自動控制原理第4章-根軌跡

第四章

根軌跡法

控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性是由其閉環(huán)傳遞函數的極點（特征根Pi）所決定的。要使系統(tǒng)穩(wěn)定，則系統(tǒng)的特征根（閉環(huán)極點）必須在s復平面的左半平面內。第四章

根軌跡法第四章

根軌跡法

根軌跡法——不直接求解特征方程，而是用復平面上的系統(tǒng)的開環(huán)零、極點來確定系統(tǒng)的閉環(huán)零、極點的圖解方法。

特點：

（1）圖解方法，直觀、形象。（2）適用于研究當系統(tǒng)中某一參數變化時，系統(tǒng)性能的變化趨勢。（3）近似方法，不十分精確。第四章

根軌跡法

如圖所示單位負反饋控制系統(tǒng)，其開環(huán)傳遞函數為§4.1根軌跡的基本概念4.1.1

根軌跡該系統(tǒng)的開環(huán)極點為P1=0，P2=-1。系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數：系統(tǒng)的特征方程：第四章

根軌跡法第四章

根軌跡法

根軌跡是指系統(tǒng)中某個參數的數值從零變到無窮大時，系統(tǒng)閉環(huán)特征方程的根在復平面上的變化軌跡。(1)當0≤K<0.25時，閉環(huán)系統(tǒng)的兩個特征根為相異負實根，此時系統(tǒng)為過阻尼狀態(tài)(2)當K=0.25時，特征根為兩個相等的負實根，此時系統(tǒng)為臨界狀態(tài)(3)當0.25<K<∞時，特征根為一對具有負實部的共軛復根，此時系統(tǒng)為欠阻尼狀態(tài)第四章

根軌跡法4.2.2根軌跡的幅值條件和相角條件閉環(huán)特征方程為：第四章

根軌跡法

既滿足幅值條件又滿足相角條件的S值就是特征方程的一組根，也就是一組閉環(huán)極點。

根軌跡上的所有點滿足同一個相角條件，K變動，相角條件是不變的。所以，繪制根軌跡可以這樣進行

首先在S平面上找出所有符合相角條件的點，這些點連成的曲線就是根軌跡，然后反過來按幅值條件求出根軌跡上任一點的K值。第四章

根軌跡法

式中p1,p2,…pn，為開環(huán)極點，z1,z2,…zm

為開環(huán)零點。這樣，系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程可以表示為：上式變形：4.2.1開環(huán)零極點與相角條件§4.2繪制典型根軌跡

系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數為：——典型根軌跡方程第四章

根軌跡法所以，幅值條件為：

相角條件為：上式也可寫成：第四章

根軌跡法（2）在復平面上任取一試驗點S，畫出由開環(huán)零點和開環(huán)極點至S的矢量。

按相角條件繪制根軌跡的具體方法:（1）在復平面上標出開環(huán)極點和開環(huán)零點第四章

根軌跡法（4）計算各矢量的模和幅角，如果S是根軌跡上的一點，則必然滿足相角條件：（4）當S為根軌跡上的一點時，可以求得開環(huán)增益：（3）標出各開環(huán)零、極點至實驗點的幅角第四章

根軌跡法1、起點和終點

——根軌跡一定開始于開環(huán)極點，終止于開環(huán)零點。

當n=m時：開始于n個開環(huán)極點的n條根軌跡，正好終止于m

個開環(huán)零點。

終點K→∞：特征方程的根就是它的m個開環(huán)零點。4.2.2基本規(guī)則

起點K=0：特征方程的根就是它的n個開環(huán)極點，變形：第四章

根軌跡法

當n<m：終止于m個開環(huán)零點m條根軌跡，有n條來自n個開環(huán)極點，有m-n條來自無窮遠處（無窮遠極點）

當n>m：開始于n個開環(huán)極點的n條根軌跡，有m支終止于開環(huán)零點，有n-m支終止于無窮遠處（無窮遠零）第四章

根軌跡法2、分支數和對稱性

根軌跡的分支數與開環(huán)零點數m和開環(huán)極點數n中的大者相等，它們是連續(xù)的并且一定對稱于實軸。

根據根軌跡的定義，當K連續(xù)變化時,特征方程的根也必然是連續(xù)變化的，故根軌跡具有連續(xù)性。

因為根軌跡是閉環(huán)特征方程的根，所以根軌跡的分支數必定等于閉環(huán)特征方程的根的數目。無論K如何變化特征方程始終有max(n,m)個根，所以根軌跡一定有max(n,m)支。

