湖北省荊州市人民農(nóng)場高級中學(xué)高二數(shù)學(xué)理模擬試題含解析

湖北省荊州市人民農(nóng)場高級中學(xué)高二數(shù)學(xué)理模擬試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.已知等差數(shù)列中，前項和為，，則當(dāng)取最大值時，

A．1008

B．1009

C．2016

D．2017參考答案：A2.下列命題是真命題的是A.若，則

B.若，則C.若，則 D.若，則參考答案：D略3.下列函數(shù)中值域為正實數(shù)的是(

)A.y=－5x

B.y=（）1－x

C.y=

D.y=參考答案：B4.計算機執(zhí)行下面的程序段后，輸出的結(jié)果是（

）A．

B．

C．

D．參考答案：B5.函數(shù)y=xlnx的最小值為（）A．﹣e﹣1 B．﹣e C．e2 D．﹣參考答案：A【考點】利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值．【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而求出函數(shù)的最小值即可．【解答】解：∵y=xlnx，定義域是（0，+∞），∴y′=1+lnx，令y′＞0，解得：x＞，令y′＜0，解得：0＜x＜，∴函數(shù)在（0，）遞減，在（，+∞）遞增，故x=時，函數(shù)取最小值是﹣，故選：A．【點評】本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，是一道基礎(chǔ)題．6.A點在橢圓

=1上運動，點P與A關(guān)于直線對稱，則P點的軌跡方程是（

）A.=1

B.=1

C.=1

D.參考答案：D7.已知函數(shù)，若存在，使有解，則實數(shù)的取值范圍是（

）A．

B．

C．

D．參考答案：D略8.兩燈塔A,B與海洋觀察站C的距離都等于a(km),燈塔A在C北偏東30°,B在C南偏東60°,則A,B之間相距（）

A．a(chǎn)(km)

B．a(chǎn)(km)

C．a(chǎn)(km)

D．2a(km)參考答案：C略9.正實數(shù)及函數(shù)滿足，且，則的最小值為A

4

B

2

C

D

參考答案：C10.“m=﹣1”是“直線mx+（2m﹣1）y+1=0和直線3x+my+3=0垂直”的（）A．必要而不充分條件 B．充分而不必要條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件參考答案：B【考點】必要條件、充分條件與充要條件的判斷．【專題】計算題．【分析】利用兩條直線垂直的充要條件化簡“直線mx+（2m﹣1）y+1=0和直線3x+my+3=0垂直”，然后判斷前者成立能推出后者成立，后者成立推不出前者成立，利用充要條件的有關(guān)定義得到結(jié)論．【解答】解：直線mx+（2m﹣1）y+1=0和直線3x+my+3=0垂直的充要條件為：3m+（2m﹣1）m=0解得m=0或m=﹣1；若m=﹣1成立則有m=0或m=﹣1一定成立；反之若m=0或m=﹣1成立m=﹣1不一定成立；所以m=﹣1是直線mx+（2m﹣1）y+1=0和直線3x+my+3=0垂直的充分不必要條件．故選B．【點評】本題考查判斷一個命題是另一個命題的什么條件，應(yīng)該先化簡各個命題，然后兩邊互推一下，利用充要條件的有關(guān)定義進行判斷，屬于基礎(chǔ)題．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.點在動直線上的射影為，已知點，則線段長度的最大值是

.參考答案：略12.右表中的數(shù)陣為“森德拉姆數(shù)篩”，其特點是每行每列都成等差數(shù)列，記第行第列的數(shù)為. 則（1）

；

（2）表中的數(shù)52共出現(xiàn)

