4 1正弦函數(shù)余弦圖象

5.4

三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)5.4.1

正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖象成套的課件成套的教案成套的試題成套的微專(zhuān)題盡在高中數(shù)學(xué)同步資源大全QQ群483122854聯(lián)系微信fjmath加入百度網(wǎng)盤(pán)群3500G一線(xiàn)老師必備資料一鍵轉(zhuǎn)存，自動(dòng)更新，永不過(guò)期核心知識(shí)目標(biāo)核心素養(yǎng)目標(biāo)1.能利用三角函數(shù)的定義,畫(huà)出函數(shù)y=sin

x,y=cos

x的圖象.通過(guò)對(duì)正弦函數(shù)、余弦2.掌握“五點(diǎn)法”畫(huà)y=sin

x,y=cos

x的圖象函數(shù)的圖象的學(xué)習(xí)與應(yīng)的步驟和方法,能利用“五點(diǎn)法”作出簡(jiǎn)單的用,提升直觀想象、邏正弦、余弦曲線(xiàn).輯推理的核心素養(yǎng).3.理解y=sin

x與y=cos

x圖象之間的聯(lián)系.知識(shí)探究·素養(yǎng)啟迪課堂探究·素養(yǎng)培育知識(shí)探究·素養(yǎng)啟迪情境導(dǎo)入將塑料瓶底部扎一個(gè)小孔做成一個(gè)漏斗,再掛在架子上,就做成了一個(gè)簡(jiǎn)易單擺,如圖(1)所示.在漏斗下方放一塊紙板,板的中間畫(huà)一條直線(xiàn)作為坐標(biāo)系的橫軸.把漏斗灌上細(xì)沙并拉離平衡位置,放手使它擺動(dòng),同時(shí)勻速拉動(dòng)紙板.這樣就可在紙板上得到一條曲線(xiàn),它就是簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的圖象.物理中把簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的圖象叫做“正弦曲線(xiàn)”或

“余弦曲線(xiàn)”.它表示了漏斗對(duì)平衡位置的位移s(縱坐標(biāo))隨時(shí)間t(橫坐標(biāo))變化的情況.圖(2)就是某個(gè)簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的圖象.探究:通過(guò)上述實(shí)驗(yàn),你對(duì)正弦函數(shù)、余弦函數(shù)圖象的直觀印象是怎樣的?提示:正、余弦函數(shù)的圖象是“波浪起伏”的連續(xù)光滑曲線(xiàn).正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖象[問(wèn)題1-1]在[0,2π]上任取一個(gè)值x0,如何利用正弦函數(shù)的定義,確定正弦函數(shù)值sin

x0,并畫(huà)出點(diǎn)T(x0,sin

x0)?提示:在直角坐標(biāo)系中畫(huà)出以原點(diǎn)O為圓心的單位圓,☉O與x軸正半軸的交點(diǎn)為A(1,0).在單位圓上,將點(diǎn)A繞著點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)x0弧度至點(diǎn)B,根據(jù)正弦函數(shù)的定義,點(diǎn)B的縱坐標(biāo)y0=sinx0.由此,以x0為橫坐標(biāo),y0為縱坐標(biāo)畫(huà)點(diǎn),即得到函數(shù)圖象上的點(diǎn)T(x0,sin

x0).知識(shí)探究0??

??

??[問(wèn)題1-2]你能畫(huà)出x的值分別為0,??,??,??,…,2π時(shí)對(duì)應(yīng)的正弦函數(shù)圖象上的點(diǎn)嗎?0??

??

??提示:如圖,把x軸上從0到2π這一段分成12等份,使x的值分別為0,??,??,??,…,2π,它們所對(duì)應(yīng)的角的終邊與單位圓O的交點(diǎn)將圓周12等分,再按上述畫(huà)點(diǎn)

T(x0,sin

x0)的方法,就可畫(huà)出自變量取這些值時(shí)對(duì)應(yīng)的函數(shù)圖象上的點(diǎn).[問(wèn)題1-3]你能畫(huà)出正弦函數(shù)在[0,2π]上的圖象嗎?提示:將上述得到的12個(gè)點(diǎn)用光滑的曲線(xiàn)連接起來(lái).

[問(wèn)題1-4]你如何得到正弦函數(shù)在R上的圖象呢?提示:將函數(shù)y=sin

x,x∈[0,2π]的圖象不斷向左、向右平移(每次移動(dòng)2π個(gè)單位長(zhǎng)度),就可以得到正弦函數(shù)y=sin

x,x∈R的圖象,如圖.[問(wèn)題1-5]以上作圖方法雖然精確,但是太麻煩,你如何快捷的畫(huà)出正弦函數(shù)y=sin

x,x∈[0,2π]的圖象?對(duì)余弦函數(shù)而言呢?提示:五點(diǎn)作圖法:y=sin

x的五點(diǎn):(0,0),(??,1),(π,0),(????,-1),(2π,0);y=cos

x??

