第五節(jié)穩(wěn)定判據(jù)

第五節(jié)穩(wěn)定判據(jù)第1頁，課件共36頁，創(chuàng)作于2023年2月

復(fù)變函數(shù)理論中的幅角原理是奈氏判據(jù)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，幅角原理用于控制系統(tǒng)穩(wěn)定性的判定還需選擇輔助函數(shù)和閉合曲線。

1、奈氏判據(jù)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)

設(shè)S為復(fù)數(shù)變量，F(xiàn)(S)為S的有理分式函數(shù)。對(duì)于S平面上任意一點(diǎn)S，通過復(fù)變函數(shù)F(S)的映射關(guān)系，在F(S)平面上可以確定關(guān)于S的象。在S平面上任選一條閉合曲線Γ且不通過F(S)的任何零點(diǎn)與極點(diǎn)，S從閉合曲線Γ上任一一點(diǎn)A起，順時(shí)針沿Γ運(yùn)動(dòng)一周，再回到A點(diǎn)，那么相應(yīng)F(S)平面上也從點(diǎn)F(A)起，到F(A)點(diǎn)止形成一條閉合曲線ΓF。若F(S)在S平面上指定區(qū)域內(nèi)是非奇異的，則有如圖5-39所示的映射關(guān)系。（1）、幅角原理

第2頁，課件共36頁，創(chuàng)作于2023年2月圖5-39s平面與F(S)平面的映射關(guān)系

對(duì)于S平面內(nèi)的任意一點(diǎn)d，都可以通過F(S)的映射關(guān)系在F平面上找到一個(gè)相應(yīng)的點(diǎn)d′（d′是d的像

）；對(duì)于S平面上任意一條不通過F(S)任何零點(diǎn)極點(diǎn)的閉合曲線Γ，也可以通過映射關(guān)系在F(S)平面上找到一條與它相對(duì)應(yīng)的曲線ΓF。第3頁，課件共36頁，創(chuàng)作于2023年2月

設(shè)復(fù)變量S沿著閉合曲線Γ運(yùn)動(dòng)一周，研究F(S)相角的變化情況。

S平面上的閉合曲線Γ如圖5-40所示。復(fù)變函數(shù)F(s)右零點(diǎn)極點(diǎn)如圖所示。當(dāng)閉合曲線Γ上任一點(diǎn)S1沿順時(shí)針方向轉(zhuǎn)動(dòng)一圈時(shí)，其矢量總的相角增量第4頁，課件共36頁，創(chuàng)作于2023年2月圖5-40映射關(guān)系第5頁，課件共36頁，創(chuàng)作于2023年2月

式中，P和Z分別是被閉合曲線Γ包圍的特征方程函數(shù)F

(s)的極點(diǎn)數(shù)和零點(diǎn)數(shù)。它表明，當(dāng)s平面上的試驗(yàn)點(diǎn)s1沿閉合曲線Γ順時(shí)針方向繞行一圈時(shí)，F(xiàn)(s)平面上對(duì)應(yīng)的閉合曲線將按逆時(shí)針方向包圍坐標(biāo)原點(diǎn)（P-Z）圈。

幅角原理：設(shè)S平面上不通過F(S)任何零極點(diǎn)的某條封閉曲線Γ，它包圍了F(S)在S平面的Z個(gè)零點(diǎn)和P個(gè)極點(diǎn)。當(dāng)S以順時(shí)針方向沿封閉曲線Γ移動(dòng)一周時(shí)，則在F平面上對(duì)應(yīng)于封閉曲線Γ的像ΓF

將以順時(shí)針的方向圍繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)R圈。R與Z、P的關(guān)系為：

R＜0和R＞0分別表示ΓF順時(shí)針包圍和逆時(shí)針包圍F(s)平面的原點(diǎn)，R＝0表示不包圍F(S)平面的原點(diǎn)。第6頁，課件共36頁，創(chuàng)作于2023年2月（2）、復(fù)變函數(shù)F(S)的選擇

如圖5-41所示結(jié)構(gòu)圖，其開環(huán)傳遞函數(shù)為

圖5-41控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖則

第7頁，課件共36頁，創(chuàng)作于2023年2月B(S)+A(S)和A(S)分別為閉環(huán)和開環(huán)的特征多項(xiàng)式。引入輔助函數(shù)

輔助函數(shù)也可以表示成零極點(diǎn)的形式

因此，我們可以看出，輔助函數(shù)具有如下特征：

1）輔助函數(shù)F(S)是閉環(huán)特征多項(xiàng)式與開環(huán)特征多項(xiàng)式之比，故其零點(diǎn)和極點(diǎn)分別為閉環(huán)極點(diǎn)和開環(huán)極點(diǎn)。