次．

參考答案：

4略13.在下列四個命題中，正確的序號有________．（填序號）①命題“存在一個三角形沒有外接圓”的否定②“”是“一元二次不等式的解集為的充要條件③存在④參考答案：①②③14.三棱錐A-BCD中，E是AC的中點，F(xiàn)在AD上，且，若三棱錐A-BEF的體積是2，則四棱錐B-ECDF的體積為_______________．參考答案：10.【分析】以B為頂點，三棱錐與四棱錐等高，計算體積只需找到三角形AEF與四邊形ECDF的面積關(guān)系即可求解.【詳解】設(shè)B到平面ACD的距離為h，三角形ACD面積為，因為是的中點，在上，且，所以,，所以，又=2，所以，，所以.故答案為10.【點睛】本題考查空間幾何體的體積計算，考查空間想象能力和運算能力，屬于基礎(chǔ)題.15.（5分）已知一個關(guān)于正整數(shù)n的命題P（n）滿足“若n=k（k∈N*）時命題P（n）成立，則n=k+1時命題P（n）也成立”．有下列判斷：（1）當(dāng)n=2013時命題P（n）不成立，則n≥2013時命題P（n）不成立；（2）當(dāng)n=2013時命題P（n）不成立，則n=1時命題P（n）不成立；（3）當(dāng)n=2013時命題P（n）成立，則n≥2013時命題P（n）成立；（4）當(dāng)n=2013時命題P（n）成立，則n=1時命題P（n）成立．其中正確判斷的序號是

．（寫出所有正確判斷的序號）參考答案：（1）根據(jù)條件只有命題成立時，才能推導(dǎo)出下一個命題成立，當(dāng)命題不成立時，則不一定成立，所以（1）錯誤．（2）若n=1時，命題P（n）成立，則一定能推出當(dāng)n=2013時命題P（n）成立，與當(dāng)n=2013時命題P（n）不成立，所以（2）正確．（3）根據(jù)條件可知當(dāng)n=2013時命題P（n）成立，則n≥2013時命題P（n）成立．（4）當(dāng)n=2013時命題P（n）成立，只能推出n≥2013時命題P（n）成立，無法推出n=1時命題P（n）是否成立．所以正確的是（2）（3）．故答案為：（2）（3）．利用歸納法的證明過程進行推理判斷．16.已知條件p：x＞a，條件q：x2+x﹣2＞0，若p是q的充分不必要條件，則實數(shù)a的取值范圍是．參考答案：[1，+∞）【考點】必要條件、充分條件與充要條件的判斷．【專題】簡易邏輯．【分析】解不等式x2+x﹣2＞0可得x＜﹣2或x＞1，原命題等價于{x|x＞a}是{x|x＜﹣2或x＞1}的真子集，結(jié)合數(shù)軸可得．【解答】解：不等式x2+x﹣2＞0可化為（x﹣1）（x+2）＞0，解得x＜﹣2或x＞1，∵p是q的充分不必要條件，∴{x|x＞a}是{x|x＜﹣2或x＞1}的真子集，∴a≥1，即a的取值范圍是[1，+∞）故答案為：[1，+∞）【點評】本題考查充要條件，涉及一元二次不等式的解法，屬基礎(chǔ)題．17.函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是

▲

.參考答案：1+三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.用數(shù)學(xué)歸納法證明：≤n+1（n∈N*）．參考答案：【考點】RG：數(shù)學(xué)歸納法．【專題】14：證明題；55：點列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法．【分析】本題考查的知識點是數(shù)學(xué)歸納法，由數(shù)學(xué)歸納法的步驟，我們先判斷n=1時成立，然后假設(shè)當(dāng)n=k時成立，只要能證明出當(dāng)n=k+1時，結(jié)論成立，立即可得到所有的正整數(shù)n都成立．【解答】證明：①n=1時，左邊=，右邊=2，成立；②設(shè)n=k時，結(jié)論成立，即≤k+1，即k+1≥0則n=k+1時，左邊==≤＜k+2，∴n=k+1時，成立．由①②可知，≤n+1（n∈N*）．【點評】數(shù)學(xué)歸納法的步驟：①證明n=1時A式成立②然后假設(shè)當(dāng)n=k時，A式成立③證明當(dāng)n=k+1時，A式也成立④下緒論：A式對所有的正整數(shù)n都成立．19.如圖（1），等腰直角三角形ABC的底邊AB=4，點D在線段AC上，DE⊥AB于E，現(xiàn)將△ADE沿DE折起到△PDE的位置（如圖（2））．（Ⅰ）求證：PB⊥DE；（Ⅱ）若PE⊥BE，直線PD與平面PBC所成的角為30°，求PE長．參考答案：【考點】用空間向量求直線與平面的夾角；直線與平面垂直的判定；直線與平面所成的角．【分析】（I）根據(jù)翻折后DE仍然與BE、PE垂直，結(jié)合線面垂直的判定定理可得DE⊥平面PEB，再由線面垂直的性質(zhì)可得PB⊥DE；（II）分別以DE、BE、PE所在直線為x軸、y軸、z軸，建立如圖所示空間直角坐標系．設(shè)PE=a，可得點B、D、C、P關(guān)于a的坐標形式，從而得到向量、坐標，利用垂直向量數(shù)量積為0的方法建立方程組，解出平面PCD的一個法向量為=（1，1，），由PD與平面PBC所成的角為30°和向量的坐標，建立關(guān)于參數(shù)a的方程，解之即可得到線段PE的長．【解答】解：（Ⅰ）∵DE⊥AB，∴DE⊥BE，DE⊥PE，…．∵BE∩PE=E，∴DE⊥平面PEB，又∵PB?平面PEB，∴BP⊥DE；