特征方程的根要么是實根（在實軸上）要么是共軛復根（對稱于實軸），所以根軌跡一定對稱于實軸。第四章

根軌跡法3、漸近線

當n>m時，根軌跡一定有n-m條趨向無窮遠；當n<m時，根軌跡一定有m-n條來自無窮遠?？梢宰C明：當n≠m時，根軌跡存在|n－m|條漸近線，且漸近線與實軸的夾角為：

所有漸近線交于實軸上的一點，其坐標為：第四章

根軌跡法4、實軸上的根軌跡

實軸上的開環(huán)零、極點將實軸分段，其中任一段，如果其右邊實軸上的開環(huán)零、極點總數是奇數，那么該段就一定是根軌跡的一部分。

依據本法則，圖中z1和p1之間、z2和p4之間以及z3和-∞之間的實軸部分，都是根軌跡的一部分。第四章

根軌跡法

對s0右邊實軸上所有開環(huán)零、極點來說：滿足相角條件。

考慮實軸上的s0，任一對共軛開環(huán)零點或共軛極點（如p2,p3）對應的相角（θ2,θ3）之和均為3600；對s0，其左邊實軸上任一開環(huán)零、極點對應的相角均為00，其右邊實軸上任一開環(huán)零、極點對應的相角均為1800。第四章

根軌跡法例題1，某控制系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數為試畫出實軸上的根軌跡和s→∞時的漸進線。解：（1）在圖上標出開環(huán)函數極點p1=0，p2=-1，p3=-4(2)在實軸上(-1,0)和(-∞,-4)區(qū)間之右的實數零、極點數之和為奇數，故這兩個區(qū)間的實軸是根軌跡。

（3）本例n=3，m=0，故有三條根軌跡在K→∞時伸向無窮遠，漸進線與實軸的交點為第四章

根軌跡法6、根軌跡的分離點①實軸上的根軌跡相向運動，在A點相遇后進入復平面②復平面內的一對共軛復數根軌跡在實軸相遇B，然后趨向實軸上的零點5、根軌跡與虛軸的交點

將s=jω代入閉環(huán)特征方程，令特征方程的實部和虛部分別等于零，可以解出ω0和K0

。

用勞斯（Roth）判據也可以求得K0第四章

根軌跡法

位于實軸上的兩個相鄰的開環(huán)極點之間一定有分離點，因為任何一條根軌跡不可能開始于一個開環(huán)極點終止于另一個開環(huán)極點。同理，位于實軸上的兩個相鄰的開環(huán)零點之間也一定有分離點。