??的五點(diǎn):(0,1),(??,0),(π,-1),(????,0),(2π,1).??

??[問(wèn)題1-6]正弦函數(shù)和余弦函數(shù)這兩者的圖象能否通過(guò)左右平移得到???提示:能.將正弦函數(shù)的圖象向左平移??個(gè)單位長(zhǎng)度,得到余弦函數(shù)的圖象.梳理 正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖象(0,0)(π,0)(2π,0)小試身手1.用“五點(diǎn)法”作y=2sin

x的圖象時(shí),首先描出的五個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)是()(A)0,??,π,??π,2π??

??(B)0,??,??,??π,π??

??

??(C)0,π,2π,3π,4π(D)0,??,??,??,??????

??

??

??A解析:由五點(diǎn)作圖法可知,首先描出的五個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x=0,??,π,??π,2π.故選A.??

????

??2.函數(shù)y=-sin

x,x∈[-??,????]的簡(jiǎn)圖是()D??解析:可以用特殊點(diǎn)來(lái)驗(yàn)證.當(dāng)x=0時(shí),y=-sin

0=0,排除A,C;當(dāng)x=????時(shí),y=??-sin

????=1,排除B.故選D.??

??解析:由函數(shù)y=cos

x的圖象可知,不等式cos

x<0在[0,2π]的解集為(??,????)3.不等式cos

x<0,x∈[0,2π]的解集為

.??

??答案:(??,????)??解析:作y=cos

x,x∈[0,2π]的圖象及直線(xiàn)y=-??(圖略),可知兩函數(shù)圖象有2個(gè)??4.函數(shù)

y=cos

x,x∈[0,2π]的圖象與直線(xiàn)

y=-??的交點(diǎn)有

個(gè).交點(diǎn).答案:2課堂探究·素養(yǎng)培育x-π-????0????πsin

x0-10101-2sin

x131-11探究點(diǎn)一 “五點(diǎn)法”作圖的應(yīng)用[例1]用“五點(diǎn)法”作出函數(shù)y=1-2sin

x,x∈[-π,π]的簡(jiǎn)圖并觀察函數(shù)圖象,寫(xiě)出滿(mǎn)足下列條件的x的區(qū)間.①y>1;②y<1.解:按五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn),列表如下:x0????π??????2πcos

x10-101-1-cos

x-2-10-1-2即時(shí)訓(xùn)練1-1:利用“五點(diǎn)法”作出函數(shù)y=-1-cos

x(0≤x≤2π)的簡(jiǎn)圖.解:(1)取值列表如下:(2)描點(diǎn)連線(xiàn),如圖所示.方法總結(jié)用“五點(diǎn)法”畫(huà)函數(shù)y=Asin

x+b(A≠0)或y=Acos

x+b(A≠0)在[0,2π]上簡(jiǎn)圖的步驟(1)列表:xsin

x(或cos

x)y00(或1)b(或A+b)????1(或0)A+b(或b)π0(或-1)b(或-A+b)??????-1(或0)-A+b(或b)2π0(或1)b(或A+b)1

2??

??3

4

5(2)描點(diǎn):在平面直角坐標(biāo)系中描出五個(gè)點(diǎn)(0,y),(??,y),(π,y),(????,y

),(2π,y),這里的yi(i=1,2,3,4,5)值是通過(guò)函數(shù)解析式計(jì)算得到的.(3)連線(xiàn):用光滑的曲線(xiàn)將描出的五個(gè)點(diǎn)連接起來(lái),就得到正(余)弦函數(shù)y=Asin

x+b(y=Acos

x+b)(A≠0)在[0,2π]上的圖象.易錯(cuò)警示用“五點(diǎn)法”作函數(shù)圖象時(shí),連線(xiàn)要保持光滑,注意凸凹方向.探究點(diǎn)二 正、余弦函數(shù)圖象的應(yīng)用??解析:由2sin

x-1≥0得sin

x≥??,??畫(huà)出y=sin

x的圖象和直線(xiàn)y=??.[例

2]

函數(shù)

y=???????????-??的定義域?yàn)?/p>

.可知sin

x≥??的解集,即函數(shù)定義域?yàn)閧x|??+2kπ≤x≤????+2kπ,k∈Z}.??

??

??答案:{x|??+2kπ≤x≤????+2kπ,k∈Z}??