…．（Ⅱ）∵PE⊥BE，PE⊥DE，DE⊥BE，∴分別以DE、BE、PE所在直線為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系（如圖），…設(shè)PE=a，則B（0，4﹣a，0），D（a，0，0），C（2，2﹣a，0），P（0，0，a），…可得，，…設(shè)面PBC的法向量，∴令y=1，可得x=1，z=因此是面PBC的一個法向量，…

∵，PD與平面PBC所成角為30°，…∴，即，…解之得：a=，或a=4（舍），因此可得PE的長為．…20.(本題滿分12分)過點C(0,1)的橢圓＋＝1(a>b>0)的離心率為.橢圓與x軸交于兩點A(a,0)、B(－a,0)．過點C的直線l與橢圓交于另一點D，并與x軸交于點P.直線AC與直線BD交于點Q.(1)當(dāng)直線l過橢圓右焦點時，求線段CD的長；(2)當(dāng)點P異于點B時，求證：·為定值．參考答案：解：(1)由已知得b＝1，e＝＝，解得a＝2，所以橢圓方程為＋y2＝1橢圓的右焦點為(，0)，此時直線l的方程為y＝－x＋1，代入橢圓方程化簡得7x2－8x＝0.解得x1＝0，x2＝，代入直線l的方程得y1＝1，y2＝－，所以D點坐標為.故|CD|＝＝.(2)證明：當(dāng)直線l與x軸垂直時與題意不符．設(shè)直線l的方程為y＝kx＋1(k≠0且k≠)．代入橢圓方程化簡得(4k2＋1)x2＋8kx＝0.解得x1＝0，x2＝，代入直線l的方程得y1＝1，y2＝，[來源:學(xué),科,網(wǎng)]所以D點坐標為.又直線AC的方程為＋y＝1，直線BD的方程為y＝(x＋2)，聯(lián)立解得因此Q點坐標為(－4k,2k＋1)．又P點坐標為.所以·＝·(－4k,2k＋1)＝4.故·為定值．21.設(shè)計算法求的值。要求畫出程序框圖，寫出用基本語句編寫的程序。參考答案：這是一個累加求和問題，共99項相加，可設(shè)計一個計數(shù)變量，一個累加變量，用循環(huán)結(jié)構(gòu)實現(xiàn)這一算法。程序框圖如圖所示：程序如下：22.已知正方體ABCD﹣A1B1C1D1，O是底ABCD對角線的交點．求證：（1）C1O∥面AB1D1；（2）面BDC1∥面AB1D1．參考答案：【考點】直線與平面平行的判定；平面與平面平行的判定．【分析】（1）由題意連接A1C1，先證明A1ACC1是平行四邊形得A1C1∥AC且A1C1=AC，再證AOC1O1是平行四邊形，然后利用直線與平面平行的判定定理進行證明；（2）因為AB∥CD∥D′C′，加上AB=