高中數(shù)學選修2-2微積分基本定理

學習目標1.了解導數(shù)和微積分的關系.2.掌握微積分基本定理.3.會用微積分基本定理求一些函數(shù)的定積分.尹知識梳理 自主學習知識點一導數(shù)與定積分的關系f(x)dx等于函數(shù)f(x)的任意一個原函數(shù)F(x)(F'(x)=f(x))在積分區(qū)間［a,b上的改變量F(b)—F(a),以路程和速度之間的關系為例解釋如下：如果物體運動的速度函數(shù)為e=e(t),那么在時間區(qū)間a,b］內物體的位移s可以用定積分表示為s=e(t)dt.另一方面，如果已知該變速直線運動的路程函數(shù)為s=s(t),那么在時間區(qū)間a,b］內物體的位移為s(b)—s(a),所以有v(t)dt=s(b)-s(a).由于s'(t)=v(t),即s(t)為v(t)的原函數(shù)，這就是說，定積分v(t)dt等于被積函數(shù)v(t)的原函數(shù)s(t)在區(qū)間［a,b］上的增量s(b)—s(a).思考函數(shù)fx)與其一個原函數(shù)的關系：⑴若f(x)=c(c為常數(shù))，則F(x)=cx；⑵若fx)=xn(nM—1),則F(x)=n^y?xn+】；⑶若f(x)=-，則F(x)=lnx(x>0)；x⑷若fx)=ex,則F(x)=ex；ax⑸若fx)=ax,則F(x)=ma(a>0且a工1)；⑹若fx)=sinx,則F(x)=—cosx；(7)若f(x)=cosx,則F(x)=sinx.知識點二微積分基本定理一般地，如果fx)是區(qū)間,上的連續(xù)函數(shù)，并且F(x)=f(x),那么fx)dx=F(b)-F(a),思考⑴函數(shù)fx)的原函數(shù)F(x)是否唯一？(2)用微積分基本定理計算簡單定積分的步驟是什么？答案(1)不唯一.

(2)①把被積函數(shù)fx)變?yōu)槟缓瘮?shù)、正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、指數(shù)函數(shù)等初等函數(shù)與常數(shù)的和或差；用求導公式找到F(x),使得F(x)=f(x)；利用微積分基本定理求出定積分的值.訂題型探究 至點突破題型一求簡單函數(shù)的定積分例1計算下列定積分.3dx；(2)(2x＋3)dx；(3)(4x－x2)dx；(4)(x－1)5dx.解⑴因為(3x)‘D3,€2所以 3dxD(3x) D3X2D3X1D3.1因為(x2Q3x)zD2xD3,€2所以 (2x＋3)dxD(x2＋3x)€€0D22＋3X2－(02＋3X0)D10.因為,2x2D耳D4xDx2,所以 (4xDx2)dxD(2x2Ux3?－1(DI)3(DI)33.20亍(－－x2/V1-61-6nu所DDD護211€€6€6D))111-66D反思與感悟(1)用微積分基本定理求定積分的步驟：求fx)的一個原函數(shù)F(x);計算F(b)-F(a).(2)注意事項：有時需先化簡，再求積分；若F(x)是fx)的原函數(shù)，則F(x)+C(C為常數(shù))也是fx)的原函數(shù).隨著常數(shù)C的變化，f(x)

有無窮多個原函數(shù)，這是因為F(x)=f(x)，則F(x)+C]z=F(x)=f(x)的緣故.因為Jbf(x)dxa=[F(x)+C]|a=F(b)+C]—[F(a)+C]=F(b)—F(a)=F(x)ia，所以利用fx)的原函數(shù)計算定積分時，一般只寫一個最簡單的原函數(shù)，不用再加任意常數(shù)C了.跟蹤訓練1求下列函數(shù)的定積分：(1),x+x…2dx；(2)"、/X(1+\''x)dx.解(1)(xD￡j2dx2x2dxDj2dxDjigdx13x3|13x3|x(23D1+(剪113)D2X(2口1)D仙12x19(2)€-Jx(lU”』x)dxx)dxlx2)「lx2)「2X9X3D41X92?D(|x4X2D*X42271題型二求分段函數(shù)的定積分lx3,xW[O,1),例2求函數(shù)fx)=]x2,x￡[1,2), 在區(qū)間0,3上的定積分.bsx￡[2,3]解由定積分的性質知：/a機€f(x)說€2f(x)dxD€3f(x)dx0012D C1x3dxDCix2dxDC32xdxnx4D4x332xIn22181D4D3d印

