遼寧省大連市第四十七中學高三數(shù)學理期末試卷含解析

遼寧省大連市第四十七中學高三數(shù)學理期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.設(shè)a，b是互不垂直的兩條異面直線，則下列命題成立的是（）A．存在唯一平面α，使得a?α，且b∥αB．存在唯一直線l，使得l∥a，且l⊥bC．存在唯一直線l，使得l⊥a，且l⊥bD．存在唯一平面α，使得a?α，且b⊥α參考答案：A【考點】空間中直線與平面之間的位置關(guān)系．【分析】根據(jù)線面位置關(guān)系的判定與性質(zhì)判斷，或舉出反例．【解答】解：對于A，在a上任取一點A，過A作b′∥b，設(shè)a，b′確定的平面為α，顯然α是唯一的，且a?α，且b∥α．故A正確．對于B，假設(shè)存在直線l使得l∥a，且l⊥b，則a⊥b，與已知矛盾，故B錯誤．對于C，設(shè)a，b的公垂線為AB，則所有與AB垂直的直線與a，b都垂直，故C錯誤．對于D，若存在平面α，使得a?α，且b⊥α，則b⊥a，與已知矛盾，故D錯誤．故選：A．2.《周易》歷來被人們視為儒家經(jīng)典之首，它表現(xiàn)了古代中華民族對萬事萬物的深刻而又樸素的認識，是中華人文文化的基礎(chǔ)，它反映了中國古代的二進制計數(shù)的思想方法.我們用近代術(shù)語解釋為：把陽爻“”當做數(shù)字“1”，把陰爻“”當做數(shù)字“0”，則八卦代表的數(shù)表示如下：卦名符號表示的二進制數(shù)表示的十進制數(shù)坤0000震0011坎0102兌0113以此類推，則六十四卦中的“屯”卦，符號“”表示的十進制數(shù)是（）A．18

B．17

C.16

D．15參考答案：B3.已知集合，則A．

B．

C．

D．參考答案：C略4.設(shè)全集U=R，，則如圖中陰影部分表示的集合為

參考答案：B略5.等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，已知a5=8，S3=6，則S10﹣S7的值是（）A．24 B．48 C．60 D．72參考答案：B【考點】等差數(shù)列的性質(zhì)；等差數(shù)列的前n項和．【分析】利用條件a5=8，S3=6，計算等差數(shù)列的首項，公差，進而可求S10﹣S7的值【解答】解：設(shè)等差數(shù)列的首項為a1，公差為d∵a5=8，S3=6，∴∴∴S10﹣S7=a8+a9+a10=3a1+24d=48故選B．6.已知某幾何體的三視圖如圖所示，其正視圖是腰長為2的等腰直角三角形，則該幾何體外接球的表面積為（

）A．

B．

C.

D．參考答案：A由三視圖可知，該幾何體為如圖所示的三棱錐，其中，，在中，，∴，∴的外接圓的直徑為,∴∴外接球的半徑為，∴該幾何體外接球的表面積為故選：A

7.復數(shù)在復平面上所對應的點位于

A．實軸上

B．虛軸上

C．第一象限

D．第二象限參考答案：B略8.已知拋物線的頂點在原點，焦點在y軸上，其上的點到焦點的距離為5，則拋物線方程為

（

）

A．

B．

C．

D．參考答案：D9.f(x)＝x2－2x，g(x)＝ax＋2(a>0)，對?x1∈－1,2，?x0∈－1,2，使g(x1)＝f(x0)，則a的取值范圍是()A．

B．C．3，＋∞)

D．(0,3參考答案：A10.將一個四棱錐的每個頂點染上一種顏色，并使同一條棱上的兩個端點異色，若只有4種顏色可供使用，則不同的染色方法總數(shù)有A.48種 B.72種C.96種 D.108種參考答案：B二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.設(shè)不等式組所表示的區(qū)域為，函數(shù)的圖象與軸所圍成的區(qū)域為,向內(nèi)隨機投一個點,則該點落在內(nèi)的概率為

參考答案：12.已知函數(shù)，若成立，則＝________.參考答案：因為f(x)dx＝(3x2＋2x＋1)dx＝(x3＋x2＋x)|＝4，所以2(3a2＋2a＋1)＝4?a＝－1或a＝.13.已知A，B是以F為焦點的拋物線上兩點，且滿足，則弦AB中點到準線距離為