2）因?yàn)殚_環(huán)傳遞函數(shù)分母多項(xiàng)式的階次一般大于或等于分子多項(xiàng)式的階次，故F(S)零點(diǎn)、極點(diǎn)的個(gè)數(shù)相同，均為n個(gè)。

第8頁，課件共36頁，創(chuàng)作于2023年2月圖5-42F平面與GH平面的關(guān)系圖3）F(S)與開環(huán)傳遞函數(shù)G(S)H(S)之間只差常量1。F(S)=1+G(S)H(S)的幾何意義為：F平面上的坐標(biāo)原點(diǎn)就是GH平面上的（－1，j0）點(diǎn)，如圖5-42所示。

第9頁，課件共36頁，創(chuàng)作于2023年2月Nyquist軌跡及其映射

為將映射定理與控制系統(tǒng)穩(wěn)定性的分析聯(lián)系起來，適當(dāng)選擇s平面的封閉曲線Γ。如圖5-43所示，它是由整個(gè)虛軸和半徑為∞的右半圓組成，試驗(yàn)點(diǎn)按順時(shí)針方向移動(dòng)一圈，該閉合曲線稱為Nyquist軌跡。

Nyquist軌跡在F(s)平面上的映射也是一條封閉曲線，稱為Nyquist曲線。

圖5-43

s平面上的Nyquist軌跡第10頁，課件共36頁，創(chuàng)作于2023年2月

Nyquist軌跡Γ由兩部分組成，一部分沿虛軸由下而上移動(dòng)，試驗(yàn)點(diǎn)s=jω在整個(gè)虛軸上的移動(dòng)，在F

平面上的映射就是曲線F(jω)

(ω由－∞→+∞)，如圖5-44所示。

F(jω)=1+G(jω)H(jω)

Nyquist軌跡Γ的另一部分為s平面上半徑為∞的右半圓，映射到F平面上為

F(∞)=1+G(∞)H(∞)圖5-44F平面上的Nyquist曲線第11頁，課件共36頁，創(chuàng)作于2023年2月

式中，Z——位于F(s)平面右半部分的零點(diǎn)數(shù)，即閉環(huán)右極點(diǎn)個(gè)數(shù)；

P——位于F(s)平面右半部分的極點(diǎn)數(shù)，即開環(huán)右極點(diǎn)個(gè)數(shù)；

R——Nyquist曲線包圍坐標(biāo)原點(diǎn)的次數(shù)。

閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的條件為系統(tǒng)的閉環(huán)極點(diǎn)均在s平面的左半平面，即Z=0或R=P。

根據(jù)映射定理可得，s平面上的Nyquist軌跡在F平面上的映射F(jω)(ω從－∞→＋∞)

包圍坐標(biāo)原點(diǎn)的次數(shù)R為R=P－Z

第12頁，課件共36頁，創(chuàng)作于2023年2月例：分析下圖映射關(guān)系第13頁，課件共36頁，創(chuàng)作于2023年2月（3）、S平面閉合曲線Γ的選擇

系統(tǒng)的閉環(huán)穩(wěn)定性取決于系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)F（S）零點(diǎn)的位置，因此當(dāng)選擇S平面閉合曲線Γ

包圍S平面的右半部分時(shí)，Z＝0系統(tǒng)穩(wěn)定?？紤]到閉合曲線不通過F(S)任一零極點(diǎn)的條件，?？扇煞N形式。見P194（4）、G(S)H(S)曲線的繪制

已知S平面閉合曲線Γ關(guān)于實(shí)軸對(duì)稱，故閉合曲線ΓGH也關(guān)于實(shí)軸對(duì)稱，因此只需畫出正虛軸部分的曲線，得GH的半閉合曲線，仍計(jì)為ΓGH。G(S)H(S)右虛軸上極點(diǎn)和無虛軸上極點(diǎn)時(shí)的特性曲線繪制方法見P195。第14頁，課件共36頁，創(chuàng)作于2023年2月（5）、閉合曲線Γ包圍原點(diǎn)圈數(shù)R的計(jì)算

根據(jù)半閉合曲線ΓGH可得ΓF包圍原點(diǎn)的圈數(shù)R。設(shè)N為ΓGH穿越（－1，j0）點(diǎn)左側(cè)負(fù)實(shí)軸的次數(shù)，N＋表示正穿越的次數(shù)（從上往下穿越），N－表示負(fù)穿越的次數(shù)（從下往上穿越），則見書P－196第15頁，課件共36頁，創(chuàng)作于2023年2月2、Nyquist穩(wěn)定判據(jù)

為了確定輔助函數(shù)F(S)位于右半s平面內(nèi)的所有零點(diǎn)、極點(diǎn)數(shù)，現(xiàn)將封閉曲線Γ擴(kuò)展為整個(gè)右平面。曲線Γ由三段所組成：