分離點的座標λ，是下列代數方程的解：

說明：上式只是必要條件而非充分條件，也就是說它的解不一定是分離點，是否是分離點還要看其它規(guī)則。第四章

根軌跡法

定理：若系統(tǒng)有2個開環(huán)極點，1個開環(huán)零點，且在復平面存在根軌跡，則復平面的根軌跡一定是以該零點為圓心的圓弧。第四章

根軌跡法7、根軌跡的出射角和入射角

根軌跡從某個開環(huán)極點出發(fā)時的切線與正實軸的夾角稱為出射角，根軌跡從開環(huán)極點pi出發(fā)的出射角為：

根軌跡進入某個開環(huán)零點的切線與正實軸的夾角稱為入射角，根軌跡進入開環(huán)零點Zl的入射角為：第四章

根軌跡法按7個基本規(guī)則繪制根軌跡圖：

首先，系統(tǒng)有三個無窮遠零點，有三個開環(huán)極點：p1=0，p2=-1，p3=-2，將它們標在復平面上。4.2.3繪圖示例

根據規(guī)則1)和2)，根軌跡將有3支，分別開始于這三個開環(huán)極點，趨向無窮遠。第四章

根軌跡法根據規(guī)則3)，根軌跡有3根漸近線，它們與實軸的夾角是：

所有漸近線交于實軸上的一點，其坐標為：

根據規(guī)則4)，實軸上的[-1,0]，(-∞,-2]段是根軌跡的一部分。第四章

根軌跡法

根據規(guī)則5)，確定根軌跡與虛軸交點

令上式中的實部和虛部分別等于零，可以得到：ω=0,K=0或因此，根軌跡在處與虛軸相交，并且交點處K=6

。實軸上的根軌跡在ω=0處也與虛軸相交。令特征方程中的s=jω得：K=6K=6第四章

根軌跡法

根軌跡在實軸上的[-1，0]段一定有一個分離點，根據規(guī)則（6），解整理得

解得λ=-0.423,λ=-1.577

，顯然只有-0.423在根軌跡上，所以分離點為-0.423?！さ谒恼?/p>

根軌跡法

根軌跡從p1,p2,p3出發(fā)的出射角已經很明確，為了驗證規(guī)則（7），我們還是計算一下：

以上根據基本規(guī)則畫出的根軌跡仍然是概略圖，它在實軸上的根軌跡、漸近線、與虛軸的交點是準確的，其它部分就不準確了。第四章

根軌跡法圖4-5（手工）圖4-5（matlab）第四章

根軌跡法294.3.1不以增益K為參量的根軌跡圖§4.4特殊根軌跡圖

常規(guī)（典型）根軌跡方程為第四章

根軌跡法301、開環(huán)零點為參量的根軌跡上式兩邊同除s(1+5s)+5得：所以，等價為典型根軌跡方程后，相當于：

n=2,m=1,z1=0,p1,2=-0.1±j0.995上式等價為：

系統(tǒng)閉環(huán)特征方程為：圖4-7(a)第四章

根軌跡法31按基本規(guī)則繪制即可：（1）起點:p1,2=-0.1±j0.995（2）終點：z1=0，z2為無窮遠零點（3）漸近線：一條，與實軸的夾角為1800，交與實軸的-0.2處（4）實軸上的跟軌跡區(qū)間為（-∞，0）（5）分離點解得：第四章

根軌跡法32

注意：這里的z1,p1,p2

并不是圖4-7a所示系統(tǒng)的開環(huán)零、極點，而是等價為典型根軌跡方程后，等價系統(tǒng)的開環(huán)零、極點，這是與典型根軌跡的主要區(qū)別。第四章

根軌跡法33例2系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數解.(1)②漸近線：①實軸根軌跡：[-∞,0]，a=0→∞變化，繪制根軌跡③分離點：④與虛軸交點：構造“等效開環(huán)傳遞函數”

第四章

根軌跡法342、開環(huán)極點為參量的根軌跡兩邊同除以s(s+1)+K，得：

上式中K取固定常數，T作為參量，它就是典型根軌跡方程的形式，相當于n=2,m=3,n<m！。因為系統(tǒng)閉環(huán)特征方程為：第四章

根軌跡法35

如果取K=2.5，則等價系統(tǒng)的開環(huán)零、極點為

這樣，用基本規(guī)則可繪出根軌跡如圖。第四章

根軌跡法36例3單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數為解.②漸近線：θ=1800①實軸上的根軌跡：[-∞,-587.7],[-27.7,0],T=0→∞,繪制根軌跡。④分離點：整理得：解根：③虛軸交點：第四章

根軌跡法37

如果開環(huán)傳遞函數G(s)H(s)的分子、分母的s最高次冪不同號，即（K>0）：這時特征方程變成：對應的相角條件變成：4.3.2正反饋系統(tǒng)的根軌跡第四章