芻土ln2dln2D洱4D12uln2.反思與感悟(1)分段函數(shù)在區(qū)間反思與感悟(1)分段函數(shù)在區(qū)間［a,b］上的定積分可分成幾個定積分的和的形式.(2)分段的標準是確定每一段上的函數(shù)表達式，即按照原函數(shù)分段的情況分就可以標準是確定每一段上的函數(shù)表達式，即按照原函數(shù)分段的情況分就可以.跟蹤訓練2求下列定積分：跟蹤訓練2求下列定積分：(1)j2lx2—1ldx；(2):0€01—sin2xdx.解(1)VyDlx2D1IDC1解(1)VyDlx2D1IDC1Dx2,OWxU1，x2－1，1WxW2,12|x2D1ldxDx－x31－J1(1Dx2)dxD0(節(jié)x)「12)D(^Dj2(x2D1)dx12.⑵百sin2xdx"IsinxDCOsx|dx€2J0n4J0(cosx－sinx)dx＋nn4J0(cosx－sinx)dx＋n2(sinxdcosx)dx(sinx＋nCOSx)4(－cosx－sinx)1)D(d*d題型三定積分的簡單應用例3 已知f(a)=€1(2ax2—a2x)dx，求f(a)的最大值.0解 *.*￡ax3D*a2x2丿'D2ax2Da2x,1(2ax2D0a2x)dxD￡ax3D^a2x2?0D3aD2a2,即f(a)D3a即f(a)D3aQ|a2DD(a2U43aDJ)DD2(aD3?2°9,??.當aD彳時,f(a)有最大值反思與感悟定積分的應用體現(xiàn)了積分與函數(shù)的內在聯(lián)系，可以通過積分構造新的函數(shù)，進而對這一函數(shù)進行性質、最值等方面的考查，解題過程中注意體會轉化思想的應用.跟蹤訓練3已知fx)=ax2+bx+c(aM0),且f(—1)=2,f(0)=0，€1f(x)dx=—2,求a、0b、c的值.旳1-21-2X旳1-21-2Xd1-3QQZ/LIV1-31-3?DD2,10由①②③式得aD6,由①②③式得aD6,bD0,cDD4.h當堂檢測 自查自糾1?「嚴dx等于()4cosx十sinxj02^'2-1)CA;2-1答案CBa^+1D.2—邁解析結合微積分基本定理,得fncos2xDsin2x fn■~: dxD (cosxDsinx)dxD(sinxD€4cosx＋sinx€4J J00cosx)4DV2D1.02.下列定積分的值等于1的是( )解由f(D1)D2,得 aDbDcD2.①又f(x)D2axDb,(0)DbD0,②而『fx)dxD€1(ax2＋bx＋c)dxJ */00

dx11CD

dx

x1nu1-2＋(x

rOdx1＋(x1JBDdxnudx11CD

dx

x1nu1-2＋(x

rOdx1＋(x1JBDdxnu1-2nu3一2Ddx1

/O選nu1-2?x(20-dx4-3J20?(x2－3X)dxD－X22D4-30233nu4_3析dx2?|x2+1,4.設函數(shù)f(x')=\3_3X,OWxVl,1WxW2,則Jx)dx=答案17~6X3n3Dx)|D0(3劉x2)|21176.5.已知函數(shù)fx)為偶函數(shù),答案16解析因為函數(shù) fx)為偶函數(shù)， 且Jfx)dxD8,所以 j6f(x)dxD2jfx)dxD16.0 _6 0「課堂那結 1求定積分的一些常用技巧(1)對被積函數(shù)，要先化簡，再求積分.(2)若被積函數(shù)是分段函數(shù)，依據(jù)定積分“對區(qū)間的可加性”，分段積分再求和.(3)對于含有絕對值符號的被積函數(shù)，要去掉絕對值符號才能積分.由于定積分的值可取正值，也可取負值，還可以取0，而面積是正值，因此不要把面積理解為被積函數(shù)對應圖形在某幾個區(qū)間上的定積分之和，而是在x軸下方的圖形面積要取定積

