上海教科院實驗中學2022年高二數(shù)學理期末試題含解析

上海教科院實驗中學2022年高二數(shù)學理期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.有下列四個命題：①“若，則互為倒數(shù)”的逆命題；②“相似三角形的周長相等”的否命題；③“若，則方程有實根”的逆否命題；④“若，則”的逆否命題.其中真命題是（

）A．①

③

B②

③

C①

②

D③

④參考答案：A2.已知直線l1：和l2：互相平行，則實數(shù)m=A.m=－1或3 B.m=－1C.m=－3 D.m=1或m=－3參考答案：A由題意得:,選A.3.在同一坐標系中，將曲線y＝2sin3x變?yōu)榍€y＝sinx的伸縮變換是(

)．A．

B．

C．

D．參考答案：B4.給定一組函數(shù)解析式:如圖所示一組函數(shù)圖象.圖象對應(yīng)的解析式號碼順序正確的是(

)A.⑥③④②⑦①⑤ B.⑥④②③⑦①⑤C.⑥④③②⑦①⑤ D.⑥④③②⑦⑤①參考答案：C5.已知等差數(shù)列{an}中，，，則的值是()A.15 B.30 C.31 D.64參考答案：A由等差數(shù)列的性質(zhì)得，，，故選A.6.三名教師教六個班的課，每人教兩個班，分配方案共有（）Ａ．18種

Ｂ．24種

Ｃ．45種

Ｄ．90種參考答案：D7.命題1

長方體中，必存在到各頂點距離相等的點；

命題2

長方體中，必存在到各棱距離相等的點；

命題3

長方體中，必存在到各面距離相等的點。

以上三個命題中正確的有

(A)0個

(B)1個

(C)2個

(D)3個參考答案：B8.過點作圓的兩條切線，切點分別為為原點，則的外接圓方程是A．

B．C．

D．參考答案：A略9.某程序的框圖如圖所示，運行該程序時，若輸入的x=0.1，則運行后輸出的y值是A．﹣1 B.0.5

C．2

D．10參考答案：A10.在直三棱柱中，，.已知Ｇ與Ｅ分別為和的中點，Ｄ與Ｆ分別為線段和上的動點（不包括端點）.若，則線段的長度的取值范圍為

A.

B.

C.

D.參考答案：（A）解析：建立直角坐標系，以Ａ為坐標原點，ＡＢ為ｘ軸，ＡＣ為ｙ軸，ＡＡ１為ｚ軸，則（），，，（）。所以，。因為，所以，由此推出。又，，從而有。二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知i為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點在直線上，則z的共軛復(fù)數(shù)________．參考答案：【分析】把復(fù)數(shù)對應(yīng)的點的坐標代入直線上，由此得到復(fù)數(shù)，即可求出答案【詳解】復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點為，代入直線，可得，解得：，故復(fù)數(shù)，所以復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)；故答案為【點睛】本題主要考查復(fù)數(shù)對應(yīng)點的坐標以及與共軛復(fù)數(shù)的關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題。12.如圖所示，AC為⊙O的直徑，BD⊥AC于P，PC=2，PA=8，則CD的長為

，cos∠ACB=

.參考答案：2

13.某工廠為了對新研發(fā)的一種產(chǎn)品進行合理定價，將該產(chǎn)品按事先擬定的價格進行試銷，得到如下數(shù)據(jù)：單價x（元）88.28.48.68.89銷量y（件）908483807568由表中數(shù)據(jù)，求得線性回歸方程為=﹣20x+．若在這些樣本點中任取一點，則它在回歸直線左下方的概率為．參考答案：【考點】線性回歸方程．【分析】根據(jù)已知中數(shù)據(jù)點坐標，我們易求出這些數(shù)據(jù)的數(shù)據(jù)中心點坐標，進而求出回歸直線方程，判斷各個數(shù)據(jù)點與回歸直線的位置關(guān)系后，求出所有基本事件的個數(shù)及滿足條件兩點恰好在回歸直線下方的基本事件個數(shù)，代入古典概率公式，即可得到答案．【解答】解：==8.5，==80∵b=﹣20，a=﹣b，∴a=80+20×8.5=250∴回歸直線方程=﹣20x+250；數(shù)據(jù)（8，90），（8.2，84），（8.4，83），（8.6，80），（8.8，75），（9，68）．當x=8時，∵90=﹣20×8+250，∴點（2，20）在回歸直線下方；…如圖，6個點中有2個點在直線的下側(cè)．則其這些樣本點中任取1點，共有6種不同的取法，其中這兩點恰好在回歸直線兩側(cè)的共有2種不同的取法，故這點恰好在回歸直線下方的概率P==．故答案為：．【點評】本題考查的知識是等可能性事件的概率及線性回歸方程，求出回歸直線方程，判斷各數(shù)據(jù)點與回歸直線的位置關(guān)系，并求出基本事件的總數(shù)和滿足某個事件的基本事件個數(shù)是解答本題的關(guān)鍵．14.設(shè)，則函數(shù)的最小值