（1）正虛軸s=jω

：頻率ω由0變到＋∞；

（2）半徑為無限大的右半圓S=Rejθ:R→∞，θ：

（3）負(fù)虛軸s=jω

：頻率ω由－∞變到0。

這種包含了整個(gè)右半s平面的閉合曲線Γ稱為Nyquist軌跡，如圖5-43所示。

第16頁，課件共36頁，創(chuàng)作于2023年2月

設(shè)0型系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為

在F平面上繪制與Γ相對(duì)應(yīng)的像ΓF如下：當(dāng)s沿虛軸變化時(shí)

式中，G(jω)H(jω)為系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性,因而ΓF由下面幾段組成：

（1）和正虛軸對(duì)應(yīng)的是頻率特性G(jω)H(jω)右移一個(gè)單位；

（2）和半徑為無窮大的右半圓相對(duì)應(yīng)的輔助函數(shù)F(s)→1；

（3）和負(fù)虛軸相對(duì)應(yīng)的是頻率特性對(duì)稱于實(shí)軸的鏡像。

第17頁，課件共36頁，創(chuàng)作于2023年2月圖5-44開環(huán)頻率特性曲線與它在F平面上的對(duì)應(yīng)曲線第18頁，課件共36頁，創(chuàng)作于2023年2月

對(duì)于包含了整個(gè)右半s平面的Nyquist路徑來說，Z和P分別為閉環(huán)傳遞函數(shù)和開環(huán)傳遞函數(shù)在右半s平面上的極點(diǎn)數(shù)，而R則存在兩種提法：（1）F平面上ΓF曲線圍繞原點(diǎn)的圈數(shù)；（2）GH平面上極坐標(biāo)頻率特性曲線及其鏡像圍繞（－1，j0）點(diǎn)的圈數(shù)。

利用幅角定理判斷閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性，則閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件為F(S)函數(shù)在s平面右半部的零點(diǎn)數(shù)Z=0即

第19頁，課件共36頁，創(chuàng)作于2023年2月

奈氏判據(jù)：若系統(tǒng)的開環(huán)不穩(wěn)定，即開環(huán)傳遞函數(shù)G(S)H(S)在右半平面上有極點(diǎn)，其個(gè)數(shù)為P，則閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件是：在GH平面上的開環(huán)頻率特性曲線G(jω)H(jω)及其鏡像當(dāng)ω從－∞變化到＋∞時(shí)，將以逆時(shí)針的方向圍繞（－1，j0）點(diǎn)P圈；若系統(tǒng)開環(huán)穩(wěn)定，即P=0，則閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是：在GH平面上的開環(huán)頻率特性曲線及其鏡像不包圍（－1，j0）點(diǎn)。

利用奈氏判據(jù)判斷閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定，還可求出該系統(tǒng)在右半s平面上的極點(diǎn)的個(gè)數(shù)

第20頁，課件共36頁，創(chuàng)作于2023年2月例5-7系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為

其幅頻特性圖如圖5-44左所示。試?yán)肗yquist判據(jù)判斷閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

解

當(dāng)三個(gè)參數(shù)取任何正值時(shí)，系統(tǒng)的兩個(gè)開環(huán)極點(diǎn)都是負(fù)實(shí)數(shù)，即S平面右半部分無開環(huán)極點(diǎn)，P=0。頻率特性及其鏡像組成的封閉曲線如圖5－44右所示?？梢姡?dāng)ω從－∞→＋∞時(shí)，閉合曲線并未包圍（－1，j0）點(diǎn)，故N＝0。因此閉環(huán)系統(tǒng)總是穩(wěn)定的。我們也可以利用勞斯判據(jù)進(jìn)行判定。第21頁，課件共36頁，創(chuàng)作于2023年2月例5-8設(shè)系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為

