《線性代數(shù)》(第二版)智能教學系統(tǒng)-電子教案-第一章-矩陣-第八節(jié)課件

第八節(jié)矩陣應用的兩個例子例1例2例1這個例子簡要說明了方陣及其方冪在稱為圖論的有關研究中的應用情況.圖G=(V,E)由點集V和邊集E組成.例如，以V={a,b,c,d,e}為點集，以E={(a,b),(a,c),(a,d),(b,c),(b,d),(d,e),(e,e)}為邊集構成的圖G，如圖1–2所示.abcde圖1–2一條邊除了聯(lián)結兩個點外，也可以由某個點聯(lián)結自身構成，如中的點e與邊(e,e)，這種邊稱為一個環(huán).由圖1–2表示的這類“圖〞顯然不同于函數(shù)的圖形，但它在各種科學和工業(yè)活動中廣泛存在，如組織機構圖、電路圖、網(wǎng)絡圖、煤氣或天然氣管道圖及城市交通或道路圖等等.與圖有關的許多問題涉及道路.道路是一個點的序列，其相鄰的點由邊聯(lián)結.道路的長度是指構成該道路的邊的數(shù)量，abcde圖1–2如圖1–2中，(a,b,d,e)是a與e之間，長度為3的一條道路.對于不同的問題，可能是要求我們找出兩點之間的最短道路，也可能是確定的一對點中，是否存在一條道路等等.而后一類問題在許多實際問題中經(jīng)常出現(xiàn)，例如規(guī)定的呼叫線路；研究隨機中斷(例如由于閃電)對網(wǎng)絡的影響等.下面我們將說明方陣及其方冪可用于解決有關一個圖中各類道路的存在問題.為此，我們首先介紹用一種稱為鄰接矩陣的矩陣表示圖的方法.圖G的鄰接矩陣A(G)=(aij