.參考答案：

14.的值為

參考答案：215.（6分）（2015?麗水一模）設(shè)圓C的圓心是拋物線y=x2的焦點，且與直線3x+4y+6=0相切．則拋物線的準線方程是；圓C的方程是．參考答案：y=﹣1；x2+（y﹣1）2=4?！究键c】：拋物線的簡單性質(zhì)．【專題】：計算題；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程．【分析】：拋物線y=x2，即x2=4y，可得準線方程、焦點，求出圓心（0，1）到直線3x+4y+6=0的距離，即可得出結(jié)論．解：拋物線y=x2，即x2=4y，準線方程是y=﹣1，焦點為（0，1）；圓心（0，1）到直線3x+4y+6=0的距離為d==2，∴圓C的方程是x2+（y﹣1）2=4；故答案為：x2+（y﹣1）2=4【點評】：本題考查拋物線的方程與性質(zhì)，考查直線與圓的位置關(guān)系，考查學生的計算能力，比較基礎(chǔ)．16.如圖，圓內(nèi)的正弦曲線

與軸圍成的區(qū)域記為(圖中陰影部分)，隨機往圓內(nèi)投一個點，則點落在區(qū)域內(nèi)的概率是

．參考答案：陰影部分的面積為，圓的面積為，所以點落在區(qū)域內(nèi)的概率是。17.如果隨機變量，且，則＝

．參考答案：根據(jù)對稱性可知，所以。三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.在△ABC中，內(nèi)角A、B、C的對邊分別為a,b,c，，∠BAC=，a=4.（1）求bc的最大值及的取值范圍；（2）求函數(shù)的最值。參考答案：（1）由題意知，即，

又，當且僅當時取等號，所以，即的最大值為16。

又，所以，又，所以。（2）因為，所以，

當即時，，

當即時，19.（本小題滿分14分）在長方體中，，是棱上的一點．（Ⅰ）求證：平面；（Ⅱ）求證：；（Ⅲ）若是棱的中點，在棱上是否存在點，使得∥平面？若存在，求出線段的長；若不存在，請說明理由．參考答案：解：（Ⅰ）在長方體中，因為面，所以．

………………2分在矩形中，因為，所以．……4分所以面.

………5分（Ⅱ）因為，所以面，由（Ⅰ）可知，面，

…………7分所以．…………………8分（Ⅲ）當點是棱的中點時，有∥平面．

………9分理由如下：在上取中點，連接．因為是棱的中點，是的中點，所以∥，且．……10分又∥，且．所以∥，且，所以四邊形是平行四邊形，所以∥．…………11分又面，面，所以∥平面．

…………13分此時，．…………14分20.在多面體中，，四邊形為矩形，四邊形為直角梯形，，，.(I)求證:平面平面；(Ⅱ)求二面角的余弦值.參考答案：(1)證明：面，故，又，所以①，在直角梯形中，，，可得.由知②，由①②知:而，進而面面.(2)設(shè)點到面的距離為，點到直線的距離為，記二面角的平面角為，由，即得.易得，則，進而，即二面角的余弦值為.

21.（本題滿分14分）本題共有2小題，第（1）小題滿分7分，第（2）小題滿分7分．為了保護環(huán)境，某工廠在國家的號召下，把廢棄物回收轉(zhuǎn)化為某種產(chǎn)品，經(jīng)測算，處理成本（萬元）與處理量（噸）之間的函數(shù)關(guān)系可近似的表示為：，且每處理一噸廢棄物可得價值為萬元的某種產(chǎn)品，同時獲得國家補貼萬元．（1）當時，判斷該項舉措能否獲利？如果能獲利，求出最大利潤；如果不能獲利，請求出國家最少補貼多少萬元，該工廠才不會虧損？（2）當處理量為多少噸時，每噸的平均處理成本最少？

參考答案：（1）根據(jù)題意得，利潤和處理量之間的關(guān)系：

…………2分，.∵，在上為增函數(shù)，可求得.

………………5分∴國家只需要補貼萬元，該工廠就不會虧損．

………………7分（2）設(shè)平均處理成本為

………………9分，

……………11分當且僅當時等號成立，由得．因此，當處理量為噸時，每噸的處理成本最少為萬元．

…………14分22.(14分)函數(shù)，當時，的所有整數(shù)值的個數(shù)為(1）求的表達式(2）設(shè)，求(3）設(shè)，若，求的最小值參考答案：（1）當時，函數(shù)單調(diào)遞增，則的值域為