??[變式訓(xùn)練2-1]本例中的“sin

x”改為“cos

x”,應(yīng)如何解答?[變式訓(xùn)練2-2]將本例中的函數(shù)變?yōu)閒(x)=???-??????????,求函數(shù)定義域.[變式訓(xùn)練2-3]將本例中的函數(shù)變?yōu)閒(x)=???-??????????,求函數(shù)的定義域.方法總結(jié)(1)求解與正、余弦函數(shù)有關(guān)的定義域,首先根據(jù)函數(shù)解析式的特征,列出關(guān)于正、余弦的不等式.(2)用三角函數(shù)的圖象解sin

x>a(或cos

x>a)的方法①作出y=a,y=sin

x(或y=cos

x)的圖象.②確定sin

x=a(或cos

x=a)的x值(一般是先求函數(shù)在[0,2π]或[-π,π]內(nèi)的x值).③確定sin

x>a(或cos

x>a)的解集.??

??示,由圖象可觀察出當(dāng)x∈(??,????)時(shí),sin

x>cos

x.故選C.探究點(diǎn)三 正、余弦曲線(xiàn)的綜合應(yīng)用[例3]在(0,2π)內(nèi),使sin

x>cos

x成立的x的取值范圍是()(A)(??,??)∪(π,????)

(B)(??,π)??

??

??

??(C)(??,????)

(D)(??,π)∪(????,????)??

??

??

??

??解析:在同一坐標(biāo)系中作出y=sin

x,x∈(0,2π)與y=cos

x,x∈(0,2π)的圖象如圖所解析:由題意,cos

x≥sin

x.[變式訓(xùn)練

3-1]

函數(shù)

f(x)=?????????-????????在(0,2π)內(nèi)的定義域是

.在同一直角坐標(biāo)系內(nèi)作出函數(shù)y=cos

x與y=sin

x的圖象(圖略),可知不等式的解集為(0,??]∪[????,2π).??

??即函數(shù)的定義域?yàn)?0,??]∪[????,2π)??

??答案:(0,??][????,2π)??

??方法總結(jié)涉及關(guān)于sin

x≥cos

x(或sin

x≤cos

x)的不等式問(wèn)題,可以在同一直角坐標(biāo)系內(nèi)作出兩函數(shù)的圖象,根據(jù)圖象確定不等式的解集.備用例題[例1]作函數(shù)y=sin

x,x∈[0,2π]與函數(shù)y=-1+sin

x,x∈[0,2π]的簡(jiǎn)圖,并研究它們之間的關(guān)系.解:按五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)列表:x0????π??????2πsin

x010-10-1+sin

x-10-1-2-1[例2]利用正弦曲線(xiàn),求滿(mǎn)足??<sin

x≤√??的x的集合.??

????解:首先作出y=sin

x在[0,2π]上的圖象.如圖所示,再作直線(xiàn)y=??,根據(jù)特殊角的正弦值,可知該直線(xiàn)與y=sin

x,x∈[0,2π]的交點(diǎn)橫坐標(biāo)為??和????;??

??作直線(xiàn)y=√??,該直線(xiàn)與y=sin

x,x∈[0,2π]的交點(diǎn)橫坐標(biāo)為??和????.??

??

??觀察圖象可知,在[0,2π]上,當(dāng)??<x≤??,或????≤x<????時(shí),不等式??<sin

x≤√??成立.??

??

??

??

??

??所以??<sin

x≤√??的解集為{x|??+2kπ<x≤??+2kπ,或????+2kπ≤x<????+2kπ,k∈Z}??

??

??

??

??

??[例3]在(0,2π)內(nèi)使sin

x>|cos

x|的x的取值范圍是()(A)(??,????)

(B)(??,??](????,????)??

??

??

??

??

??(C)(??,??)

(D)(????,????)??

??

??

??解析:因?yàn)閟in

x>|cos

x|,所以sin

x>0,所以x∈(0,π),在同一坐標(biāo)系中畫(huà)出y=sin

x,x∈(0,π)與y=|cos

x|,x∈(0,π)的圖象,??

??觀察圖象易得x∈(??,????).故選A.課堂達(dá)標(biāo)1.(多選題)下列對(duì)

y=2cos

x

的圖象描述正確的是(

ABD

)(A)在[0,2π]和[4π,6π]上的圖象形狀相同,只是位置不同介于直線(xiàn)y=2與直線(xiàn)y=-2之間關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)與y軸僅有一個(gè)交點(diǎn)解析:由y=2cos

x的圖象可知A,B,D項(xiàng)正確,y=2cos

x圖象的對(duì)稱(chēng)軸方程為x=kπ,k∈Z,故C項(xiàng)錯(cuò)誤.故選ABD.解析:當(dāng)x=0時(shí),y=1;當(dāng)x=??時(shí),y=0;當(dāng)x=π時(shí),y=1;當(dāng)x=????時(shí),y=2;當(dāng)x=2π??

??時(shí),y=1,結(jié)合正弦函數(shù)的圖象可知B正確.故選B.2.