根軌跡法38

由于相角條件的改變，導致基本規(guī)則的3、4和7必須修改為如下的3P、4P和7P：3P、漸近線與實軸的夾角為：4P、實軸上的某一段如果其右邊實軸上的開環(huán)零、極點總數是偶數，那么該段就一定是根軌跡的一部分。7P、根軌跡的出射角和入射角公式中的1800均改為3600。第四章

根軌跡法39[例4-3]考慮圖示系統(tǒng),設其中:試繪制系統(tǒng)的根軌跡圖。解：(1)在復平面上畫出開環(huán)零、極點p1=-1+j，p2=-1-j，p3=-3，z1=-2(2)實軸上根軌跡存在于(-2,+∞)及(-3,-∞)之間(3)根軌跡的漸進線，本例有n-m=2條根軌跡趨于無窮，其交角第四章

根軌跡法40與實軸的交點表明：兩條漸進線從-1.5開始沿實軸趨于無窮。(4)確定分離點。由方程：得：第四章

根軌跡法41(5)確定出射角。對于p1點，對于p2點，由于對稱第四章

根軌跡法424.3.1不以增益K為參量的根軌跡圖§4.4特殊根軌跡圖

常規(guī)（典型）根軌跡方程為第四章

根軌跡法431、開環(huán)零點為參量的根軌跡上式兩邊同除s(1+5s)+5得：所以，等價為典型根軌跡方程后，相當于：

n=2,m=1,z1=0,p1,2=-0.1±j0.995上式等價為：

系統(tǒng)閉環(huán)特征方程為：圖4-7(a)第四章

根軌跡法44按基本規(guī)則繪制即可：（1）起點:p1,2=-0.1±j0.995（2）終點：z1=0，z2為無窮遠零點（3）漸近線：一條，與實軸的夾角為1800，交與實軸的-0.2處（4）實軸上的跟軌跡區(qū)間為（-∞，0）（5）分離點解得：第四章

根軌跡法45

注意：這里的z1,p1,p2

并不是圖4-7a所示系統(tǒng)的開環(huán)零、極點，而是等價為典型根軌跡方程后，等價系統(tǒng)的開環(huán)零、極點，這是與典型根軌跡的主要區(qū)別。第四章

根軌跡法46例2系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數解.(1)②漸近線：①實軸根軌跡：[-∞,0]，a=0→∞變化，繪制根軌跡③分離點：④與虛軸交點：構造“等效開環(huán)傳遞函數”

第四章

根軌跡法472、開環(huán)極點為參量的根軌跡兩邊同除以s(s+1)+K，得：

上式中K取固定常數，T作為參量，它就是典型根軌跡方程的形式，相當于n=2,m=3,n<m！。因為系統(tǒng)閉環(huán)特征方程為：第四章

根軌跡法48

如果取K=2.5，則等價系統(tǒng)的開環(huán)零、極點為

這樣，用基本規(guī)則可繪出根軌跡如圖。第四章

根軌跡法49例3單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數為解.②漸近線：θ=1800①實軸上的根軌跡：[-∞,-587.7],[-27.7,0],T=0→∞,繪制根軌跡。④分離點：整理得：解根：③虛軸交點：第四章

根軌跡法50

如果開環(huán)傳遞函數G(s)H(s)的分子、分母的s最高次冪不同號，即（K>0）：這時特征方程變成：對應的相角條件變成：4.3.2正反饋系統(tǒng)的根軌跡第四章

根軌跡法51

由于相角條件的改變，導致基本規(guī)則的3、4和7必須修改為如下的3P、4P和7P：3P、漸近線與實軸的夾角為：4P、實軸上的某一段如果其右邊實軸上的開環(huán)零、極點總數是偶數，那么該段就一定是根軌跡的一部分。7P、根軌跡的出射角和入射角公式中的1800均改為3600。第四章

根軌跡法52[例4-3]考慮圖示系統(tǒng),設其中:試繪制系統(tǒng)的根軌跡圖。解：(1)在復平面上畫出開環(huán)零、極點p1=-1+j，p2=-1-j，p3=-3，z1=-2(2)實軸上根軌跡存在于(-2,+∞)及(-3,-∞)之間(3)根軌跡的漸進線，本例有n-m=2條根軌跡趨于無窮，其交角第四章