，此時相應(yīng)的值為

參考答案：5、3略15.觀察按下列順序排列的等式：9×0+1=1，9×1+2=11，9×2+3=21，9×3+4=31，……，猜想第（）個等式應(yīng)為

；參考答案：略16.拋物線y2=4x的焦點為F，準線為l，點A是拋物線上一點，且∠AFO=120°（O為坐標原點），AK⊥l，垂足為K，則△AKF的面積是．參考答案：【考點】拋物線的簡單性質(zhì)．【分析】先確定拋物線的焦點坐標，準線方程，求出直線AF的方程，進而可求點A的坐標，由此可求△AKF的面積【解答】解：由題意，拋物線y2=4x的焦點坐標為F（1，0），準線方程為x=﹣1∵∠AFO=120°（O為坐標原點），∴∴直線AF的方程為：代入拋物線方程可得：3（x﹣1）2=4x∴3x2﹣10x+3=0∴x=3或∵∠AFO=120°（O為坐標原點），∴A（3）∴△AKF的面積是故答案為：【點評】本題以拋物線的性質(zhì)為載體，考查三角形面積的計算，求出點A的坐標是關(guān)鍵．17.定義在上的偶函數(shù)滿足：，且在上是增函數(shù)，下面是關(guān)于的判斷：（1）是周期函數(shù)；

（2）在上是增函數(shù)；（3）在上是減函數(shù)；（4）的圖象關(guān)于直線對稱.

則正確的命題序號是

參考答案：（1），（4）三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.中國2010年上海世博會已于2010年5月1日在上海隆重開館．小王某天乘火車從重慶到上海去參觀世博會,若當天從重慶到上海的三列火車正點到達的概率分別為0．8、0．7、0．9,假設(shè)這三列火車之間是否正點到達互不影響．求:(1）這三列火車恰好有兩列正點到達的概率；(2）這三列火車至少有一列正點到達的概率參考答案：用、、分別表示這三列火車正點到達的事件．則所以(1）恰好有兩列正點到達的概率為[來源:學§科§網(wǎng)](2）三列火車至少有一列正點到達的概率為19.正項數(shù)列參考答案：（1）（2）(1)————————————————————————————4分(2)————————————————————————————10分20.函數(shù)角度看，可以看成是以r為自變量的函數(shù)，其定義域是.（1）證明：（2）試利用1的結(jié)論來證明：當n為偶數(shù)時，的展開式最中間一項的二項式系數(shù)最大；當n為奇數(shù)時的展開式最中間兩項的二項式系數(shù)相等且最大.參考答案：（1）證明見解析；（2）證明見解析.【分析】（1）先根據(jù)組合數(shù)公式求出、，計算的值，從而證得結(jié)論；（2）設(shè)，由（1）可得，令，可得（等號不成立），故有當時，成立；當時，成立.故最大，當為奇數(shù)時，同理可證，從而證得結(jié)論.【詳解】（1）因為，又因為，所以.則成立.（2）設(shè)，因為，，所以.令，所以，則（等號不成立），所以時，成立，反之，當時，成立.所以最大，即展開式最中間一項的二項式系數(shù)最大；當為奇數(shù)時，設(shè)，其最中間有兩項且，由（1）知，顯然，，令，可得，，當時，，且這兩項為二項展開式最中間兩項的系數(shù)，所以時，成立；由對稱性可知：當時，成立，又，故當為奇數(shù)時，的展開式最中間兩項的二項式系數(shù)相等且最大.【點睛】本題主要考查組合及組合數(shù)公式，二項式定理的應(yīng)用以及二項式系數(shù)的性質(zhì)，令，求出的范圍是解本題的關(guān)鍵，考查學生的計算能力和邏輯推理能力，屬于中檔題.21.(12分)某工廠為了對新研發(fā)的一種產(chǎn)品進行合理定價，將該產(chǎn)品按事先擬定的價格進行試銷，得到如下數(shù)據(jù)：單價（元）8.98.78.68.48.38.1銷量（件）707580838488（Ⅰ）求回歸直線方程，其中=－20，=－；（Ⅱ）預(yù)計在今后的銷售中，銷量與單價仍然服從（Ⅰ）中的關(guān)系，且該產(chǎn)品的成本是4元/件，為使工廠獲得最大利潤，該產(chǎn)品的單價應(yīng)定為多少元？（利潤=銷售收入-成本）參考答案：（１）∵∴＝－＝80＋208.5＝250∴所求回歸直線方程為：=－２０x＋250

…………（6分）（2）設(shè)工廠獲得的利潤為L（x）元，則∴當x＝＝8.25時L(x)最大361.25注：∴為使工廠獲得最大利潤，該產(chǎn)品的單價應(yīng)定為8.25元

…………（12分）22.如圖，已知一四棱錐P﹣ABCD的底面是邊長為1的正方形，且側(cè)棱PC⊥底面ABCD，且PC=2，E是側(cè)棱PC上的動點（1）求四棱錐P﹣ABCD的體積；（2）證明：BD⊥AE．（3）求二面角P﹣BD﹣C的正切值．參考答案：【考點】與二面角有關(guān)的立體幾何綜合題；棱柱、棱錐、棱臺的體積．【分析】（1）四棱錐P﹣ABCD的體積V=，由此能求出結(jié)果．（2）連結(jié)AC，由已知條件條件出BD⊥AC，BD⊥PC，從而得到BD⊥平面PAC，不論點E在何位置，都有AE?平面PAC，由此能證明BD⊥AE．（3）以C為原點，CD為x軸，CB為y軸，CP為z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出二面角P﹣BD﹣C的正切值．【解答】（1）解：∵四棱錐P﹣ABCD的底面是邊長為1的正方形，且側(cè)棱PC⊥底面ABCD，PC=2，∴四棱錐P﹣ABCD的體積：V===．（2）證明：連結(jié)AC，∵ABCD是正方形，∴BD