極坐標(biāo)與參數(shù)方程題型和方法歸納

極坐標(biāo)與參數(shù)方程題型和方法歸納

極坐標(biāo)與參數(shù)方程題型和方法歸納題型一：極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程的相互轉(zhuǎn)化，參數(shù)方程與普通方程相互轉(zhuǎn)化，極坐標(biāo)方程與參數(shù)方程相互轉(zhuǎn)化。具體方法如下：(1)極坐標(biāo)方程轉(zhuǎn)直角坐標(biāo)方程：$$\begin{cases}\rho=x\cos\theta+y\sin\theta\\\tan\theta=\dfrac{y}{x}\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}x=\rho\cos\theta\\y=\rho\sin\theta\end{cases}$$其中，$\rho$表示點(diǎn)到原點(diǎn)的距離，$\theta$表示點(diǎn)與$x$軸正半軸的夾角。(2)參數(shù)方程轉(zhuǎn)直角坐標(biāo)方程：$$\begin{cases}x=f(t)\\y=g(t)\end{cases}\RightarrowF(x,y)=0$$其中，$F(x,y)$為$x,y$的函數(shù)，$t$為參數(shù)。(3)極坐標(biāo)方程轉(zhuǎn)參數(shù)方程：$$\begin{cases}x=r\cos\theta\\y=r\sin\theta\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}r=f(\theta)\\\theta=g(r)\end{cases}$$題型二：三個(gè)常用的參數(shù)方程及其應(yīng)用(1)圓的參數(shù)方程：$$\begin{cases}x=a+r\cos\theta\\y=b+r\sin\theta\end{cases}$$其中，$(a,b)$為圓心坐標(biāo)，$r$為半徑。(2)橢圓的參數(shù)方程：$$\begin{cases}x=a\cos\theta\\y=b\sin\theta\end{cases}$$其中，$a,b$為橢圓的長(zhǎng)短半軸。(3)過(guò)定點(diǎn)傾斜角為$\alpha$的直線$l$的標(biāo)準(zhǔn)參數(shù)方程為：$$\dfrac{x-x_0}{\cos\alpha}=\dfrac{y-y_0}{\sin\alpha}=p$$其中，$(x_0,y_0)$為直線$l$上的一點(diǎn)，$p$為直線$l$到原點(diǎn)的距離。注意：對(duì)于直線$l$上的任意兩點(diǎn)$A,B$，其對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為$t_1,t_2$，則$AB=\sqrt{(t_1-t_2)^2+(\cos\alpha)(t_1t_2)^2}$，$PA\cdotPB=(\cos\alpha)(t_1t_2)^2$。例題：已知曲線$C$的參數(shù)方程為$\begin{cases}x=a\cost\\y=2\sint\end{cases}$，建立極坐標(biāo)系，已知直線$l$的極坐標(biāo)方程為$\rho\cos(\theta+\dfrac{\pi}{4})=-2\sqrt{2}$，求：（Ⅰ）曲線$C$的直角坐標(biāo)方程；（Ⅱ）曲線$C$與直線$l$的交點(diǎn)的一個(gè)極坐標(biāo)。解：（Ⅰ）將$\begin{cases}x=a\cost\\y=2\sint\end{cases}$代入$\rho\cos(\theta+\dfrac{\pi}{4})=-2\sqrt{2}$中，得到：$$a\cost\cos(\theta+\dfrac{\pi}{4})+2\sint\sin(\theta+\dfrac{\pi}{4})=-2\sqrt{2}$$化簡(jiǎn)得到：$$\sqrt{2}(a\cost+2\sint)=-2\sqrt{2}$$即：$$\dfrac{x}{a}+\dfrac{y}{2}=-\sqrt{2}$$因此，曲線$C$的直角坐標(biāo)方程為$\dfrac{x}{a}+\dfrac{y}{2}=-\sqrt{2}$。（Ⅱ）將$\begin{cases}x=a\cost\\y=2\sint\end{cases}$代入$\rho\cos(\theta+\dfrac{\pi}{4})=-2\sqrt{2}$中，得到：$$\rho\cos\theta\cos\dfrac{\pi}{4}-\rho\sin\theta\sin\dfrac{\pi}{4}=-2\sqrt{2}$$即：$$\rho(\cos\theta-\sin\theta)=-2\sqrt{2}\sqrt{2}$$因此，交點(diǎn)的一個(gè)極坐標(biāo)為$\begin{cases}\rho=2\\\theta=\dfrac{3\pi}{4}\end{cases}$。2、已知直線l的方程為y=2x，曲線C1的極坐標(biāo)方程為ρ=2sinθ，點(diǎn)Q的極坐標(biāo)為(4,π/4)。（1）將曲線C1的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程，并求出點(diǎn)Q的直角坐標(biāo)；曲線C1的直角坐標(biāo)方程為x^2+y^2=4y，將點(diǎn)Q的極坐標(biāo)轉(zhuǎn)換為直角坐標(biāo)得到Q的坐標(biāo)為(√2,2√2)。（2）設(shè)P為曲線C1上的點(diǎn)，求PQ中點(diǎn)M到曲線C2上的點(diǎn)的距離的最小值。曲線C2的極坐標(biāo)方程為ρ=π/3cos(θ+π/3)，將其轉(zhuǎn)換為直角坐標(biāo)方程為x+y√3=-2/π。由于PQ中點(diǎn)M到曲線C2上的點(diǎn)的距離就是M到直線x+y√3=-2/π的距離，因此問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求點(diǎn)P到直線x+y√3=-2/π的距離的最小值。設(shè)點(diǎn)P到直線的距離為d，則d=|5y-2x-2/π|/√14。由于點(diǎn)P在曲線C1上，可以將x^2+y^2=4y代入直線方程中，得到5y-2x-2/π=0。因此，d=2/π√14，最小值為該值。5、在平面直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為x=3cosα，y=sinα，在以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，以x軸正半軸為極軸建立的極坐標(biāo)系中，直線l的極坐標(biāo)方程為ρcos(θ+π/2)=-1/24。（1）求曲線C的普通方程和直線l的直角坐標(biāo)方程；曲線C的普通方程為y=±√(4-x^2)，直線l的直角坐標(biāo)方程為y=24x-1。（2）過(guò)點(diǎn)M(-1,0)且與直線l平行的直線l1交C于A、B兩點(diǎn)，求弦AB的長(zhǎng)。由于直線l1與直線l平行，因此直線l1的斜率也為24。設(shè)直線l1