根軌跡法53與實軸的交點表明：兩條漸進線從-1.5開始沿實軸趨于無窮。(4)確定分離點。由方程：得：第四章

根軌跡法54(5)確定出射角。對于p1點，對于p2點，由于對稱第四章

根軌跡法55

在這些情況下，將閉環(huán)特征方程進行變形，構造“等效開環(huán)傳遞函數”

一、不以增益K為參量的根軌跡圖

然后就可以套用典型根軌跡的方法來繪制根軌跡圖了。課程回顧（1）

第四章

根軌跡法561、開環(huán)零點為參量的根軌跡上式兩邊同除s(1+5s)+5得：所以，等價為典型根軌跡方程后，相當于：

n=2,m=1,z1=0,p1,2=-0.1±j0.995上式等價為：

系統(tǒng)閉環(huán)特征方程為：課程回顧（2）

第四章

根軌跡法572、開環(huán)極點為參量的根軌跡兩邊同除以s(s+1)+K，得：系統(tǒng)閉環(huán)特征方程為：課程回顧（3）

上式等價為：第四章

根軌跡法583P、漸近線與實軸的夾角為：4P、實軸上的某一段如果其右邊實軸上的開環(huán)零、極點總數是偶數，那么該段就一定是根軌跡的一部分。7P、根軌跡的出射角和入射角公式中的1800均改為3600。3、正反饋系統(tǒng)的根軌跡（修改部分基本規(guī)則）課程回顧（4）

第四章

根軌跡法59§4.5控制系統(tǒng)的根軌跡分析4.5.1根軌跡與穩(wěn)定性1、當K在(0，∞)間取值時，如果n支根軌跡全部位于虛軸的左邊，就意味著不管K取任何值閉環(huán)系統(tǒng)都是穩(wěn)定的。

系統(tǒng)穩(wěn)定與否，可以通過對其根軌跡的分析來確定第四章

根軌跡法602、根軌跡只要有一支全部位于虛軸的右邊，就意味著不管K取何值，閉環(huán)系統(tǒng)都不穩(wěn)定。第四章

根軌跡法613、根軌跡只要有一支穿越虛軸，就說明閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定是有條件的，知道了根軌跡與虛軸交點的K值，就可以確定穩(wěn)定條件，進而確定合適的K值。

由圖知：當0<K<6時，系統(tǒng)是穩(wěn)定的，K>6時，系統(tǒng)不穩(wěn)定。第四章

根軌跡法624.5.2開環(huán)零極點對系統(tǒng)的影響

在系統(tǒng)開環(huán)函數G

(s)H

(s)中，增加零點zl，相當于加入一階微分環(huán)節(jié)s-zl；增加極點pi，相當于加入一個慣性環(huán)節(jié)1/(s-pi);1、增加開環(huán)極點的影響

例如，單位負反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數為

其根軌跡圖為：

無論K為何值，閉環(huán)系統(tǒng)都是穩(wěn)定的！圖(1)第四章

根軌跡法63給系統(tǒng)增加一個極點pi=-2，圖(2)即為所對應的根軌跡圖這時，閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的條件為：0<K<5.92圖(2)第四章

根軌跡法64圖(3)

給系統(tǒng)增加一個極點pi=-0.5，圖(3)即為所對應的根軌跡圖。

這時，閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的條件為：0<K<0.74

比較圖(2)和圖(3)可知，隨著增加的開環(huán)極點向虛軸的靠近，閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定范圍變小，穩(wěn)定性能下降。第四章

根軌跡法65圖(4)

給系統(tǒng)增加一個極點pi=0，圖(4)即為所對應的根軌跡圖。

無論K為何值，閉環(huán)系統(tǒng)都不能穩(wěn)定！

結論：在開環(huán)傳遞函數上增加極點，使系統(tǒng)的穩(wěn)定性變差。且系統(tǒng)的穩(wěn)定性和增加的極點位置靠近虛軸的遠近有關。第四章