試?yán)肗yquist判據(jù)判斷閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

解

繪出該系統(tǒng)的極坐標(biāo)頻率特性曲線如圖5-45所示。

已知

由圖知，則第22頁，課件共36頁，創(chuàng)作于2023年2月

所以按Nyquist判據(jù)判斷該系統(tǒng)是不穩(wěn)定的，其閉環(huán)系統(tǒng)在右半s平面上的極點(diǎn)數(shù)為2。

利用Nyquist判據(jù)我們還可以討論開環(huán)傳遞系數(shù)K對(duì)閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響。當(dāng)K值改變時(shí)，在任一頻率下將引起幅頻特性成比例地變化，而相頻特性不受影響。對(duì)圖5-45，當(dāng)頻率ω＝3時(shí)，曲線與負(fù)實(shí)軸正好相交在（－2，j0）點(diǎn)，若傳遞系數(shù)K縮小一半，即由5.2降為2.6時(shí)，曲線恰好通過（－1，j0）點(diǎn)，這是臨界穩(wěn)定狀態(tài)；若K值進(jìn)一步縮小，當(dāng)K＜2.6時(shí)，頻率特性將從（－1，j0）點(diǎn)的右邊穿過負(fù)實(shí)軸，整個(gè)頻率特性曲線將不再包圍（－1，j0）點(diǎn)，這時(shí)閉環(huán)系統(tǒng)則是穩(wěn)定的了。第23頁，課件共36頁，創(chuàng)作于2023年2月圖5-45例5-8系統(tǒng)的極坐標(biāo)圖及其鏡像第24頁，課件共36頁，創(chuàng)作于2023年2月例5-9系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如圖5-46所示，試判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性并討論K值對(duì)閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響。圖5-46解：圖示系統(tǒng)是一個(gè)開環(huán)不穩(wěn)定系統(tǒng)，其開環(huán)傳遞函數(shù)在S平面右半部分有一個(gè)極點(diǎn)P＝1，頻率特性曲線如圖5－47所示。當(dāng)ω

＝0時(shí)，曲線從負(fù)實(shí)軸（－K，j0）出發(fā)；當(dāng)ω→∞時(shí)，曲線以－90°漸近角趨于坐標(biāo)原點(diǎn)；當(dāng)ω從－∞變化到＋∞，頻率特性（圖中實(shí)線部分）及其鏡像（虛線部分）包圍（－1，j0）點(diǎn)的圈數(shù)R與K值有關(guān)。第25頁，課件共36頁，創(chuàng)作于2023年2月

圖5－47繪出了K>1

和K<1的兩條閉合曲線，可見：

當(dāng)K>1時(shí)，曲線逆時(shí)針包圍了（－1，j0）點(diǎn)1圈即R=1閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定；當(dāng)K<1時(shí)，曲線未包圍（－1，j0）點(diǎn)，即R=0，閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定。在本例中，K值大才能使系統(tǒng)穩(wěn)定，K值小反而使閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定，這是與常見的最小相位系統(tǒng)截然不同之處。第26頁，課件共36頁，創(chuàng)作于2023年2月圖5-47K>1和K<1的頻率特性曲線第27頁，課件共36頁，創(chuàng)作于2023年2月3、Nyquist判據(jù)在Ⅰ型和Ⅱ型系統(tǒng)中的應(yīng)用

設(shè)系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為

為利用Nyquist判據(jù)分析Ⅰ型和Ⅱ型系統(tǒng)的穩(wěn)定性，就需要修改s平面上原點(diǎn)附近的Nyquist路徑，使它不通過s=0的開環(huán)極點(diǎn)又仍然能包圍整個(gè)右半s平面。方法是增補(bǔ)一個(gè)以原點(diǎn)為圓心、半徑R′為無窮小的右半圓。如圖5-48所示第28頁，課件共36頁，創(chuàng)作于2023年2月圖5-48修改后的Nyquist路徑第29頁，課件共36頁，創(chuàng)作于2023年2月圖5-49極坐標(biāo)圖及其鏡像

例5-10設(shè)某Ⅰ型系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性如圖5-49所示。開環(huán)傳遞函數(shù)在右半s平面上沒有極點(diǎn)，試用Nyquist判據(jù)判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

第30頁，課件共36頁，創(chuàng)作于2023年2月解

已知P=0，由圖可知R=0，則Z＝0，閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定。

例5-11某Ⅱ型系統(tǒng)在s右半平面無開環(huán)極點(diǎn)，已知其開環(huán)頻率特性如圖5-50所示。試判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

解

已知P=0，由圖知R=-2，則P≠R，閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定。其位于s右半平面的零點(diǎn)數(shù)為

第31頁，課件共36頁，創(chuàng)作于2023年2月圖5-50例5-11系統(tǒng)的極坐標(biāo)圖及其鏡像第32頁，課件共36頁，創(chuàng)作于2023年2月4、在Bode圖上判斷閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性

在極坐標(biāo)圖上應(yīng)用奈氏判據(jù)時(shí)，（－1,j0）點(diǎn)是個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)，開環(huán)頻率特性G(jω)H(jω)曲線是否圍繞它，怎樣圍繞它，圍繞幾圈，掌握這些信息后，就可以判斷閉環(huán)系統(tǒng)是否穩(wěn)定。

（－1，j0）點(diǎn)表示成幅角形式是而A(ω)＝1對(duì)應(yīng)于對(duì)數(shù)幅頻坐標(biāo)圖上L(ω)＝0的水平線；則對(duì)應(yīng)于對(duì)數(shù)相頻坐標(biāo)圖上－180°的水平線。其實(shí)，極坐標(biāo)圖上的整個(gè)負(fù)實(shí)軸均