA與x的函數(shù)關(guān)系式;如果企業(yè)同時(shí)對(duì)A,B兩種產(chǎn)品共投資15萬(wàn)元,請(qǐng)?jiān)O(shè)計(jì)一個(gè)能獲得最大利潤(rùn)的投資方案,并求出按此方案能獲得的最大利潤(rùn)是多少.x(萬(wàn)元)122.535yA(萬(wàn)元)0.40.811.22解:(1)由題意將(2,2.4),(4,3.2)代入函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)B=ax2+bx，16a

+

4b

=

3.2,

b

=

1.6,得

4a

+

2b

=

2.4,

解得

a

=

-0.2,∴yB與x的函數(shù)關(guān)系式為yB=-0.2x2+1.6x.(2)根據(jù)表格中的對(duì)應(yīng)值可以確定為一次函數(shù),故設(shè)函數(shù)關(guān)系式為yA=kx+m,解得

k

=0.4,(3)設(shè)投資B種產(chǎn)品x萬(wàn)元,投資A種產(chǎn)品(15-x)萬(wàn)元,總利潤(rùn)為W萬(wàn)元，W=

-

0.2x2+1.6