根軌跡法662、增加開環(huán)零點的影響

在開環(huán)傳遞函數上增加零點zl，可以使根軌跡向左方彎曲，因而提高了系統(tǒng)的相對穩(wěn)定性。而且這種向左彎曲的趨勢，隨著增加零點的右移而加劇。

例如，單位負反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數為閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的條件0<K<4圖(1)第四章

根軌跡法67圖(2)

給系統(tǒng)增加一個零點zl=-2，圖(2)即為所對應的根軌跡圖。

無論K為何值，閉環(huán)系統(tǒng)都是穩(wěn)定的！第四章

根軌跡法68

例如，三階系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數為：4.5.3零、極點相消問題(a)

在設計控制系統(tǒng)時，常用控制器的零（極）點去抵消被控對象的極（零）點，從而提高系統(tǒng)的穩(wěn)定性能系統(tǒng)的根軌跡為第四章

根軌跡法69

如果附加一個零點z1=-1，這時系統(tǒng)的傳函變成：可見系統(tǒng)的穩(wěn)定性大大提高了。(b)(a)其根軌跡圖為第四章

根軌跡法70

根軌跡圖清楚地表示：盡管存在建模誤差，附加零點仍然提高了系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

考慮建模誤差的影響：假設實際p1=-0.8，卻按p1=-1建模，這樣零極點不能正好抵消，這時：根軌跡變成圖c；p1=-1.2根軌跡變成圖d。(c)(d)第四章

根軌跡法71

如果用一個零點去低消系統(tǒng)的不穩(wěn)定極點，可能使系統(tǒng)變的不穩(wěn)定說明例如，三階系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數為：如果用一個零點z1=1去低消系統(tǒng)的不穩(wěn)定極點p1=1

零極點正好相消，穩(wěn)定性提高了第四章

根軌跡法72考慮建模誤差：假設實際p1=0.8，根軌跡為圖f

——零極點不正好相消，系統(tǒng)不穩(wěn)定?？梢姡翰灰擞昧銟O點相消法去抵消系統(tǒng)的不穩(wěn)定極點或零點第四章

根軌跡法73

系統(tǒng)的動態(tài)性能最終體現在時間響應上，影響時間響應的因素有兩個：

1)閉環(huán)傳遞函數——主要影響時間響應的暫態(tài)分量

2)輸入函數——主要影響時間響應的穩(wěn)態(tài)分量

閉環(huán)極點si（以區(qū)別于開環(huán)極點pi）在S平面上不同位置所對應的暫態(tài)分量，其規(guī)律可以總結為：4.5.4閉環(huán)零極點與時間響應

（1）閉環(huán)極點與時間響應第四章

根軌跡法741)左右分布決定終值。σjsi位于虛軸左邊：暫態(tài)分量最終衰減到零；

si

位于虛軸右邊：暫態(tài)分量一定發(fā)散；

si位于虛軸：暫態(tài)分量為等幅振蕩。2)虛實分布決定振型。si位于實軸上：暫態(tài)分量為非周期運動；

si位于虛軸上：暫態(tài)分量為周期運動。3)遠近分布決定快慢。si位于虛軸左邊時，離虛軸愈遠過渡過程衰減得愈快。所以離虛軸最近的閉環(huán)極點‘主宰’系統(tǒng)響應的時間最長，被稱為主導極點。第四章

根軌跡法75

主導極點一般安排為一對共軛復數極點，位于如圖所示虛軸左邊60o扇形區(qū)內，且離虛軸有一定的距離，其理由在于：1）閉環(huán)主導極點為共軛復數，使閉環(huán)系統(tǒng)的動態(tài)性能與一個二階欠阻尼系統(tǒng)相似。欠阻尼系統(tǒng)具有較快的反應速度。第四章

根軌跡法763）離虛軸一定的距離保證了足夠的穩(wěn)定裕度。穩(wěn)定裕度太小，在實際應用時可能系統(tǒng)不穩(wěn)定。2）阻尼系數太大、太小都不合適，60o扇形區(qū)意味著阻尼系數不小于cos60°=0.5，一般認為最佳阻尼系數是0.707。第四章