分的相反數(shù)."時精練選擇題1.函數(shù)y=fcosxdx的導數(shù)是( )0A.cosxB.－sinxC.cosx－1D.sinx答案A解析(sinx)'Dcosx,解析(sinx)'Dcosx,fcosxdxD0xsinxDsinx,故選A.2?若F(x)=x2?若F(x)=x2,則F(x)的解析式不正確的是()A.F(x)=gx3F(x)=x3F(x)=|x3+1F(x)=|x3+c(c為常數(shù))答案B解析若F(x)Dx3,則 F(x)D3x2,這與 F(x)Dx2不一致，故選B.€olx+2ldx等于( )－4－－4－4－4C.J-2(x+2)dx+Jo2(-x-2)dx－4 －2.j-.j-2(—x—2)dx+j0-4(x＋2)dx－2答案答案D－4…xD－4…xD2,D 2WxW0,?.?|xU2lD?DxD2,D 4Wxvll2,2|dxDj2(DxD2)dxDD4D2故選D.故選D.,x2,—1WxW0,4?已知f(x)=)1,0vxW1,aA24B?322c?3D.—3答案解析f(x)dxDx2dxD€11dxDX30汕XI10DD11応,故選B.D1D1aA24B?322c?3D.—3答案解析f(x)dxDx2dxD€11dxDX30汕XI10DD11応,故選B.D1D15.xsin22dx等于(€20nA.4C.2答案解析氣in2彳dxD€2 20fn1DCOSXdxD€2 20nD42,故選D.6.若S112x2dx，S2,S3的大小關系為（AV"Bnc.s2<s3<s1答案D.S3<S2<S1解析13x32d3,13e(eDS1D(2x2dxD171)D3,所以 S2DS1DS3,選2DIn2D1,S3DfexdxD1ex2De2DeD1B.二、填空題7.(7.(1(過1—x2+x)dx=解析解析D1答案(1 6;'1DX2Dx)dxD(1■-.；1DX2dxD(1xdx,根據(jù)定積分的幾何意義可知D1D1 D1 D1 DD11的半圓的面積，n 1x2dxD2，(1xdxD尹2”J0,D1nx2Dx)dxD2

2zjo1-3O2zjo1-3O1-3O

t0T3D27,解得 TO3.9?設函數(shù)fx)=ax2+c(aH0),jfx)dx=fx°),0Wx°W1,則x°=

0答案解析.??x解析.??x0O由j1fx)dxOf(x0),得Ji(ax2U

003,又 OWx0W1,/.x0O￥?故填孚c)dxO gax3U cx)| O ^ad cO ax2D c, A3O ax2, Va^0,0Ilgx,Ilgx,x>0,10?設/(x)=|x+€a3t2dt,u°.0若f[f(1)]=1，則a=答案1解析因為xO1>0,所以 f(1)Olg1解析因為xO1>0,所以 f(1)Olg1O0.又xW0時，fx)OxDja3t2dtO0x＋t3aOx＋a3,0所以f(0)O三、解答題a3.因為 ff(l)]O1,所以a3O1,解得 aO1.1711?設f(x)是一次函數(shù)’且j1f(x)dx=5,j1xf(x)dx=g,求f(x)的解析式.00解..fx)是一次函數(shù)，設f(x)OaxDb(aM0)解..fx)是一次函數(shù)，設jfx)dxOj1(axDb)dxOj1axdxDj1bdx0000O*aDbO5,j1xf(x)dxOj1x(axDb)dxOj1(ax2)dxDj1bxdx001761761-2

創(chuàng)1一DDDDaQ1-21-3/I<,aD4,得< 即f(x)O4xD3.bO3.|x3,xW[0,1],12?若函數(shù)fx)=*「匚，xW(1,2], 求jfx)dx的值.〔2x,x￡(2,3]. 0f2xdx01x4233x22+l?213