)的元aij按下述方法確定：如果第i點與第j點之間有一條邊，那么aij=1,否那么aij=0;一般情況下，aii

=0,除非第i點上有一個環(huán)(此時aii

=1).可見A(G)說明了圖G中哪些點是鄰接的.因而，圖1–2中的圖G的鄰接矩陣為abcde圖1–2aabbccddee從圖1–2還可以看出：點a與b之間，除了有一條長度為1的道路(a,b)邊聯(lián)結外，還可以由a經(jīng)c或d由另外兩條長度為2的道路與b聯(lián)結，那么，如何確定圖G中有哪些點之間存在長度為2的道路呢？可以證明：如果A(G)是圖G的鄰接矩陣,那么A2(G)中的第i行第j列元(ij)的數(shù)值等于第i個點與第j個點之間長度為2的道路個數(shù).aabbccddeeaabbccddeeA2(G)的主對角線以外的正元，指出圖G中哪些不同的點對之間可由長度為2的道路聯(lián)結.可以看出，只有點c與點e之間，不存在長度為2的道路.同時，這些正元的數(shù)值還說明了不同的點對之間長度為2的道路個數(shù).例如a與b之間有兩條長度為2的道路，而a與c之間只有一條長度為2的道路.類似地aabbccddee可以反映出圖G中不同的點之間由長度為3的道路聯(lián)結的情況.例2假設某城市的天氣分為3種狀態(tài)：晴、陰和下雨.又由統(tǒng)計資料說明，在某個季節(jié)期間，如果今天晴，那么明天晴的概率(即可能性)為陰的概率為下雨的概率為類似地，如果今天陰或下雨那么明天的天氣出現(xiàn)各種狀態(tài)又分別有另外的概率.表1.3提供了這些數(shù)據(jù).表1.3今天明天晴陰下雨晴陰下雨由這些數(shù)據(jù)組成33矩陣A的每一列分別表示為今天天氣對應的明天天氣的狀態(tài)概率，每一行分別對應明天天氣的各種狀態(tài).例如第一行表示當今天天氣為晴、陰、下雨時,明天天氣為晴的概率分別為和第二列那么表示當今天為陰時，明天為晴、陰、下雨的概率分別為和這些概率值稱為轉(zhuǎn)移概率，該矩陣稱為轉(zhuǎn)移矩陣.由于A的各列分別表示當今天天氣處于晴、陰或下雨的情況下，明天天氣為晴、陰或下雨的概率.A的各行分別表示當今天天氣為晴、陰或下雨的不同情況下，明天為晴、為陰或為下雨的概率.因此，如果設今天為晴、陰、下雨的概率分別為p1(0),p2(0),p3(0);又設p1(1)表示明天為晴的概率，那么有類似地，假設設p2(1),p3(1)分別表示明天陰和下雨的概率，那么由A的第二行與第三行，有例如，當我們在清晨聽到天氣預報為：今天為陰或為雨的概率均為即那么由上面3式可預測出明天的天氣概率假設令那么由矩陣乘法有P(1)=AP(0)正如可以由今天的天氣概率通過轉(zhuǎn)移矩陣預測明天的天氣概率一樣，又可由明天的天氣概率預測后天的天氣概率.假設令表示后天天氣為晴、陰、下雨的概率，那么有P(2)=AP(1)=A(AP(0))=A2P(0)依次類推，設P(n)表示n天后(即從今天起第n+1天)為晴、陰、下雨的概率，那么有P(n)=AP(n–1)=AnP(0)(n=1,2,3,…)其中An是n天后天氣狀況的轉(zhuǎn)移矩陣.例如，當n=2時n=3時從而當今天天氣為晴、陰、下雨的概率分別為時，大后天的天氣概率為晴陰下雨因此，我們可以用3天的轉(zhuǎn)移概率，提前3天進行天氣預報.依此類推，當今天天氣為晴、陰、雨的概率分別為時，通過計算，可以得到以下預測表：晴陰雨今天明天(一天后)后天(兩天后)大后天(三天后)5后天10后天100后天由此可見，只要知道今天的天氣狀況，利用轉(zhuǎn)移矩陣，即可提供一天接一天的天氣概率預測.注意到，假設干天以后，晴、陰、雨的概率分別穩(wěn)定在和上述結果說明，在未來的平常一天，晴天的概率為陰天的概率為下雨天的概率為以當前狀態(tài)來預測下一段時間不同狀態(tài)的概率的模型，稱為馬爾可夫(Markov)鏈.對于任何馬爾可夫鏈，數(shù)學上可以證明，確定幾十天后的穩(wěn)定概率，比確定3天后的概率要容易得多.數(shù)學在確定一個模型內(nèi)在的、長期趨勢方面的作用，常常比在找出逐天變化的中期結果方面的作用要大.由于線性代數(shù)提供了有效的數(shù)學工具，從本質(zhì)上解決了人們在馬爾可夫鏈方面提出的任何問題.因此馬爾可夫鏈在各方面有著廣泛的應用.本節(jié)內(nèi)容已結束!假設想結束本堂課,請單擊返回按鈕.本節(jié)內(nèi)容已結束!假設想結束本堂課,請單擊返回按鈕.本節(jié)內(nèi)容已結束!假設想結束本堂課,請單擊返回按鈕.本節(jié)內(nèi)容已結束!假設想結束本堂課,請單擊返回按鈕.本節(jié)內(nèi)容已結束!假設想結束本堂課,請單擊返回按鈕.本節(jié)內(nèi)容已結束!假設想結束本堂課,請單擊返回按鈕.本節(jié)內(nèi)容已結束!假設想結束本堂課,請單擊返回按鈕.本節(jié)內(nèi)容已結束!假設想結束本堂課,請單擊返回按鈕.本節(jié)內(nèi)容已結束!假設想結束本堂課,請單擊返回按鈕.本節(jié)內(nèi)容已結束!假設想結束本堂課,請單擊返回按鈕.本節(jié)內(nèi)容已結束!假設想結束本堂課,請單擊返回按鈕.本節(jié)內(nèi)容已結束!假設想結束本堂課,請單擊返回按鈕.本節(jié)內(nèi)容已結束!假設想結束本堂課,請單擊返回按鈕.本節(jié)內(nèi)容已結束!假設想結束本堂課,請單擊返回按鈕.本節(jié)內(nèi)容已結束!假設想結束本堂課,請單擊返回按鈕.本節(jié)內(nèi)容已結束!假設想結束本堂課,請單擊返回按鈕.本節(jié)內(nèi)容已結束!假設想結束本堂課,請單擊返回按鈕.本節(jié)內(nèi)容已結束!假設想結束本堂課,請單擊返回按鈕.本節(jié)內(nèi)容已結束!假設想結束本堂課,請單擊