根軌跡法

控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性是由其閉環(huán)傳遞函數的極點（特征根Pi）所決定的。要使系統(tǒng)穩(wěn)定，則系統(tǒng)的特征根（閉環(huán)極點）必須在s復平面的左半平面內。第四章

根軌跡法第四章

根軌跡法

根軌跡法——不直接求解特征方程，而是用復平面上的系統(tǒng)的開環(huán)零、極點來確定系統(tǒng)的閉環(huán)零、極點的圖解方法。

特點：

（1）圖解方法，直觀、形象。（2）適用于研究當系統(tǒng)中某一參數變化時，系統(tǒng)性能的變化趨勢。（3）近似方法，不十分精確。第四章

根軌跡法

如圖所示單位負反饋控制系統(tǒng)，其開環(huán)傳遞函數為§4.1根軌跡的基本概念4.1.1

根軌跡該系統(tǒng)的開環(huán)極點為P1=0，P2=-1。系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數：系統(tǒng)的特征方程：第四章

根軌跡法第四章

根軌跡法

根軌跡是指系統(tǒng)中某個參數的數值從零變到無窮大時，系統(tǒng)閉環(huán)特征方程的根在復平面上的變化軌跡。(1)當0≤K<0.25時，閉環(huán)系統(tǒng)的兩個特征根為相異負實根，此時系統(tǒng)為過阻尼狀態(tài)(2)當K=0.25時，特征根為兩個相等的負實根，此時系統(tǒng)為臨界狀態(tài)(3)當0.25<K<∞時，特征根為一對具有負實部的共軛復根，此時系統(tǒng)為欠阻尼狀態(tài)第四章

根軌跡法4.2.2根軌跡的幅值條件和相角條件閉環(huán)特征方程為：第四章

根軌跡法

既滿足幅值條件又滿足相角條件的S值就是特征方程的一組根，也就是一組閉環(huán)極點。

根軌跡上的所有點滿足同一個相角條件，K變動，相角條件是不變的。所以，繪制根軌跡可以這樣進行

首先在S平面上找出所有符合相角條件的點，這些點連成的曲線就是根軌跡，然后反過來按幅值條件求出根軌跡上任一點的K值。第四章

根軌跡法

式中p1,p2,…pn，為開環(huán)極點，z1,z2,…zm

為開環(huán)零點。這樣，系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程可以表示為：上式變形：4.2.1開環(huán)零極點與相角條件§4.2繪制典型根軌跡

系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數為：——典型根軌跡方程第四章

根軌跡法所以，幅值條件為：

相角條件為：上式也可寫成：第四章

根軌跡法（2）在復平面上任取一試驗點S，畫出由開環(huán)零點和開環(huán)極點至S的矢量。

按相角條件繪制根軌跡的具體方法:（1）在復平面上標出開環(huán)極點和開環(huán)零點第四章

根軌跡法（4）計算各矢量的模和幅角，如果S是根軌跡上的一點，則必然滿足相角條件：（4）當S為根軌跡上的一點時，可以求得開環(huán)增益：（3）標出各開環(huán)零、極點至實驗點的幅角第四章

根軌跡法1、起點和終點

——根軌跡一定開始于開環(huán)極點，終止于開環(huán)零點。

當n=m時：開始于n個開環(huán)極點的n條根軌跡，正好終止于m

個開環(huán)零點。

終點K→∞：特征方程的根就是它的m個開環(huán)零點。4.2.2基本規(guī)則

起點K=0：特征方程的根就是它的n個開環(huán)極點，變形：第四章

根軌跡法

當n<m：終止于m個開環(huán)零點m條根軌跡，有n條來自n個開環(huán)極點，有m-n條來自無窮遠處（無窮遠極點）

當n>m：開始于n個開環(huán)極點的n條根軌跡，有m支終止于開環(huán)零點，有n-m支終止于無窮遠處（無窮遠零）第四章

根軌跡法2、分支數和對稱性

根軌跡的分支數與開環(huán)零點數m和開環(huán)極點數n中的大者相等，它們是連續(xù)的并且一定對稱于實軸。

根據根軌跡的定義，當K連續(xù)變化時,特征方程的根也必然是連續(xù)變化的，故根軌跡具有連續(xù)性。

因為根軌跡是閉環(huán)特征方程的根，所以根軌跡的分支數必定等于閉環(huán)特征方程的根的數目。無論K如何變化特征方程始終有max(n,m)個根，所以根軌跡一定有max(n,m)支。

特征方程的根要么是實根（在實軸上）要么是共軛復根（對稱于實軸），所以根軌跡一定對稱于實軸。第四章

根軌跡法3、漸近線

當n>m時，根軌跡一定有n-m條趨向無窮遠；當n<m時，根軌跡一定有m-n條來自無窮遠?？梢宰C明：當n≠m時，根軌跡存在|n－m|條漸近線，且漸近線與實軸的夾角為：

所有漸近線交于實軸上的一點，其坐標為：第四章

根軌跡法4、實軸上的根軌跡

實軸上的開環(huán)零、極點將實軸分段，其中任一段，如果其右邊實軸上的開環(huán)零、極點總數是奇數，那么該段就一定是根軌跡的一部分。

依據本法則，圖中z1和p1之間、z2和p4之間以及z3和-∞之間的實軸部分，都是根軌跡的一部分。第四章

根軌跡法

對s0右邊實軸上所有開環(huán)零、極點來說：滿足相角條件。

考慮實軸上的s0，任一對共軛開環(huán)零點或共軛極點（如p2,p3）對應的相角（θ2,θ3）之和均為3600；對s0，其左邊實軸上任一開環(huán)零、極點對應的相角均為00，其右邊實軸上任一開環(huán)零、極點對應的相角均為1800。第四章

根軌跡法例題1，某控制系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數為試畫出實軸上的根軌跡和s→∞時的漸進線。解：（1）在圖上標出開環(huán)函數極點p1=0，p2=-1，p3=-4(2)在實軸上(-1,0)和(-∞,-4)區(qū)間之右的實數零、極點數之和為奇數，故這兩個區(qū)間的實軸是根軌跡。

（3）本例n=3，m=0，故有三條根軌跡在K→∞時伸向無窮遠，漸進線與實軸的交點為第四章

根軌跡法6、根軌跡的分離點①實軸上的根軌跡相向運動，在A點相遇后進入復平面②復平面內的一對共軛復數根軌跡在實軸相遇B，然后趨向實軸上的零點5、根軌跡與虛軸的交點

將s=jω代入閉環(huán)特征方程，令特征方程的實部和虛部分別等于零，可以解出ω0和K0

。

用勞斯（Roth）判據也可以求得K0第四章

根軌跡法

位于實軸上的兩個相鄰的開環(huán)極點之間一定有分離點，因為任何一條根軌跡不可能開始于一個開環(huán)極點終止于另一個開環(huán)極點。同理，位于實軸上的兩個相鄰的開環(huán)零點之間也一定有分離點。

分離點的座標λ，是下列代數方程的解：

說明：上式只是必要條件而非充分條件，也就是說它的解不一定是分離點，是否是分離點還要看其它規(guī)則。第四章

根軌跡法

定理：若系統(tǒng)有2個開環(huán)極點，1個開環(huán)零點，且在復平面存在根軌跡，則復平面的根軌跡一定是以該零點為圓心的圓弧。第四章

根軌跡法課程回顧（1）

根軌跡：系統(tǒng)某一參數由0→∞變化時，系統(tǒng)閉環(huán)極點在s平面相應變化所描繪出來的軌跡

閉環(huán)極點

與開環(huán)零點、開環(huán)極點及K*均有關相角條件：幅值條件：

根軌跡方程

根軌跡增益

閉環(huán)零點

=前向通道零點+反饋通道極點第四章

根軌跡法1、起點和終點

根軌跡一定開始于開環(huán)極點，終止于開環(huán)零點。課程回顧